PENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR SEKOLAH MENENGAH ATAS MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 PENJDWLN KEGITN BELJR MENGJR SEKOLH MENENGH TS MENGGUNKN LJBR MX-PLUS Yustinus Hari Suyanto 1, Subiono 2 Graduate of Student Department of Mathematic ITS, Surabaya 1 hari_yustinus@yahoo.co.id, 2 subiono2008@matematika.its.ac.id BSTRK Penyusunan jadwal mengajar di SMK St. Louis 1 lebih mengacu pada ketersediaan tenaga pengajar bukan berdasar pembagian bobot kesulitan pelajaran. Hal ini tentunya sangat merugikan anak didik karena memungkinkan terjadinya jadwal pelajaran dimana dalam satu hari mendapatkan jadwal pelajaran dengan bobot kesulitan yang sangat tinggi sehingga siswa mengalami kesulitan dan akhirnya hasilnya tidak optimal. Dalam tesis ini akan disusun suatu penjadwalan kegiatan belajar mengajar yang mengacu pada pembagian yang merata dalam hal bobot kesulitan materi pelajaran. Penjadwalan ini dimaksudkan agar dengan tenaga pengajar yang tersedia dapat dibuat jadwal dengan lebih mengacu pada pembagian bobot kesulitan jenis pelajaran yang merata sehingga anak didik tidak dirugikan. Dalam penyusunannya nanti akan digunakan teori aljabar ma-plus untuk mendapatkan jadwal yang sesuai. Kata kunci : ketersedian tenaga pengajar, bobot kesulitan pelajaran, aljabar maplus. Y PENDHULUN Masalah penyusunan jadwal kegiatan belajar mengajar di sekolah dari tahun ke tahun selalu muncul pada awal tahun ajaran. Sampai saat ini banyak sekolah yang didalam penyusunan jadwal sekolah dengan sistem manual tanpa melakukan perhitungan antara kebutuhan kegiatan belajar mengajar dengan sarana yang ada baik ruang kelas maupun guru pengajar. Sering kali suatu jadwal disusun dan dicoba penerapannya dan bila terdapat kesalahan maka diperbaiki lagi dan dicoba lagi dengan perbaikan sampai akhirnya dapat dalankan,dan akibatnya kegiatan belajar mengajar sering terganggu. Terdapat suatu anggapan jadwal dikatakan benar jika jadwal setelah dalankan tidak terjadi seorang guru mengajar di dua kelas pada saat yang bersamaan, padahal setelah dikaji lebih mendalam didalam jadwal tersebut masih banyak kelemahan diantaranya kurang optimalnya pemanfaatan ruang kelas dan pembagian jenis pelajaran yang tidak merata yaitu ada suatu kelas pada hari yang sama mendapatkan jenis mata pelajaran yang begitu banyak sehingga anak didik dibebani jenis pelajaran yang banyak. Dengan adanya sekian banyak jenis mata pelajaran dengan bobot kesulitan yang berbeda dan saling berkaitan satu dengan yang lain maka diharapkan di dalam jadwal pelajaran terdapat pembagian bobot kesulitan pelajaran yang merata dengan mengacu kekuatan dan kemampuan anak didik sebagai subyek pendidikan. Kendala utama dalam penyusunan jadwal pelajaran adalah tidak semua tenaga pengajar adalah guru tetap yang selama satu hari jam kerja berada di sekolah, sehingga sering kali penyusunan jadwal lebih mengacu pada ketersediaan jam tenaga pengajar bukan pada pembagian bobot kesulitan pelajaran. Dalam penjadwalan perlu mengatur sedemikian rupa ada perimbangan antara tenaga pengajar tiap mata pelajaran dengan waktu mengajar yang dibutuhkan, ruang belajar dengan rombongan belajar yang ada, dan perimbangan antar tenaga pengajar dan rombongan belajar yang ada sehingga prosess pembelajaran dapat berjalan dengan baik (Telehala (2010)). Dalam tesis ini akan disusun suatu penjadwalan kegiatan belajar mengajar yang mengacu pada pembagian yang merata dalam hal bobot kesulitan materi pelajaran. PM8-1

