Kalkulus Diferensial

Transkripsi

1

2

3

4 Kalkulus Diferensial viii, 0 hlm, 5 cm Katalog Dalam Terbitan KDT) Hak Cipta Akhsanul In am Hak Terbit pada UMM Press Penerbitan Universitas Muhammadiyah Malang Jl. Raya Tlogomas No. 46 Malang 6544 Telepon 04) 4648 Psw: 40 Fa 04) ummpress@gmail.com Edisi Pertama, Juli 008 Edisi Kedua, Desember 04 Edisi Ketiga, Juli 06 ISBN: Desain Sampul: Ridlo Setiyono Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara apapun, termasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari penerbit. Pengutipan harap menyebutkan sumbernya ii K a l k u l u s

5 Sanksi Pelanggaran Pasal 7 Undang-unadang No. 9 Tahun 0, Tentang Hak Cipta. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan sebagaimana dimaksud dalam Pasal ayat ) atau dan ayat ) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat satu) bulan dan/atau dengan paling sedikit Rp ,00 Satu Juta Rupiah) atau pidana penjara paling lama 7 tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp ,00 Lima Milyar Rupiah). Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud pada ayat satu) dipidana penjara paling lama 5 lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp , 00 Lima Ratus Juta Rupiah) K a l k u l u s iii

6 iv K a l k u l u s

7 Prakata Matematika telah berkembang pesat dengan berbagai cabang telaah dan kajian. Sebagai sarana berpikir yang deduktif aksiomatik, matematika sangat berguna untuk membangun teori keilmuan dan dapat menurunkan prediksi-prediksi serta mengkomunikasikan hasil-hasil aktivitas keilmuan dengan benar, jelas, ringkas, tepat dan cermat. Salah satu cabang matematika adalah kalkulus, merupakan salah satu mata kuliah dasar yang perlu dikuasai dengan baik oleh mahasiswa sebagai sarana untuk mempelajari materi matematika pada tahap berikutnya. Buku ini disusun dengan mendasarkan kepada acara perkuliahan selama satu semester sebagai dasar untuk mengikuti materi kalkulus yang berikutnya. Kajian dalam buku ini diawali dengan pendahuluan yang menguraikan mengenai dasar-dasar sistem bilangan, kemudian kajian mengenai fungsi berada pada pembahasan yang kedua. Berikutnya adalah membahas limit dan turunan dan pada kajian akhir di paparkan penerapan turunan. Pada setiap kajian diawali dengan tujuan pembelajaran dan untuk memperkaya wawasan mahasiswa, buku ini dilengkapi dengan 4 soal-soal latihan yang mencakup 780 soal. Tiada harap, kecuali hanya sebuah ucap semoga buku ini dapat membantu mahasiswa untuk memahami dasar-dasar kalkulus. Malang, Juli 06 K a l k u l u s v

8 vi K a l k u l u s

9 Daftar Isi Prakata Daftar Isi Bab Satu Pendahuluan Bab Dua Fungsi Bab Tiga Limit. Sistem Bilangan Real. Pertaksamaan 0. Nilai Mutlak dan Pertaksamaannya 0.4 Sistem Koordinat Cartesius 8.5 Garis Lurus 8.6 Grafik Persamaan 49. Pendahuluan 55. Grafik Fungsi 68. Operasi pada Himpunan Fungsi 86.4 Grafik Fungsi Sinus dan Cosinus 89. Pendahuluan 0. Limit Fungsi di Satu Titik 04. Limit-limit Sepihak.4 Teorema Limit 7.5 Limit-limit Tak Hingga.6 Limit Fungsi Trigonometri.7 Kekontinuan Fungsi 6 Bab Empat Turunan 4. Pendahuluan Definisi Turunan Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan Simbul-simbul Turunan Aturan Pencarian Turunan Turunan Sinus dan Cosinus 66 K a l k u l u s vii

10 4.7 Aturan Rantai Turunan Fungsi Eksponensial dan Algoritmik Turunan Fungsi Implisit Turunan Fungsi Paramater 7 Bab Lima Penerapan Turunan Daftar Pustaka Glosarium Indeks 5. Kecepatan dan Percepatan Garis Singgung dan Garis Normal Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan 86 viii K a l k u l u s

11 Bab Satu Pendahuluan Rene Descartes ) telah menorehkan karyanya berkenaan dengan posisi suatu tempat yang dinamakan dengan koordinat yang hingga kini diabadikan sebagai sarana menentukan posisi suatu titik dalam koordinat cartesius Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa dapat:. Memahami sistem bilangan real. Memahami dan menerapkan aksioma-aksioma dalam operasi bilangan. Memahami dan menerapkan cara penyelesaian sistem pertaksamaan linear, kuadrat, pangkat tinggi, mutlak 4. Memahami sistem koordinat cartesius 5. Memahami rumus jarak dan menerapkan untuk menghitung jarak antara dua titik, jarak antara titik dan garis, jarak antara dua garis 6. Memahami persamaan lingkaran, dan dapat mencari pusat dan jari-jari lingkaran jika diketahui persamaanya serta dapat mencari persamaan lingkaran jika diketahui jari-jari dan pusat lingkaran. K a l k u l u s

12 . Sistem Bilangan Real Matematika sebagai ilmu yang dikembangkan dengan mendasarkan diri pada teori bilangan dan geometri. Bilangan telah dimanfaatkan sebagai dasar berbagai cabang matematika dan hal ini telah dilakukan oleh Pythagoras sejak 500 tahun yang lalu. Sebagai ungkapan betapa pentingnya bilangan, telah diungkapkan, The number rule the universe, demikian juga Kronecker 8-89) mengatakan god made the integer, all the rest is the work of man. Selain dua orang tersebut terdapat beberapa matematikawan yang telah banyak menyumbangkan hasil pemikirannya bagi perkembangan teori bilangan real, antaranya K Weierstrass ) R Dedekind 8-96) dan G Cantor ).. Bilangan Bulat dan Rasional Bilangan yang banyak dikenal dalam kehidupan sehari-hari dalam keperluan membilang adalah bilangan asli, yaitu bilangan,,, 4... Himpunan bilangan asli yang disimbulkan dengan N dan jika ditulis dalam bentuk himpunan dinyatakan dengan N = {,,, 4,... }. Bilangan-bilangan tersebut jika digabung dengan negatifnya dan nol diperoleh bilangan bulat yang dinotasikan dengan Z, jika ditulis dalam bentuk him-punan dapat dinyatakan dengan Z = {..., -, -, -, 0,,,...}. Jika diperhatikan dari sisi perkembangannya, kehidupan manusia selalu berubah, sehingga segala keperluan manusia mengalami perubahan, termasuk didalamnya keperluan untuk mengukur panjang, berat, ternyata bilangan-bilangan tersebut terdapat perubahan, sebagin sudah tidak memadai, bilangan tersebut kurang memberikan ketelitian yang dikehendaki, misalnya untuk mengukur berat badan. Memperhatikan kondisi yang demikian, dikembangkan bilangan yang dapat mengakomodasi berbagai permasalahan K a l k u l u s

13 yang muncul dengan mempertimbangkan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat seperti berikut:, 5 0,, dan 4 7 ¾ ¼ Gambar.: Hasil Bagi Bilangan m Bilangan-bilangan yang dapai dituliskan dalam bentuk, n dimana m dan n adaiah bilangan bulat dengan syarat n 0 dan disebut bilangan rasional yang dinotasikan dengan Q. Manfaat bilangan ini salah satunya adalah untuk menentukan ukuran panjang, namun dalam perkembangannya terdapat ukuran panjang suatu ruas garis yang bukan merupakan bilangan rasional. Perkembangan bilangan rasional ini telah lama dimulai oleh orang Yunani kuno yang tinggal beberapa abad sebelum masehi dan telah menemukan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku adalah satu satuan yaitu. Bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat, tidak ada bilangan bulat yang dapat memenuhi sebagai pembilang dan penyebut sehingga sama dengan bilangan. ½.. Komponen Bilangan Real Bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan irrasional yang dapat mengukur panjang bersama-sama dengan ½ K a l k u l u s

14 negatif dan nol. Bilangan real terdiri dari beberapa kumpulan bilangan sebagaimana berikut:. Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung banyaknya obyek suatu himpunan,,,,. dan dilambangkan dengan N.. Bilangan prima, adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor,,, 5, 7,.... Bilangan komposit, adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor, 4, 6, 8, 9, 0, Bilangan cacah, adalah bilangan asli beserta unsur nol 0,,,, 4,... dan dilambangkan dengan C. 5. Bilangan bulat,., -,-, 0,,, dilambangkan dengan Z. 6. Bilangan pecahan adalah bilangan berbentuk = n m, m bilangan bulat dan n bilangan asli dengan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan yang terletak di antara 0 dan disebut bilangan pecahan sejati. 7. Bilangan rasional adalah bilangan berbentuk = n m, m bilangan bulat dan n bilangan asli. Disini merupakan bilangan bulat jika m habis dibagi n dan dan disebut bilangan pecahan jika m tidak habis dibagi n. Bilangan rasional bersifat selalu mempunyai bentuk desimal berulang, Contoh /= 0,50000, / = 0, dan dilambangkan dengan Q. 8. Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, jika dinyatakan dalam bentuk desimal, mempunyai bentuk desimal tak terulang, contoh,,,. 9. Bilangan real adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional dan dilambangkan dengan R. hubungan bilanganbilangan tersebut dapat dilihat pada gambar. 4 K a l k u l u s

15 Bil. Real Bil. Irrasional Bil. Rasional Bil. Bulat Bil. Pecahan Bil. Cacah Bil.Bulat Negatif Nol Bil. Asli Satu Bil. Prima Bil. Komposit Gambar.: Diagram Pohon Bilangan Sedangkan jika dinyatakan dalam bentuk diagram venn, hubungan bilangan Real, Rasional, Bulat dan Bilangan Asli dapat dilihat sebagaimana gambar. Bilangan Asli Bilangan Bulat Bilangan Rasional Bilangan Real Gambar.: Diagram Venn Bilangan Real K a l k u l u s 5

16 Jika terdapat tiga buah bilangan real, y dan z dengan operasi penjumlahan dan perkalian, maka aksioma-aksioma berikut berlaku:. Aksioma Komutatif Penjumlahan, + y = y +. Aksioma komutatif Perkalian y = y. Aksioma Asosiatif Penjumlahan, + y + z) = + y) + z 4. Aksioma Asosiatif Perkalian yz) = y) z 5. Aksioma Distributif y +z) = y + z 6. Terdapat bilangan 0 nol) yang memenuhi + 0 = 7. Terdapat bilangan satu) yang memenuhi dan. = 8. Setiap bilangan mempunyai invers penjumlahan dapat dikatakan juga dengan negatifnya) yang memenuhi +-) = 0, 9. Setiap bilangan mempunyai invers perkalian / dapat dikatakan juga kebalikannya) yang memenuhi./= Soal-soal Latihan Sederhanakan soal No. hingga 5 melalui berbagai kemungkinan untuk menghilangkan semua tanda kurung dan menyederhanakan bentuk pecahan. ) 5 7 8) -7 ) [4 79] ) -6[ ) )] 4) 7[5 9) )] 5 5) 4 + 6) ) ) ) ) K a l k u l u s

17 9) [ ) 4 6 0) [ )] ) ) 7 ) ) / ) 7 ) ) / ) 5 4) ) ) ) + ) - ) 8) + ) 9) - ) 0) + 8 ) ) ) 4 5 ) ) 6 5 4) ) ) + 6 ) ) K a l k u l u s 7

18 8 K a l k u l u s 5) ) Kerjakan dan sederhanakan soal-soal No. 6 hingga 45 6) - 5) + 5) 7) 5) 8) 5 ) + 7) 9) + ) ) 0) ) + ) ) + 4) ) - ) ) 4 4) 4 5) 6 6) 8 7) 4 8 8) 6 4 9) 40) ) 4 8 4) 9 6 4) 6 5 6

19 5 44) ) ) Tunjukkan bahwa pembagian bilangan dengan 0 adalah tanpa arti, misalkan a 0, jika a/0 = b, maka a = 0, b = 0, kondisi ini menunjukkan adanya kontradiksi. Analisis dan buat alasan yang logis mengapa 0/0 tidak bermakna Purcell, 004) 47) Bilangan prima merupakan bilangan bulat positif yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu bilangan itu sendiri dan. Beberapa bilangan prima yang pertama adalah,,, 5, 7,,, 7. Menurut Teorema Dasar, setiap bilangan asli selain ) dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Misalnya 45 =..5. Tuliskan masing-masing yang berikut sebagai hasil kali bilangan bilangan prima catatan, hasil kali tersebut adalah trivial jika bilangan itu adalah prima, maka bilangan tersebut hanya mempunyai satu faktor) Purcell, 004) a. 40; b. 9; c) 0; d) ) Melalui penggunaan teorema dasar hitung untuk membuktikan bahwa kuadrat sebarang bilangan asli selain angka ) dapat dituliskan sebagai hasil kali suatu bilangan unik yang terdiri dari bilangan prima, dengan masing-masing bilangan prima ini muncul sebanyak bilangan genap, misalnya 45) = Purcell, 004) 49) Buktikan bahwa adalah irrasional, untuk menyelesaikan soal tersebut perhatikan petunjuk, misalkan =p/q dimana p dan q adalah bilangan-bilangan asli bukan ), maka = p /q. Selanjutnya gunakan soal no. 48 untuk menemukan kontradiksi Purcell, 004) 50) Tunjukkan bahwa + adalah irrasional. K a l k u l u s 9

20 . Pertaksamaan Menyelesaikan persamaan adalah mencari jawab dari suatu peubah yang belum diketahui dengan banyaknya penyelesaian sesuai dengan pangkat peubah yang dicari. Contoh: Selesaikan 4 = 8 Penyelesaian: = = = 6 Sedangkan untuk menyelesaikan suatu pertaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertaksamaan berlaku. Berbeda dengan persamaan, dimana himpunan penyelesaiannya secara normal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga, sedangkan pertaksamaan himpunan penyelesaiannya terdiri dari suatu keseluruhan interval bilangan merupakan gabungan dari interval-interval bilangan. Berkaitan dengan penyelesaian suatu pertaksamaan, beberapa interval yang mungkin muncul dalam penyelesaian pertaksamaan dikemukakan di bawah ini. Interval a<<b melambangkan interval buka yang terdiri dari semua bilangan real antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b, interval tersebut dinyatakan dengan a,b). Sedangkan interval a b melambangkan interval tutup yang terdiri dari semua bilangan real antara a dan b dan termasuk titik-titik ujung a dan b yang dilambangkan dengan [a,b]. Sebagai contoh dapat dikemukakan sebagaimana gambar.4,) = {/<<} [,] = {/ } Gambar.4: Interval Bilangan 0 K a l k u l u s

21 Beberapa macam interval dan cara penulisannya dikemukakan sebagaimana Tabel. Tabel.: Macam Interval dan Cara Penulisanya Purcell, 004) Penulisan Himpunan Penulisan Interval Grafik {/ a < < b} a, b) a b {/ a b} [a,b] a b {/ a < b} [a,b] a b {/ a < b} a,b] a b {/ b} -,b] b {/ < b} -,b) b {/ a} [a, ) {/ > a} a, ) a a R -, ) K a l k u l u s

22 Beberapa aksioma yang berlaku pada himpunan semua bilangan real yang disebut dengan aksioma urutan adalah sebagai berikut:. Trikotomi Jika a dan b adalah sebarang bilangan real maka salah satu di antara yang berikut berlaku: a < b, a = b atau a > b. Ketransitifan Jika a < b dan b < c, maka a < c untuk sebarang bilangan real a, b dan c. Penjumlahan a < b a + c < b + c, untuk sebarang bilangan real a, b dan c 4. Perkalian Untuk bilangan c positif, berlaku a < b a.c < b.c untuk sebarang bilangan real a, b dan c. Untuk bilangan c negatif, berlaku a < b a.c > b.c untuk sebarang bilangan real a, b dan c Menyelesaikan pertaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang mungkin dan membuat pertaksamaan bernilai benar. Bentuk umum pertaksamaan aljabar dengan satu peubah bilangan real adalah: A ) C ), A, B, C dand sukubanyak B ) D ) tanda ketidaksamaan < dapat diganti dengan >, atau, sedangkan langkah-langkah penyelesaian pertaksamaan adalah sebagai berikut:. Menggunakan rumus aljabar elementer dan sifat urutan A ) ubahlah bentuknya menjadi 0 dengan A dan B suku B ) banyak. K a l k u l u s

23 . Uraikan A) dan B) atas faktor linier atau kuadrat definit positif mempunyai penyelesaian).. Tentukan tanda pertaksamaan untuk interval pembuat nol pada garis bilangan. 4. Tentukan himpunan penyelesaiannya dan tunjukkan dalam bentuk interval. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan 4 < + 7 Penyelesaian: 4 < < ditambah 4 untuk kedua ruas) < + ditambah - untuk kedua ruas) < Jadi himpunan penyelesaiannya adalah -, ) = {/ < } Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan < Penyelesaian: < < ditambah - untuk kedua ruas) - 4 < ditambah -4 untuk kedua ruas) -6. ) >. ) dikalikan untuk kedua ruas) > - Jadi himpunan penyelesaiannya adalah -, ) = {/ > -} Sebelum menyelesaikan pertaksamaan kuadrat perlu diketahui terlebih dahulu bahwa suatu faktor linier berbentuk a adalah positif untuk > a dan negatif untuk < a, hal ini berarti bahwa hasil kali a) + a) dapat berubah dari bernilai positif menjadi negatif atau sebaliknya. Titik-titik ini yang mana suatu faktor adalah nol disebut sebagai titik penyelesaian. Titik-titik ini K a l k u l u s

