MODEL PERTUMBUHAN POPULASI SATU SPESIES DENGAN TUNDAAN WAKTU DISKRIT

Transkripsi

1 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies MODEL PERTUMBUHA POPULASI SATU SPESIES DEGA TUDAA WAKTU DISKRIT Ono Rohaeni Staf Pengaja Poga Studi Mateatika FMIPA Univesitas Isla Bandung e-ail: Abstak. Mode.l petubuhan populasi adalah odel ateatika ang enggabakan petubuhan populasi. Salah satu odel petubuhan populasi adalah odel petubuhan logistik. Dengan enggunakan asusi kaidah logistik bahwa pada asa tetentu julah populasi akan endekati titik kesetibangan (equilibiu). Untuk enganalisa asing-asing titik kesetibangan, dilakukan poses lineaisasi. Poses lineaisasi dilakukan dipesekitaan titik kesetibangan dengan enggunakan posedu petubasi. Pada poses petubasi ini, paaete petubasi ang digunakan sangat kecil, aitu 0, sehingga akan engakibatkan sangat dekat dengan titik kesetibangan. Pada titik kesetibangan ini julah kelahian dan keatian dianggap saa, sehingga gafikna akan endekati konstan (zeo gowth). Kata kunci: odel petubuhan populasi, titik kesetibangan, waktu diskit.. Pendahuluan Model petubuhan populasi adalah odel ateatika ang enggabakan petubuhan populasi. Menuut Yulianti (005), ada bebeapa odel petubuhan populasi diantaana adalah: a) Model diskit. Model ang enggabakan pola petubuhan populasi dengan eandang inteval waktu pengaatan sebagai vaiabel ang disktit. b) Model eksponensial. Model ang enggabakan pola petubuhan populasi dengan eandang inteval waktu pengaatan sebagai vaiabel ang kontinu.. c) Model petubuhan populasi dengan distibusi uu. Model ini ebagi populasi dala kelopok uu dengan eandang setiap kelopok uu epunai kontibusi khusus tehadap odel populasi. d) Model logistik. Model petubuhan populasi ang epetibangkan ketebatasan lingkungan, sehingga laju petubuhan populasi tegantung pada keapatan populasina. Seiing dengan pebahasan tesebut, dala tulisan ini akan dibahas engenai petubuhan populasi odel logistik dengan tundaan waktu diskit. Waktu tunda ini enebabkan penuunan populasi, tetapi untuk selanjutna tejadi peningkatan, sehingga tejadi osilasi pada petubuhan populasi. Untuk enggabakan petubuhan suatu populasi, pada tahun 830 Vehulst epekenalkan suatu odel petubuhan logistik. Pada odel petubuhan logistik ini dihasilkan solusi ang bebentuk fungsi ang onoton naik atau onoton tuun, diana fungsi ini ebeikan penafsian bahwa julah populasi akan teus betabah atau akan teus bekuang. Tetapi dala kenataanna, sepanjang waktu petubuhan keadaan lingkungan dapat beubah. Keadaan lingkungan ang beubah akan engakibatkan petubuhan engalai penundaan. Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07

2 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies. Model Petubuhan Populasi Populasi adalah bentuk kupulan oganise ang paling sedehana pada suatu kounitas, kaena hana tedii dai satu spesies saja (Yulianti,005). Misalna, diasusikan bahwa dala suatu ekosiste tedapat satu spesies dengan pesediaan akanan cukup. Jika enatakan banakna populasi pada saat t,dengan t 0, aka Habean (997) endefinisikan bahwa laju petubuhan populasi pada inteval waktu ( sebagai R( t t Jika besa populasi didekati dengan suatu fungsi kontinu tehadap waktu t ang diasusikan difeensiabel, aka laju petubuhan sesaat dinatakan dengan, R( li R( li t0 t0 t t Bedasakan pesaaan ini, aka ang diaksud laju petubuhan populasi adalah laju petubuhan sesaat (R() dikalikan dengan banakna populasi (), sehingga d d R( (.a) Dala odel ini laju petubuhan (R() dianggap begantung kepada populasi saat itu, sehingga R( eupakan fungsi dai. Jadi, pesaaan () dapat dinatakan sebagai d R( ) (.b) Hubungan antaa R( dan enuut Vehust (830), Peal dan Reed (90) adalah bahwa laju petubuhan dipengauhi oleh:angka petubuhan tanpa pengauh lingkungan, ang notasina dilabangkan dengan bilangan positif a, dan efek naikna angka kepadatan populasi, dilabangkan dengan bilangan positif b. Sehingga pesaaan () enjadi 3. Model Tundaan Waktu Diskit d ( a b ) () Peubahan populasi di dala suatu ekosiste tidak selalu endekati aupun enjauhi kapasitas batas. Hal ini disebabkan individu tidak dapat elahikan teus eneus sepanjang hidupna. Ada bebeapa individu ang belu apu bekebang biak kaena eang belu dewasa, ada juga individu ang tidak apu bekebang biak kaena andul. Gejala ini eupakan suatu fenoena di ana suatu individu eelukan tundaan waktu (tie dela) untuk bekebang biak. Menuut Widodo (007), pada saat populasi elebihi kapasitas batas, angka keatian cendeung lebih besa dai pada angka kelahian, sehingga tejadilah penuunan populasi. Deikian dastisna penuunan ini, aka enebabkan populasi tuun sapai di bawah kapasitas batas. Bedasakan pesaaan (), aitu Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07