2 1. LJBR MX-PLUS ljabar Ma-Plus terdiri dari himpunan R ma R,, (Goverde 200) dengan R adalah himpunan bilangan real dan yang dikaitkan dengan dua operasi maksimum (ma) dan tambah (+), dengan notasi menyatakan operasi maksimum dan menyatakan operasi tambah, sehingga untuk suatu operasi terhadap dua variabel a dan b yaitu a b berarti ma(a,b) dan a b berarti a + b. Notasi dan pada ljabar Ma-Plus masing-masing mempunyai kemiripan dengan operasi tambah (+) dan kali () pada aljabar biasa. Definisi 2.1 Diberikan Rma R,, dengan. Pada R, a, b R didefinisikan sebagai a b ma a, b dan a b a b : operasi berikut: i.,, ii. R merupakan semiring komutatif idempoten dengan elemen netral dan elemen satuan e = 0. R,, merupakan semifield, yaitu bahwa R,, merupakan semiring komutatif di mana untuk setiap a R terdapat a sehingga berlaku a a 0. Untuk selanjutnya R,, disebut dengan ljabar Ma-Plus(Goverde (200)), yang dinotasikan dengan R ma. Relasi m yang didefinisikan pada Rma sebagai berikut y jika y y, merupakan urutan parsial pada Rma. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada a R dilambangkan k Definisi 2.2 Operasi dan pada m n R dengan Rma ma dengan mn R i. Untuk ii. Untuk 0 k k 1 0,. R ma. Pangkat k dari elemen dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam m n ma Rma untuk i 1,2,, m mn ma, B R didefinisikan B mn ma, B R didefinisikan B mn iii. E R ma dengan 0, jika i j E, jika i j m n iv. Matriks R dengan ma dan j 1,2,, n sehingga :, dengan B a b., dengan B a b., p k1 i, k k, j 2. DEFINISI GRPH DLM LJBR MX-PLUS Diberikan graph berarah G=(V,) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik dan adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik pada garis V. Suatu lintasan dalam graph berarah G adalah suatu barisan berhingga garis i i, i, i,, i l, i dengan i, i untuk l N, di mana N = himpunan semua, 1, l k k 1 bilangan asli, dan k 1,2,, l 1. Titik i 1 disebut titik awal lintasan dan titik i t disebut titik akhir lintasan. Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Suatu graph berarah G=(V,) dengan V = 1, 2,,..., n dikatakan strongly connected jika untuk setiap i, j V,terdapat suatu lintasan dari i ke j. Suatu graph yang memuat sirkuit disebut graph siklik, sedangkan suatu graph yang tidak memuat sirkuit disebut graph taksiklik. PM8-2

3 Graph berarah G dikatakan berbobot jika setiap garis j i bilangan real. Bilangan real disebut bobot garis j, idilambangkan dengan j i Graph preseden dari matriks V=1,2,...,n, j iwi, j, dikawankan dengan suatu w,. mn R ma adalah graph berarah berbobot G()=(V,) dengan,, i, j. Sebaliknya untuk setiap graph berarah berbobot G = (V, ) selalu dapat didefinisikan suatu matriks dengan w, jika i, j, jika i, j 3. SISTEM LINER MX-PLUS WKTU INVRINT Diberikan suatu parameter k untuk menyatakan suatu kejadian. Untuk memberikan arti parameter k ini, diberikan gambaran pada suatu jaringan-kerja(network), yang terdiri dari beberapa titik dan beberapa ruas garis berarah yang menghubungkan titik-titik tersebut. Jaringan-kerja yang bersesuaian mempunyai n titik yang diwakili oleh setiap i, sedangkan