24 merupakan kunci untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu pertaksamaan kuadrat atau yang tingkat lebih tinggi. Contoh : Selesaikanlah pertaksamaan kuadrat 4 < - Penyelesaian: 4 < < - + kedua ruas ditambah ) ) ) < 0 difaktorkan) titik-titik - = 0 untuk = ) dan = 0 untuk = ) adalah titik-titik penyelesaian. Langkah untuk mengetahui daerah interval yang terjadi positif atau negatif) dilakukan uji daerah interval dengan mengambil titik-titik yang kurang dari misal diambil titik 0), antara dan misal diambil titik ) dan lebih besar misal diambil titik 4) sebagai berikut. Tabel.: Titik Uji Penyelesaian Titik Uji Nilai dari ) ) Tanda Jika digambarkan pada garis bilangan dapat dikemukakan sebagai berikut: 4 K a l k u l u s Gambar.5: Gambar Uji Penyelesaian

25 Berdasarkan grafik tersebut dapat dikatakan bahwa titik-titik penyelesaian membagi garis bilangan real menjadi tiga interval -, ),,) dan, ). Pada tiap interval bertanda tetap yaitu selalu positif atau negatif. Jadi penyelesaian pertaksamaan 4 < - adalah < <. Contoh 4: Tentukan himpunan penyelesaian Penyelesaian: 0 ) ) 0 Langkah selanjutnya setelah masing-masing pembilang dan penyebut berbentuk faktor, kemudian dicari titik-titik pembuat nol atau penyelesaian masing-masing faktor, + = 0 untuk = ), = 0 untuk = ) dan = 0, kemudian dibuat garis bilangan untuk menentukan interval yang memenuhi. Perlu diperhatikan: pertaksamaan yang berbentuk pecahan tidak mempunyai penyelesaian untuk penyebut = 0) Gambar.6: Grafik Penyelesaian Pertaksamaan Jadi himpunan penyelesaiannya adalah -, ] 0, ] = {/ atau 0 < } K a l k u l u s 5

26 Contoh 5: Tentukan himpunan penyelesaian < 6. Pertaksamaan tersebut terdiri dari dua pertaksamaan, untuk itu masing-masing dicari penyelesaiannya, kemudian ditentukan irisan dari kedua penyelesaian yang ditemukan. dan < ) ) 0 + = 0, = - = 0, = Gambar.7: Grafik Uji Penyelesaian Pertaksamaan Himpunan penyelesaian {/ - atau } Sedangkan untuk < 6 < 6 6 < 0 + ) ) < 0 + = 0, = = 0, = Gambar.8: Grafik Uji Penyelesaian Pertaksamaan Himpunan penyelesaiannya adalah {/ - < < } Berdasarkan dua penyelesaian tersebut, langkah selanjutnya dicari irisannya dan diperoleh sebagai berikut: - - Gambar.9: Grafik Penyelesaian Pertaksamaan 6 K a l k u l u s

27 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: -,-] [,) = {/-< - atau < } Contoh 6: Tentukan himpunan penyelesaian dari Penyelesaian: 0 _ 4 ) ) 0 ) ) Jika diperhatikan, nampak bahwa faktor pembilang adalah definit positif berapapun nilai yang ditentukan persamaan bernilai positif, perhatikan bahwa syarat definit positif a>0 dan D<0), sehingga pertaksamaan diatas setara dengan: < 0 ) ) sehingga titik-titik penyelesaiannya adalah = - atau =, untuk mengetahui interval yang memenuhi, grafik penye-lesaiannya dapat digambarkan sebagai berikut : Gambar.0: Grafik Penyelesaian Pertaksamaan K a l k u l u s 7

28 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah -, )={/ - < < } Soal-soal latihan : ) Tunjukkan masing-masing interval berikut pada garis bilangan real. a. -,5) b. -,5] c. [-,5) d. [-,5] e. -,5] f. [-, ) Carilah himpunan penyelesaian soal-soal No. hingga 8 dengan cara menuliskan interval dan gambarlah grafiknya. ) 4 < + 6 ) + < 4 8 4) ) 0 + > 4 6) ) -4 < 4 8 8) -6 < + < - 9) - < 4 9 < 0) - < 5 ) < ) + < 5 + < 6 ) + > 0 4) ) 4 > 0 6) ) ) ) ) -9 < 6-8 ) ) K a l k u l u s

29 5 ) 0 4) 0 5) 5 7 6) 6 7) 5 7 8) 5 9) 5 0) ) ) ) + ) ) + 7) 0 4) + ) ) ) > 0 5) + 5) + ) ) > 0 6) + ) ) 5) 0 7) ) + 0 9) Carilah semua nilai yang memenuhi ketiga pertaksamaan secara simultan a > dan - < b > dan - > c > dan - < ) Carilah semua nilai yang memenuhi paling sedikit satu dari dua pertaksamaan berikut: a. - 7 > dan 5 + < - b. - 7 dan 5 + > - c. - 7 dan 5 + < - K a l k u l u s 9

30 . Nilai Mutlak dan Pertaksamaannya.. Nilai Mutlak Pengenalan konsep nilai mutlak diawali melalui pengertian jarak dua titik pada garis bilangan sebagaimana gambar dibawah ini. jarak = b a jarak titik a ke titik b adalah b a jika a < b, jarak = a b a b Gambar.: Grafik Ilustrasi Jakak dua titik jarak titik a ke titik b adalah a b jika a > b, kenyataan sebagaimana diatas mengarahkan pada kesimpulan berikut: Jarak titik a ke titik b pada garis bilangan adalah Jarak a,b) = b a, jika, a b 0, jika, a b a b, jika, a b keadaan khusus jika b = 0, maka jarak dari titik a ke 0 adalah a, jika, a b Jarak a,b) = 0, jika, a b a, jika, a b a Nilai mutlak suatu bilangan real dinyatakan dengan dan didefinisikan sebagai: b jika, 0 jika, 0 Usaha untuk mempermudah pemahaman nilai mutlak, dapat diperhatikan gambar berikut: 0 K a l k u l u s

31 < 0 = 0 > 0 < 0 0 Gambar.: Grafik Pemahaman Nilai Mutlak Gambar diatas menunjukkan bahwa titik 0 membagi garis bilangan menjadi dua daerah 0 dan < 0. Pada daerah < 0 berlaku = - dan pada daerah 0 berlaku =, dalam hal ini dikatakan bahwa berganti tanda di titik 0 Contoh: 9 9,, 0 0 Sehingga selalu bernilai tidak negatif, untuk mempermudah memahami nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai jarak, khususnya adalah jarak antara dengan titik asal 0 dan jarak antara dan a. a adalah - 0 a a - Gambar.: Harga Mutlak sebagai Jarak dua Titik Berdasarkan definisi dapat pula dilihat bahwa nilai mutlak suatu bilangan adalah bilangan positif atau nol. Berikut disajikan sifatsifat yang berhubungan dengan nilai mutlak Purcell,004). K a l k u l u s

32 . a b. a b a b. a b a b ketidaksamaan segitiga) 4. a b a b.. Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak Penyelesaian pertaksamaan yang memuat nilai mutlak adalah mengubah bentuk pertaksamaan yang diketahui sehingga tidak memuat nilai mutlak lagi, kemudian menyelesaikan pertaksamaan yang sudah disesuaikan pada setiap permasalahan. Perhatikan ilustrasi berikut: Jika a 0, a -a a a Jika a 0, a a atau a a a, jika a a, jika a a Contoh : Selesaikanlah pertaksamaan 5 Penyelesaian: 5 < -5 atau - > 5 < -4 atau > 5 < -5 atau > Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian Penyelesaian: K a l k u l u s

33 - < < + > 0 dan < 0 + > 0 adalah definit positif a > 0 dan D < 0) sehingga setiap bilangan real memenuhi pertaksamaan tersebut, sedangkan untuk < 0 difaktorkan menjadi: + ) ) < 0 + = 0 = -) ) = 0 = jika digambarkan pada garis bilangan diperoleh sebagai berikut: < < Gambar.4: Grafik Penyelesaian Pertaksamaan Jadi himpunan penyelesaiannya adalah R -,) = -, ) = {/ - < < } Contoh : Tentukan himpunan penyelesaiannya dari Penyelesaiannya: Langkah-langkah untuk penyelesaian soal ini dilakukan dengan mengkuadratkan kedua ruas, kemudian membuat ruas kanan menjadi nol dan diselesaikan dengan menggunakan bantuan rumus a b = a b)a + b) K a l k u l u s

34 4 K a l k u l u s ) ) ) ) 8 Faktor pembilang + definit positif a>0 dan D<0), maka bentuk tersebut setara dengan 0 ) ) ) berdasarkan ketiga faktor tersebut, dapat diketahui titik-titik penyelesaiannya, 0 ) = 0, = ) = 0, = Selanjutnya membuat grafik garis bilangan dari penyelesaian tersebut sebagai berikut: Gambar.5: Grafik Penyelesaian Pertaksamaan jadi himpunan penyelesaiannya adalah -,-) -, ] = {/ < - atau - < } Contoh 4: Jika, buktikan

35 Penyelesaian: Faktor penyebut dari soal tersebut mempunyai nilai a>0 dan D< 0 yang berarti definit positif, perhatikan uraian faktor penyebut sebagai berikut: = + ) + yang bermakna 4 hal ini mengakibatkan 4 untuk harga 4 diperoleh interval nilai, - selanjut- nya nilai batas dari ) 4 dengan menggunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan diperoleh sebagai berikut: ) 9-4 ) dengan menggunakan hasil ini diperoleh terbukti) Contoh 5: Andaikan suatu bilangan positif, carilah bilangan positif sedemikian hingga K a l k u l u s 5

36 Penyelesaian: ) 5 4 ab a b ) 4 / 5 dengan memilih = /5 secara mundur terlihat bahwa Soal-soal Latihan : Carilah himpunan penyelesaian soal-soal No. hingga 0 dari pertaksamaan yang diberikan ) 5 ) 4 7 ) 4 8 4) 6 9 5) 4 6) 4 7) / 7 8) / 9 5 9) ) 6 ) 9 7 ) 6 ) K a l k u l u s

37 4) 7 5) 9 8 6) 4 7 7) 8 8) ) ) Selesaikan soal-soal No. hingga 0 dengan menggunakan rumus kuadrat. ) ) + > 0 ) 4 + > 0 4) ) 5 0 6) 6 0 7) ) ) ) Buktikan soal-soal No. hingga 5, mempunyai implikasi yang ditunjukkan adalah benar ) ) 4 8 ) ) ) K a l k u l u s 7

38 Carilah tergantung pada ) untuk soal-soal No. 6 hingga 40 sedemikian hingga implikasi yang diberikan adalah benar. 6) 5 5 7) 6 8) 7 9) ) 5 5 Selesaikanlah soal-soal No. 4 hingga 45 4) 6 8 4) ) 7 44) ) 9 46) 47) 48) 49) 6/ 8 K a l k u l u s 4 50) Jika, buktikan 0.4 Sistem Koordinat Cartesius Rene Descartes dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang terbesar dan juga ahli biologi modern, fisika dan matematika. Descartes lahir di Touraine Perancis, putra dari seorang ahli hukum. Orang tuanya berharap Descartes menjadi orang yang bermanfaat dalam hidupnya dan mengirimnya untuk menggali ilmu di sekolah Jesuit pada umur 8 tahun. Karena kesehatannya kurang baik ia diperkenankan meng-habiskan waktu paginya untuk belajar di tempat tidur. Pada umur 0 tahun mendapat gelar

39 Sarjana Hukum. Selanjutnya menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal di Paris kemudian pindah ke Belanda. Rene Descartes menyelidiki suatu metode berpikir umum yang pada akhirnya memberikan pertalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran ilmu-ilmu. Penyelidikan tersebut mengantarkannya ke matematika yang disimpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran disegala bidang. Karya matematikanya yang paling terkenal dan digunakan oleh para ahli sebagai literatur adalah La Geometry yang diterbitkan pada tahun 67. Rene Descartes mencoba menggabungkan teori-teori geometri dengan aljabar yang masih baru lahir. Bersama orang Perancis Piere Fermat ) mengembangkan geometri analitik yang di dalam pembahasannya mengemukakan tentang koor-dinat yang dinamakan dengan Koordinat Cartesius yang di-namakan menurut nama Rene Descartes. Sistem Koordinat Cartesius dalam bidang terdiri dari dua garis bilangan real satu mendatar dan satu vertikal yang berpotongan pada titik nol. Garis mendatar dinamakan sumbu absis sumbu ) dan garis vertikal dinamakan sumbu ordinat sumbu y) dan perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan dengan pusat koordinat. Menurut perjanjian koordinat cartesius membagi bidang menjadi empat bagian yang disebut dengan kuadran. Kuadran I daerah yang dibatasi sumbu positif dari pusat ke kanan) dan sumbu y yang positif dari pusat ke atas). Kuadran II dibatasi oleh sumbu y positif dan sumbu negatif dari pusat ke kiri), kuadran III dibatasi oleh sumbu negatif dan sumbu y negatif dari pusat ke bawah), kuadran IV dibatasi oleh sumbu positif dan sumbu y negatif. Perhatikan gambar.6. Salah satu kegunaan koordinat cartesius adalah untuk menentukan posisi suatu benda yang dinyatakan sebagai titik. Pada gambar di bawah terlihat bahwa titik P masing-masing memotong sumbu dan sumbu y di a dan b, maka titik P K a l k u l u s 9

40 mempunyai koordinat a,b) ditulis P a,b). Kita sebut a,b) suatu pasangan terurut bilangan-bilangan karena akan berbeda jika urutannya dibalik. Bilangan pertama a adalah koordinat disebut dengan absis, koordinat kedua b adalah koordinat y disebut dengan ordinat. II y I III IV Gambar.6: Daerah Kuadran Sebaliknya jika diambil sebarang pasangan terurut a,b), maka garis tegak yang melalui a pada sumbu dan garis mendatar yang melalui b pada sumbu y ber-potongan dititik P yang koordinatnya adalah a,b). Perhatikan gambar.7 y P a,b) Gambar.7: Posisi suatu Titik.4. Rumus Jarak Perhatikan segitiga siku-siku ABC seperti gambar.8 0 K a l k u l u s

41 B c a A b C Gambar.8: Segitiga Siku-siku Pada segitiga siku-siku di atas berlaku teorema Pythagoras yang mengatakan jika a dan b merupakan ukuran sisi siku-siku dan c merupakan ukuran sisi miring maka: a + b = c Melalui koordinat pada suatu diagram cartesius dapat diperkenalkan sebuah rumus sederhana untuk menentukan jarak antara dua titik melalui pendekatan segitiga siku-siku. Perhatikan gambar.8 y Q,y ) P,y ) R,y ) Gambar.9: Posisi suatu Titik Perhatikan dua titik P,y ) dan Q,y ) sebagaimana gambar.8. Misalkan R,y ), maka P, Q dan R membentuk segitiga siku-siku di R dengan PR = dan QR = y y. Karena segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku, maka K a l k u l u s

42 berlaku teorema pythagoras, dimana sisi miring segitiga tersebut adalah PQ jarak antara titik P dan Q). PQ = PR + QR = ) + y y ) = ) y ) y rumus ini disebut dengan rumus jarak jarak antara dua titik) Contoh: Tentukan jarak antara a. P,) dan Q 4,8) b. P -,0) dan Q,4) Penyelesaian: a. PQ = = b. PQ = K a l k u l u s 4 ) 8 4) ) 4) = 4 6 = 0 = ) 40) ) 6) = 9 6 = Persamaan Lingkaran Secara definisi, lingkaran adalah himpunan titik-titik yang mempunyai jarak yang sama jari-jari) dari titik tertentu titik pusat lingkaran). Misalkan sebuah lingkaran yang berjari-jari dan ber-pusat dititik,) sebagaimana gambar berikut :

43 y,y),) Gambar.0: Lingkaran Misalkan titik,y) terletak pada lingkaran, maka jarak antara titik,y) ke pusat lingkaran sama dengan jari-jari) dapat dinyatakan sebagai jarak antara dua titik yang dapat ditulis sebagai berikut : ) y ) ) + y ) = 9 Persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran tersebut diatas. Secara umum lingkaran yang berjari-jari r dan titik pusatnya a,b) mempunyai persamaan: Contoh : a) + y b) = r Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 4 dan titik pusatnya,), dan cari koordinat jika koordinat y =. Penyelesaian: Persamaan lingkaran yang diminta adalah: ) + y ) = 4 ) + y ) = 6 K a l k u l u s

44 untuk mencari koordinat kita substitusikan harga y = dalam persamaan tersebut: ) + ) = 6 ) + = 6 ) = 6 ) = 5 = - ± 5 Contoh : Tentukan apakah persamaan berikut adalah persamaan lingkaran, jika ya tentukan pusat dan jari-jarinya. + 0y + y + 5 = 0 Penyelesaiannya: + 0y + y + 5 = y 0y + 5 = +) + y 5) = berdasarkan bentuk terakhir tersebut dapat dikatakan bahwa persamaan tersebut adalah persamaan lingkaran yang berjari-jari dan pusatnya -,5) Contoh : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 4 + 4y y + = 0 Penyelesaian: 4 + 4y y + = 0 + y + y + /4 = 0 dikalikan /4) y y +. 5 = ) + y.5) =.5 berdasarkan persamaan terakhir dapat diketahui bahwa pusat lingkaran di -0.5,.5) dan jari-jarinya.5 =.5. 4 K a l k u l u s

45 K a l k u l u s 5.4. Jarak Titik ke Garis Jarak titik,y ) ke garis A + By + C = 0 adalah d = B A C By A Rumus tersebut dapat dikemukakan melalui bentuk umum persamaan garis lurus sebagaimana diatas adalah A + By + C = 0 dan titik P,y ), maka B Ay B Ay ) = 0 adalah garis yang tegak lurus dengan garis yang diketahui dan melalui P,y ), kedua garis berpotongan di titik Q dengan Q, B A y A AB BC B A ABy B AC dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, maka diperoleh panjang d = PQ adalah. d = B A y A AB BC y B A ABy B AC = B A AB BC y B B A ABy AC A = ) ) B A C By A B B A C By A A = ) B A C By A B A = ) B A C By A = B A C By A

