SKEMA AKAR KUADRAT DALAM UNSCENTED KALMAN FILTER UNTUK MENDETEKSI KERAK PADA ALAT PENUKAR PANAS

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidian dan Penerapan MIPA, Faultas MIPA, Universitas Negeri Yogyaarta, 4 Mei 2 SKEMA AKAR KUADRA DALAM UNSCENED KALMAN FILER UNUK MENDEEKSI KERAK PADA ALA PENUKAR PANAS M. olib, Erna Apriliani 2 Jurusan Matematia FMIPA Institut enologi Sepulu Nopember Surabaya tolib@gmail.com Abstra Filter Kalman adala suatu algoritma yang digunaan untu mengestimasi variabel eadaan pada sistem linier. Sedangan untu sistem talinier Filter Kalman tida dapat digunaan secara langsung. Untu beberapa taun emudian muncul metode baru yang dienal dengan nama Unscented Kalman Filter (UKF) yang menggunaan teni transformasi unscented. Aar Kuadrat merupaan suatu sema yang dapat diterapan dalam UKF untu mengestimasi suatu model dinami talinear. Dalam maala ini dilauan suatu ajian mengenai sema Aar Kuadrat yang diterapan pada Unscented Kalman Filter (UKF) seingga terbentu suatu algoritma baru yang dinamaan dengan Aar Kuadrat-Unscented Kalman Filter (AK-UKF). Dan emudian algoritma ini diimplementasian pada model sistem detesi era pada alat penuar panas. Kata unci: Filter Kalman, Unscented Kalman Filter (UKF), Aar Kuadrat-Unscented Kalman Filter (AK-UKF), era, alat penuar panas. PENDAHULUAN Filter Kalman merupaan sala satu metode untu menasir variabel eadaan dari sebua sistem linier dengan meminimuman ovariansi esalaan estimasi. Sala satu pendeatan Filter Kalman yang bisa digunaan untu sistem talinier, yaitu Extended Kalman Filter (EKF) dan Unscented Kalman Filter (UKF)[4]. Selama urang lebi 2-3 taun EKF diaui secara umum sebagai metode untu menasir variabel eadaan sistem talinier, ingga ditemuan suatu pendeatan baru yang dienal dengan Unscented Kalman Filter [4]. Perbedaan edua metode ini yaitu pada metode pelinieran yang digunaan, pada EKF sistem dilinieran dengan menggunaan pendeatan deret aylor, sementara pada UKF menggunaan ransformasi Unscented. Metode dasar ransformasi Unscented pertama ali diperenalan Ulman dan Julier [5], merea membentu sebua eranga yang mewaili variabel random yang dinamaan iti-iti Sigma. Sema aar uadrat merupaan sala satu sema yang dapat diimplementasian pada UKF. Sema ini dapat mempengarui pada asil estimasi menjadi lebi bai, bai dalam al tingat aurasi maupun watu omputasi yang digunaan[6]. Dalam penelitian ini aan dilauan suatu ajian mengenai implementasi sema aar uadrat pada UKF, yang selanjutnya diterapan untu mengestimasi variabel eadaan pada sistem dengan model penguuran talinear yaitu sistem/model pada alat penuar panas. Hasil estimasi dengan metode Aar Kuadrat Unscented Kalman Filter (AK-UKF) selanjutnya aan dibandingan metode UKF standar, seingga diperole metode yang memilii tingat etelitian yang lebi bai. Maasiswa Pasca Sarjana Matematia FMIPA IS Surabaya 2 Staf Pengajar Jurusan Matematia IS Surabaya M - 9