bersesuaian dengan ruas garis berarah dari titik ke titik. Setiap titik dalam jaringan kerja mempunyai aktifitas tertentu. ktifitas-aktifitas ini membutuhkan waktu hingga yang dinamakan waktu aktifitas. Diasumsikan bahwa aktifitas suatu titik hanya dapat dimulai bila semua titik hulunya, yaitu titik yang mendahuluinya secara langsung, telah menyelesaikan aktifitasnya dan mengirimkan hasilnya sepanjang ruas garis berarah yang menghubungkannya. Jadi ruas garis berarah yang bersesuaian dengan dapat ditafsirkan sebagai saluran output titik j dan sebagai saluran input titik i. Diasumsikan juga bahwa titik j memulai aktifitasnya sesegera mungkin setelah semua aktifitas titik hulunya mengirimkan hasilnya ke titik i. Jadi dengan menganggap aktifitas sebagai kejadian, tafsiran besaran yang digunakan adalah: i. i k : waktu saat awal titik i menjadi aktif pada kejadian ke-k. ii. : jumlah waktu aktifitas titik j dan lamanya waktu perjalanan dari titik j ke titik i (Baccelli, F.; et.al; 1992). Sistem Linear Ma-PlusWaktu-Invariant Definisi (Sistem Linear Ma -Plus Waktu-Invariant (SLMI), Scutter, 1996) Sistem Linear Ma-Plus Waktu-Invariant adalah Sistem Kejadian Diskrit (SKD) (Braker (1993)) yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut: k 1 k B u k 1 y k C k untuk k =1,2,3,... dengan keadaan awal 0 0, j mn n m Vektor k Rma menyatakan keadaan (state), uk R l yk R adalah vektor output saat sistem waktu ke-k. ma i mn mn R ma, B R ma, C R ma. ma adalah vektor input dan Definisi Jika sebarang matrik bujur sangkar berordo n n, dan vektor v,,, T dan terdapat bilangan sehingga berlaku, maka disebut eigen vektor dari dan disebut nilai eigen dari. lgoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear : k 1 k dengan k = 0,1,2, lgoritma menentukan nilai eigen dan vektor eigen (Subiono, 2010, hal.31) sebagai berikut : i. Mulai dari sebarang vector awal 0 PM8-3

4 ii. Iterasi persamaan (1) sampai ada bilangan bulat p q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu p c q c iii. Hitung nilai eigen dengan, p q pq pqi q i iv. Hitung vektor eigen dengan v i PLIKSI LJBR MX-PLUS PD PENYUSUNN JDWL KEGITN BELJR MENGJR. Misalkkan ada tiga kelas yaitu kelas-, kelas B dan kelas C diajar oleh 3 guru yaitu guru1, guru2 dan guru3. Guru1 mengajar tiga kelas secara bergantian dengan waktu sebagai berikut: 2 jam 4 menit di kelas, pindah ke kelas B diselingi istirahat selama 30 menit kemudian pindah ke kelas C sehingga graph nya sebagai berikut : 1 k B 3 k k C Guru2 mengajar tiga kelas secara bergantian dengan waktu sebagai berikut: 2 jam 4 menit di kelas B, pindah ke kelas C diselingi istirahat selama 30 menit kemudian pindah ke kelas sehingga graph nya sebagai berikut : Guru3 mengajar tiga kelas secara bergantian dengan waktu sebagai berikut: 2 jam 4 menit di kelas C, pindah ke kelas diselingi istirahat selama 30 menit kemudian pindah ke kelas C sehingga graph nya sebagai berikut : Kepindahan guru1 dari kelas ke kelas B harus menunggu kepindahan guru1 dari kelas C ke kelas, kepindahan dari kelas B ke kelas C harus menunggu kepindahan dari kelas ke kelas B demikian selanjutnya sehingga persamaan model kepindahan guru1: 1 k 1 3k 2 k 1 1 k k k 3 4 k B C 7 k C 6 k k k k B Dengan cara yang sama maka kepindahan guru2 didapat persamaan model kepindahan guru 2 sebagai berikut : PM8-4