46 Contoh : Tentukan jarak titik,5) ke garis 4y + = 0 Penyelesaian: A By C d = A B 45 = 4) = = 5 5 Soal-soal Latihan 4: Tandailah titik-titik pada bidang koordinat, soal-soal No. hingga 0, kemudian carilah jarak antara titik-titik tersebut ),), 5,) ) -,), 7,) ) 4,),,4) 4) -,5), 6,) 5) 0,),,5) 6) -,-), -,8) 7) 4,5),,7) 8) 4,-),,4) 9),), 4,5) 0),7:4,) ) Buktikan bahwa segitiga yang memiliki titik-titik sudut 5,), -,4) dan 0,8) adalah segitiga sama kaki Purcell, 004) ) Tunjukkan bahwa segitiga yang memiliki titik-titik sudut, 5), 5,0),,0) adalah segitiga siku-siku. ) Diketahui titik-titik,5) dan 4,9) adalah titik-titik sudut suatu bujur sangkar. Berikan tiga pasang titik-titik sudut lain yang mungkin. 4) Carikah titik pada sumbu yang berjarak sama dari,) dan 8,) 6 K a l k u l u s

47 5) Titik tengah ruas garis yang menghubungkan, y ) dan, y ) mempunyai koordinat [, )/, y, y )/]. Carilah jarak antara titik 4,6) dengan titik tengah ruas garis yang menghubungkan, -) dan 8,0) 6) Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah ruas garis AB dan CD dimana A,4), B4,9), C,5) dan D,6) Carilah pusat dan jari-jari lingkaran untuk soal-soal No. 7 hingga 5 7) + y = 5 8) ) + y 4) = 6 9) ) + y ) = 5 0) + y ) = ) + y = 64 ) ) + y 5) = ) 4) + y ) = 6 4) ) + y ) = 5) ) + y = Carilah persamaan lingkaran soal-soal No. 6 hingga 5 yang memenuhi persyaratan yang diberikan. 6) Pusat,-) jari-jari = 4 7) Pusat,-) jari-jari = 6 8) Pusat -,4) jari-jari = 8 9) Pusat,-) jari-jari = 8 0) Pusat 5,9) menyinggung sumbu positif ) Pusat -4,) menyinggung sumbu y positif ) Pusat,4) melalui pusat koordinat ) Pusat,-) melalui 4,) 4) Pusat 4,) melalui 6,) 5) Mempunyai titik-titik berhadapan diametral -,) dan,8) Carilah pusat dan jari-jari lingkaran soal-soal No. 6 hingga 46 6) + y 4y = 0 7) + y 6y 6 = 0 K a l k u l u s 7

48 8) + y = 0 9) + y 8 + 8y = 0 40) + y + 4y 0/ = 0 4) + y = 0 4) 6 + 6y 6 +6y = 4) + y 4 6y + = 0 44) + y 0 y + 0 = 0 45) 6 +6 y y 7 = 0 46) 4 + 4y 6 4y 9 = 0 47) Titik-titik,4), 6,4), 6,-) dan,-) adalah titik-titik sudut suatu bujur sangkar. Carilah persamaan-persamaan lingkaran dalam dan luar. 48) Sebuah benang mengelilingi dua lingkaran dengan persamaan -) + y + ) = 6 dan + ) + y 8) =, tentukan panjang benang tersebut 49) Carilah persamaan lingkaran yang melingkupi segitiga yang titik-titik sudutnya adalah,0), 8,) dan 4,6). 50) Perlihatkan bahwa dua lingkaran + y 4 y = 0 dan + y + 0 y + 7 = 0 tidak berpotongan Petunjuk: cari jarak antara pusat-pusatnya). Purcell, 004).5 Garis Lurus.5. Persamaan Garis Lurus yang melalui Sebuah Titik dengan Kemiringan m Sebuah garis yang mempunyai kemiringan m dan melalui titik, y ) mempunyai persamaan y = m ) m = y y 8 K a l k u l u s

49 y, y), y ) Gambar.: Grafik y = m Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui, ) yang mempunyai kemiringan Penyelesaian: y = m ) y = ) y = y = 0 Gradien garis yang sejajar dengan sumbu dapat dilakukan dengan rumus tersebut dengan gradien nol dan menghasilkan y y =0, sedangkan untuk garis vertikal tidak dapat dipresen-tasikan dengan bentuk titik-kemiringan, sebab tidak mempu-nyai kemiringan, Jika, y ) adalah salah satu titik di garis vertikal, maka setiap titik, y ) dengan = atau = 0 berada pada garis vertikal tersebut. Contoh : Tentukan persamaan garis vertikal yang melalui, 7). Penyelesaian: Karena absis titik yang diketahui adalah, maka semua titik yang berada pada garis tersebut mempunyai absis. Jadi = atau = 0 K a l k u l u s 9

50 .5. Persamaan Garis lurus dengan Kemiringan m dan Memotong Sumbu-y di Titik 0,b) Menggunakan rumus y y = m ), dan menggantikan = 0 dan y = b dengan kemiringan m diperoleh persamaan sebagai berikut: y y = m ) y b = m 0) y = m + b Contoh: Tentukan persamaan garis yang mempunyai kemiringan -4 dan memotong sumbu-y dititik 0,7) Penyelesaian: y = m + b y = y + 5 = 0.5. Persamaan Garis Lurus melalui Dua Titik y ) dan y ) Sebuah garis yang melalui y ) dan y ), mempunyai persamaan y y y y = ) y y Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui,) dan 5,). Penyelesaian: Menggunakan rumus di atas diperoleh persamaan 40 K a l k u l u s

51 y y y y = ) y = ) 5 y = / ) y = 4 + y + = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dari ruas garis yang menghubungkan titik 5,) dengan,6) dan melalui titik tengah ruas garis tersebut. Penyelesaian: Pertama kita cari titik tengah segmen garis tersebut. 5 6 = ; y Jadi titik tengah ruas garis tersebut adalah -, ). Kemiringan dari ruas garis yang menghubungkan titik 5, ) dan, 6) adalah 6 4 m = 5 sehingga ukuran kemiringan garis yang tegak lurus adalah m = / Menggunakan rumus y y = m ), dengan mensubsitusi titik 5, ) dengan cara mengambil salah satu titik dari dua buah titik yang diketahui dan m = / diperoleh persamaan garis sebagai berikut: y = / 5) y 4 = y + = 0 K a l k u l u s 4

52 .5.4 Persamaan Garis yang Memotong Sumbu- di a,0) dan Sumbu-y di 0,b) Menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik dapat ditentukan persamaan garis yang memotong sumbu di a,0) dan memotong sumbu y dititik 0,b) sebagai berikut : Contoh: y y y 0 b 0 y b y y a 0 a a a y b a y y a b Tentukan persamaan garis yang memotong sumbu- dititik 6,0) dan sumbu-y dititik 0,) Penyelesaian: 6 y - + 6y = y + 8 = 0 Berdasarkan beberapa cara membentuk persamaan garis lurus sebagaimana tersebut diatas dapat dituliskan bentuk umum persamaan garis lurus sebagai berikut: A + By + C = 0, A dan B keduanya tidak sama dengan nol. 4 K a l k u l u s

53 Untuk membuat sketsa garis tersebut dapat dilakukan dengan mengambil titik-titik potong dengan sumbu korodinat, kemudian menghubungkan kedua titik itu sebagai garis lurus..5.5 Garis-garis sejajar Jika ada dua garis yang mempunyai kemiringan sama, maka kedua garis tersebut sejajar. Perhatikan grafik dua garis y = + dan y = + 6 berikut : 6 y y = + 6 y = + Gambar.: Dua Garis Sejajar Contoh : Carilah persamaan garis yang melalui, 7) dan sejajar dengan garis yang mempunyai persamaan 6y 5 = 0 Penyelesaian: 6y 5 = 0-6y = y = /) + 5/-6) Berdasarkan persamaan terakhir diketahui bahwa garis tersebut mempunyai kemiringan /, sehingga persamaan garis yang dicari juga mempunyai kemiringan /. Dengan menggunakan rumus y y = m ) diperoleh: K a l k u l u s 4

54 y 7 = / ) y = y + 8 = Garis-garis tegak lurus Bagaimana persyaratan yang harus dipenuhi untuk mengetahui bahwa kedua garis adalah tegak lurus? untuk menjawab pertanyaan tersebut perhatikan dua garis tegak lurus sebagaimana di bawah ini. y m m P,y) P,y) o Gambar.: Dua Garis Tegak lurus Perhatikan sebagaimana tertera pada gambar diatas bahwa titik P, y ) terletak pada garis m, sedangkan titik P, y ) tereletak pada garis m. dimana titik-titik P, P dan 0 merupakan titik sudut segitiga siku-siku P, P 0, dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh : 44 K a l k u l u s P 0 + P 0 = P, P

55 K a l k u l u s 45 sehingga dapat dituliskan ) ) ) ) ) y y y y ) ) y y y y y y y y y y y y y y y y y y Perhatikan bahwa y / adalah kemiringan dari garis m sedangkan y / adalah kemirinan dari garis m, sehingga dapat dikatakan bahwa jika dua garis adalah berpotongan tegak lurus, maka kemiringannya adalah saling berbalikan negatif. Contoh : Carilah persamaan garis yang melalui -4,) dan 6,-) Penyelesaian: Kemiringan garis yang melalui -4,) dan 6,-) adalah - )/6 +4) =-/0, dengan menggunakan titik -4,) sebagai titik tetap diperoleh persamaan garis y = -/0 + 4) Contoh : Carilah persamaan garis yang melalui 6, 8) yang sejajar dengan garis yang mempunyai persamaan 6 y 8 = 0. Penyelesaian: Garis dengan persamaan 6 y 8 = 0, mempunyai gradien 6/ =. Jika titik tetap yang dilalui garis tersebut adalah 6, 8), maka persamaannya adalah y 8 = 6) atau dapat dituliskan dengan y + 0 = 0

56 Contoh : Carilah persamaan garis yang melalui titik 7, 8) dan tegak lurus dengan garis yang mempunyai persamaan 5y 9 = 0. Penyelesaian: Garis dengan persamaan 5y 9 = 0 mempunyai gradien /5, sehingga garis yang tegka lurus dengannya mempunyai Gradient -5/, sebab dua garis saling tegak lurus perkalian kedua gradiennya sama dengan -. Jika titik yang dilalui adalah 7,8), maka persamaan garis yang dimaksud adalah: y 8 = -5/ 7) atau dapat dituliskan dengan y +5 4 = 0 Soal-soal Latihan 5: Cari kemiringan dari garis yang melalui dua titik yang diberikan dalam soal-soal No. hingga 5. ),) dan 4,8) ) 4,) dan 8,) ) -4,) dan,0) 4),-4) dan 0,6) 5) 5,-) dan -7,8) 6) -8,7) dan,-) 7),0) dan 0,5) 8) -6,0) dan 0,6) 9) 7,8) dan 9,) 0) -,8) dan,5) ) -4,9) dan,) ) 9,) dan -5,8) ) 0,-) dan -,0) 4) -,7:5,04) dan 4,5:6,75) 5),7:,7) dan,78:-,45) 46 K a l k u l u s

57 Tentukan persamaan garis yang melalui titik yang diberikan dan kemiringan yang diketahui untuk soal-soal No. 6 hingga 5. 6) -, ); m = 7) 5, ); m = -4 8), ); m = - 9) 0, 0); m = 0) 0, -); m = -4 ) -, ); m = 0 ) -4, -5) tidak mempunyai kemiringan ) -4, 6) tegak lurus dengan sumbu 4),-7) sejajar dengan sumbu y 5) -,8) tegak lurus dengan sumbu y 6) Tentukan persamaan sisi-sisi segitiga yang mempunyai titiktitik sudutny a, 5),, ), dan -, -4). 7) Tentukan persamaan garis tengah dari segitiga soal no. 6. 8) Tentukan persamaan garis tinggi dari segitiga soal no. 6. 9) Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan 4 y + = 0 dan melalui titik, 8). 0) Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan + y 6 = 0 dan memotong sumbu- dititik, ). ) Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan 5 + 7y + 5 = 0 dan memuat titik, -) ) Tentukan persaman garis yang tegak lurus dengan garis 7 + y = 0 dan memotong sumbu-y ditik 0, 6). ) Tentukan persamaan garis yang mempunyai kemiringan m dan memotong sumbu-y dititik 0, a). 4) Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis y = dan + 6y = - yang memenuhi : a. Sejajar garis dengan persamaan 6y = 5 b. Tegak lurus garis dengan persamaan y = 8 c. Sejajar sumbu d. Tegak lurus sumbu 5) Tuliskan persamaan garis yang melalui 0, -6) dan tegak lurus garis dengan persamaan y + = -/) ) 6) Cari nilai k sedemikian sehingga garis k y = 0 a. Sejajar garis y = + 5 K a l k u l u s 47

58 b. Tegak lurus garis y = + 5 c. Tegak lurus garis + y = 7 7) Apakah titik,0) terletak di atas atau di bawah garis y = Cari koordinat titik potong, kemudian tuliskan persamaan garis yang melalui titik tersebut dan tegak lurus pada garis yang dituliskan pertama untuk soal-soal No. 8 hingga 45 8) + y = y = 7 9) 6 5y = 8 + y = - 40) 4y = 8 + 5y = 7 4) 5 y = y = 4) y = y = 4) + y =4-6 + y = 9 44) - + y = y = 4 45) y = - + 4y = 5 46) Pengalaman menunjukkan bahwa produksi telur di daerah R tumbuh secara linier. Pada tahun 005 produknya sebanyak peti, pada tahun 05 produknya sebanyak peti. Tuliskan rumus y) yang menyatakan banyaknya peti telur yang diproduksi ) tahun setelah tahun 005 dan gunakan rumus tersebut untuk memprediksi telur pada tahun 05 Purcell, 004) 47) Buktikan bahwa grafik dari A + By + C = 0 selalu berupa sebuah garis asalkan A, B keduanya tidak sama dengan 0). Petunjuk: pandang dua kasus B=0, dan B 0) 48 K a l k u l u s

59 48) Cari persamaan garis yang melalui, 5) yang mempunyai perpotongan dengan sumbu- dan sumbu-y sama. 49) Perlihatkan bahwa untuk setiap nilai k persamaan garis -y +4+k+y-6) = 0 meny atakan sebuah garis yang melalui perpotongan dua garis y +4 = 0 dan +y 6 = 0 petunjuk, tidak perlu mencari titik potong kedua garis) Purcell, 004) 50) Cari persamaan garis yang membagi dua ruas garis dari -,) ke 4, -) dan yang bersudut siku-siku terhadap ruas garis ini..6 Grafik Persamaan Grafik suatu persamaan dalam dan y terdiri dari titik-titik di bidang yang koordinat-koordinatnya, y) memenuhi. Untuk menggambarkan suatu persamaan dapat digunakan langkahlangkah sebagai berikut:. Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.. Tandailah titik-titik tersebut pada bidang Cartesius.. Hubungkanlah titik-titik tersebut dengan sebuah kurva. Cara terbaik untuk melakukan langkah pertama adalah membuat sebuah tabel nilai-nilai. Berikan nilai-nilai pada salah satu peubah misalnya dan tentukanlah nilai-nilai yang berpadanan dari peubah lainnya, dengan mendaftarkan hasil-hasil yang tersusun dalam tabel..6. Kesimetrisan Grafik Persamaan Penggambaran grafik persamaan mendekati grafik yang sebenarnya dapat juga dengan bantuan melihat kesimetrisan grafik persamaan. Kesimetrisan sebuah grafik dapat diperhatikan hal-hal seperti berikut:. Grafik persamaan dikatakan simetris terhadap sumbu y jika penggantian oleh menghasilkan suatu persamaan yang setara.. Grafik persamaan dikatakan simetri terhadap sumbu- jika penggantian y oleh -y menghasilkan suatu persamaan yang setara. K a l k u l u s 49

60 . Grafik persamaan dikatakan simetri terhadap titik asal jika penggantian oleh, y oleh y menghasilkan suatu persamaan yang setara. Contoh:. Grafik y = 9 sebagaimana tertera pada contoh simetri terhadap sumbu-y, sebab jika diganti dengan, diperoleh y = -) 9, setara dengan y = 9.. Grafik = y + 4 simetri terhadap suatu sumbu-, sebab jika y diganti dengan y, diperoleh = -y) + 4, setara dengan = y Grafik y = simteri terhadap titik asal, sebab jika y diganti dengan y, diganti dengan, setara dengan y =..6. Perpotongan Penggambaran grafik persamaan dapat juga dengan menentukan titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat. Contoh: Gambarlah grafik persamaan y -+y 6=0 dengan memperlihatkan semua perpotongan terhadap sumbu-sumbu koor-dinat. Penyelesaian: Sketsa grafik dicari terlebih dahulu melalui perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. a) Memotong sumbu jika y = 0 diperoleh = -6, jadi titik potong dengan sumbu adalah -6, 0). b) Memotong sumbu y jika = 0 diperoleh; y + y 6 = 0 y + ) y ) = 0 y = - atau y = jadi titik potong dengan sumbu y adalah 0,-) dan 0,) c) Pemeriksaan kesimetrian menunjukkan bahwa grafik tersebut tidak memenuhi ketiga kriteria simetri sebagaimana sy arat di atas, sehingga grafik persamaannya dapat diperlihatkan sebagai berikut : 50 K a l k u l u s

61 y y + y 6 = 0 Soal-soal Latihan 6: Gambar.4: Grafik Fungsi = y + y - 6 Gambarlah grafik untuk soal-soal No. hingga 5 dari persamaan yang diberikan, yang dapat dilakukan dengan memeriksa simetri dan perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. ) y = ) y = - 4 ) = -y 4 4) = -y + 4 5) + y = 9 6) + 4y = 0 7) y = 8) y = ) y = 4 + 0) y = ) ) y = + ) ) y = ) y = ) 4) y = ) y = K a l k u l u s 5

