BAYESIAN REVERSIBLE JUMP MARKOV CHAIN MONTE CARLO (RJMCMC) UNTUK PEMODELAN MIXTURE SURVIVAL 1. PENDAHULUAN

Transkripsi

1 BAYESIAN REVERSIBLE JUMP MARKOV CHAIN MONTE CARLO (RJMCMC) UNTUK PEMODELAN MIXTURE SURVIVAL 1 Najihatur Reji, 2 Nur Iriawan 1,2 Jurusan Statistia, FMIPA ITS, Surabaya 1 rezqi.najihatur@gmail.com, 2 nuririawan@gmail.com ABSTRAK. Analisis survival merupaan metode satistia yang tepat untu menganalisis data watu tempuh suatu obje sampai terjadinya suatu peristiwa atau ejadian tertentu terhadap obje tersebut yang telah ditetapan. Banyanya asus perceraian di Pengadilan Agama merupaan masalah yang cuup menghawatiran di masyaraat, pengamatan tentang lama suatu perniahan dapat dipertahanan merupaan fenomena survival ini. Pengamatan dilauan pada para piha yang mendaftaran gugatan perceraian di Pengadilan Agama Kabupaten Malang, sebagai unit penelitian. Maalah ini mendemonstrasian emampuan pemodelan mixture survival dalam suatu cox proportional hazard yang dipaduan dengan cara estimasi parameternya menggunaan metode reversible jump marov chain monte carlo (RJMCMC) pada data survival yang mempunyai pola multimodal. RJMCMC dapat membantu memodelan permasalahan mixture secara bersamaan dengan penentuan banyanya omponen penyusunan mixture yang optimal. Hasil pemodelan dan analisis menunjuan bahwa model survival perniahan di area Pengadilan Agama Kabupaten Malang terdiri atas12omponen mixture. Model mixture survival lama perniahan disusun oleh 12 omponen, yaitu: S t 0, 95S t 0, 017S t 0, 008S t 0, 0055S t 0, 0035S t 0, 0035S t mix , 0025S t 0, 0025S t 0, 002S t 0, 002S t 0, 0015S t 0, 0015S t Kata Kunci: Analisis Survival; Cox Proportional Hazard; Mixture Survival; Reversible Jump Marov Chain Monte Carlo 1. PENDAHULUAN Analisis survival adalah analisis mengenai data yang diperoleh dari catatan watu yang dicapai suatu obje sampai terjadinya peristiwa tertentu yang telah ditetapan. Metode regresi survival merupaan metode regresi yang digunaan untu melihat fator-fator yang menyebaban terjadinya suatu peristiwa dengan variabel responnya adalah watu etahanan hidup. Regresi cox proportional hazard memunginan untu interpretasi pengaruh dari masing-masing variabel preditor [ i ]. Analisis survival umumnya digunaan dalam bidang medis, namun analisis ini juga coco digunaan dalam bidang lainnya seperti pada bidang teni, riminologi, sosiologi, dan pada bidang-bidang lainnya yang memilii resio, dalam penelitian ini penulis tertari untu mengamati asus sosiologi yaitu lama perniahan dengan uuran para piha yang telah melauan pendaftaran perceraian. Analisis survivalemudian diembangan dengan menggabungan onsep mixture arena data yang diperoleh tida selamanya dapat direpresentasian terhadap satu distribusi saja, namun dapat pula diduga terdiri dari beberapa omponen distribusi penyusun. Penelitian mengenai mixture survival telah dilauan oleh Ando, et al. [ ii ] tentang model ernel mixture survival pada beberapa jenis penyait aner, Muthen [ iii ] tentang mixture survival untu variabel watu disrit, Hariyanto [ iv ] tentang asus lama mencari erja di pulau Jawa tahun 2007 dengan model mixture survival, dan Hasyim [ v ] tentang model mixture survival spasial dengan fraility berdistribusi conditional autoregressive (CAR) pada asus ejadian demam berdarah (DBD) di Kabupaten Pameasan. Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

