BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Transkripsi

1 3 BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 4.. Sebaran asimtotik dari,, Teorema 4. ( Normalitas Asimtotik untuk,, ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K), dan (K3), serta dan ln dan ln, untuk, serta λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s maka ln,, untuk. Bukti : Misalkan,, dan d, K ( x) dx ln ln 4. 4.,,,,,,. 4.3 Ruas kiri pernyataan (4.) dapat di tulis menjadi ln,,,, ln,,. 4.4 Maka, untuk membuktikan pernyataan (4.) cukup dibuktikan ln,,,, P 4.5 dan ln,, d, K ( x) dx 4.6

2 3 untuk. Pernyataan (4.5) akan dibuktikan pada Lema 4. dan pernyataan (4.6) dibuktikan pada Lema 4.. Lema 4. Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K), dan (K3), serta dan ln untuk, serta λ memiliki turunan pertama berhingga pada s maka maka ln,,,, untuk n. Bukti: Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.7) diperoleh,, P 4.7 ln ln ln ln. 4.8 Berdasarkan persamaan (4.) dan (4.3) diperoleh,, ln ln ln ln. 4.9 Persamaan (4.8) dan (4.9) disubtitusi ke ruas kiri (4.7) sehingga ruas kiri (4.7) dapat ditulis menjadi

3 33 ln a. 4. Maka, untuk membuktikan persamaan (4.7) cukup dibuktikan ln a P 4. jika. Ruas kiri pernyataan (4.) dapat ditulis sebagai ln ln Maka untuk membuktikan pernyataan (4.) cukup dibuktikan ln P 4 dan ln (4.3) jika. Untuk membuktikan persamaan (4.) harus dibuktikan untuk setiap berlaku ln 4.4 jika. Pembuktian pernyataan (4.4) menggunakan ketaksamaan Chebyshev dan sifat-sifat statistika. Peluang pada ruas kiri pernyataan (4.4) dapat ditulis sebagai berikut 3 ln 3 ln ln ln

4 untuk. Dengan didapat persamaan (4.5) maka pernyataan (4.) terbukti. Untuk membuktikan pernyataan (4.3) perlu diingat sifat-sifat statistika penduga komponen tren linear pada persamaan (3.9), yaitu E, jika. Maka ruas kiri pernyataan 4.3 dapat ditulis menjadi ln ln ln n untuk. Dengan demikian maka pernyataan (4.3) terbukti. Jadi Lema 4. terbukti. Lema 4. Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K), dan (K3), serta dan ln ln, untuk, serta λ memiliki turunan ketiga berhingga di s maka ln,, d, untuk n. Bukti Ruas kiri pernyataan (4.6) dapat ditulis menjadi ln,,,, K ( x) dx. 4.6 ln,,. 4.7 Maka, untuk membuktikan pernyataan (4.6) cukup dibuktikan

5 35 ln,,,, dan d, K ( x) dx (4.8) ln,, 4.9 jika. Kita perhatikan ruas kiri pernyataan (4.8) yang dapat di tulis menjadi n ln h τ 3 n Var( λ' c, n, K λ' c ( s)) Maka untuk membuktikan (4.8), cukup diperiksa λ' c dan, n, K ( s) E λ' c, n, K, ( s). (4.) Var λ' c, n, K ( s), n, K ( s) E λ' c, n, K, ( s) d Normal(,), (4.) Var λ' c, n, K ( s) n 3 ln hn Var( λ' c, n, τ K ( s)) aτ K ( x) dx) (4.) untuk. Pernyataan (4.) dapat dibuktikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) yang langkahnya diawali dari penggunaan persamaan (4.) untuk menentukan peubah acak. Karena, maka persamaan 4. dapat dituliskan menjadi,, ln ln ln

6 36 ln ln 4.3,, ln ln dan,, ln ln. Dari persamaan (4.3) maka diperoleh λ' c, n, K ( s) ln Misalkan ln. ln Sehingga nilai harapan dari peubah acak adalah ln

