BAB 3 PENGEMBANGAN TEOREMA DAN PERANCANGAN PROGRAM

Transkripsi

1 BAB 3 PENGEMBANGAN TEOREMA DAN PERANCANGAN PROGRAM 3.1. Pengembangan Teorema Dalam enelitian dan erancangan algoritma ini, akan dibahas mengenai beberaa teorema uji rimalitas yang terbaru. Teorema-teorema ini akan diergunakan dalam engembangan algoritma yang akan dirancang. Berikut ini adalah teorema-teorema uji rimalitas. Teorema Teorema Lucas-Lehmer Terdaat sebuah bilangan rima ganjil. M adalah bilangan rima jika dan hanya di mana S 1 4 dan S. jika S( ) 0( mod ) 1 M n S n Bukti : Misalkan w + 3 dan v 3. Maka, dengan mudah daat kita tunjukkan bahwa S n w n + v n. Jadi, M membagi S -1 berarti terdaat sebuah bilangan bulat ositif R sedemikian sehingga w + v RM. Atau, setelah kita kalikan dengan w dan dikurangi satu, akan kita daatkan w R M w 1...(1) dan setelah dikuadratkan ( ) w R M w 1...()

2 Dengan menggunakan embuktian secara kontradiksi, kita asumsikan M adalah bilangan komosit dan ilih salah satu faktor embagi rimanya q yang tidak lebih besar dari akar kuadratnya. Angga gru [ 3] G Ζ q terdiri dari semua bilangan dengan bentuk a + b 3 mod q yang memiliki invers, dengan catatan G memiliki aling banyak q 1 elemen. Melihat w mod q, ersamaan (1) dan () di atas menjadi w dan w 1, menunjukkan bahwa w adalah sebuah elemen dari G dengan order. Karena order dari sebuah elemen dalam suatu gru tidak akan lebih besar dari order gru itu sendiri, sehingga kita daatkan q 1 < M 1 suatu kontradiksi, memenuhi syarat cuku. Untuk memenuhi syarat erlu, sekarang kita asumsikan M adalah bilangan rima. Hukum dua arah (resirok) mengimlikasikan : 3 M M 3 1 M Karena M 7 mod 1 dengan adalah bilangan rima ganjil. Sehingga i 1 kita tahu bahwa G memiliki order dan S Tr ( + 3), i 1,,... Sekarang kita selesaikan dalam G saja, karena i G Ζ q 1 ( 1 + 3) ( 4 + 3) ( 4 + 3) + 3 sehingga

3 3 ( ) ( 3) ( 1 3) ( ) Karena 1 dan ( 1) mod Juga dengan teorema binomial, ( 1 + 3) ( 3) + ( 3), kita tahu bahwa ( 1) 1. (tia unit di bagian tengah meruakan sebuah embagi dari q dalam koefisien binomialnya.) ( ) 3 Berdasarkan hukum dua arah di atas, kita daat bahwa 3 bukanlah kuadrat semurna dalam Ζ, sehingga kita daat membuat ( q 1) 1 1 q berasangan dari 1 samai q 1. Dengan demikian, hasil dari tia asangan adalah 3, dan hal ini mengimlikasikan 3 ( q 1 )! 1 1 Dengan Lemma Wilson, kita daatkan P ( 1 + 3) ( 1 3) + 3( 1 1) Sehingga ( + 3) dengan ersamaan di atas kita daatkan Untuk beberaa ( + 3) α 3 a α Ζq dimana hasil kuadratnya adalah -1/3. Sehingga Tr ( + 3) Tr 3 0 G / Ζq G / Ζ Yang membuktikan ernyataan tersebut. qα

4 4 Contoh : Akan dibuktikan bahwa 7 1 adalah bilangan rima : S S S S S S ( 4 * 4 ) mod ( 14 * 14 ) mod 17 ( 67 * 67 ) mod 17 ( 4 * 4 ) mod ( 111 * 111 ) mod Terbukti bahwa S 0, maka meruakan bilangan rima. Teori uji rimalitas ini meruakan inisiatif dari Lucas ada akhir tahun 1870 dan disederhanakan oleh Lehmer ada tahun Setia barisan S dimodulokan - 1 untuk memerceat erhitungan. Uji ini ideal untuk komuter biner karena embagian oleh - 1 daat dilakukan hanya dengan menggunakan erutaran dan enjumlahan saja. Teorema Teorema Pocklington Andaikan n adalah bilangan bulat dengan n 1 FR, dimana ( F, R) 1 dan F > R. Bilangan bulat n tersebut adalah rima jika ada sebuah bilangan bulat a sedemikian sehingga (a (n -1) / q 1, n) 1 dengan q adalah bilangan rima dengan q F dan a n 1 1( mod n). Bukti : Misalkan adalah embagi rima untuk n. Karena a n 1 1(mod n) (dimana a adalah sebuah bilangan bulat yang dimisalkan memiliki sifat khusus),