2 Pada penelitian-penelitian sebelumnya, proses inferensi bayesian menggunaan algoritma Marov Chain Monte Carlo (MCMC), dimana metode ini terbatas pada asus banyanya omponen penyusun mixture dietahui. Hal ini aan menjadi tida berlau pada ondisi banyanya omponen penyusun mixture tida dietahui. Proses inferensi bayesian pada ondisi vetor parameter model tida tetap diembangan oleh Green [ vi ] yang emudian disebut Reversible Jump Marov Chain Monte Carlo (RJMCMC). Richardson dan Green [ vii ] memanfaatan algoritma ini untu pemodelan mixture dengan banya omponen penyusun mixture yang tida dietahui. Penelitian mengenai analisis survival data lama perniahan belum pernah ada yang menggabungannya dengan onsep mixture, dimana penggunaan model mixture distribution dinilai lebih bai arena memperhatian sifat data [ viii ], terlebih lagi penelitian yang telah dilauan terbatas pada dietahui banyanya omponen penyusun mixture. Kenyataannya banya persoalan dimana banyanya omponen penyusun mixture sangat sulit ditentuan atau dengan ata lain banyanya omponen penyusun mixture tida dietahui. Salah satu persoalan yang diterapan dalam penelitian ini adalah bagaimana memodelan data lama perniahan dengan pemodelan mixture survival dalam suatu cox proportional hazard yang dipaduan dengan cara estimasi parameter menggunaan metode RJMCMC pada data survival yang mempunyai pola multimodal. Di Indonesia, Kabupaten Malang menempati posisi edua untu tingginya asus perceraian dan menempati posisi pertama di Provinsi Jawa Timur. Tingginya anga perceraian terlihat dalam urun watu Januari hingga November 2014 tercatat perara perceraian yang terdiri dari cerai gugat dan cerai tala. Berbagai alasan yang mendasari para piha untu emudian mengajuan perceraian e PA Kabupaten Malang, yaitu dengan alasan moral (risis ahla dan cemburu), meninggalan ewajiban (eonomi dan tida adanya tanggung jawab), penganiayaan, cacat bilogis atau gila, dan terus menerus berselisih. Pada ahirnya, penelitian ini diharapan dapat menghasilan model terbai sehingga dapat dilauan langah pencegahan terjadinya asus perceraian setelah adanya sebuah perniahan dengan mengamati fator-fator yang berpengaruh pada lama perniahan di Pengadilan Agama Kabupaten Malang. 2. METODE PENELITIAN 2.1 Analisis Survival Dalam analisis survival, terdapat dua fungsi yang digunaan yaitu fungsi survival dan fungsi hazard. Fungsi survivals(t) didefinisian sebagai probabilitas seorang individu bertahan lebih lama dari watu t [ ix ]. S t P T t 1 P T t 1 F t (1) selanjutnya, Kelinbaum [ x ] menyataan fungsi hazardsebagai laju egagalan (failure) sesaat dengan asumsi individu telah bertahan sampai watu e-t yang didefinisian pada persamaan beriut: h t dt P t T t t T t (2) Kemudian diperoleh hubungan antara fungsi survival dan fungsi hazard sebagai beriut: Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

3 h t f t (3) S t Jia resio gagal (failure) pada watu tertentu bergantung pada nilai x 1, x 2,..., x p dari p variabel preditor X 1, X 2,..., X p maa nilai variabel tersebut diasumsian telah tercatat sebagai time origin. Kumpulan nilai variabel preditor dalam model hazard proportional diwaili oleh vetor x dengan x = (x 1, x 2,..., x p ) T. Misalan h 0 (t) sebagai fungsi hazard untu setiap obye dengan nilai dari semua variabel preditor penyusun vetorx adalah nol maa fungsi h 0 (t) diataan sebagai fungsi baseline hazard [ xi ]. Model hazard proportional sebagai beriut: T h t h0 t exp β x (4) 2.2 Reversible Jump Marov Chain Monte Carlo (RJMCMC) Penggunaan algoritma MCMC pada proses inferensi bayesian terbatas pada asus dimana dimensi vetor parameter model bersifat tetap. Penggunaan metode RJMCMC dilauan pada pemodelan mixture dengan banya omponen yang tida dietahui. Keuntungan dari penggunaan metode ini adalah dapat memodelan suatu mixture secara bersama-sama dengan banyanya omponen penyusun mixture. Algoritma RJMCMC dapat dilauan melalui enam langah beriut: Algoritma Updatew 2. Update dimana = (, ) 3. Update z 4. Update 5. Split/merge omponen-omponen mixture 6. Birth/death omponen-omponen mixture Proses pada langah 1 sampai 4 tida aan mengubah dimensi vetor parameter model yang terdiri dari (,,, w, dan z), sedangan langah 5 dan 6 aan mengubah banyanya omponen penyusun mixture satu per satu. 2.3 Mixture Survival Bernando dan Giron [ xii ] menggambaran suatu model mixture sebagai sebuah model peluang yang digambaran dengan densitas sebagai beriut: p x, j p x, j 0 (5) j1 dimana,,...,,,,..., dan adalah banyanya omponen dalam mixture. Model mixture regresi survival ini didasaran pada persamaan (5) dengan fungsi densitasnya disusun dari distribusi data survival-nya. Persamaan dari model mixture survival adalah: f t, f t f t f t (6) Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