2 M. olib / Sema Aar Kuadrat UNSCENED KALMAN FILER (UKF) Proses estimasi pada metode Filter Kalman menyajian bentu umum dari sistem yang digunaan dan beberapa taapan dari proses estimasinya. Lewis memberian suatu sistem dinami linear, secara umum berbentu sebagai beriut[3]: dengan awal x = A x + B u + G + w z = H x + v () x ~ ( x, P x ) ; w ~ (, Q ); v ~ (, R ) P x, x variabel eadaan sistem pada watu yang nilai estimasi awalnya x dan ovarian n x R, m u variabel input deterministi pada watu, u R. w gangguan (noise) pada sistem yang mempunyai mean w = dan ovarian Q, z variabel penguuran, p z R, v gangguan (noise) pada penguuran dengan mean v = dan ovarian R. A, B, G, H adala matris-matri dengan uuran yang bersesuaian. Proses estimasinya ada dua taap, yaitu taap predisi (time update) dipengarui ole dinamia sistem, dan taap oresi (measurement update) dipengarui ole informasi dari penguuran. Kedua taap ini aan berulang terus-menerus sampai pada watu yang ditentuan. Unscented Kalman Filter adala pengembangan dari Filter Kalman untu sistem yang nonlinear dengan menggunaan teni ransformasi Unscented. Misalan diberian suatu fungsi epadatan peluang disrit y =f(x,) mempunyai variabel random x dari sebua model talinear dengan dimensi L mempunyai mean dan ovarian. Fungsi y =f(x,) dideati dengan transformasi unscented. Mean dan ovarian tersebut digunaan untu menentuan penyebaran 2L+ titi-titi sigma diseitar. iti-titi sigma dalam bentu vetor sigma diperole dengan menggunaan persamaan beriut [4]:, i =,..., L i = L +,..., 2L (2) dengan: adala parameter pensalaan, α adala sebua onstanta yang digunaan untu menentuan sebaran dari titi sigma di seeliling, dimana α selalu bernilai positif ecil dan adala sala pensalaan tambaan, dimana nilai. Nilai yang paling sering digunaan yaitu =. Misalan diberian variabel eadaan: [ ] x = x x L x L 2 Jia dinyataan dalam bentu matris sigma points bisa ditulisan menjadi: i = [ χ χ χl χ L+ χ L+ 2 χ2l ] Karena y f ( x ) χ L L (4) =, maa penyebaran vetor sigma y adala:, i =,..., 2L, Pembobot mean dan ovarian diitung berdasaran persamaan [6]: (3), i =,..., 2L (5) M -

3 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidian dan Penerapan MIPA, Faultas MIPA, Universitas Negeri Yogyaarta, 4 Mei 2 Dengan menggunaan titi-titi sigma persamaan (2) dan persamaan pembobot meanovarians pada persamaan (5), maa diperole mean: ( i ) 2L + ( m ) i (6) i = yˆ = W f χ Sedangan untu mengitung ovarians dari y menggunaan persamaan: 2L ( c ) ( ( ) ˆ )( ( ) ˆ y = i χi χi ) (7) P W f y f y Secara ringas algoritma Unscented Kalman Filter dapat ditulisan sebagai beriut[5]: Inisialisasi Pada saat = Untu =,2,3,,N : Hitung titi sigma dengan: dan aap predisi (time update) aap oresi (measurement update) Dengan Q = ov. eror proses dan R = ov. eror penguuran AKAR KUADRA UNSCENED KALMAN FILER (AK-UKF) Algoritma UKF standar dapat dimodifiasi dengan cara menyebaran matris aar uadrat/fator Colesy secara langsung, untu mengindari ebutuan pemfatoran ulang pada setiap time step seingga bisa mengurangi beban omputasi. Untu memperole nilai estimasi, ovarian error dan pengitungaan fator Colesy taap predisi dan oresi adala dengan menggunaan teni ransformasi Unscented. Secara urut algoritma aar uadrat pada UKF dapat disusun sebagai beriut: M -