3 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies d ( a b ) laju petubuhan populasi begantung kepada populasi saat itu, tetapi pada kenataanna (Punoo, 000) engungkapkan bahwa sepanjang waktu petubuhan keadaan lingkungan dapat beubah. Bebeapa poses biologi ang elibatkan stadiu petubuhan, keadaan lingkungan ang beubah, akan engakibatkan petubuhan akan engalai penundaan. Waktu tunda ini enebabkan penuunan populasi, tetapi keudian tejadi peningkatan. Dengan deikian, aka akan tejadi osilasi pada petubuhan populasi.. Model laju petubuhan populasi sepeti ini, disibolkan oleh t td ), dengan t d adalah waktu tundaan (tie dela). Kebegantungan ini ungkin beujud dai bebeapa julah individu dewasa, julah individu ang andul, kondisi lingkungan pada saat itu, dan lain-lain. Fenoena ini (Habeen, 977) diodelkan dala pesaaan d R t t d ) (3. a) Pesaaan ini dinaakan sebagai pesaaan difeensial tundaan (diffeential equation of dela). Bedasakan pesaaan (), pesaaan logistik odel petubuhan populasi dengan tundaan waktu (t d) dinatakan sebagai d a b t t d ) (3.b) Secaa analitik odel petubuhan logistik dengan tundaan waktu sangat sulit untuk diselesaikan. Oleh kaena itu, untuk epeoleh solusi nueik dai odel petubuhan logistik dengan tundaan waktu ini, penelesaianna akan digunakan foulasi waktu disktit. Secaa uu odel petubuhan populasi satu spesies tanpa tundaan waktu diskit oleh Habeen (997) didefinisikan sebagai atau t R( ) t ( t R t () dengan t adalah inteval waktu. Selanjutna, odel petubuhan populasi logistik tanpa tundaan waktu diskit dengan R konstan dinatakan sebagai: t R0 t di ana laju petubuhan poposional dengan banakna populasi.sebagai contoh bahan akanan ang dibatasi, aka laju petubuhan akan enuun. Situasi sepeti ini (Habeen, 977), eodelkan petubuhan logistik diskit dengan tundaan waktu sebagai t t [ a b t td )] (5) dengan pengukuan dilakukan pada setiap inteval waktu t. Jadi, bedasakan pesaaan (5) ini, apabila t d t, akan dipeoleh t t [ a b t ] atau (6) Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07 3