4 f t adalah fungsi densitas untu data survival omponen e-, adalah proporsi omponen distribusi mixture e-, dan adalah omponen e-1, 2,...,. Sehingga fungsi survival distribusi mixture dengan -omponen adalah: S t S ( t) S ( t)... S ( t) (7) dengan S dengan t adalah fungsi survival dari omponen mixture e-. dan model proportional hazard untu mixture survival adalah: h t h t h t h t (8) h i i i i dengan i t adalah fungsi hazard dari omponen mixture e Langah-Langah Analisis Data yang digunaan pada penelitian ini adalah data seunder yang diperoleh dari register perara percerain yang terjadi di Pengadilan Agama Kabupaten Malang pada bulan Januari November 2014 sebanya asus perceraian. Failure event dalam analisis survival lama perniahan pada penelitian ini adalah ejadian putusnya suatu hubungan perniahan (perceraian). Sensor yang digunaan dalam penelitian ini adalah sensor anan (right censor) yang berarti bahwa jia sepasang suami istri sampai dengan masa pendataan selesai belum mengalami failure event maa watunya dibatasi hanya sampai dengan berahirnya masa pendataan. Sensor juga diterapan jia sepasang suami istri mencabut asus perceraiannya (ruju) atau asus perceraian tersebut dinyataan di tola oleh PA Kabupaten Malang maa watunya dibatasi hanya sampai dengan berahirnya asus tersebut. Variabel yang digunaan dalam penelitian ini yaitu variabel respon yang merupaan lama perniahan (dalam tahun), sedangan variabel preditor meliputi jenis cerai, umur penggugat, pendidian penggugat, peerjaan penggugat, umur tergugat, pendidian tergugat, peerjaan tergugat, jumlah ana, dan alasan perceraian. Langah-langah analisis dalam penelitian ini adalah sebagai beriut: 1. Identifiasi awal data lama perniahan berdistribusi mixture. 1) Membuat histogram. 2) Melauan uji googness of fit. 2. Menentuan banyanya omponen penyusun mixture. Tida dietahuinya banya omponen penyusun mixture, maa aan dibuat algoritma RJMCMC. Algoritma ini digunaan untu mengestimasi banya omponen model mixture. 3. Pembentuan model mixture dengan banya omponen tida dietahui. 1) Berdasaran hasil estimasi parameter regresi cox proportional hazard emudian digunaan sebagai nilai initial untu menyusun mixture regresi survival. 2) Membentu model mixture survival. 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Dalam penelitian ini untu mengidentifiasi distribusi mixture, tahapan awal yang dilauan adalah dengan melihat distribusi data lama perniahan untu setiap pasangan yang mendaftaran perceraian di PA Kabupaten Malang dengan menggunaan metode histogram dan melauan pengujian Anderson-Darling. Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