5 5 jika n, kita lihat bahwa a n 1 1(mod ). Hal ini sesuai dengan ord (a) (n 1). Akibatnya, ada sebuah bilangan bulat t sedemikian sehingga n 1 t. ord (a). Sekarang, misalkan q adalah bilangan rima dengan q F. Akan ditunjukkan q t. Untuk mendaatkan ini, ingat bahwa q t, maka a (n 1) / q a ord(a) t / q 1 (mod ). Hal ini mengimlikasikan bahwa (a (n 1) / q -1, n) karena a (n 1)/q 1). Ini menjadi kontradiksi dengan hiotesis bahwa (a (n-1)/q 1, n) 1. Akibatnya, q tidak habis membagi t. Hal ini sesuai dengan ernyataan bahwa semua embagi rima dari F membagi ord (a). Akibatnya, F ord (a). Karena ord (a) -1, sesuai dengan F 1, mengimlikasikan F <. Karena F > R dan n 1 FR, sehingga n 1 > F. karena keduanya, n 1 dan F, adalah bilangan bulat, didaatkan 1 n F, sehingga > F n. daat disimulkan bahwa n adalah bilangan rima. 3.. Perancangan Program 3..1 Struktur Program Gambar 3.1 Struktur Chart

6 6 Inut yang digunakan dalam rogram ini berua bilangan yang meruakan bilangan ganjil dan harus lebih besar dariada. Outut dari rogram ini meruakan laoran hasil uji berdasarkan kedua teorema yang digunakan. Laoran uji tersebut menyatakan bilangan yang diinut bilangan rima atau bukan serta waktu yang dierlukan untuk menguji bilangan tersebut. Pengujian berdasarkan teorema uji rimalitas Pocklington menggunakan taha, yaitu taha modulo dan encarian gcd. Sedangkan engujian berdasarkan teorema uji rimalitas Lucas-Lehmer menggunakan taha engkuadratan ceat. 3.. Tie Data yang digunakan Untuk daat menguji bilangan yang cuku besar dierlukan enamung data (tie data) yang besar ula. Pada metode yang enulis gunakan, terdaat ( n / suatu engujian berdasarkan rumus gcd( 1) i a, n) 1, di mana n sangat n menentukan besar ( n) / i a n yang akan ditamung. Nilai ( n) / i a n jauh lebih besar dari daya tamung tie data yang telah tersedia, sehingga hasil erhitungan menjadi tidak akurat. Oleh karena itu dierlukanlah suatu tie data baru yang daat menamung hasil erhitungan di atas dan dukungan algoritma algoritma erhitungan untuk tie data yang baru tersebut. Tie data baru yang akan enulis gunakan adalah tie data String, di mana tie data ini daat menamung bilangan yang sangat besar. Suaya tie data ini daat kita gunakan dalam erhitungan, maka dierlukanlah modul modul untuk mengoerasikan tie data tersebut. Modul dasar oerasinya adalah

7 7 Modul Penjumlahan, Modul Pengurangan, Modul Perkalian dan Modul Pembagian. Kemudian modul modul ini digunakan sebagai dasar erhitungan dari fungsi fungsi / modul modul yang lain. Modul Penjumlahan dan Modul Pengurangan sama seerti dasar algoritma enjumlahan dan engurangan bilangan. Modul Perkalian dari bilangan a dan b menggunakan Modul Penjumlahan bilangan a diulang sebanyak b kali. Sedangkan Modul Pembagian (a membagi b) menggunakan Modul Pengurangan b dengan a terus menerus hingga b lebih kecil dari a. Jumlah erulangan dari engurangan terserbut adalah hasil bagi, dan nilai b terakhir yang lebih kecil dari a meruakan sisa Taha Taha yang digunakan Taha Validasi Pada taha ini, inut yang dimasukkan oleh user akan dieriksa. Inut harus berua bilangan ganjil dan lebih besar dari 1. Jika inut tidak memenuhi syarat tersebut, maka akan ditamilkan esan kesalahan Taha Utama Uji Primalitas Ada taha uji rimalitas, yaitu taha uji Lucas-Lehmer dan Uji Pocklington. Pada taha Lucas-Lehmer, terdaat taha engujian yaitu taha engujian dengan kuadrat ceat dan taha encarian faktor. Taha ertama dari Modul Uji Lucas-Lehmer adalah menguji bilangan Mersenne berdasarkan rumus ( ) mod( 1) S. Bilangan n S n Mersenne dihasilkan dari, dimana adalah bilangan yang diinut. Pengujian bilangan tersebut dilakukan berdasarkan dengan teorema Lucas-Lehmer. Proses