62 6) y = 7) ) + y = 4 8) + y ) = 5 9) 4 + 9y = 6 0) 9 + 4y = 6 ) 6 + y = 6 ) y = ) y = 4) y = 0 5) 4 + y 4 = 6 6) 4 y 4 = 6 7) y = ) + ) +) 8) y = ) + ) 9) y = ) 0) y = 4) ) y = + ) 4) ) y 4 ) 4 y 4) 5), jika f ), jika 0, jika f ), jika 6, jika 5 K a l k u l u s Gambarlah sketsa grafik dari kedua persamaan pada bidang koordinat yang sama untuk soal-soal No. 6 hingga 44 6) + y = y = + + 7) + y = 5 y =

63 8) + y = y = - + 9) + y = y = + 40) -,5 + y =, y =, ) -, = y =, y = -, + 4,5 4) y 4 = y + = 5 4) y = y + + = 5 44) y = y + = 9 45) Carilah jarak antara dua titik pada grafik y = 4 + dengan koordinat-koordinat adalah - dan. 46) Carilah jarak antara titik-titik pada kurva y = + 5 yang berpadanan terhadap = dan =, teliti sampai dengan empat posisi deimal. 47) Tentukan kesimetrian dan sketsa grafik y = ) Tentukan kesimetrian dan sketsa grafik y = ) Sketsalah grafik y = + / )/ untuk 0 < dengan membuat sebuah table nilai-nilai yang ekstensif petunjuk, hati-hati dekat = 0). 50) Tuliskan kembali soal no. 45 sebagai y = / + pada bidang koordinat yang sama dan kemudian menambahkan ordinatordinatnya. K a l k u l u s 5

64 Bab Dua F u n g s i Augustin Louis Cauchy ), menghasilkan karya yang terkenal Cours d Analyse dan karya ini sudah sepatutnya dibaca oleh siapa saja yang mencintai ketelitian dalam penelitian matematika Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa dapat:. Memahami fungsi-fungsi yang ditinjau dari pemetaan, letak variabel, operasi fungsi, harga fungsi dan beberapa fungsi yang lain seperti fungsi periodik, fungsi homogen, fungsi invers.. Dapat menentukan daerah asal dan juga mencari daerah hasil. Memahami dan dapat menggambarkan grafik fungsi kuadrat, rasional, irrasional, mutlak, dan trigonometri 54 K a l k u l u s

65 . Pendahuluan Aktivitas dalam mempelajari kalkulus diperlukan adanya pemahaman tentang fungsi dan berbagai sifatnya. Pengetahuan tentang fungsi mempunyai peranan penting dalam memahami objek tentang limit, kekontinuan dan turunan yang kesemuanya dibahas dan dikaji dalam Kalkulus... Definisi Fungsi Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek dalam satu himpunan yang disebut sebagai daerah asal dengan sebuah nilai tunggal f) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah nilai fungsi tersebut. Perhatikan gambar.. f f ) Daerah Asal Daerah Hasil Gambar.: Daerah Asal dan Daerah Hasil Misalkan suatu fungsi yang mempunyai daerah asal A dan daerah hasil B dengan nama fungsi f dan aturan fungsinya y = f) yang dapat ditulis: f: A B f) = y yang berarti fungsi f memetakan unsur di A B ke B dengan aturan fungsi y = f), dalam hal ini dinamakan variabel bebas dan y variabel tergantung tidak bebas) K a l k u l u s 55

66 Fungsi f : A B dengan y = f) dapat digambarkan dalam diagram anak panah sebagai berikut: A B f f) = y Gambar.: Diagram Fungsi f : A B Definisi tersebut menggunakan dasar pemetaan, sedangkan jika digunakan dasar pasangan terurut, maka definisi fungsi dapat dikemukakan sebagai berikut: Jika f adalah fungsi dengan pasangan terurut, maka f {, y),, z) f y z, A} Berdasarkan aturan fungsi sebagai pemetaan diperoleh himpunan pasangan terurut, sedangkan dari himpunan pasangan terurut diperoleh aturan fungsi. Setelah mengetahui definisi fungsi, perlu diketahui bagaimana cara menuliskannya. Pemberian nama fungsi biasanya dipakai huruf tunggal seperti f. Nilai yang diberikan f pada dinotasikan dengan f). Jika f) = +, maka f) = + = 4 f) = + = 7 f-) = -) + = 7 fa) = a + fa+h) = a + h) = a + ah + h + Contoh : Diketahui f) =, cari dan sederhanakan: a. f) b. f + h) 56 K a l k u l u s

67 c. f + h) f ) d. [f + h) f)]/h Penyelesaian: a. f) =. = 4 6 = - b. f +h) = + h) + h) = 4 + 4h +h 6 h = h + h c. f + h) f) = h +h ) -) = h + h d. [f+h) f)] / h = h + h) / h = h + Contoh : Untuk g) = / cari dan sederhanakan [g a + h) gh)] / h Penyelesaian: a a h) g a h) g h) a h a a h) a h h h h = = a h) a h a h) a = a ah.. Daerah Asal dan Daerah Hasil Daerah asal adalah himpunan dari anggota-anggota sedemikian sehingga fungsi itu mempunyai nilai, daerah asal fungsi f ditulis D f. Nama lain untuk daerah asal adalah domain, ranah atau daerah definisi. Daerah hasil adalah himpunan nilainilai dari daerah asal yang dihasilkan oleh fungsi tersebut, daerah hasil dari fungsi f ditulis dengan lambang R f. Nama lain untuk daerah hasil adalah daerah nilai, range atau jelajah. Contoh : Jika f) adalah fungsi dengan aturan f) = + dan jika daerah asalnya adalah {-,-,0}, maka daerah hasilnya adalah {,4,7}. Perhatikan gambar berikut: K a l k u l u s 57

68 f) = Gambar.: Daerh Asal dan Daerah Hasil f) = + Suatu fungsi dengan daerah asal tidak diketahui, maka daerah asalnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan real dan disebut sebagai daerah asal alamiah. Contoh : Tentukan daerah asal alamiah fungsi berikut: 5 a. f ) 4 b. f ) c. f ) / 6 Penyelesaian: 58 K a l k u l u s Daerah Asal a. Daerah asal alamiah f adalah D f = { R: 4} dibaca himpunan anggota R bilangan real) sedemikian hingga tidak sama dengan 4. Dihindari bilangan 4 hal ini untuk menghindari pembagian oleh bilangan 0. b. Daerah asal alamiah f adalah { : terdefinisi } yang dapat dikatakan dalam bentuk lain dengan notasi { : + 0} c. Daerah asal alamiah f adalah { : 6 terdefinisi }. D f Daerah Hasil Untuk menghindari nilai yang tidak real 6, maka dengan mensyaratkan 4, sehingga daerah asal alamiah D f

69 kedalam f : A B adalah D f = { R: -4 4} Jika ditulis dalam bentuk interval dapat dinyatakan dengan [-4, 4]... Jenis-jenis Fungsi Untuk mengkaji jenis-jenis fungsi dapat dilihat dari berbagai kajian sebagai berikut:... Ditinjau dari Pemetaan f : A B a. Fungsi ke dalam into) Jika terdapat suatu unsur b B yang tidak merupakan bayangan peta) suatu unsur a A, maka f disebut fungsi ke dalam into) dari A ke B dan ditulis dengan : Perhatikan grafik berikut : B a b a A b B b. Fungsi kepada onto) Gambar.4: Diagram Fungsi Into Jika setiap unsur b B merupakan bayangan peta) suatu unsur a A, maka f disebut fungsi kepada dari A ke B yang ditulis dengan Perhatikan gambar berikut : B K a l k u l u s 59

70 a a b a b A B c. Fungsi satu-satu - ) Gambar.5: Diagram Fungsi Onto Jika setiap a n A dan a n a n n Himpunan Bilangan Asli ), berlaku fa n ) f an ), maka disebut fungsi satu-satu -) dari A ke B dan ditulis dengan Perhatikan gambar berikut : B a b b a a b b4 A B 60 K a l k u l u s Gambar.6: Diagram Fungsi satu-satu d. Fungsi Korespondensi Satu-satu Jika suatu fungsi memenuhi syarat onto dan satu-satu, maka fungsi tersebut dinamakan dengan fungsi korespondensi satusatu.

71 Perhatikan gambar berikut : a b a b a b A B Gambar.7: Diagram Fungsi Korespondensi Satu-satu e. Fungsi Identitas Jika A = B dan fa) = a untuk setiap a A, maka f disebut dengan fungsi identitas. Perhatikan gambar berikut : a a a a a a f. Fungsi Konstan A Gambar.8: Diagram Fungsi Identitas Jika fungsi f bersifat bahwa setiap unsur di A dipetakan pada satu unsur b B, maka f disebut fungsi konstan dari A ke B. Perhatikan gambar berikut : B K a l k u l u s 6

72 a b a a b b A B Gambar.9: Diagram Fungsi Konstan... Ditinjau dari Letak Variabel Jenis-jenis fungsi jika ditinjau dari letak variabel dapat dibedakan seperti berikut: a. Fungsi Eksplisit Suatu fungsi dimana kedua variabelnya terpisah dalam kedua ruas, disimbulkan dengan y = f). Contoh: y = cos y = 4 log y = 4 b. Fungsi Implisit Suatu fungsi dimana kedua variabelnya terdapat dalam satu ruas, disimbulkan dengan f,y) = 0 Contoh : y + 4 = 0 y 4y 4 y = 0 Catatan : Setiap fungsi eksplisit selalu dapat ditulis menjadi fungsi implisit, tetapi sebaliknya setiap fungsi implisit belum tentu dapat ditulis dalam bentuk fungsi eksplisit. 6 K a l k u l u s

73 ... Ditinjau dari Operasi dalam Fungsi Jika ditinjau dari operasi yang dilakukan dalam fungsi, maka jenis-jenis fungsinya adalah sebagai berikut: a. Fungsi Aljabar Suatu fungsi yang melibatkan operasi menjumlah, mengurangi, memangkatkan, mengalikan, dan mencari akar. Fungsi ini terdiri dari fungsi rasional dan fungsi irrasional. Contoh : y = 4 fungsi rasional) y = ) / +) fungsi rasional) y = b. Fungsi Transenden fungsi irrasional) Suatu fungsi yang tidak melibatkan operasi menjumlah, mengurangi, memangkatkan, mengalikan dan mencari akar. Fungsi ini terdiri dari fungsi-fungsi berikut:. Fungsi Trigonometri Suatu fungsi yang variabelnya ada yang memuat sin, cos, tan, csc, sec, dan cotan. Contoh: y = cos 4 y = cotan 5. Fungsi Logaritma Suatu fungsi yang variabelnya ada yang memuat logaritma. Contoh: y = 4 + log y = 4 5 log y = log 4 + ) K a l k u l u s 6

74 . Fungsi Eksponen Contoh: y = y = e 4 y = 6 9 Suatu fungsi yang variabelnya terletak pada pangkat. 4. Fungsi Siklometri Suatu fungsi yang variabelnya memuat invers fungsi trigonometri Contoh: y = arc cos 6 y = arc tan 5 y = arc sin 5. Fungsi Hiperbolic Suatu fungsi yang variabelnya memuat sinh, cosh, tanh, cosech, sech, dan ctanh. Contoh: y = cosh 4 y = cotanh Ditinjau dari Harga Fungsi Jenis-jenis fungsi dapat juga ditinjau dari harga fungsi, yang dapat dikemukakan sebagai berikut: a. Fungsi Genap Suatu fungsi f: A B untuk setiap maka f) adalah fungsi genap. A berlaku f)=f-) 64 K a l k u l u s

75 Contoh: y = y = b. Fungsi Ganjil Suatu fungsi f: A B untuk setiap ), maka f) adalah fungsi genap. Contoh: y = + y = Fungsi-fungsi yang lain A berlaku f) = -f- Selain pembagian jenis fungsi seperti tersebut di atas, ada beberapa jenis fungsi lain yang tidak termasuk pengelompokan sebelumnya. a. Fungsi Periodik F ) dikatakan fungsi periodik jika suatu konstanta c>0 dapat ditentukan F+c) sedemikian hingga berlaku F c = F). Contoh : F) = cos F + c) = sin + k ) b. Fungsi Homogen Fungsi f,y) disebut homogen jika untuk setiap,y diganti t, ty sedemikian sehingga ft,ty) = t n f,y), dengan n disebut derajat fungsi homogen. Contoh: F,y) = y +6 4 Ft,ty) = t) ty) + 6 t) 4 = t 4 y ) K a l k u l u s 65

76 = t 4 F,y) Jadi F,y) adalah fungsi homogen berderajat 4. c. Fungsi Invers Misalkan A dan B adalah himpunan dan f fungsi dari A ke B, dimana f = {a, b) : a A, b B}. Himpunan pasangan berurutan yang diperoleh dengan jalan menukarkan setiap pasangan berurutan a,b) f menjadi b,a) yang dilambangkan dengan f -. Jika, himpunan f - merupakan suatu fungsi, maka disebut suatu fungsi invers dari B ke A. Contoh : ) Misalkan f = {,), 4,6), 5,), 7,9)} Anggota f tidak terdapat dua pasangan berurutan berbeda yang mempunyai unsur pertama yang sama, maka f adalah sebuah fungsi, sedangkan f - = {,), 6,4),,5), 9,7)} juga sebuah fungsi sebab tidak terdapat pasangan berurutan yang mempunyai unsur pertama yang sama dan fungsi tersebut merupakan fungsi invers dari f. ) Tentukan invers dari : a. f) = 4 b. f) = 4) / + 6) c. f) = /5+8) Penyelesaian: a. f) = -4 = f) + 4 = f) + 4) / f - ) = + 4) / b. f) = 4) / + 6) f) + 6) = 4 f) + 6 f) = 4 f) = -6 f) 4 f) ) = -6 f) 4 66 K a l k u l u s

77 = - 6 f) + 4) / f) ) f - ) = ) / ) c. f) = / 5 + 8) f) 5 + 8) = 5 f) + 8 f) = = 8 f)) / 5 f) f - ) = 8) / 5 d. Fungsi Komposisi Jika f : y dan g : y z, dikatakan bahwa g f) : z adalah fungsi komposisi dari. Contoh : Diketahui f) = 4, g) = + 6 tentukan : a. f [g)] b. g [f)] Penyelesaian: a. f [g)] = g) 4 = + 6) 4 = = b. g [f)] = f) f) + 6 = 4) 4) + 6 = = e. Fungsi Parameter Suatu fungsi dimana dan y masing-masing dinyatakan dalam suatu variabel ketiga. Contoh : a. f t) y g t) K a l k u l u s 67

78 b. 4t 8 y t 4t. Grafik Fungsi Pembahasan grafik fungsi ini, diawali dengan pembahasan grafik fungsi aljabar yang terdiri dari grafik fungsi suku banyak, rasional dan irrasional, dilanjutkan dengan pembahasan grafik fungsi-fungsi khusus, yaitu grafik fungsi dengan banyak persamaan, fungsi dengan nilai mutlak, dan fungsi bilangan bulat terbesar fungsi tangga). Usaha untuk mempermudah menggambarkan grafik fungsi, dibahas pergeseran dan kesimetrisan grafik. Sedangkan untuk menggambarkan grafik canggih, dapat digunakan penggunaan turunan... Grafik Fungsi Aljabar... Grafik Fungsi Suku Banyak a. Grafik Fungsi Linier Grafik fungsi linier adalah garis lurus sehingga untuk menggambarkan grafik ini dapat diperoleh dengan mengambil dua titik berlainan pada bidang dan menghubungkannya. Cara yang dapat digunakan untuk mempermudah menggambarkan fungsi dengan mengambil dua titik yang merupakan titik potong dengan sumbu dan titik potong dengan sumbu y. Jika kedua titik potong tersebut adalah sama, yaitu 0,0), maka perlu diambil suatu penyelesaian: titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat sebagaimana pada tabel. Contoh: Gambarlah grafik fungsi f dimana f) = 4 Penyelesaian : Ambillah titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat sebagaimana tabel berikut: 68 K a l k u l u s

79 Tabel.: Titik Potong f) = 4 dengan sumbu koordinat 0 4 f) -4 0 Berdasarakan tabel tersebut dapat dituliskan bahwa titik-titik potong dengan sumbu koordinat adalah 0,-4) dan 4,0), dan grafiknya dapat digambarkan sebagai berikut : f) = -4 Gambar.0: Grafik fungsi f) = -4 Contoh : Gambarlah grafik fungsi f, jika f) = - Penyelesaian : Titik potong dengan sumbu diperoleh jika y=0, sehingga =0, sehingga diperoleh titik 0,0). Karena garis melalui 0,0) maka perlu diambil titik lain, misalnya jika =, maka y = -, sehingga K a l k u l u s 69

80 titik yang ditandai adalah -, ). Keterangan diatas dapat dikemukakan dalam tabel berikut: Tabel.: Pembuat Nol fungsi f) = - 0 f) 0 - Grafik fungsi f) = - digambarkan sebagai berikut : f) = - a. Grafik Fungsi Kuadrat Gambar.: Grafik fungsi f) = - Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut : ) Tentukan titik potong dengan sumbu.. Diperoleh jika y=0 sehingga diperoleh persamaan kuadrat a + b + c = 0. Penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut merupakan titik-titik potong dengan sumbu. Banyaknya titik potong dengan sumbu dapat dilihat dari nilai diskriminan yaitu D = b 4ac 70 K a l k u l u s

81 a. Jika D>0, maka grafik fungsi akan memotong sumbu di dua titik yang berbeda b. Jika D = 0, maka grafik fungsi akan memotong sumbu di satu titik dua titik berimpit) c. Jika D<0, maka grafik fungsi tidak memotong sumbu. Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika =0, sehingga y = a0) +b0) + c y = c. Jadi titik potong dengan sumbu y adalah 0,c). ) Tentukan titik ekstrim Titik ekstrim diperoleh dengan mengubah bentuk kuadrat dari persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, dengan cara seperti berikut : y = a + b + c y = a+ ) - sehingga diperoleh titik ekstrim, ) Untuk menentukan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat dilihat dari kondisi D = b 4ac dan harga a. Berdasarkan bentuk diatas didapat: a. Jika a>0 maka a + ) 0, R kalau diambil a+ ) = 0 yaitu nilai terkecil dari a+ ) b 4ac maka y = - merupakan nilai minimum dari 4a persamaan tersebut. Jadi, jika a>0 akan diperoleh titik ekstrim minimum., ). b. Jka a<0 maka a+ ) 0, R Dengan analisis yang sama dengan yang diatas akan didapat ; Jika a<0 maka akan diperoleh titik ekstrim maksi-mum, ). K a l k u l u s 7