5 Gambar 1. Histogram Data Lama Perniahan Histogram pada Gambar 1 menunjuan bahwa data lama perniahan tidalah simetris dan patut diduga bahwa data watu survival tidalah berasal dari satu distribusi (uni-modal) melainan disusun oleh beberapa distribusi (multimodal). Hal ini dipertegas dengan uji Anderson-Darling. Tabel 1. Uji Distribusi Watu Survival Distribusi Statisti uji ( A ) Nilai Kritis (a n,1-a ) Keputusan Lognormal Weibull Weibul 3P Normal Esponensial Loglogisti 88,308 20,898 17, ,630 87, ,120 2 n Tola H 0 Tola H 0 Tola H 0 Tola H 0 Tola H 0 Tola H 0 Tabel 1 menunjuan uji dari beberapa distribusi yang umumnya digunaan dalam analisis survival, namun berdasaran uji Anderson-Darling tida ada yang sesuai dengan distribusi-distribusi dugaan tersebut arena nilai statisti uji Anderson-Darling> nilai ritis pada α = 0,05. Hasil uji ini menegasan esimpulan yang didapatan dari visual histogram pada Gambar 1. Dengan menggunaan algoritma RJMCMC, emudian aan ditentuan banyanya omponen penyusun mixture untu data lama perniahan dengan listing program sebagai beriut: Program 1: model { for (i in 1:n) { Z[i] ~ dlnorm(psi[i], tau)i(t.cen[i],) } psi[1:n] <- jump.lin.pred(x[1:n, 1:Q],, beta.prec) id<- jump.model.id(psi[1:n]) beta.prec <- tau / lambda tau ~ dgamma(a, b) ~ dbin(0.5, Q) } list(tau = 0.01) Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

6 list( n = 6945,Q = 20, lambda = 1000, a = 0.001, b = 0.001, Z = c(3,3,4,4,4,4,4,4,4,..., 562,566,635), t.cen=c(1,1,1,..., 0,1,0), X = structure(.data = c( 0,26,1,0,0,0,0,0,18,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,26,1,0,0,0,0,0,17,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,31,0,1,0,0,1,0,27,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,... 0,24,0,0,0,0,0,0,26,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0, 1,18,0,1,0,0,1,0,24,1,0,0,0,0,1,5,0,1,0,0),.Dim = c(6945,20)) ) Dengan sampling sebanya 2000 ali, RJMCMC membentu 12 omponen mixture log normal dengan nilai proporsi masing-masing mixture seperti yang ditunjuan pada Tabel 2. Tabel 2. Proporsi Tiap Komponen Mixture Komponen Mixture e- Posterior Prob. Cumulative Prob. 1 0,9500 0, ,0170 0, ,0085 0, ,0055 0, ,0035 0, ,0035 0, ,0025 0, ,0025 0, ,0020 0, ,0020 0, ,0015 0, , Nilai posterior prob.pada Tabel 2menunjuan proporsi tiap omponen mixture.selanjutnya dibentu model mixture regresi survival dengan metode regresi cox proportional hazard yang didasaran pada pendeatan bayesian. Dalam penelitian ini lama perniahan dianggap mengiuti distribusi log normal dengan parameter (µ,) adalah µ parameter loasi dan adalah parameter scale. Distribusi prior untu parameter scale menggunaan distribusi seawan (conjugate) yaitu distribusi Gamma. Selanjutnya, distribusi prior untu proporsi mixture menggunaan distribusi Dirichlet. Berdasaran persamaan(5), dijabaran menjadi parameter distribusi log normal (µ,), dengan teori bayes maa model mixture dengan penjabaran teori bayes distribusi posterior bersyarat penuh aan menjadi proporsional terhadap fungsi lielihood diali dengan prior. Dalam bentu persamaan, dapat ditulisan sebagai beriut: p,, x l x,, p p p Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

7 dengan n 1 log x 2 i l x,, exp 2 i1 x 2 2 i 1 p e adalah distribusi prior bagi yaitu Gamma (α,β) p i 1 xi i i1 i1 i1 i adalah distribusi prior bagi λ yaitu Dirichlet (α) Model mixture survival dengan metode regresi cox proportional hazard dapat digambaran sebagai persamaan beriut: ) ) ) p x, exp x exp x... exp x i i i i i i Dalam regresi cox proportional hazard, yang disusun dalam model adalah exp(βx) arena pada enyataannya baseline hazard h t tida perlu dietahui dan dimasuan dalam 0 model jia data berasal dari populasi yang sama (Collet, 2003). Selanjutnya, distribusi prior untu nilai beta pada masing-masing variabel preditor menggunaan prior informatif yang mengiuti distribusi normal. Prior beta didasaran pada hasil pengolahan regresi cox proportional hazard. Model mixture survival lama perniahan disusun oleh 12 omponen, yaitu: Smix t 0, 95S1 t 0, 017S2 t 0, 008S3 t 0, 0055S4 t 0, 0035S5 t 0, 0035S6 t da 0, 0025S7 t 0, 0025S8 t 0, 002S9 t 0, 002S10 t 0, 0015S11 t 0, 0015S12 t n model proportional hazard untu mixture survival adalah: h t 0,95 h t 0, 017 h t 0, 008 h t 0, 0055 h t 0, 0035 h t hi 6 thi 7 thi 8 thi 9 thi10 t hi11 t hi 12 t i i i i i i 0, , , , 002 0, 002 0, , SIMPULAN Identifiasi data memilii indiasi multimodal dan berdistribusi mixturelog normal yang ditunjuan oleh plot histogram dan uji Anderson-Darling yang menunjuan bahwa data tida dapat dideati dengan satu distribusi univariat. Tida dietahuinya banya omponen mixture yang membentu data, selanjutnya dengan menggunaan algoritma RJMCMC didapatan sebanya 12 omponen penyusun mixture. Model mixture survival lama perniahan disusun oleh 12 omponen, yaitu: Smix t 0, 95S1 t 0, 017S2 t 0, 008S3 t 0, 0055S4 t 0, 0035S5 t 0, 0035S6 t da 0, 0025S7 t 0, 0025S8 t 0, 002S9 t 0, 002S10 t 0, 0015S11 t 0, 0015S12 t n model proportional hazard untu mixture survival adalah: Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