8 8 engkuadratan dilakukan dengan cara membagi roses engkuadratan menjadi dua bagian sama besar kemudian dijalankan roses kuadrat biasa terhada kedua bagian tersebut, baru kemudian digabungkan kembali dan didaatkan hasil kuadrat dengan waktu dua kali lebih ceat dari engkuadratan biasa. Sebagai langkah awal engujian ditetakan S 4, kemudian dilakukan erulangan sebanyak 3 kali untuk mendaatkan S 0. Jika didaatkan S 0, maka bilangan Mersenne tersebut meruakan bilangan rima. Namun, jika S 0 maka bilangan Mersenne tersebut bukanlah bilangan rima. Taha kedua adalah encarian faktor. Taha ini hanya dilakukan bila bilangan Mersenne, M n yang diuji dinyatakan sebagai bilangan komosit. Pencarian faktor ini dilakukan untuk membuktikan bahwa bilangan tersebut memang bukan bilangan rima. Faktor yang didaat akan ditamilkan sebagai outut. Pemfaktoran M n 1 berdasarkan Teorema Fundamental Aritmetika dan Metode Eratosthenes, di mana nilai M n 1 diuraikan satu ersatu dimulai dari bilangan rima terkecil, yaitu, dengan menggunakan Modul Pembagian samai dengan M n, hingga didaatlah faktor faktor rimanya. Kemudian dari faktorfaktor rima tersebut didaatkanlah suatu variabel m dan j, di mana k1 k ks m j, m > dan m.... Untuk suatu n a / b, di mana a M n 1 s b, nilai n akan semakin kecil jika nilai b semakin besar. Sehingga untuk memerkecil roses erhitungan, nilai m sebagai embagi dari (M n 1),

9 9 sebaiknya dieroleh dari erkalian faktor faktor rima M n 1 yang terbesar, hingga memenuhi syarat m > M n. Sedangkan ada taha Pocklington terdaat 3 taha engujian, yaitu taha encarian faktor n 1, dan taha engujian. Taha ertama dari Modul Uji Pocklington adalah mencari faktor dari n 1, di mana n adalah bilangan yang diinut / akan diuji. Pemfaktoran dilakukan dengan cara yang sama dengan encarian faktor ada taha Uji Lucas-Lehmer di atas. Taha kedua dari Modul Uji Primalitas adalah engujian dari faktor faktor n 1 terhada n dengan rumus 1(mod n) a n i untuk sembarang basis a i. Basis a i meruakan bagian dari faktor faktor i. Untuk memermudah engujian maka sebaiknya kita gunakan basis a i yang relatif kecil, misal a i. Sehingga hasil emangkatan a i tidak terlalu besar, sehingga roses erhitungan daat memakan waktu yang lebih ceat. Perhitungan 1(mod n) diermudah dengan menggunakan Teorema Fermat. Jika 1(mod n) a n i a n i daat telah terenuhi maka engujian taha ketiga daat dilakukan. Taha ketiga dari Modul Uji Primalitas adalah engujian terakhir ( n / berdasarkan rumus gcd( a 1) i, n) 1. Pengujian ini adalah erhitungan n yang aling sulit untuk dilakukan oleh karena besarnya bilangan yang akan diuji akan sangat besar, yaitu lama. ( n) / i a n, sehingga erlu waktu erhitungan yang relatif

10 30 Jika bilangan masukan telah lulus dari kedua taha engujian, maka akan dinyatakan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan rima. Sebaliknya jika bilangan terserbut tidak lulus dari salah satu atau kedua taha engujian tersebut maka akan dinyatakan bahwa bilangan tersebut bukanlah bilangan rima Diagram Alir Modul Berikut ini adalah diagram alir dari rogram alikasi yang dibuat oleh enulis Diagram Alir Modul Inut Berikut ini adalah diagram alir modul inut yang menjelaskan roses validasi inut Gambar 3. Gambar Diagram Alir Modul Inut

11 Diagram Alir Modul GCD Berikut ini adalah diagram alir modul GCD yang menjelaskan tentang roses encarian Greatest Common Divisor dari bilangan. Gambar 3.3 Gambar Diagram Alir Modul GCD

12 Diagram Alir Modul Faktorisasi Berikut ini adalah diagram alir modul Faktorisasi yang menjelaskan roses faktorisasi suatu bilangan hingga didaat faktor faktor dari suatu bilangan. START j 1 i i < squareroot(n) + 1 Ya Tidak j j + 1 jumlahfaktor j faktor[j] i i i + 1 Tidak n (mod i) 0 jumlahfaktor j Ya n n / i END Gambar 3.4 Gambar Diagram Alir Modul Faktorisasi

13 Diagram Alir Modul Utama Berikut ini adalah diagram alir Modul Lucas-Lehmer yang menjelaskan engujian rimalitas suatu bilangan Mersenne. START Inut M ^ -1 s: 4 3 < i < Ya Tidak s : (s - ) mod ( - 1) i++ Ya s 0 Tidak M rima M bukan rima End Gambar 3.5 Gambar Diagram Alir Modul Utama Lucas-Lehmer

14 Gambar 3.6 Gambar Diagram Alir Modul Utama Pocklington 34