82 Berdasarkan hasil diatas dapat dibuat beberapa sketsa grafik fungsi kuadrat dengan melihat kemungkinan-kemungkinan nilai a dan D, sebagai berikut : a>0 D>0 a>0 D=0 a>0 D<0 a<0 D>0 Gambar.: Alternatif Kurva berdasarkan nilai a dan D Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f) = + 4 Penyelesaian:. Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik potong dengan sumbu mempunyai ordinat y = 0, sehingga 0 = + 4 = - ) + 4) = atau = -4 Jadi, titik potong dengan sumbu adalah,0) dan -4,0). Titik potong dengan sumbu y mempunyai absis = 0 sehingga y =-4, sehingga titik potong dengan sumbu y mempunyai koordinat 0, -4). Titik Ekstrim Dari persamaan kuadrat: 7 K a l k u l u s a<0 D=0 a<0 D<0

83 y = + 4 y = a+/) 5/4 dari persamaan tersebut dapat dituliskan titik ekstrimnya adalah 5, ) 4 Dengan mendasarkan diri pada penghitungan diatas, maka dapat digambarkan grafik fungsi y = + 4 sebagai berikut: y = + 4 c. Grafik Fungsi Kubik Gambar.: Grafik fungsi y = + 4 Pembahasan grafik fungsi kubik dapat digambarkan dengan mengambil beberapa titik anggota daerah asal yang dapat mewakili titik-titik yang lain. Pembahsan lebih lanjut, dapat dilihat pada penggunan turunan. Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f ) = Penyelesaian: Grafik fungsi f dengan f) = dapat digambar dengan mengambil beberapa titik pada R sebagai berikut : Tabel.: Harga Pembuat Nol fungsi f ) = y K a l k u l u s 7

84 Berdasarkan beberapa titik sebagaimana terdapat dalam tabel tersebut, jika dilanjutkan sampai menuju tak terhingga, nilai f) semakin besar dan jika dilanjutkan sampai menuju negatif tak terhingga maka nilai f) semakin kecil, sehingga grafik fungsi f dengan f) = dapat digambarkan sebagai berikut f) = Contoh : Gambar.4: Grafik fungsi f) = Gambarlah grafik fungsi f jika f) = + Penyelesaian : Untuk menggambar grafik fungsi f diambil beberapa titik pada R yang disajikan dalam tabel sebagai berikut : Tabel.4: Harga Pembuat Nol Fungsi f) = y -6-0 Grafik fungsi f di atas dapat dilihat pada gambar berikut : 74 K a l k u l u s

85 f) = + Gambar.5: Grafik Fungsi f) = +... Grafik Fungsi Rasional Grafik fungsi rasional didapat dengan membuat tabel nilai tanpa mengabaikan keistimewaan yang terjadi pada grafik fungsi rasional. Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f) = Penyelesaian : Untuk menggambar grafik fungsi tersebut dibuat tabel nilai sebagai berikut : Tabel.5: Harga Pembuat Nol f) = y K a l k u l u s 75

86 Berdasarkan Tabel.4 terlihat bahwa jika mendekati 0 dari kanan, nilai f) membesar tanpa batas dan jika mendekati 0 dari kiri nilai f) mengecil tanpa batas. Untuk =0 fungsi tersebut menjadi tidak terdefinisi. Grafiknya dapat digambarkan sebagai berikut : f) = Gambar.6: Grafik Fungsi f) = Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f) = Penyelesaian : Tabel nilai fungsi diatas sebagai berikut : Tabel.6: Harga Pembuat Nol f) = y Berdasarkan Tabel.5 terlihat bahwa jika mendekati 0 dari kanan nilai f) membesar tanpa batas dan jika mendekati 0 dan kiri nilai f) mengecil tanpa batas. Untuk = 0 fungsi tersebut menjadi tidak terdefinisi, namun grafik ini digeser keatas sejauh 76 K a l k u l u s

87 satuan dari grafik fungsi f) =. Grafiknya dapat digambarkan sebagai berikut : f) = Gambar.7: Grafik Fungsi f) =... Grafik Fungsi Irrasional Untuk membuat grafik fungsi irrasional dapat dibuat tabel nilai dengan memperhatikan daerah asal dari fungsi. Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f) = Penyelesaian: Daerah asal dari f adalah D f = 0, ) sehingga tabel nilai yang bersesuaian adalah sebagai berikut Tabel.7: Harga Pembuat Nol Fungsi f) = y 0 4 Dari tabel tersebut dapat digambarkan grafiknya sebagai berikut : K a l k u l u s 77

88 f) = Gambar.8: Grafik Fungsi f) =.. Grafik Fungsi Khusus Pada pembahasan ini akan diuraikan tentang grafik fungsi dengan banyak persamaan, grafik fungsi nilai mutlak, dan grafik fungsi bilangan bulat terbesar fungsi tangga). a. Grafik Fungsi dengan Banyak Persamaan Sebuah fungsi ada juga yang dinyatakan dengan beberapa persamaan dalam satu kesatuan, sehingga gambar grafiknya juga perpaduan dari beberapa grafik fungsi tersebut dengan memperhatikan persyaratannya. Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f) =,, Penyelesaian : Grafik fungsi diperoleh dengan menggunakan masing-masing grafik fungsi sesuai aturan sebagai berikut : Menggambar grafik f dengan f) = + untuk < Menggambar grafik f dengan f) = untuk Sehingga diperoleh grafik fungsi f sebagai berikut : 78 K a l k u l u s

89 y Gambar.9: Grafik Fungsi f) =,, b. Grafik Fungsi dengan Nilai Mutlak Nilai Mutlak suatu bialangan real dinyatakan dengan dan didefinisikan sebagai : =, jika 0 = -, jika < 0 Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut dapat dibantu dengan tabel berikut. Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f) = Penyelesaian : Dari pengertian nilai mutlak sebagaimana diatas dapat digambar grafiknya seperti berikut: Gambar.0: Grafik Fungsi f) = K a l k u l u s 79

90 Contoh : Gambarlah grafik fungsi f dengan f ) = Penyelesaian : Menurut definisi fungsi dengan nilai mutlak : f) = = Sehingga grafik fungsinya adalah sebagai berikut : f) = Gambar.: Grafik Fungsi f) = c. Grafik Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Sebuah fungsi yang dilambangkan didefinisikan dengan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan. Contoh : Gambarlah grafik fungsi f jika f ) Penyelesaian : Fungsi f dengan f ) menurut definisi adalah 80 K a l k u l u s

91 f) = = Sehingga grafik fungsinya adalah sebagai berikut. Gambar.: Grafik Fungsi f ).. Pergeseran Grafik Fungsi Grafik fungsi y f a) b, a 0, b 0 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi y f ) sejauh a satuan ke kanan ke arah sumbuh positif) dan b satuan ke atas ke arah sumbu y positif). Arah pergesereran grafik fungsi jika y = f-a) + b adalah sebagai berikut: a 0 dan b > 0 pergeserannya ke kanan dan ke atas. a 0 dan b > 0 pergeserannya ke kiri dan ke kanan. a 0 dan b < 0 pergeserannya ke kanan dan ke bawah. a < 0 dan b < 0 pergeserannya ke kiri dank e bawah Ilustrasinya sebagai berikut: y = f) y = f-a) y = f)+b y = f-a)+b Gambar.: Ilustrasi Pergeseran Grafik K a l k u l u s 8

92 Contoh: Gambarlah grafik fungsi f, jika f) = +4+ Penyelesaian: Untuk membuat grafik fungsi kuadrat dengan cara seperti di jelaskan sebelumnya akan memakan banyak waktu. Untuk mempermudah membuat grafik dapat digunakan prinsip pergeseran dari grafik kuadrat sempurna yaitu f ) 4 ) y dengan mengubah menjadi bentuk sehingga diperoleh grafik fungsi f sebagai berikut. y = +4+ y Gambar.4: Grafik fungsi y = +4+ dan..4 Kesimetrisan Grafik Fungsi 8 K a l k u l u s y Dengan adanya definisi fungsi genap dan ganjil akan mempermudah dalam menggambarkan grafik fungsi, karena akan diketahui kesimetrisan grafik. Jika f fungsi genap, maka grafik fungsi f simerti terhadap sumbu y dan jika f fungsi ganjil, maka grafik fungsi f simerti terhadap titik asal. Contoh: Gambarlah grafik fungsi f jika f) = -

93 Penyelesaian: Untuk menguji apakah fungsi tersebut genap atau ganjil maka digunakan langkah sebagai berikut: f-) = -) = - Karena f-) = f), maka fungsi f adalah fungsi genap sehingga simetri terhadap sumbu y. untuk mempermudah menggambarkan grafiknya diperlukan bentuan tabel sebagai berikut: Tabel.8: Titik-titik Grafik Fungsi f) = y Dari tabel tersebut dapat membantu untuk menggambar grafiknya sebagai berikut: f) = - Gambar.5: Grafik Fungsi f) = - K a l k u l u s 8

94 84 K a l k u l u s Soal-soal Latihan 7: Gambarlah grafik fungsi f dengan masing-masing aturan fungsi sebagai berikut: ) 5). 4 ) 4). 4 ) ). ) ). 6 ) ). ) ) 0). 6 8 ) 9). ) ) 8). ) 7). 4 ) 6). 5 4 ) 5). 4 4 ) 4). ) ) ). 8 ) ). 9 5 ) ). f f f f f f f f f f f f f f f ) ). ) ). ) 0). ) 9). 5 ) 8). ) 7). ) 6). f f f f f f f

95 Gambarlah grafik fungsi f dengan menentukan daerah asal terlebih dahulu: ) y = 4) f)= Gambarlah grafik fungsi di bawah ini dengan cara pergeseran 5) f)= ) f)= ) f)= ) + 4 8) f)= + 4) -4 9) f)= - 4 Gambarlah grafik fungsi di bawah ini dengan terlebih dahulu menentukan apakah masing-masing fungsi merupakan fungsi genap atau ganjil atau bukan kedua-duanya. 0). f ) ). f ) ). f ) ). f ) 4). f ), jika t 0 5). f ) t, jika 0 t t, jika t K a l k u l u s 85

96 . Operasi pada Himpunan Fungsi Operasi hitung pada bilangan real, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan dan penarikan akar sudah diketahui. Operasi-operasi pada dua fungsi, berikut daerah asal hasil operasi dua fungsi tersebut seperti pada tabel berikut. Tabel.9: Daerah Asal Hasil Operasi Rumus f g) ) f ) g ) f g) ) f ) g ) f. g) ) f ). g ) f / g) ) f ) / g ), g ) 0 n f ) f )), n n Daerah Asal Df Dg Df Dg Df Dg Df Dg Df Contoh: Misalkan f) = dan f) = tentukan a. f+g)) b. f-g)) c. f.g)) d. f/g)) e. f ) f. g ) Penyelesaian: 86 K a l k u l u s

97 K a l k u l u s 87 ) ). ) ). ) / ) ) /. ). ) ).. ) ). ) ). g f f e g f d g f c g f b g f a.. Komposisi fungsi Misalnya f dan g dua fungsi, dapat di komposisi dari f dan g yang ditulis dengan g f yang mempunyai arti: fo )) = fg)) Contoh: Misalnya f dan g fungsi dengan ) f dan g)= tentukan a. g f b. f g Penyelesaian: a. fog ) = fg)) ) g b. gof ) = gf))

98 = = = Soal-soal Latihan 8: ) Untuk f ) dan a. f+g)) b. f.g)0) c. g/f)) d. f o g)0) e. g o f)0) 88 K a l k u l u s g ) carilah nilai dari ) Untuk f ) dan g ) carilah rumus untuk masing-masing berikut dan nyatakan daerah asalnya. a. f+g)) b. g/f)) c. fog)) d. gof)) ) Tentukan f ) 5 dan g ), carilah rumusrumus untuk fog)) dan gof)). 4) Jika f ) dan g ), cari rumus-rumus untuk yang berikut dan nyatakan daerah asalnya. a. f+g)) b. g/f)) c. fog)) d. gof)) e. f ) g )

99 5) Jika g ) carilah rumus untuk a. g ) b. g o g)) c. g o g o g)) 6) Carilah f dan g sedemikian hingga p = f o g p ) a. b. p ) log ) 7) Carilah f dan g sedemikian hingga F = g o f a. F) = 7 b. F) = ) 5 8) Tuliskan k) = log sebagai suatu komposisi tiga fungsi dalam dua cara berbeda. 9) Tuliskan k)= log sebagai suatu komposisi dari empat fungsi. 0) Hitunglah [ g ) g )] jika g ) 6.4 Grafik Fungsi Sinus dan Cosinus Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t, kita ikuti prosedur baku buat tabel nilai, rajah titik-titik yang berpadanan, dan hubungkan titik-titik ini dengan lengkungan mulus). Dengan bantuan tabel fungsi trigonometri ukuran radian) atau memakai kalkulator dalam mode rad) diperoleh grafik dalam gambar di bawah berikut. Empat sifat dari grafik fungsi sinus dan cosinus adalah sebagai berikut:. sin t dan cos t keduanya berkisar - sampai dengan.. Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan. K a l k u l u s 89

100 . Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal fungsi ganjil) dan y = cos t terhadap sb y fungsi genap) 4. Grafik y = sin t sama seperti grafik y = cos t, tetapi digeser satuan kekanan..4. Empat Fungsi Trigonometri Lainnya Empat fungsi trignometri lainnya: tangen, ctan, sec, dan csc, didefinisikan sebagai berikut. tan t cot t sect csct sin t cost cost sin t cost sin t Grafik untuk fungsi y = tan t diberikan pada gambar berikut. y Gambar.6: Grafik Fungsi y = tan t 90 K a l k u l u s

101 .4. Hubungan dengan Trigonometri Sudut Ukuran sebuah sudut biasanya dinyatakan dalam satuan derajat atau satuan radian. Sudut yang berpadanan terhadap satuan putaran penuh berukuran 60 0 atau radian. Dengan demikian sudut siku-siku adalah 90 0 atau radian. Jika di konversi diperoleh 80 0 = radian,4597 radian 0 0,0745 radian dan radian 57, Contoh: a. Konversikan 50 0 ke dalam satuan radian. b. Konversikan 6 radian ke dalam satuan derajat. Penyelesaian: a , b. radian = Jika r = satuan), maka panjang busur pada lingkaran satuan degan sudut pusat t radian adalah t. Jadi dapat disimpulkan bahwa panjang busur lingkaran satuan di depan sudut pusat yang besarnya t radian adalah t satuan. Tanda dari t positif atau negatif tergantung arah peng-ukurannya. Jadi arah pengukuran berlawanan arah putar jarum jam, maka t bertanda positif, sebaliknya bertanda negatif. Sekarang kita mendapatkan hubungan antara trigo-nometri sudut dan trigonometri lingkaran satuan sebagai berikut. Jika adalah sudut yang berukuran t radian, maka sin Ø = sin t dan cos Ø = cos t. K a l k u l u s 9

102 Soal-soal Latihan 9: ). Konversikan yang berikut ke dalam radian gunakan dalam jawaban anda) a b c d. 8 0 e. 6 0 ). Konversikan ukuran radian berikut menjadi derajat. 7 a. 6 b. 8 c. d. 8 e. 5 ). Hitunglah tanpa memakai kalkulator. a. tan ) 6 b. sec ) c. csc ) d. cot ) 4 4) Periksa kebenaran kesamaan berikut. a. +sinz) -sinz) = sec b. sec t -) sec i + )= tan t 9 K a l k u l u s

103 c. sec t- sin t tan t = cos t sec t d. = sin t sec t 5) Sketsalah grafik-grafik yang berikut pada [-, ]. a. y=sec t b. y=sin t c. y=sin t d. y=sin t 4 Contoh soal dan penyelesaian ) Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi f ) = Penyelesaian: Agar f ) R, syaratnya adalah 0, sehingga daerah asal fungsi f adalah Df = R {0} Untuk menentukan daerah hasil fungsi ini, dapat dengan bantuan grafik dengan cara seperti berikut. y= y =, y 0 y jadi daerah hasil fungsi f adalah Rf = R {0} jika dalam bentuk grafik adalah seperti berikut : K a l k u l u s 9

104 Jadi R f = R {0} 94 K a l k u l u s Gambar.7: Grafik Fungsi f ) = ) Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi g dengan g ) = 4 ). Penyelesaian: Agar g) R syaratnya adalah 4 - -) = ) Jadi daerah asal fungsi g adalah [0,4]. Daerah asal fungsi g dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Karena D g = [0,4], maka 4 0 ) 4 ) 0 4 ) 0 4 ) 0 g ) 4 0 4

105 ) Selidikilah apakah fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya. a. f) = + 4 b. g) = { - } c. h ) = X 4 jika jika Penyelesaian: a. f-) = -) + 4= 4 ). Jadi f fungsi genap.... jika 0 b. g) = { }= jika0 0 jika 0 jika... Pilih =, maka g-) = -, tetapi g) =0. Karena terdapat = tetapi - = g-) -g) = 0, dan - = g-) -g )=0 maka g bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil. 4). Gambarlah grafik fungsi f) = +. Penyeleseian: f-) = -) + -) = - - = - +) = -f) Karena f-)= -f), maka f fungsi ganjil. Grafik f simetri terhadap titik asal, sehingga titik-titik yang perlu diambil adalah K a l k u l u s 95