4 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies t [ at bt t ] Untuk enganalisa pesaaan (6) ini, diasusikan suatu populasi betabah secaa teatu setiap tahun ( t =). Jadi, penabahan individu pada aea ang dibeikan begantung pada beapa banak sube akanan ang dikonsusi oleh individu tesebut selaa tahun sebeluna. Untuk enelesaikan pesaaan (6), dipelukan saat awal t t dan dengan =,, 3,... Sehingga, ) t ( [ at bt t ] 3 3 ( [ at btt ] [ at bt t ] ( Dengan deikian, solusi dai pesaaan (6) dapat dilakukan dengan enggunakan pehitungan nueik sebagai beikut: t t [ a b t ] (7.a) Oleh kaena, t t dan dengan =,, 3,,..., aka pesaaan (7.a) enjadi: ( at bt ) (7.b) di ana: + = julah populasi pada + unit ; = julah populasi pada unit; dan - = julah populasi pada - unit. Penedehanaan dai pesaaan (7.a) ditulis sebagai ( ) (8) dengan at dan bt. Untuk enelesaikan pesaaan (8) ini akan dilakukan dengan enggunakan poses lineaisasi. Lineaisasi dilakukan dengan enggunakan etode petubasi (petubation ethod).. Lineaisasi Model Tundaan dengan Menggunakan Metode Petubasi Metode petubasi dikejakan dengan caa enganalisis egangan (displaceen tehadap populasi keseibangan. Misalkan atau setaa dengan ( t ) ( t ) (0) () dengan egangan tehadap kapasitas batas adalah (. Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07

5 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07 5 Diasusikan (<< adalah jauh lebih kecil dai). Dengan ensubstitusikan pesaaan () ke dala pesaaan (8) enghasilkan ) ( () Kaena, aka bentuk tak linea ) ( dapat diabaikan. Sehingga dipeoleh pesaaan lineaisasi. (3) Pesaaan (3) ini eupakan pesaaan diffeensi linea ode dua koefisien konstan. Untuk enelesaikan pesaaan (3), diasusikan bahwa. Selanjutna, nilai ditentukan dengan ensubstitusikan ke dala pesaaan (3), sehingga enghasilkan 0 () Jika tiap suku pada pesaaan () dibagi dengan, aka akan dipeoleh pesaaan kuadat untuk ang dinatakan dengan. 0 diana aka-aka dai pesaaan kuadat di atas adalah, (5) Jadi, solusi uu dai pesaaan (3) dapat ditulis sebagai c c (6)

6 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies Dai aka-aka dan, akan dipeoleh sebagai beikut:. Untuk 0 Jika 0, aka aka-aka dai pesaaan (5) adalah dan 0. Apabila diuutkan akan enghasilkan. 0 0 Oleh kaena itu dai pesaaan (6) dipeoleh li 0 Pesaaan ini enunjukan bahwa populasi endekati kapasitas batas, untuk Kaena belaku untuk setiap saat awal, aka kapasitas batas stabil. t.. Untuk Jika, aka aka-aka dai pesaaan (5) adalah bilangan kopleks sekawan, aitu: i dan i 3. Untuk. Solusi beosilasi di sekita titik kesetibangan dan enuju ke nol. Hal ini beati kesetibanganna stabil. Pada kasus, solusi beosilasi tetap atau tidak enjauh aupun endekati titik kesetibangan. Sedangkan untuk, populasi elebihi tingkat kesetibangan dan cendeung enjauhi titik kesetibangan. Petubuhan populasi ang beosilasi dengan julah ang seakin besa dan tidak enuju ke titik kesetibangan disebut dengan osilasi divegen. Hal ini enebabkan kesetibangan enjadi tidak stabil.. Kesipulan Bedasakan pebahasan engenai odel petubuhan logistik dengan waktu tunda, dapat disipulkan bahwa penundaan dala petubuhan populasi ang engikuti odel petubuhan logistik enebabkan tejadina osilasi sehingga epengauhi kestabilan di sekita titik kesetibangan. Secaa uu seakin besa waktu tunda dala petubuhan populasi, enebabkan ketidakstabilan tehadap petubuhan. Dala hal ini tejadi ledakan populasi dan juga populasi dapat bekuang, sehingga akhina engalai kepunahan. Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07 6

7 Ono Rohaeni Model Petubuhan Populasi Satu Spesies Dafta Pustaka [] Fos, U., Czocha, M.A Logistik Equations in Tuou Gowth Modelling, Int. J. Appl. Math. Coput. Sci., Vol. 3, o. 3, [] Habean, Richad Matheatical Models: Mechanical Vibations, Population Dnaics and Taffic Flow. Pentice-Hall Inc. ew Jese. [3] Tiuneno, Henn M Model Petubuhan Logistik dengan Tundan Waktu. Junal Mateatika, Vol. o., Apil 008: 3 5. [] Vies, G. & Hillen T. 00. A Shot Couse in Matheatical Biologi. Tuebingen. Seina Inten Podi Mateatika FMIPA UISBA 06/07 7