7 37 ln ln Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi ln ln. Karena dan maka persamaan di atas dapat diubah menjadi ln

8 38. Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi ln a untuk. Jadi terhingga. Nilai ragam dari peubah acak adalah 4.4 ln. 4.5 Karena suku ketiga ruas kanan (4.5) adalah deterministik serta suku pertamanya dan suku keduanya adalah bebas, maka Var Var. Dengan mengganti variable dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi

9 39. Karena dan sifat bahwa maka persamaan di atas dapat diubah menjadi. 4.6 Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi x x, 4.7 untuk. Hal ini karena asumsi (K) dan (K3),, serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimplikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar s. Misalkan B 4 n n τ = Var( X k= k ) maka diperoleh

10 4 x untuk. Karena x dan k ln untuk, maka persamaan (3.8) dapat ditulis menjadi untuk. Selanjutnya dibuktikan 4 l x O x E E untuk. Ruas kiri persamaan (4.8) dapat ditulis sebagai Perhatikan bahwa suku pertama dan suku kedua pada persamaan (4.9) memiliki pola yang sama. Maka untuk membuktikan persamaan (4.8), cukup dibuktikan untuk. Ruas kiri persamaan (4.3) 4.3

11 4 4.3 Karena 3, bukti lihat lema A. pada lampiran sehingga persamaan (4.3) dapat ditulis sebagai 3 3, 3, Dengan menggantikan variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.) maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi, 3 4, 4.3 Karena dan maka persamaan (4.3) dapat diubah menjadi, 4 4,

12 4 3, 3 4 4,, =O(). untuk. Hal ini karena asumsi (K) dan (K3),,serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimplikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar,. dan untuk. 4 ln x sehingga Dari hasil persamaan-persamaan di atas maka teorema limit pusat telah terpenuhi dan kemudian diperoleh kesimpulan bahwa merupakan barisan peubah acak bebas yang nilai harapan dan nilai ragamnya terhingga serta tidak nol untuk sembarang nilai k. Kemudian penduga,. dapat dinyatakan sebagai jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan dengan suatu konstanta yaitu λ' c, n, K ( s) ln yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan,. dan ragam Var,. sehingga demikian terbukti persamaan (4.). Perhatikan bahwa Var,.,.. (Bukti: lihat Lampiran pada Lema A.6. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3.4 tinggal dibuktikan persamaan (4.) yang ruas kiri persamaannya dapat dinyatakan sebagai

13 43 n 3 ln hn Var( λ' c, n, τ n ln τ aτ hn 3 K ( s)) 6 4 Karena K merupakan kernel umum maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi aτ aτ. (4.33) Dengan menggabungkan hasil akhir dari penerapan limit pusat dan persamaan (4.33) maka terbukti persamaan (4.). Selanjutnya adalah membuktikan persamaan (4.9) yaitu ruas kiri akan konvergen ke ruas kanan. Dimulai dari ruas kiri, yaitu. ln,, Dengan menggunakan Teorema 3.3, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi + ln () () () () ( ) λ ' "' + "' + ' ( ) c s hn λc s hn λc s x K x dx o hn λ c s 6 ln λ"' 6 c ( s) + λc"'( s) x K( x) dx + o( h Karena ln maka persamaan di atas menjadi n ) ln,, o

14 44 untuk, sehingga dapat disimpulkan bahwa (4.9) terbukti. Dengan telah dibuktikannya persamaan (4.8) dan (4.9) maka Lema 4. terbukti. " 4.. Sebaran asimtotik dari λ c, n, K Teorema 4. ( Normalitas Asimtotik untuk λ ) " c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (3.) dan terintegralkan lokal. Misalkan kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K), (K), dan (K3), serta ln dan untuk, serta λ memiliki turunan keempat berhingga di s maka ln ",, " d, 3 8 Bukti : Ruas kiri persamaan (4.34) yang dapat ditulis menjadi 4.34 ln ",, ",, ln ",, ". Maka, untuk membuktikan persamaan (4.34) cukup dibuktikan ln ",, ",, d, 3 8 dan (4.35) (4.36) ln ",, ", 4.37 jika. Untuk membuktikan pernyataan (4.36), ruas kiri persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi ln ",, ",, ",, ",, Maka untuk membuktikan (4.36) cukup dibuktikan

