BAB VI BILANGAN REAL
|
|
- Hendri Johan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul pertanyaan, dapatkah kita memperluas sistem bilangan bulat agar pembagian selalu mempunyai penyelesaian, kecuali pembaginya adalah nol? Dalam proses perluasan sistem ini, kita permasalahkan penyelesaian 1 : a = x, a > 1, atau berapakah x supava ax = 1? Tidak ada bilangan bulat x sehingga ax = 1 bukan? Penyelesaian persamaan itu ditunjukkan sebagai, sehingga a( ) = 1. Bilangan dinamakan invers perkalian bilangan a. Hanya ada satu bilangan bulat yang tidak mempunyai invers perkalian yaitu nol. Mengapa? Seperti di atas juga dapat dipemasalahkan penyelesaian 3 : 11 = x. Berapakah x agar 11.x = 3. Misalkan kita dapat menemukan bilangan baru sehingga 11. = 3. Secara umum, = a akan mempunyai penyelesaian, b 0. Bilangan baru ini dinamakan bilangan rasional. Selanjutnya, ternyata dalam sistem bilangan rasional, bilangan-bilangan tertentu tidak mempunyai akar pangkat dua atau akar pangkat tiga. Misalkan persamaan x 2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian dalam sistem bilangan rasional sebab tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan diri sendini sama dengan 2. Dengan demikian, diperlukan untuk memperluas sistem bilangan rasional ke sistem bilangan baru yang disebut sistem bilangan real. A. Bilangan Rasional Pada waktu Anda masih duduk di Sekolah Dasar, Anda sudah dikenalkan lambang bilangan sebagai pecahan. Sesungguhnya pecahan digunakan untuk menyatakan 126
2 1. Suatu pembagian 2. Suatu bagian dari 3. Suatu elemen dari sistem matematika. Misalnya kita akan melakukan pembagian 3 : 4. Jelas bahwa pembagian ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan bulat. Sekarang, kita akan mendefinisikan bilangan baru, yang dinyatakan oleh pecahan demikian sehingga 4. = 3. Secara umum, a : b dengan b 0 mempunyai jawab yang dinyatakan oleh atau demikian sehingga b. = a. Pecahan juga menyatakana suatu bagian dari, misalnya berarti empat dari lima bagian yang sama. Perhatikan gambar 4.1. Gambar 6.1 Jika dibandingkan bagian daerah yang diarsir terhadap daerah seluruhnya, gambar 4.1.a menunjukkan gambar 4.1.b menunjukkan dan gambar 4.1.c menunjukkan. Pengertian yang sama akan ditunjukkan dengan ruas-ruas garis yang sama pada garis bilangan, kemudian dibagi menjadi empat ruas garis yang sama. Masing-masing ruas garis itu menyatakan satu bagian dari empat bagian yang sama, ditunjukkan. Berikutnya,. Perhatikan gambar 4.2! 127
3 Gambar 6.2 Dengan demikian dalam membicarakan konsep pecahan dengan menggunakan garis bilangan, setiap satuan interval dibagi menjadi ke dalam ruas-ruas garis yang sama. Sebagai contoh, membagi setiap satuan dibagi menjadi tiga ruas garis yang sama seperti pada gambar 4.3. Gambar 6.3 Secara umum, pecahan dapat dinyatakan pada garis bilangan. Penyebut pecahan, yaitu b, menyatakan banyaknya bagian dari pembagian satu satuan, dan b 0. Pembilang pecahan a, menyatakan banyaknya bagian yang dimaksudkan. Selanjutnya, perhatikan gambar 4.4. Pada gambar 4.4, suatu persegi panjang dibagi. menjadi 4 bagian yang sama, 8 bagian yang sama, dan 16 bagian yang sama. Jika bagian daerah yang diarsir dibandingkan terhadap daerah seluruhnya, maka menunjukkan 1 bagian dari 4 bagian yang sama (dinyatakan ) atau 2 bagian dari 8 bagian yang sama (dinyatakan ), atau 4 bagian dan 16 bagian yang sama (dinyatakan ) Perhatikan bahwa, dan masing-masing menyatakan daerah yang diarsir yang sama. 128
4 Gambar 6.4 Dengan cara yang sama, perhatikan titik-titik garis bilangan pada gambar 4.5. Suatu titik pada garis bilangan dinyatakan oleh macam- macam pecahan berbeda yang tak terhingga. Sebagai contoh, dan, semuanya menyatakan titik atau bilangan yang sama. Pecahan-pecahan yang menyatakan bilangan yang sama pada garis bilangan disebut pecahan yang ekuivalen. Tanda (lambang) ekuivalen kadang-kadang dinyatakan oleh, tetapi sering menggunakan tanda =, misalnya = =. Gambar 6.5 Konsep di atas didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari pasangan berurutan bilangan bulat a dan b (dengan b 0) yang merupakan penyelesaian pesamaan bx = a, ditulis atau a : b. Contoh 1: 129