106 Tabel.0: Titik-titik Fungsi f) = + 0 f) Grafik fungsinya sebagai berikut: Gambar.8: Grafik Fungsi f) = + 5) Gambarlah grafik fungsi f jika f) = Penyelesaian: Menentukan daerah asal, karena untuk setiap, nilai + 0 maka daerah fungsi adalah R. Menentukan kesimetrian grafik, karena f -) = - f ) maka fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, karena itu grafiknya akan simetri terhadap titik asal. Tabel nilai karena sudah diperiksa kesimetrian grafik maka tabel nilai yang diperlukan adalah 96 K a l k u l u s

107 Tabel.: Titik-titik Fungsi f) = 0 f) 0 Grafik fungsi f adalah sebagai berikut 5 5 Gambar.9: Grafik Fungsi f) = cos t 6). Periksalah bahwa tan t sin t cos t sin t Penyelesaian: cos t tan t sin t cos t sin t cos t sin t cos t tan t sin t sin t cos t tan t 7). Tuliskanlah sin t dalam bentuk t petunjuk: t = t + t) K a l k u l u s 97

108 Penyeleseian: Sin t = sin t + t) = sin t cos t +cos t sin t = sin t cos t cos t + - sin = sin t cos 98 K a l k u l u s t + sin t sin t t)sin t = sin t sin t) + sin t sin t Soal-soal Latihan 0: = sin t 4 sin t ) Tentukan daerah asal fungsi berikut. a. f ) = b. f) = c. g) = 4 d. h) = t ) Misalkan f fungsi dengan f t) = t a. Tulis fungsi f dengan tanpa tanda nilai mutlak b. Selidiki, apakah f fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya c. Sketsa grafik fungsi f ) Nyatakan apakah masing-masing yang berikut berupa suatu fungsi ganjil, fungsi genap, atau tidak satupun, buktikan pernyataan anda. a. Jumlah dua fungsi genap b. jumlah dua fungsi ganjil c. Hasil kali dua fungsi genap d. Hasil kali dua fungsi ganjil

109 e. Hasil kali fungsi genap dan fungsi ganjil 4) Nyatakan apakah fungsi berikut berupa fungsi ganjil, fungsi genap, atau tidak satupun. Jelaskan jawaban anda. a. f ) = sec b. f ) = sin c. f ) = sin d. f) = csc e. f) = cos f. f) = sin + cos 5) Sketsalah grafik-grafik dari fungsi berikut pada [,, ]. a. y = csc t b. y = cos t c. y = cos t 6) Tulislah aturan fungsi berikut ke dalam bentuk tanpa tanda nilai mutlak dan gambar grafiknya. a. f) = sin b. f) = - cos c. g) = d. g) = cos sin 7) Diketahui f ) = dan g ) =. Tentukan aturan fungsi f + g, f g, f.g, g f dan f g beserta daerah asalnya. 8) Jelaskan untuk benar atau salahnya pernyataan berikut. a. Persamaan y + = menentukan suatu fungsi dengan rumus berbentuk y f) b. Daerah asal dari f) = adalah 8 4 selang [0,4] K a l k u l u s 99

110 c. Daerah hasil dari fungsi f dengan f) = 6 adalah selang [-6, ]. d. Fungsi f dengan f ) = adalah selang [0,4] 4 e. jika daerah hasil suatu fungsi hanya terdiri dari satu bilangan, maka daerah asalnya juga hanya terdiri dari satu bilangan. f. Jika daerah asal suatu fungsi memuat paling sedikit dua bilangan, maka daerah hasilnya juga memuat paling sedikit dua bilangan. g. Jika f) = dan g ) =, maka g o f = f o g. h. Jika f dan g mempunyai daerah yang sama misalkan D, f maka juga mempunyai daerah asal D. g 00 K a l k u l u s

111 Bab Tiga L i m i t Gottfried Wilhelm Leibnis ) menguak bahwa arah semua perkembangan ilmu modern terletak dalam membangun keteraturan simetri dan harmoni, sifat yang berkenaan dengan ketajaman berbanding menangani masalah tunggal Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa dapat:. Memahami limit fungsi dan menentukan limit fungsi di suatu titik, limit sepihak. Memahami dan dapat menerapkan teorema limit fungsi. Memahami limit fungsi trigonemetri dan dapat menerapkannya dalam penyelesaian soal-soal yang bersesuaian K a l k u l u s 0

112 . Pendahuluan Kalkulus diferensial dan integral dibangun dan dikembangkan dengan mendasarkan diri kepada konsep limit fungsi yang dikenal sebagai suatu proses takhingga dan merupakan suatu cara khusus dari kalkulus. Jika diketahui sebuah fungsi yang mempunyai peubah bebas mendekati suatu titik tertentu, yang mempunyai arti bahwa peubah bebas mempunyai jarak yang semakin lama semakin kecil ke suatu titik tertentu, maka nilai peubah tergantung akan mendekati suatu titik tertentu, apakah membesar, mengecil, menuju positif atau negatif dan bahkan menuju ke takhingga. Permasalahan yang dikemukakan sebagaimana uraian tersebut dikaji dalam limit fungsi sebagaimana diuraikan dalam pembahasan berikut. Perkataan limit sering digunakan dalam kehidupan seharihari, namun tidak banyak kaitannya dengan kalkulus, misalnya, penyelesaian tugas mata kuliah kalkulus mendekati tahap akhir, skripsi saya sudah mendekati penyelesaian. Kata-kata mendekati merupakan pengukuran kata limit dalam kehidupan sehari-hari. Pemahaman limit secara intuisi dapat dijelaskan sebagai berikut, pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus berikut: f Perhatian bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk =, karena tidak f) berbentuk 0/0, bentuk ini tanpa arti. Tetapi masih dapat dikonsultasikan kepada f) jika mendekati. Untuk memperoleh jawaban dari kondisi tersebut ada dua hal yang dapat dilakukan, yaitu; a) menghitung nilai f) untuk mendekati ; b) membuat sketsa grafik y = f). 0 K a l k u l u s

113 Tabel.: Nilai f),00,00,050,00 f),00,00,050,00,000? 0,999 0,950 0,900 0,800,999,950,900,800 Berdasarkan tabel nilai tersebut grafik digambarkan sebagai berikut : f dapat y Gambar.: Grafik fungsi f K a l k u l u s 0

114 Gambar. memberikan informasi bahwa jika mendekati, maka f) mendekati, kondisi tersebut secara matematika dapat ditulis sebagai berikut : 04 K a l k u l u s lim Dibaca limit dari untuk mendekati adalah. Penyelesaian soal tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan manipulasi aljabar, mencari faktor-faktornya kemu-dian disederhanakan seperti berikut: lim lim = lim Memperhatikan uraian di atas dapat diperhatikan bahwa nilai - )/ - ) = untuk, dan untuk menegaskan permahaman tentang limit, perhatikan definisi berikut: Definisi : lim f L berarti bahwa jika dekat tetapi tidak sama dengan c, c maka f) dekat ke L. Sebagai contoh, untuk f, maka f) tidak terdefinisi di =, namun untuk mendekati dapat diperoleh nilainya.. Limit Fungsi di Satu Titik Suatu fungsi f dikatakan mendekati suatu nilai L untuk mendekati a, jika f) dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan

115 cara membuat cukup dekat ke a. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai berikut : lim f a L Contoh : atau a f L atau f L a Carilah lim 7 4 Penyelesaian : Jika dekat ke 4, maka 7 dekat ke.4 7 = dan ditulis lim 4 7 Contoh : Carilah lim Penyelesaian : Jika dekat ke, maka dekat ke = 7, ditulis lim 7 Contoh : Carilah lim Penyelesaian : lim = lim lim = K a l k u l u s 05

116 Contoh 4: 8 Carilah lim Penyelesaian : 8 lim lim Contoh 5 : 0 Carilah lim 6 Penyelesaian : 0 lim 6 lim 5 5 lim 7 5 Contoh 6 Carilah lim 4 lim 4 Penyelesaian : didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan. Berdasarkan definisi tersebut dapat dikatakan, = n, jika n < n + n + < n +, n anggota bilangan bulat. 06 K a l k u l u s

117 n = - = -, untuk - 0 n = - = -, untuk 0 n = 0 = 0, untuk n = =, untuk n = =, untuk 4 Grafik fungsi tersebut jika digambarkan sebagai berikut : Gambar.: Grafik fungsi f) = Berdasarkan gambar. dapat diperoleh keterangan bahwa untuk semua yang lebih kecil dan lebih besar atau sama dengan diperloeh = 0, untuk semua yang lebih kecil dan lebih besar atau sama dengan diperoleh =. Dengan demikian tidak ada bilang L sedemikin hingga dekat ke L jika ke, sehingga dapat diambil kesimpulan lim tidak ada. K a l k u l u s 07

118 Soal-soal Latihan : Cari limit yang ditunjukkan untuk soal No. hingga. ). lim 9 ). lim ). lim 4). lim 5 5). lim 7 6). lim 9 7). 8). 9). 6 lim 4 lim 4 9 lim 4 lim 0). ). lim 8 9 ). lim 4 Hitunglah limit untuk soal hingga 6 petunjuk: gunakan operasi aljabar terlebih dahulu untuk menyederhanakan pecahan) 4 ). lim 4 4 4). lim 08 K a l k u l u s

119 5 5). lim 4 6). lim 9 7). lim 9 8). lim 6 9). lim 8 0). lim ). lim 4 4 ). lim 64 ). lim 4 4 4). lim 6 5). lim 0 4 6). lim 0 7). Sketsa grafik dari, 0 f ),0, Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika ada. a. lim f ) 0 K a l k u l u s 09

120 b. f ) c. lim f ) d. f 0) 8). Sketsalah grafik fungsi f jika, f ),, Kemudian carilah nilai untuk masing-masing soal yang berikut dan uraikan alasan jawabannya. a. lim f ) 0 b. lim f ) c. f ) d. f ) 9). Sketsalah grafik f ), kemudian carilah nilai untuk masing-masing yang berikut serta beri alasan. a. lim f ) 0 b. lim f ) c. f ) d. f 0) 0). Berilah alasan mengapa fungsi-fungsi berikut tidak mempunyai limit di titik yang ditunjuk, 0 a. f) di, 5, 0 b. f ) di 0, 5 0 K a l k u l u s

121 . Limit-limit Sepihak Jika suatu fungsi mempunyai lompatan, yang bermakna tidak kontinyu sebagaimana grafik dari tidak ada pada setiap titik lompatan. Definisi : c f ), maka limit lim f ) L, mempunyai arti bahwa jika dekat dan di sebelah kanan c, maka f) adalah dekat ke L, demikian juga untuk lim f ) L berarti bahwa jika dekat dan di sebelah kiri c, maka c f) dekat ke L. Contoh : Hitung lim Penyelesaian : y dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut: Gambar.: Grafik fungsi y K a l k u l u s

122 Fungsi didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan, sehingga untuk semua bilangan yang lebih kecil dari dan lebih besar atau sama dengan, maka dan semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan dan lebih kecil dari, maka. Berdasarkan kenyataan tersebut dapat dilihat bahwa limit fungsi untuk mendekati dari kiri nilai dan limit fungsi untuk mendekati dari kanan nilainya, sehingga tidak pernah diperoleh nilai L yang tunggal, dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa nilai limit dari kiri tidak sama dengan nilai limit dari kanan. Jadi dapat disimpulkan bahwa lim tidak ada. Kenyataan tersebut jika ditulis dalam bentuk limit kiri dan limit kanan dapat ditulis sebagai berikut: lim lim Teorema: lim f ) L jika dan hanya jika lim f ) c c = lim f ) c Contoh : Cari nilai limit yang ditunjukkan atau nilai fungsi yang dinyatakan dalam soal untuk grafik fungsi sebagaimana berikut dan berikan alasan dari jawaban yang ditemukan. K a l k u l u s

123 a. lim f ) 0 b. lim f ) 0 c. lim f ) 0 d. lim f ) e. lim f ) f. lim f ) Penyelesaian : a. Jika mendekati 0 dari kiri, maka f) dekat ke 4 ditulis lim f ) 4 0 b. Jika mendekati 0 dari kanan, maka f) dekat ke 0 ditulis lim f ) 0 0 c. Karena lim f ) lim 0 0 f ), maka lim f ) tidak ada 0 d. Jika mendekati dari kiri, maka f) dekat ke 4 ditulis lim f ) 4 e. Jika mendekati dari kanan, maka f) dekat ke 4 ditulis lim f ) 4 f. Karena lim f ) lim f ) 4, maka lim f ) 4 Soal-soal Latihan : ). Carilah limit pada soal berikut dengan mendasarkan pada grafik yang ditentukan. a. lim f ) b. lim f ) c. lim f ) d. f ) K a l k u l u s

124 ). Cari limit fungsi soal-soal berikut dengan memper-hatikan grafik yang diketahui a. lim f ) b. lim f ) c. lim f ) d. f ) ). Carilah limit fungsi soal-soal berikut berdasarkan grafik yang diketahui. a. lim f ) b. lim f ) c. lim f ) d. f ) 4 K a l k u l u s

125 4). Carilah limit funsgsi soal-soal berikut berdasarkan grafik yang diketahui: a. lim f ) b. lim f ) c. lim f ) d. f ) Carilah limit dari soal No.5 hingga 5). lim ) 0 6). lim ) 0 7). lim 4 0 8). lim 9 9). lim 4 K a l k u l u s 5

126 0). lim 9 ). lim 4 ). lim ). 4). 5). 6). 7). 8). lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 6 K a l k u l u s lim 0 lim 0 lim 9). 0). ). lim 0 lim 4 0 ). lim ). Diketahui fungsi sebagai berikut:, f ), a. Sketsa grafik fungsi tersebut

127 b. Carilah lim f ), lim f ),f ) c. Carilah lim f ), lim f ),f ) 4). Diketahui fungsi sebagai berikut : f) -, 0 0, atau, a. Sketsa grafik fungsi tersebut b. Carilah lim f ), lim f ),f 0) 0 0 c. Carilah lim f ), lim f ),f ) d. Carilah lim f ), lim f ),f ) 5). Diketahui fungsi sebagai berikut : f), 0,0, a. Sketsa grafik fungsi tersebut b. Carilah lim f ), lim f ),f 0) 0 0 c. Carilah lim f ), lim f ),f ).4 Teorema Limit Teorema limit berikut dapat dibuktikan berdasarkan definisi limit, teorema dan berbagai manipulasi aljabar serta analisis. Teorema Misalkan n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi limit di c, maka K a l k u l u s 7

128 lim k k c lim c c limkf ) k lim f ) c c 4 lim f ) g ) lim f ) lim g ) c c c 5 lim f ) g ) lim f ) lim g ) c c c 6 lim f ). g ) lim f ).lim g ) c c c 7 lim f ) / g ) lim f ) / lim g ) c c n 8 n lim f ) lim f ) c 9 n f ) n c c c c lim lim f ), asalkan lim f ) 0 jika n genap c 0 lim f ) f c), jika f) adalah fungsi polinom atau c Contoh : fungsi rasional dengan syarat penyebutnya tidak sama dengan nol di c) Carilah lim 5 4 Penyelesaian : lim 5 lim lim Contoh : lim 4 5lim Carilah lim Penyelesaian : lim lim 8 K a l k u l u s

129 lim lim [lim ] 8. lim lim lim Contoh : Carilah lim 4 Penyelesaian : lim lim 6 lim lim [lim ] lim6 4 6lim 4 6lim 4 Soal-soal Latihan : Gunakan teori limit untuk menyelesaikan soal-soal No. hingga 8. ). lim5 4 ). lim 8 K a l k u l u s 9

130 ). lim6 5 4). lim 5). lim 4 6). lim 7). lim 8). lim 9). lim 0). lim ). lim 4 ). lim 4 ). lim 4 4). lim 5). lim ) 6). lim 4 7). lim 8). lim 4 Cari limit soalno 9 hingga 4 jika lim f c dan lim g c 9). lim f ) g ) c 0 K a l k u l u s

131 f ) g ) 0). lim c f ) g ) ). lim g ) f ) c ). 5 lim f ) c ). lim f ) c) g ) c 4). lim f ) g ) c Carilah f ) f ) lim ) untuk setiap fungsi yang diberikan: 5). f ) 5 6). f ) 5 7). f ) 8). f ) 9). f ) 5 0). f ).5 Limit-limit Tak Hingga Limit tak hingga terjadi jika f) membesar atau mengecil tanpa batas, demikian juga untuk peubah yang membesar atau mengecil tanpa batas, sehingga aktivitas limit ini melibatkan lambang dan. Pernyataan tersebut memaparkan adanya dua konsep limit tak hingga. Konsep pertama menggambarkan tentang limit fungsi di titik c untuk fungsi f yang terdefinisi pada interval yang memuat c, dalam hal ini kemung-kinannya ada dua sebagaimana berikut: lim f) c atau lim f) c K a l k u l u s

132 Konsep kedua adalah limit fungsi f dimana peubah membesar tanpa batas ) atau untuk peubah mengecil tanpa batas ) yang dikenal dengan limit di tak hingga, dalam hal ini kemungkianannya adalah lim f) L atau lim f) L oo.5. Limit Tak Hingga oo Perhatikan grafik fungsi f ) ) Gambar.4: Grafik fungsi f ) ) Berdasarkan grafik.4 terlihat bahwa jika cukup dekat ke maka f) membesar tanpa batas artinya f) dapat lebih besar dari setiap bilangan positif M sebarang sangat dekat dengan. Pernyataan di atas mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif M sebarang terdapat > 0 sehingga berlaku f) > M untuk Lim ), secara matematis dapat ditulis dengan M f M. Berdasarkan ilustrasi tersebut dapat dikemukakan definisi limit tak hingga : Definisi : K a l k u l u s