4 M. olib / Sema Aar Kuadrat Inisialisasi Pada saat = Fator Colesy S : Fator Colesy tambaan : Misal diberian variabel eadaan: (8) Dengan ovarian awal: P P2 L P L P2 P22 P 2L P L = M M M PL PL 2 L PLL (9) Berdasaran model yang diberian variabel random x dengan dimensi L mempunyai mean x ˆ, ovarian P dan juga fator Colesy S yang diperole dari persamaan, atau bisa ditulis:. Kemudian didefinisian variabel eadaan tambaan: [ ] a x = x w () Sedangan ovarian awal tambaan: xw a P P P = xw P Q () Dan fator Colesy awal tambaan adala: adala factor Colesy dari Q. Selanjutnya mean, ovarian dan fator Colesy tersebut digunaan untu menentuan penyebaran 2L+ titi-titi sigma diseitar. iti-titi sigma dalam bentu vetor sigma diperole dengan menggunaan persamaan beriut[7]:, i =, i =,2, L, i = L+,,2L (3) Dengan adala sala parameter dan, adala elemen baris e-i dari, sedangan L adala dimensi variabel tambaan. Berdasaran variabel eadaan diatas persamaan matris sigma poin bisa ditulisan menjadi: (4) Sedangan titi-titi sigma untu x + diperole dari: x x w χ = F χ, χ (5) ( i i ) i, +,, aap Predisi: Dengan menggunaan titi-titi sigma persamaan (5) dan pembobot mean dan ovarian persamaan (5) diperole asil estimasi: (6) (2) M - 2

5 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidian dan Penerapan MIPA, Faultas MIPA, Universitas Negeri Yogyaarta, 4 Mei 2 Langa beriutnya adala menentuan fator Colesy predisi ( ) dengan cara melauan fatorisasi QR terlebi dulu dari persamaan: (7) Lalu mengitung Update Fator Colesy dari dengan persamaan: colupdate (8) Sigma poin dari model penguuran, yaitu: (9) Dengan menggunaan persamaan bobot (5) dan persamaan (9) diperole persamaan estimasi dari model penguuran: (2) aap Koresi Mengitung fator Colesy Lalu mengitung Update Fator Colesy dengan melauan fatorisasi QR dari persamaan: dari: colupdate ( ) (22) Kovarian error model proses dan penguuran (cross covarian) diperole dari persamaan: (23) Kalman Gain diperole dari persamaan: (24) Persamaan estimasi taap oresi adala: (25) Mengitung matri U dengan persamaan: (2) Mengitung fator Colesy taap oresi dari persamaan: colupdate (22) MODEL / SISEM PADA ALA PENUKAR PANAS Alat penuar panas atau dalam industri imia populer dengan istila Heat Excanger (HE), merupaan suatu alat yang berfungsi untu memindaan panas antara dua fluida yang berbeda temperatur dan dipisaan ole suatu seat pemisa. Perpindaan panas antara dua fluida dapat dipastian mengaibatan era[2]. Cuup banya erugian yang dapat ditimbulan ole era tersebut. Seingga apabila terjadi perpindaan panas yang besar maa penting untu dapat mendetesi era yang terbentu pada alat penuar panas. (2) Gambar. Alat Penuar Panas ipe counter-flow Dari gambar diatas persamaan / model yang mewaili alat penuar panas adala[2]: M - 3

6 M. olib / Sema Aar Kuadrat α α α +. 2 τ 2τ 2τ, α α α,.. + d, τ τ τ,2 = dt c, β β β c,. + c,2 2τ c 2τ c 2 τ c c,2 β β β. +. 2τ c 2 τc 2 τc α. 2 τ α 2τ, in + (23) β c, in. 2 τc β 2τ c dengan, adala temperatur pada bagian panas ( C ),, 2 adala temperatur pada bagian panas 2 = temperatur eluar (outlet) dari fluida panas( C ), c, adala temperatur pada bagian dingin ( C ), c, 2 adala temperatur pada bagian dingin 2 = temperature eluar (outlet) dari fluida dingin( C ),, in adala temperatur inlet (masu) pada bagian panas( C ), c, in adala temperatur inlet (masu) pada bagian dingin( C ). Model tersebut memilii 4 parameter yang dapat dinyataan dalam bentu beriut: AU M AcU M c α ( t) =, τ ( t) =, β ( t) =, τ c ( t) =, m& ( t) c m& ( t) m& c ( t) c c m& c ( t) dengan: dan adala jumla unit perpindaan panas pada fluida panas dan dingin, dan adala watu yang dibutuan perpindaan panas fluida panas dan dingin, dan adala area perpindaan panas pada fluida panas dan dingin (m 2 ), U adala oefisian perpindaan panas menyeluru, diasumsian U onstan, M adala massa fluida, dan adala onstanta pada bagian panas dan bagian dingin. Misalan model state: d x ( t ) = dt f ( m, x, & in ) ( ) α β,,2,,2 Τ = c c x t & [ m& m& ] [ ] Τ, = Τ m = c in. in c, in adala laju alir massa pada bagian panas (g/s), adala laju alir massa pada bagian dingin (g/s). Didapatan persamaan model state sebagai beriut: M - 4