5 3 : 11 dapat ditulis sebagai, yang berarti 11. = 3 Contoh 2 : -4 : 7 dapat ditulis sebagai yang berarti 7.( ) = -4 Selanjutnya perhatikan 6 : 3 dapat ditulis, tetapi 6 : 3 = 2. Juga, 2 = -4 : -2, dan -4 : -2 dapat ditulis. Jadi = menyatakan bilangan yang sama. Definisi : Pecahan dan, b 0 dan d 0 adalah ekuivalen jika hanya Contoh 2 : jika ad = bc. sebab 2.14 = 7.4 sebab 1.12 = 3.4 Himpunan pecahan yang ekuivalen disebut kelas pecahan ekuivalen. Kelas pecahan ekuivalen dari adalah : Kelas pecahan ekuivalen dari adalah Kelas pecahan ekuivalen dari 0 adalah Dari uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa himpunan semua pecahan dapat dipisahkan menjadi kelas-kelas pecahan yang ekuivalen. Teorema Dasar Pecahan Untuk sembarang pecahan, dengan b 0, dan sembarang bilangan bulat c, c 0, berlaku : Bukti: Gunakan definisi pecahan-pecahan ekuivalen. Kerjakan sebagai latihan. 130
6 Definisi : Pecahan, dengan b > 0 merupakan pecahan sederhana, jika faktor persekutuan terbesar dan a dan b adalah 1. adalah pecahan sederhana, sebab FPB (3, 7) = 1 Contoh 2 : bukan pecahan sederhana, sebab FPB (4, 8) = 4 1. Definisi : Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dilambangkan dengan untuk a dan b bilangan bulat dan b 0. Bilangan rasional dapat juga dinyatakan dalam lambang desimal, sebagai pasangan terurut (a, b) atau sebagai perbandingan a : b, tetapi sangat sering dinyatakan sebagai pecahan. Contoh : Pecahan menyatakan hilangan rasiona1 Seperti halnya bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan bulat, bilangan rasional juga merupakan konsep abstrak dalam matematika. Lambang bilangan yang digunakan untuk menyatakan bilangan rasional adalah sebarang pecahan dan kelas ekuivalennya. Perhatikan kernbali gambar 4.5. Gambar tersebut menyatakan pecahan-pacahan dalam kelas-kelas ekuivalen yang ditunjukkan oleh sebuah titik pada garis bilangan. Hal ini merupakan titik yang dikaitkan dengan bilangan rasional. Menurut definisi, jika bilangan pecah (dengan b 0) adalah bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan bx = a, maka bilangan rasional adalah penyelesaian persamaan bxn = a. Definisi : Dua bilangan rasional sama jika dan hanya jika keduanya dinyatakan oleh pecahan-pecahan dari suatu kelas-kelas ekuivalen yang sama. Con toh : Jika menyatakan bilangan rasonal a, dan menyatakan bilangan rasional b, maka a = b jika dan hanya jika = 1. Operasi pada Bilangan Rasional 131
7 a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional Telah dipelajari, pada penjumlahan bilangan bulat = 5. Sekarang akan dicari penjumlahan bilangan rasional. didapat bahwa Perhatikan gambar 4.6 berikut. Gambar 6.6 Secara umum didefinisikan penjumlahan bilangan rasional, untuk dan bilangan-bilangan rasional. Selanjutnya untuk penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan oleh pecahan yang mempunyai penyebut sama tetapi bukan 1. Misalkan akan dicari jumlah Gambar 6.7 Perhatikan gambar 4.7. Secara umum, untuk dan bilangan rasional. 132
8 Selanjutnya akan dibicarakan penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan oleh pecahan-pecahan dengan penyebut tidak sama. Misalkan akan dicari jumlah dan. Telah diketahui bahwa dan =, sehingga. Secara umum, didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Jika dan, bilanganbilangan rasional dengan b 0 dan d 0, maka Contoh 2: Sampai sekarang telah dipelajari sistem bilangan cacah dan sistem bilangan bulat. Bilangan bulat mempunyai semua sifat yang dimiliki bilangan cacah ditambah satu sifat tentang penjumlahan yaitu : setiap bilangan bulat, mempunyai invers penjumlahan tunggal. Demikian pula bilangan rasional mempunyai semua sifat bilangan bulat ditambab sifat, bahwa bilangan rasional, kecuali (atau 0) mempunyai invers perkalian. Elemen identitas penjumahan bilangan rasional, dapat ditulis sebagai, karena, untuk setiap bilangan rasional. Karena maka selalu digunakan untuk menyatakan elemen identitas penjumlahan. Untuk setiap bilangan rasional ada invers penjumlahan - karena + - = 0 Selanjutnya perhatikan berikut ini. Dengan cara yang sama, 133