133 Lim f) jika M 0δ 0 0 c δ f) M c Lim f) jika M 0 δ 0 0 c δ f) M c Lim f) jika M 0 δ c δ f) N c Lim f) jika M 0 δ 0 0 c δ f) N c Lim f) jika M 0 δ 0 0 c δ f) N c Teorema: Misalkan fungsi f ) y terdefinisi pada interval terbuka yang g ) memuat c kecuali mungkin di c sendiri. Jika Lim f) L, 0 dan Lim g) 0, maka c Lim c Lim c Lim c f) g) f) g) f) g) c, jika L 0 dan g) 0, jika L 0 dan g) 0, jika L 0 dan g) 0 f) - Lim, jika L 0 dan g) 0 c g) Contoh: Carilah limit berikut:.. 8 Lim Lim 6 K a l k u l u s

134 . 5 Lim Penyelesaian :. Lim 8 5 positif Lim 5 6 Lim 0 dari arah positif, sebab 0 dan ,, sehingga pada interval 8 Lim 5 6. Lim 4 positif) 0 Lim 6 Lim _ 4 dari arah negatif sehingga Lim. lim 5 positif) Lim lim 6 0. dari arah positif, sebab 0 dan 0 0 pada intrval,, sehingga 5 Lim.5. Limit di Tak Hingga Perhatikan grafik fungsi f ) 4 K a l k u l u s

135 Gambar.5: Grafik fungsi f ) Nilai f) akan mendekati 0 apabila membesar atau mengecil tanpa batas, dan dapat ditulis Lim oo 0atau Lim 0 oo Untuk memahami limit di takhingga secara definisi perhatikan ilustrasi berikut : Gambar.6: Grafik Ilustrasi Limit Takhingga Berdasarkan grafik.6 terlihat jika >M, maka f) dapat dibuat sedekat mungkin ke L atau dapat dikatakan dengan jarak f) ke L dapat dibuat lebih kecil dari bilangan positif kecil yang dilambangkan dengan. Berdasarkan ilustrasi tersebut dapat K a l k u l u s 5

136 dikatakan bahwa limit fungsi f di tak hingga sama dengan l dan ditulis secara matematik sebagai berikut : Lim f ) L, jika oo ε 0 M 0 M f L ε Untuk mendekati negatif tak hingga dapat dikaji dengan ilustrasi berikut : Gambar.7: Grafik Ilustrasi Mendekati Takhingga Berdasarkan ilustrasi tersebut dapat dikemukakan bahwa jika < N, maka f) dapat dibuat sedekat mungkin ke L. Secara matematika dapat dikemukakan sebagai berikut : ε N 0 N f) L ε Beberapa sifat aljabar limit fungsi di tak hingga dapat dikemukakan sebagai berikut : jika Lim f ) L dan g ) M, maka oo a. Lim f ) g ) L M oo b. Lim f ) g ) L M oo c. Lim f ). g ) L. M oo d. Lim f ) / g ) L / M,dengan syarat M 0. oo Contoh : Hitunglah limit berikut : a. Lim 4 6 K a l k u l u s

137 b. Lim 4 c. Lim Penyelesaian : a. Untuk berlaku 0 sehingga = Lim 4 Lim 4 Lim 4 Lim 4 Lim Lim 4 b. Untuk berlaku 0 sehingga = Lim 4 Lim 4 4 K a l k u l u s 7

138 8 K a l k u l u s Lim 4 Lim Lim Lim c. Lim Lim Lim Lim Soal-soal Latihan 4: Hitunglah limit yang ditunjukkan ) Lim ). 5 5 Lim ). 6 6 Lim 4). 5 Lim

139 5). Lim 9 6). Lim 7). Lim 8). Lim 5 5 9). Lim 5 5 0). Lim 7 7 ). Lim 0 7 ). Lim 4 ). Lim 7 4). Lim 5). Lim 0 6). Lim 7). Lim 4 8). Lim 9). Lim 4 4 K a l k u l u s 9

140 0 K a l k u l u s 0). 9 Lim ). h h Lim h 0 ). 5 Lim ). 9 Lim 4) Lim 5). 5 Lim 6). Lim 7). Lim 8). 4 4 Lim 9) Lim 0). 5 4 Lim ). 9 4 Lim ). 5 4 Lim ) Lim

141 K a l k u l u s 4). 4 Lim 5) Lim 6) Lim 7) Lim 8). Lim 9). Lim 4 40). Lim 4). Lim 4). Lim 4). Lim 44). Lim 45). Lim 46). Lim 47). 4 Lim

142 48). Lim 49). Lim 50). Tentukan konstanta a agar a Lim 4 5). Tentukan konstanta a agar Lim a ada, kemudian hitunglah limitnya untuk konstanta a tersebut..6 Limit Fungsi Trigonometri Sebelum mempelajari limit fungsi trigonometri terlebih dahulu dipaparkan kembali definisi fungsi trigonometri sebagai berikut : BC AC BC sin,cos, tan AB AB AC Gambar.8: Segitiga Siku-siku ABC Ukuran sudut yang digunakan dalam pembahasan limit fungsi trigonometri dalam bentuk radian. Sebagai alat untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri dikemukakan kesamaan trigonometri sebagai berikut :. Kesamaan ganjil-genap sin -) = - sin cos -) = cos tan -) = - tan K a l k u l u s

143 . Kesamaan fungsi sin / - ) = cos cos / - ) = sin tan / - ) = cot. Kesamaan Pythagoras sin + cos = + tan = sec + cot = csc 4. Kesamaan Penjumlahan dan Pengurangan sin + y) = sin cos y + cos sin y sin - y) = sin cos y cos sin y cos + y) = cos cos y sin sin y cos - y) = cos cos y + sin sin y tan tan y tan y) tan tan y 5. Kesamaan sudut ganda sin = sin cos cos = cos - sin = cos = - sin 6. Kesamaan setengah sudut cos cos cos sin K a l k u l u s

144 Teorema : sin lim buktikan dari teorema ini sebagai latihan) 0 Contoh : sin Hitunglah lim 0 7 Penyelesaian : sin sin 7 sin 7 lim lim lim Contoh : tan Hitunglah lim 0 Penyelesaian : tan sin lim lim 0 0 Soal-soal Latihan 5: cos. 7 sin 7.lim ). ). ). 4). 5). 6). 7). sin lim 0 sin 4 lim 0 5 sin 7 lim 0 sin 5 lim 0 sin 8 sin 4 lim 0 tan5 sin lim 0 sin lim 0 cos 4 K a l k u l u s

145 8). 9). lim 0 cos lim 0 cos 0). lim 0 cos ). lim 0 cos cos5 ). lim 0 cos7 cos ). lim sin cos 4). lim sin sin cos 5). lim 4 sin 6). lim 4 tan sin 7). lim 0 cos tan 8). lim sin π 9). lim π sin 0). lim ). Jika f dan g ádalah fungsi sedemikian hingga 0 f) g) untuk semua dekat ke c. Jika Lim g ) 0, dibuktikan bahwa Lim g ) 0, c c K a l k u l u s 5

146 ). Buktikan bahwa Lim sin 0, 0 Petunjuk : gunakan teorema apit) ). Jika f)= a sin p) dengan p) adalah suku banyak. Buktikan bahwa Lim f ) a, cε R c 4). Misalkan cos ), f) a cos bsin, sin, - Tentukan a dan b agar f mempunyai limit di dan di. 5). Buktikan bahwa : a. cos Lim 0 0 b. sin cos Lim c. sin Lim 0 tan d. Lim sin i 0 e. sin 5 sin Lim 0.7 Kekontinuan Fungsi Kata kontinu sering digunakan untuk menunjukkan suatu kegiatan yang berkelanjutan tanpa adanya suatu perubahan yang mendadak. Pemahaman demikian sebagai ide yang diterapkan pada fungsi. Perhatikan tiga grafik berikut: 6 K a l k u l u s

147 lim f ) c tidak ada lim f) ada c lim f ) f c) c lim f ) c f c) Gambar.9: Ilustrasi Limit pada Grafik Definisi : Fungsi f dikatakan kontinu di c jika ada interval terbuka di sekitar c termuat dalam daerah asal f dan lim f ) f c) Dengan definisi diatas terdapat tiga hal :. lim f ) ada c. fc) ada fungsi f terdefinisi di c). lim f ) f c) c c Ketiga hal tersebut merupakan syarat yang harus dipenuhi agar suatu fungsi kontinu di suatu titik, jika ada satu syarat yang tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut tidak dapat dikatakan kontinu. Contoh: 9 Andaikan f ),, bagaimana seharusnya f didefinisikan di = agar kontinu di titik tersebut? Penyelesaian : 9 ) ) lim lim lim ) 6 K a l k u l u s 7

148 karena lim f ), maka didefinisikan f) = 6 dan grafik yang dihasilkan dapat dihasilkan dapat diperlihatkan seperti gambar berikut : Gambar.0: Grafik Fungsi 9, f ) 6, Contoh : Periksalah kekontinuan fungsi berikut di = f 4, ) 4, Penyelesaian : 8 K a l k u l u s 4. lim lim lim 4. Berdasarkan definisi fungsi tersebut di atas dapat ditentukan f) = 4. Dari syarat dan diperoleh keterangan lim f ) f ), jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut kontinu di =

149 Soal-soal Latihan 6: Nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di =, jika tidak kontinu jelaskan sebabnya untuk soal-soal No. hingga 4 ). f ) 4 ). 8 f ) ). f ) 4). f ) 5). f ) 6). f ) 5 7). f ) 8). f ) 8 9). f ) 4 8 0). f ) 8, ). f ), 48, ). f ),, ). f ), 4, 4). f ), K a l k u l u s 9

150 Tentukanlah titik-titik diskontinu fungsi yang diketahui jika ada), untuk soal-soal No. 5 hingga 0 5). f ) 6). f ), rasional 7). f), irrasional 8). f ) sin 9). f ) sec 0). f ) ). Jika f ) sin, adalah bilangan D, yang mengakibatkan fungsi f diskontinu. Jelaskan! ). Sketsalah grafik fungsi f yang memenuhi semua persyaratan berikut : a. Daerah asalnya [,-] b. f-) = f -) = f ) = f ) = c. Diskontinu di - dan d. Kontinu kanan di - dan kontinu kiri di ). Sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua persyaratan berikut : a. Daerah asalnya [0,6] b. f0) = f ) = f 4) = f 6) = c. f kontonu di = d. lim f) lim f ).7.. Sifat Kekontinuan 5 Suatu fungsi yang kontinu memenuhi aturan limit sebagaimana dipaparkan di depan, sehingga sifat kekontinuan fungsi juga diturunkan dari sifat-sifat limit. 40 K a l k u l u s

151 Teorema :. Jika f fungsi polinom, maka kontinu pada setiap bilangan real c. Jika fungsi rasional, maka f kontinu pada daerah asalnya. Jika fungsi mutlak, maka f kontinu pada setiap bilangan real c 4. Jika n bilangan bulat ganjil dan f adalah fungsi akar ke-n dari, maka f kontinu pada setiap bilangan real c 5. Jika n bilangan bulat genap dan f fungsi akar ke-n dari, maka f kontinu pada setiap bilangan real positif c. Contoh : Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tidak : a. f ) b. f ) c. f ) d. f ) Penyelesaian : a. f ) merupakan fungsi polinom, menurut teorema di atas, maka fungsi ini kontinu di setiap bilangan real c. Secara grafik dapat dikemukakan sebagai berikut : Gambar.: Grafik Fungsi f ) K a l k u l u s 4

152 b. f ), adalah fungsi harga mutlak, menurut teorema di atas fungsi harga mutlak selalu kontinu pada setiap bilangan real c, secara grafik dapat digambarkan sebagaimana berikut: Gambar.: Grafik Fungsi f ) c. f ), sesuai dengan teorema ke lima di atas, jika n bilangan bulat genap dan f fungsi akar ke-n dari, maka f kontinu pada setiap bilangan real positif c. Grafiknya dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar.: Grafik Fungsi f ) d. Teorema yang berbunyi jika n bilangan bulat ganjil dan f adalah fungsi akar ke-n dari, maka f kontinu pada setiap bilangan real c sesuai untuk fungsi f ), sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi tersebut kontinu disetiap bilangan real c. Grafiknya dapat digambarkan sebagai berikut: 4 K a l k u l u s

153 Gambar.4: Grafik Fungsi f ) 6. Jika n bilangan bulat genap dan f fungsi akar ke-n dari, maka f kontinu pada setiap bilangan real positif c.jika f dan g kontinu di c dan k suatu konstanta, maka kf,f+g,f-g,f.g,f/g adalah kontinu dengan : a. syarat g c) 0 b. f n,f /n untuk n genap f c)>0. Contoh: Tunjukkan bahwa k ) 5 4 kontinu di setiap bilangan real. Penyelesaian : Misalkan f ) dan g ) 5 4 keduanya kontinu disetiap bilangan real, sebab f) adalah fungsi harga mutlak dan g) k) adalah fungsi polinom, sehingga f o g f g 5 4 adalah kontinu disetiap bilangan real. Definisi :. Jika f kontinu di setiap titik a,b), maka dikatakan bahwa f kontinu pada selang terbuka a,b).. Jika f kontinu pada a,b) dan kontinu kanan di a, demikian juga kontinu pada selang tertutup [a,b]. K a l k u l u s 4

154 Contoh: Menggunakan definisi di atas uraikan sifat-sifat kekontinuan dari fungsi yang grafiknya sebagaimana berikut : Gambar.5: Grafik Fungsi Kekontinuan Penyelesaian: Fungsi tersebut kontinu pada selang -,0),0,4),[4,7],7,). Teorema Nilai Antara: Jika f kontinu pada [a,b] dan jika w sebuah bilangan antara fa) dan fb), maka terdapat sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian ingá fc) = w Sebagai ilustrasi dari teorema tersebut dapat ditunjukkan grafik berikut : 44 K a l k u l u s Gambar.6: Ilustrasi Kekontinuan Fungsi

155 Soal-soal Latihan 7: Periksalah apakah fungsi pada soal No. hingga 5 kontinu pada interval yang ditunjuk di f) 0, di f) di 0, ) f) 0, ) ) 8 4) f) di 0, 0, 0, 5) f), 0 di 0,,, 0 6) f),, di,0dan 0, 7) f), di, 8) f) di 0, 9) 0) sin sin cos f) tansin di 4 sin f) di f), di 0, 5 f), di, ) ) ) f) di, K a l k u l u s 45

156 4) f), di 0, 5) f) di 0, Untuk soal no 6-0 buktikan bahwa fungsi tersebut kontinu pada daerah asalnya 6) f) 5 7) f) 8) f) 9) f) 0) Gunakan teorema nilai antara untuk membuktikan bahwa: a. 0 mempunyai akar antara 0 dan 5 4 b. 0 mempunyai paling sedikit satu akar antara dan c mempunyai akar antara - dan 0 d. 5 0 mempunyai akar antara 0 dan 6 e. 4 0 mempunyai akar antara 0 dan ) Jika f fungsi kontinu pada interval I, buktikan bahwa fungsi [f] juga kontinu pada I ) Misalkan f,g dan h tiga fungsi sedemikian hingga f < g < h. Jika f dan h kontinu di c. Buktikanlah bahwa g juga kontinu di c ) Carilah sepasang fungsi f dan g sedemikian hingga f dan g tidak kontinu di c tetapi f o g kontinu di c. Dari pasangan fungsi-fungsi itu apakah g o f juga kontinu di c. 46 K a l k u l u s

157 Bab Empat T u r u n a n George Friedrich Benhard Riemann ) sebagai pengganti Dirichletdi Gotingen, telah sampai pada orang yang lebih daripada yang lain dalam mempengaruhi jalanya matematika modern Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa dapat:. Memahami pengertian turunan dan bentuk-bentuk yang setara untuk turunan. Memahami dan menerapkan aturan-aturan pencarian turunan dalam mencari turunan suatu fungsi. Memahami turunan fungsi trigonometri dan menerapkan cara penyelesaiannya 4. Memahami dan menerapkan aturan rantai untuk mencari turunan fungsi. 5. Memahami turunan fungsi eksponensial, logaritma, implisit dan parameter serta dan menerapkan aturan-aturannya untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi tersebut. K a l k u l u s 47

158 4. Pendahuluan Qc+h),fc+h)) Fc+h)-fc) Pc,fc)) h c c+ Gambar 4.: Grafik y=f) Misalkan kurva pada gambar 4. adalah grafik dengan persamaan y=f), dengan titik P mempunyai koordinat c,fc)), titik Q di dekatnya mempunyai kordinat c+h,fc+h)), maka garis PQ adalah tali busur yang melalui titik P dan Q yang mempunyai kemiringan m sec yang diberikan oleh: Jika h 0, tititk P tetap, sedang titik Q bergerak sepanjang kurva menuju P dan garis PQ berputar pada P menuju posisi limitnya, garis singgung PT pada kurva di P mempunyai kemiringan yang diberikan oleh: Contoh: Cari kemiringan garis singgung pada kurva y = - + di titik = Penyelesaian: 48 K a l k u l u s

159 f) = + f) =. + f) = 0 Gambar 4.: Grafik Fungsi f) = + f + h) = + h) + h) + f + h) = h + h f + h) f ) h h = h = maka: h + Jadi kemiringan garis singgung yang melalui titik P,0) pada kurva adalah m tan =. 4. Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah dapat dituliskan dalaam bentuk f dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah: K a l k u l u s 49

160 Jika limit ini ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di c dan pencarian turunan disebut pendiferensialan. Contoh : Andaikan Penyelesaian: carilah f ). +. = 4 + 4h + h h maka : Contoh : Jika Penyelesaian:, cari f c). 50 K a l k u l u s

161 maka: Contoh : Cari f ) dari Penyelesaian : maka: 4. Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan Rumus turunan pada definisi turunan di atas tidaklah mengikat. Perhatikan gambar berikut: K a l k u l u s 5

162 c+h,fc+h)) c,fc)) h fc+h)-fc) c c+h Gambar 4.: Grafik Penjelasan Rumus Turunan,f)) c,fc)) -c f)-fc) c Gambar 4.4: Grafik Penjelasan Substitusi -c dengan h Pada gambar di atas mengambil tempat c+h, sehingga -c menggantikan h, jadi: Analog dengan di atas, maka: 5 K a l k u l u s