7 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidian dan Penerapan MIPA, Faultas MIPA, Universitas Negeri Yogyaarta, 4 Mei 2 α + α 2 α α α 2, c, c,2, in β τ 2τ 2τ τ d, α 2 + α 2 α α =,,2 + c, + c, in dt,2 τ τ 2τ 2τ c, β β + β 2 β 2, +,2 c, + c, in 2τ 2 c,2 c τc τc τc β β 2 + β 2 β, + c, c,2 +, in 2τ c τc τc 2τ c Selanjutnya dari 6 parameter pada model di atas, variabel yang aan diestimasi pada mala ini adala dan, dengan tujuan untu mengetaui jumla unit perpindaan panas pada fluida panas dan dingin sebagai dasar detesi adanya era. Dan dengan cara yang sama, dapat diestimasi pula nilai dari 4 parameter yang lain yaitu,, dan untu mengetaui pola distribusi temperatur pada masing-masing bagian. Model diatas disimulasian dengan nilai awal yang definisian sebagai beriut[2]:.. 7. xˆ ( ) = ; P ( ) = Kemudian Q (ovarian noise pada sistem) dan R (ovarian noise pada penguuran) dapat didefinisian sebagai matris diagonal beriut:.... Q = ; R =.... HASIL SIMULASI Pada gambar 2 terliat bawa dengan 6 iterasi grafi estimasi dengan metode AK-UKF relatif lebi mendeati grafi realnya dibandingan dengan grafi dengan metode UKF standar. Kemudian grafi estimasi dengan metode AK-UKF juga jau lebi mendeati grafi realnya dibandingan dengan grafi dengan metode UKF. Hal menunjuan bawa dari 6 ali iterasi estimasi dan dengan metode AK-UKF lebi aurat daripada metode UKF standar. M - 5

8 M. olib / Sema Aar Kuadrat real AK-UKF UKF Estimasi Nilai Alpa real AK-UKF UKF Estimasi Nilai Beta.2.2 Nilai Alpa.8 Nilai Beta watu e watu e Gambar 2. Hasil Estimasi dan menggunaan UKF dan AK-UKF Perbandingan nilai error edua metode pada estimasi dan terliat pada gambar 3, dapat diataan bawa untu watu sampai e-6 satuan watu, nilai error estimasi dan dengan menngunaan metode AK-UKF cenderung stabil pada isaran..75 relatif lebi ecil daripada dengan menggunaan metode UKF yang berada pada isaran Dapat diataan pula bawa nilai estimasi dan dengan AK-UKF memilii error masimal urang dari.75, yang relatif ecil dibanding dengan metode UKF standar yang mencapai.. Artinya pada estimasi dan nilai error dengan metode UKF standar, jau lebi besar dibandingan dengan metode AK-UKF. Jadi, dapat disimpulan bawa metode AK-UKF lebi aurat daripada metode UKF standar. Error pada α AK-UKF UKF Error pada β AK-UKF UKF Gambar 3. Error Estimasi dan dengan Metode UKF dan AK-UKF Selanjutnya aan dilauan estimasi sampai dengan 4 satuan watu. Dengan watu yang lebi lama, dipredisian era tela timbul atau teraumulasi. Gambar 4 menunjuan bawa etia memasui watu e-2 tela terjadi penurunan drastis nilai estimasi dari dan yaitu dari isaran (-.5) o C (.5) o C sampai pada isaran (-.3) o C (-2.6) o C. Maa secara teoritis ataupun fisis dapat diataan tela terdetesi adanya era pada alat penuar panas. M - 6