15 45 ",, ",, dan ",, d, 4.39 ln ",, jika. Pernyataan (4.39) dapat dibuktikan dengan menerapkan Teorema Limit Pusat (Central Limit Teorem) untuk menentukan peubah acak. Berdasarkan persamaan (3.6) dan (3.8) diperoleh ",, 4 ln 4 ln ln 4 ln 4 ln 4 ln ",, 4 ln

16 46 Misalkan Sehingga nilai harapan dari peubah acak adalah E E Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi Karena dan sifat bahwa maka persamaan di atas dapat diubah menjadi

17 47. Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi O x untuk. Jadi terhingga. Nilai ragam dari peubah acak adalah x 4.4. (4.4) Karena suku pertama, kedua, dan ketiga persamaan (4.4) adalah bebas maka

18 48 Karena N adalah proses Poisson, maka dapat disimpulkan bahwa nilai ragamnya akan sama dengan nilai harapannya, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi 4 4 Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 4 4

19 Karena dan sifat bahwa maka persamaan di atas dapat diubah menjadi Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.), maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi x x x x. untuk. Hal ini karena asumsi (K) dan (K3),,serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimlikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar s. Misalkan maka diperoleh 6 x

20 5 6 x 4.43 untuk. Karena dan Maka persamaan (4.43) dapat ditulis menjadi 6 ln x 36 ln x untuk. Selanjutnya dibuktikan l E E Ruas kiri persamaan (4.44) dapat ditulis sebagai 4.44

21 Perhatikan bahwa suku pertama dan suku kedua pada persamaan (4.45) memiliki pola yang sama. Maka untuk membuktikan persamaan (4.44), cukup dibuktikan untuk. Ruas kiri persamaan (4.46) Karena 3, bukti lihat lema A. pada lampiran sehingga persamaan (4.47) dapat ditulis sebagai 3 3, 3, Dengan menggantikan variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.) maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi,

22 5 3, Karena dan maka persamaan (4.48) dapat diubah menjadi, 4 4, 3, 3,, =O() untuk. Hal ini karena asumsi (K) dan (K3),,serta memiliki turunan pertama berhingga di s yang berimlikasi kontinu dan memiliki nilai berhingga di sekitar,. dan untuk. 36 ln x l sehingga Dari hasil persamaan-persamaan di atas maka teorema limit pusat telah terpenuhi dan kemudian diperoleh kesimpulan bahwa merupakan barisan peubah acak bebas yang nilai harapan dan nilai ragamnya terhingga serta tidak nol untuk sembarang nilai k. Kemudian penduga ",, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan dengan suatu konstanta yaitu

23 53 ",, 4 ln yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan ",, dan ragam Var",, sehingga demikian terbukti persamaan (4.39). Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3.4 tinggal dibuktikan persamaan (4.4) yang ruas kiri persamaannya dapat dinyatakan sebagai ln ",, ln aτ 8 untuk. Karena K merupakan kernel umum maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi 3aτ 8 3aτ 8. (4.49) Dengan menggabungkan hasil akhir dari penerapan limit pusat dan persamaan (4.49) maka persamaan (4.36) terbukti. Selanjutnya adalah membuktikan persamaan (4.37) yaitu ruas kiri akan konvergen ke ruas kanan. Dimulai dari ruas kiri, yaitu ln ",, " Dengan menggunakan Teorema 3.5, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi

24 54 () ( ) () ( ) () () ( ) = ) ( " 3 " ln 4, 4, 5 s h o dx x K x h s h s s n h c n n n c n n c c n λ λ λ λ τ ln 3. untuk. Karena ln maka persamaan di atas akan menjadi ln ",, " untuk, sehingga dapat disimpulkan bahwa ln ",, " untuk, dengan demikian makateorema 4. terbukti.