5 4 6 k 1 6 k k 1 4 k k k Selanjutnya persamaan model kepindahan guru3 : 7 k 1 9 k 8 9 k 1 7 k k k 8 Dari ketiga persamaan diatas dilakukan sinkronisasi dengan aturan bahwa seorang guru hanya dapat mengajar disatu kelas dan sebuah kelas hanya diajar oleh seorang guru. Selanjutnya dilakukan sinkronisasi sebagai berikut: 1. Kepindahan guru1 dari kelas ke kelas B harus menunggu kepindahan guru2 dari kelas B ke kelas C. 2. Kepindahan guru1 dari kelas B ke kelas C harus menunggu kepindahan guru3 dari kelas C ke kelas dan kepindahan guru2 dari C ke kelas. 3. Kepindahan guru2 dari kelas B ke kelas C harus menunggu kepindahan guru3 dari kelas C ke kelas. 4. Kepindahan guru2 dari kelas C ke kelas harus menunggu kepindahan guru1 dari kelas ke kelas B dan kepindahan guru3 dari ke kelas B.. Kepindahan guru3 dari kelas C ke kelas harus menunggu kepindahan guru1 dari kelas ke kelas C. 6. Kepindahan guru3 dari kelas ke kelas B harus menunggu kepindahan guru1 dari kelas B ke kelas C dan kepindahan guru2 dari B ke kelas C. Sehingga persamaan model sinkronisasi kepindahan guru adalah sebagai berikut : 1 k 1 ma 3k, 4 k k 1 ma k,120 k k ma 1 k, k 7 k k 1 k k 1 ma 6 k, k k 1 ma 4 k,120 8 k 1 k ma 4 k, 1 k 8 k k 1 k k 1 ma 9 k, k k 1 ma 7 k,120 2 k 4 k ma 7 k, 2 k 4 k k 1 k Dari persamaan diatas dapat dituliskan menjadi : PM8-

6 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k k k k k k k k 2 4 k Selanjutnya dicari eigen vector dan nilai eigen dengan maplus scilabs toolbook didapatkan : = -Inf -Inf.. -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf. -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf.. -Inf -Inf -Inf -Inf. -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Inf -Inf -Inf -Inf. -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf. -Inf -Inf -Inf -Inf. -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Inf -->[l,d,v]=maplusmaalgol() v = 1. d = l = Dari scilabs didapat nilai eigen yang artinya jadwal akan periodic setelah menit. Untuk mempermudah perhitungan eigenvector maka elemennya dadikan nol dengan mengurangkan semua elemennya dengan nilai elemen terkecilnya sehingga didapatkan d_new=d-min(d) d_new = Yang artinya bahwa jika perpindahan guru1 dari kelas ke kelas B pada pukul maka perpindahan guru1 dari kelas B ke kelas C adalah =10.30 dan perpindahan guru1 PM8-6

7 dari kelas C ke kelas adalah =09.00 demikian seterusnya untuk perpindahan guru2. Dan akhirnya didapat jadwal perpindahan guru sebagai berikut : Pukul Kelas- Kelas-B Kelas-C Istirahat DFTR PUSTK Braker,J.G.(1993), lgorithms and pplication in Timed Discrete Event Systems, PhD thesis,delft,university of Technology, The Netherlands. Goverde, R.M.P (200), Railway Timetable Stability nalysis using Ma-plus System Theory, Journal of Transportation, No: B 41 hal: Heidergott,B., Olsder G.J., dan Wousde, J.V.D.j (2006), Ma Plus at Work Modeling and nalysis of Synchronisotion, Princetion University Press, New Jersey. Subiono (2000), On classes of min-ma-plus systems and their applications, Delft University Press Netherlands. Subiono (2010), ljabar Ma-plus dan Terapannya, Jurusan Matematika ITS,Surabaya. Telehala (2010), Model Penjadwalan Kegiatan Pembelajaran Sekolah pada Kelas Moving dengan Menggunakan ljabar maplus, Jurusan Matematika ITS,Surabaya. PM8-7