9 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidian dan Penerapan MIPA, Faultas MIPA, Universitas Negeri Yogyaarta, 4 Mei 2.5 Estimasi Nilai Alpa dan Beta Estimasi Alpa Estimasi Beta.5 Nilai Alpa dan Beta watu e Gambar 4. Estimasi dari dan sampai watu e -4 Untu pada watu e-75 satuan watu, nilai dari estimasinya suda terliat mulai mengalami penurunan dibawa o C, dan secara terus menerus menurun. Mulai terjadi penurunan drastis setela watu e-2 sampai pada suu (-.4) o C. Sedangan untu sampai pada watu e- 75 satuan watu nilai estimasinya terus mengalami penurunan sampai mendeati suu (-.5) o C, mesipun emudian sempat mengalami enaian suu pada watu e-8, namun beriutnya setela watu e-2 mengalami penurunan drastis sampai pada titi (-2.6) o C. Hal ini menunjuan adanya era pada alat tersebut etia memasui watu e-2. Perbandingan watu omputasi algoritma UKF dan AK-UKF pada masing-masing iterasi dapat diliat pada abel beriut: Jumla iterasi abel. Perbandingan watu omputasi algoritma UKF dan AK-UKF Metode UKF Watu Komputasi (deti) Metode AK-UKF = = = = Nilai Root Mean Square Error (RMSE) dari tiap-tiap variabel pada iterasi =6, = dan =4 ditunjuan pada abel 2. abel 2 Perbandingan RMSE Algoritma UKF dan AK-UKF tiap variabel. Root Mean Square Error (RMSE) Variabel =6 = =4 eadaan UKF AK- UKF UKF AK- UKF UKF AK- UKF α β KESIMPULAN DAN SARAN Dari tabel perbandingan rata-rata error antara UKF standar dan AK-UKF dapat disimpulan bawa metode AK-UKF jau lebi bai dan aurat daripada UKF standar. Sedangan dari tabel perbandingan watu omputasi yang digunaan dari edua algoritma tersebut dapat disimpulan pula bawa metode AK-UKF membutuan watu yang lebi sediit daripada UKF standar. Jadi M - 7

10 M. olib / Sema Aar Kuadrat secara eseluruan dapat disimpulan berarti metode AK-UKF lebi aurat dan efisien dibanding dengan metode UKF standar. Penulis menyaranan untu mengaji lebi lanjut penerapan metode AK-UKF pada model sistem yang talinier dan berorde yang lebi tinggi. DAFAR PUSAKA [] Golub, H. G. dan Loan, V. F. Carles. (996), Matrix Computations (ird Edition), e Jon Hopins University Press, Baltimore and London. [2] Jonsson, G.R., Lalot, S., Palsson, O.P., dan Desmet, B. (27). Use of Extended Kalman Filtering in Detecting Fouling in Heat Excangers. University of Iceland, France. [3] Lewis, L Fran. (986), Optimal Estimation, Wit An Introduction o Stocastic Control eory, Jon Wiley and Sons, New Yor. [4] Rudi. (26), Penerapan Extended Kalman Filter dan Unscented Kalman Filter pada Estimasi Variabel Keadaan Sistem dengan Model Penguuran alinier, esis Magister Jurusan Matematia FMIPA Institut enologi Sepulu Nopember, Surabaya. [5] erejanu, Gabriel.A.(23), Unscented Kalman Filter utorial, Departement of Computer and Engineering University at Buffalo. [6] Wan, Eric dan Merwe, Rudolp V.D. (2), e Square Root Unscented Kalman Filter For State and Parameter Estimation. Oregon Graduate Institute of Science and ecnology USA. M - 8