163 Contoh : Carilah f c) dari Penyelesaian:, sehingga maka: Teorema: Jika f c) ada, maka f kontinu di c. Bukti: kita perlu menunjukkan bahwa lim f)=fc). Karena itu: K a l k u l u s 5

164 terbukti). Contoh : Pada contoh di atas, menunjukkan bahwa f ) dari ada yaitu f )=6, dan f tersebut kontinu di =. Untuk lebih jelasnya bisa dibantu dengan gambar. Kebalikan dari turunan ini tidak benar, misalnya jika f kontinu di c, maka tidak berarti bahwa f mempunyai turunan di c. sebagai contoh kontinu di =, apakah f ) ada? buktikan). 4.4 Simbul-simbul Turunan Turunan y=f) terhadap dapat dinyatakan oleh salah satu simbul: dy/d, D y, y, f ), df))/d. Soal-soal Latihan 8: ) Diberikan a. Sketsalah grafiknya b. Cari kemiringan garis singgung di titik,0) ) Carilah kemiringan garis singgung pada kurva di titik-titik dengan =-;,5;,5 ) Carilah kemiringan garis singgung pada titik-titik potong dengan sumbu. 4) Gunakan definisi Untuk mencari turunan berikut: a. f -) jika 54 K a l k u l u s

165 b. f ) jika c. f -) jika d. f -) jika e. f 4) jika Gunakan definisi berikut untuk soal No 5 hingga 5 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) K a l k u l u s 55

166 ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 5) Selesaikan soal No. 6 hingga 45 dengan menggunakan untuk mencari f ) dari fungsi-fungsi berikut 6) 7) 8) 9) 40) 4) 4) 4) 56 K a l k u l u s

167 44) 45) Limit yang diberikan pada soal No. 46 hingga 55 adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana? 46) 47) 48) 49) 50) 5) 5) 5) 54) 55) 4.5 Aturan Pencarian Turunan Prosedur mencari turunan dengan menggunakan definisi turunan memakan waktu yang lama dan membosankan serta tidak praktis. Proses pencarian turunan dimungkinkan untuk didapat cara yang lebih pendek, sehingga penyelesaiannya lebih cepat. Berikut aturan pencarian turunan untuk fungsi aljabar. K a l k u l u s 57

168 4.5. Aturan Fungsi Konstanta Teorema: Jika f)=k, dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang, f )=0, yakni : D k)=0 Bukti: 4.5. Aturan Fungsi Identitas Teorema: Jika f)=, maka f )=, yakni : D k)= Bukti: 4.5. Aturan Pangkat Teorema: Jika, dengan n bilangan bulat positif, maka, yakni : Bukti: Kembali mengingat aturan perpangkatan bi-nomial, dimana koefisien-koefisiennya menggunakan aturan segitiga Pascal. Dengan menggunakan analogi di atas maka: 58 K a l k u l u s

169 Di dalam kurung siku, semua suku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol, jadi: Contoh: ; ; Aturan Kelipatan Konstanta Teorema: Bukti: Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka kf) )=k.f ); yakni: D k.f))=k.d f)). Andaikan F)=k.f); maka K a l k u l u s 59

170 Contoh: ; Aturan Jumlah dan Selisih Teorema: Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka: ; yakni: Bukti: Andaikan F)=f)+g); Misalkan untuk aturan jumlah) maka:. Terbukti. Sebarang operator L dengan sifat-sifat yang dinyatakan dalam Teorema Kelipatan Konstanta dan Jumlah disebut linier, yakni, L adalah linier jika: a. Lkf)=kLf); k konstanta b. Lf+g)=Lf)+Lg). Contoh: 60 K a l k u l u s

171 Carilah turunan dari Penyelesaian: Selisih = D 7 ) + D 8 ) D 4) Jumlah = 7D ) + 8D ) 4D I) Kelipatan Konstanta = ) 4.0 Pangkat, Kontanta = ) Aturan Hasil Kali Teorema: Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka f.g) ) = f ).g) + f). g), yakni : D[f).g)] = Df)).g) + f).dg)) Bukti: Andaikan F) = f).g); maka: [ f h). g h)] [ f ). g )] F ) = h [ f h). g h)] f h) g ) f h) g ) f ). g )] F ) = h [ f h) f )] [ g h) g )] F ) = [g) f h) ] h h [ f h) f )] [ g h) g )] F ) = g) f+h). h h F ) = f ).g) + f).g). Terbukti. K a l k u l u s 6

172 6 K a l k u l u s Contoh: Misalkan F) = 4 + ) + + ) ; carilah F ), Penyelesaian: D F) = D 4 + ) + + )] = D [ 4 + )] + + ) ).D + + ) = 4 + ). + + ) ). + 4) = ) ) = Aturan Hasil bagi Teorema: Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, dengan g) 0, maka: ) ) ). ) ). ' ) ) g g f g f g f, yakni: D ) ) ) g f ) )] [ ). ) )]. [ g g D f g f D Bukti: Andaikan F) = ); ) ) g f maka: F ) = h g f h g h f ] ) ) ) ) [ = ) ). )] ) ) ) [ h g g h h g f g h f = ) ). )] ) ) ) ) ) ) ) [ h g g h h g f f g f g g h f = [g) ] ) ). )] ) [ ) )] ) [ h g g h g h g f h f h f

173 K a l k u l u s 6 = [g) ) )] ) [ f h f h f h g h g )] ) [ ].[ ] ) ) h g g = g)f ) - f) g )[ ] ) ) g g = ) ) ) ) ' ) g g f f g. Terbukti Contoh: Misalkan F) ; ) 4 cari F ) Penyelesaian: D F) = D [ ) 4 ] = ] ) ) ). ) )]. [ 4 4 D D = ] ) ) 4 ) ) )]. [4 4 = ] ) ) ) = [ ] ) ) Untuk memudahkan ingatan kita pada aturan-aturan turunan fungsi aljabar di atas, maka secara umum dapat digaris bawahi sebagai berikut: Dalam rumus-rumus ini, fungsi u, v dan w adalah fungsi z yang dapat didiferensiasi serta u, v dan w adalah turunan pertama dari u, v dan w, maka:. D k = 0; dimana k adalah sebarang konstanta.. D =. D n = n n-

174 4. D u n = nu n-.u 5. D u + v + ) = D u + D v + 6. D ku) = kd u 7. D uv) = ud v + vd u 8. D uvw) = uvd w + uwd v + vwd u u vd 9. D ) = u udv ; v 0 v v Soal-soal Latihan 9: Gunakan aturan-aturan turunan, untuk mencari turunan pertama soal-soal No. hingga 0 ). y = ). y = 4 ). y = 4). y = 5). y = 6). y = - - 7). y = 4-8). y = 4 9). 5 y = 4 0). y = 7 ). y = - + ). y = ). y = 4 4). y = 4 5). y = ) 6). y = 5 4 7). y = K a l k u l u s

175 8). y = ). y = ). y = ). y = ). y = + ) ). y = ) 4). y = + ) 5). y = - + ) 6). y = -) + ) 7). y = 4 -) + ) 8). y = - ) + ) 9). y = 4 - ) + ) 0). y = 5 ). Gunakan aturan hasil kali untuk menunjukkan bahwa D [f)] =.f).f ) ). Kembangkan suatu aturan untuk D[f) g) h)] ). Jika f) = 7, f ) =, g) = 6 dan g ) = -0, carilah : a. f g) ) b. f + g) ) c. f. g) ) d. g/f) ) e. f/g) ) 4). Carilah persamaan garis singgung pada y = 6 + dititik,-) 5). Carilah persamaan garis singgung pada y = / + ) dititik, /5) 6). Carilah semua titik pada grafik y = dimana garis singgung mendatar. 7). Cari semua titik pada grafik y = 0, + dimana garis singgung mempunyai kemiringan. 8). Tinggi s dalam m dari sebuah bola di atas tanah pada saat t detik diberikan oleh s = -8 t + 0t + a. Berapa kecepatan sesaatnya pada t =? b. Kapan kecepatan sesaatnya 0? K a l k u l u s 65

176 9). Sebuah bola menggelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari titik awal setelah t detik adalah s = 9t + 0,5t cm. Kapankah kecepatan sesaat sebesar 0 cm/detik? 40). Terdapat dua garis singgung pada kurva y = 4 yang melalui titik, ). Cari persamaan garis singgung ter-sebut. Petunjuk: andaikan o, y o) adalah titik singgung-nya. Cari dua syarat yang harus dipenuhi oleh o, y o) 4.6 Turunan Sinus dan Cosinus Teorema: Fungsi-fungsi f) = sin) dan g) = cos) keduanya dapat didiferensialkan. D sin) = cos) dan D cos) = -sin) Turunan fungsi-fungsi trigonometri yang lain, dapat dikembangkan atas teorema di atas, dengan aturan pencarian turunan pada fungsi aljabar. Contoh : Untuk menyelesaikan turunan dari fungsi di atas, maka diketahui bahwa: sin ) tan) = ; dengan menggunakan aturan hasil bagi, maka : cos sin ) D tan) = D [ ] cos D D = sin )).cos ) sin ),cos ) cos cos ).cos ) sin ) sin ) = cos cos ) sin = cos = cos = sec 66 K a l k u l u s )

177 Turunan untuk fungsi cot), sec), csc) dapat dicari sebagai latihan Aturan Turunan Fungsi Trigonometri Misalkan u adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan u adalah turunan pertama dari fungsi u, maka:. D sinu) = cosu).u. D cosu) = -sinu).u. D tanu) = sec u).u 4. D cotu) = -cosec u).u 5. D secu) = -secu)tanu).u 6. D cscu) = -cscu)cotu).u Soal-soal Latihan 0: Carilah turunan pertama dari fungsi untuk soal No hingga 4 berikut ini: ). y = sin 5 cos ). y = sin cos ). y = sin 4). y = cos 5). y = tan 6). y = cot c 7). y = sec 8). y = cosec 9). y = sin 0). y = cos ). y = sin ). y = cos ) / ). y = sin ) / 4). y = + ) / sin ) 5.) Carilah persamaan garis singgung pada y = sin di = 6). Carilah persamaan garis singgung pada y = tan di = /4 K a l k u l u s 67

178 7). Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus benda sejauh sin t cm di atas atau di bawah) permukaan air. Berapa kecepatan palampung pada saat t = 0, /,? 8). Gunakan definisi turunan untuk memperlihatkan bahwa Dsin ) = cos. 9). Gunakan definisi turunan untuk memperlihatkan bahwa Dsin 5) = 5 cos Aturan Rantai Teorema: Andaikan y = fu) dan u = g), jika g terdiferensialkan di dan f terdiferensialkan di u maka f g terdiferensialkan di, dan f g) ) = fg)).g); yakni: D y = D uy.d u Contoh: Misalkan y = f) ) 0 ; cari D y Penyelesaian: Missal u = ), maka y = u 0, sehingga: D u = D 4 6+) = -6 dan D uy = 0u 9, maka : D y = D uy.d u = 0u 9 ). 6) = ) 9 6) Analog dengan teorema di atas, maka andaikan w = f s) dan s = gt), maka: D w = D sw.d s ; dan misalkan y fu) dan u = gv), serta v = h) maka D y = D uy.d vu.d v Soal-soal Latihan : Carilah turunan pertama dengan menggunakan aturan rantai, dari soal-soal No. hingga 0. ). y = 9) 5 ). y = 4 + 7) ). y = 5 + 8) 5 4). y = ) 7 5). y = + ) 9 6). y = ) 0 68 K a l k u l u s

179 7). y = ) 8). y = 7-9) 9). y = 4 + ) -5 0). y = sin +) ). y = cos +) ). y = cos ). = sin 4). y = cos sin ) 5). y = 4 6). y = cos 4 7). y = 4 7) + ) 8). y = 7) ) 9). y = 7) 5) ) 0). y = 4 4 9) 7 + ) 5 4 Gunakan aturan rantai bersusun untuk mencari turunan yang ditunjukkan untuk soal No. hingga 8. ). D [sin )] ). D [cos )] ). [sin 4 cos)] D 4). [cos 4 sin )] D 5). [ sin )] D 6). [ cos sin )] D 7). {sin[coss in )]} D 4 8). D {cos [coscos)]} 9). Carilah persamaan garis singgung pada y = + ) 4 +) di titik, ) 0). Buktikan bahwa D = /, 0. Petunjuk, tulis = dan gunakan aturan rantai degnan u = K a l k u l u s 69

180 4.8 Turunan Fungsi Eksponensial dan Algoritmik Jika a > 0 dan a, dan jika a y = maka y = log a, y = log e = In ; y = log 0 = log. Ranah definisi adalah > 0; jangkauannya adalah himpunan bilangan real. Aturan Turunan: Jika u adalah fungsi yang dapat didiferensialkan, dan u adalah turunan dari fungsi u, maka aturan ini dapat dicari dengan cara turunan):. D loga u loga e. u; a 0, a ) u. D Inu u u u u. D a a Inau. ; a 0) u u 4. D e e u Contoh Carilah turunan dari y = In +) Penyelesaian: Dengan menggunakan aturan di atas, maka: D y DIn ) DIn ) D ) D y Contoh Carilah turunan dari y = In sin) Penyelesaian: 70 K a l k u l u s

181 D y D Insin) sin con) D y cot ) sin) Soal-soal Latihan : D ) sin) cos) sin) Carilah turunan pertama dari fungsi eksponensial dan logaritmik berikut ini: ). y In 4 5) ). y In ) ). y In4 ) 4). y In 5) 5). y In4 ) 6). y In 4 ) 7). y In ) ) 8). y In ) ) 9). y. In 0). y sin In cos In) ). ). ). 4). 5). 6). 7). 8). y e y e 5 In y e y e y e y e y e y e e 4 In) / sin K a l k u l u s 7

182 9). y e cos 0). ). ). ). 4). y e y e e y e y y In In6 In In 5). y e e 4.9 Turunan Fungsi Implisit Aturan fungsi yang dituliskan dalam bentuk y = f) dapat ditampilkan dalam bentuk f,y)=0 dengan f,y)= y f), aturan f,y) = 0 menyatakan bahwa y adalah fungsi dari dan juga adalah fungsi dari y, sehingga dapat dikatakan bahwa y adalah fungsi implisit dari dan juga fungsi implisit dari y. dari aturan f,y) = 0 kemungkinan y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam atau sebaliknya, atau mungkin juga tidak dapat dilakukan. Sebagai ilustrasi dapat dikemukakan fungsi implisit dan eksplisit sebagai berikut: y Jika diketahui +y =, maka bentuk fungsi eksplisitnya Contoh: ), y Tentukan turunan dari a. y 9 b. sin y y Penyelesaian: ), y ), y ) a. d d y ) d d 9 7 K a l k u l u s

183 yy' 0 y' / y) d d b. sin y) y ) d d cos y d d y'cos y 4yy' y y cos y 4y) y y' y y) y ) y cos y) y' y) yy') y d d y cos y y cos y y cos y) / cos y 4y) d d ) 4.0 Turunan Fungsi Parameter Jika = ft) dan y = gt) terdefinisi pada interval D R, f t) maka aturan td y g t) Dinamakan fungsi parameter. Pada aturan ini, t dinamakan parameter dan himpunan titik,y) R dinamakan grafik fungsi parameter Pada fungsi parameter, jika y terdiferensialkan terhadap atau terdiferensialkan terhadap y, maka dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan aturan rantai dan diperoleh turunan sebagai berikut: dy dy d dt d t d / dt 0, sehingga diperoleh dy dy d dt d dt yang dikenal sebagai turunan fungsi parameter. K a l k u l u s 7

184 Contoh: Tentukan y dari fungsi parameter 4t 4t,t y 4t Penyelesaian: Karena fungsi = 4t -4t dan y=-4t terdiferensialkan terhadap t pada interval /, ) dengan 4t 4t, d/ dt 8t 4 y 4t, dy/ dt 8t maka fungsi y terdiferensialkan terhadap dengan dy dy 8t t y d dt 8t 4 t d dt Soal-soal Latihan : Carilah D y fungsi-fungsi soal no. hingga 0 ). y 9 ). 4 9y 6 ). b a y 4). y 6 0 5). y 9y 0 6). 4 y y 0 7). y y 0 8). 6 y y y 9). y sin y 0). cos y) y a b, a, b konstanta 74 K a l k u l u s

185 Cari persamaan garis singgung di titik yang ditunjuk untuk soalsoal No. hingga 5 ). y y 0,, ) ). y y 0y,,) ). sin y) y, /,) 4). y cos y ) 4,,0 ) 5). y y 54, ) Cari dy/d untuk soal-soal No. 6 hingga 0 / 5 6). y 7). 8). 9). 0). ). ). ). 4). 5). 6). 7). 8). 9). y y / / 7 / / y ) / 4 y ) / / 4 y 4) y 9) / 5/ y sin ) y cos) y cos) y sin ) / / / / y cos5) y sin 5) / / y tan sin ) / / 0). y cos ) ). Jika s t +t = cari ds/dt dan dt/ds ). Jika y = sin )+ cari d/dy ). Sketsalah grafik fungsi -4+y +=0, kemudian cari persamaan-persamaan untuk dua garis singgung yang melalui titik asal. K a l k u l u s 75

186 Bab Lima Penerapan Turunan Saya seperti seorang anak lelaki yang bermain-main di pantai, kemudian menemukan koral yang lebih luas atau kerang yang lebih indah daripada yang biasa sementara samudra besar dari kebenaran semuanya terbentang di hadapan saya tak terungkapkan Isaac Newton 64-77) Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa dapat:. Memahami pengertian tentang kecepatan dan percepatan dan menerapkan aturan turunan untuk menyelesaikan permasalahannya. Memahami dan dapat menerapkan aturan turunan untuk penyelesaian persoalan garis singgung dan garis normal. Memahami maksimum dan minimum dan dapat menerapkan aturan turunan untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi 4. Memahami pengertian dan kecekungan dan menerapkan aturan turunan untuk menentukan kecekung-an dan suatu fungsi 76 K a l k u l u s