8 hi 6 thi 7 thi 8 thi 9 thi10 t hi11 t hi 12 t h t 0,95 h t 0, 017 h t 0, 008 h t 0, 0055 h t 0, 0035 h t i i i i i i 0, , , , 002 0, 002 0, , 0015 UCAPAN TERIMAKASIH Ucapan terima asih disampaian epada Prof. Drs. Nur Iriawan, M.Iomp., Ph.D. yang telah bersedia meluangan watunya membimbing penulis dalam penulisan maalah ini. Terimaasih pula epada Pengadilan Agama Kabupaten Malang, Jawa Timur yang telah bersedia memberian data guna elancaran penyelesaian maalah ini dan juga tida terlupa epada para piha yang telah membantu penulis dalam menyelesaian maalah ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Lee,E. T., & Wang, J. W Statistical Methods for Survival Data Analysis. 3rd ed. New Yor: John Wiley and Sons, Inc. [2] Ando, T., Imoto, S. & Miyano, S Kernel Survival Models for Identifying Cancer Subtypes, Predicting Patient s Cancer Types and Survival Probabilities. Genome Informatics, 15(2), pp [3] Muthen, B. & Masyn, K Discrete-Time Survival Mixture Analysis. Journal of Educational and Behavioral Statistics, 5(2), pp [4] Hariyanto, S Model Mixture Survival pada Kasus Lama Kerja di Pulau Jawa Tahun Tesis (Tida Dipubliasian). Surabaya: Institut Tenologi Sepuluh Nopember. [5] Hasyim, M Model Mixture Survival Spasial dengan Frailty Berdistribusi Conditionally Autoregressive (CAR) pada Kasus Kejadian Demam Berdarah Dengue (DBD) di Kabupaten Pameasan. Tesis (Tida Dipubliasian). Surabaya: Institut Tenologi Sepuluh Nopember. [6] Green, P. J Reversible Jump Marov Chain Monte Carlo Computation and Bayesian Model Determination. Biometria, 82(4), pp [7] Richardson, S. & Green, P. J On Bayesian Analysis of Mixture with an Unnown Number of Components. Journal of the Royal Statistical Society, 59(4), pp [8] Iriawan, N Studi tentang Bayesian Mixture Normal dengan Menggunaan Metode MCMC. Surabaya: Lemlit ITS. [9] Le, C. T Applied Survival Analysis. New Yor: John Wiley and Sons. Inc. [10] Kleinbaum, D. G. & Klein, M Survival Analysis: A Self Learning. 3rd ed. New Yor: Springer. Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS

9 [11] Collet, D Modelling Survival Data in Medical Research. London: Chapman and Hall. [12] Bernando, J. M. & Giron, F. J A Bayesian Analysis of Simple Mixture Problem. Bayesian Statistics, Volume 3, pp i Lee & Wang ii Ando, et al iii MUthen iv Hariyanto v Hasyim vi Green,1995 vii Richardson & green viii Iriawan, 2001 ix Le, 1997 x Kleinbaum xi Collet xii Bernando Prosiding Seminar Nasional Matematia dan Pendidian Matematia UMS