9 Jadi -( ), dan adalah invers penjumiahan dari. Apakah -( ), dan menyatakan bilangan rasional yang sama? Seianjutnya, untuk operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup, komutatif, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers penjumiahan. Definisi : Penyebut persekutuan terkecil pecahan-pecahan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan itu. Penyebut persekutuan terkecil pecahan digunakan untuk menyamakan penyebut pecahan dalam rangka untuk menjumlahkan bilangan rasionai yang dilambangkan oleh pecahan itu. = = Contoh 2 : = Definisi : Untuk dan bilangan-bilangan rasional. Pengurangan bilangan rasional dari (ditulis - ) adalah bilangan rasional jika dan hanya jika = + Con toh 2 : Definisi : Pecahan tidak Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. 134
10 Pecahan Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dan penyebutnya. Ubahlah. ke pecahan tidak sejati Perhatikan bahwa disebut Pecahan campuran. Contoh 2 : Ubahlah ke pecahan campuran. b. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional Sudah diketahui bahwa pada perkalian bilangan bulat, 3 x 4 = 12. Sekarang, akan didefinisikan perkalian bilangan rasional. Telah diketahui : Jawab dari adalah bilangan rasiona1 yang dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang-pembilangnya dan penyebut-penyebutnya. Selanjutnya akan dicari. Untuk menggambarkan dapat diilustrasikan dengan membagi suatu luasan menjadi 21 bagian yang sama. Arsirlah 2 dari 3 bagian yang sama, kemudian arsirlah 4 dari 7 bagian yang sama yang lain. Dengan pengamatan terlihat dua bagian yang terarsir dua kali, yang menggambarkan Perhatikan gambar 4.8! 135
11 Gambar 6.8 Perhatikan bahwa dan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilangnya dan penyebut-penyebutnya. Misalkan bilangan. rasional dipikirkan sebagai penyelesaian dari persamaan 3x = 5. Jadi, 3. = 5 atau. Berarti bahwa, definisi perkalian nanti untuk. harus demikian sehingga mempunyai jawab. Salah satu bilangan rasional yang sama dengan adalah. Hal ini dapat diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilang dan penyebut-penyebut dan -. Konsep-konsep tersebut menunjukkan alasan definisi perkalian bilangan rasional berikut. Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional maka Contoh 2 : Con oh 3: Sekarang, carilah : Menurut definisi Secara umum untuk setiap bilangan rasional. 136
12 Selanjutnya, sebagai latihan, buktikan bahwa operasi perkalian bilangan rasional tertutup, komutatif, assosiatif, distributif terhadap penjumlahan, ada elemen identitas, dan ada elemen invers. Teorema Untuk. ) dan bilangan-bilangan rasional 1) Jika = ) maka. =. 2) Sifat konselasi perkalian Jika - =. dengan, maka = Bukti : Untuk bukti. 1) sebagai berikut : = Diketahui ad = bc (ad)(ef) = (bc)(ef) [a(de)]fn = b[(ce)f] [a(ed)]f = b[(ce)f] (ae)(df) = (bf)(ce) Mengapa? Mengapa? Mengapa? Mengapa? Mengapa? Mengapa?. =. Mengapa? Teorema Untuk.,,, bilangan-bilangan rasional Jika = dan = maka. =. Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional, dengan 0, maka : adalah bilangan rasional jika dan hanya jika =. 137
13 Contoh 2 : Contoh 3 : Definisi : Pembagian sebagai perkalian. Jika ada, maka : =., adalah invers perkalian atau kebalikan dari. Contoh 2 : 2. Sifat-sifat Bilangan Rasional Untuk setiap bilangan rasional,,,, dan berlaku sifat-sifat berikut mi. 1) Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian + adalah bilangan rasional, adalah bilangan rasional 2) Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian + = +. =. 3) Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian ( + ) + = + ( + ) (. ). =. (. ) 4) Distributif, perkalian untuk penjumlahan. ( + ) =. +. 5) Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian 138
14 Ada bilanganrasional tunggal, sehingga : + = + = Ada bilangan rasional tunggal, sehingga. =. = 6) Ada elemen invers penjurniahan dan perkalian Untuk setiap ada invers penjumlahan,, sehingga + = + = Untuk setiap 0 ada invers perkalian, sehingga. =. = 7) Perkalian dengan nol. = Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional, dari dua operasi, penjumlahan, dan perkalian, dengan sifat-sifat tersebut, membentuk suatu sistem bilangan rasional. LATIHAN Kerjakan tugas berikut sebagai latihan! 1. Tulis tujuh pecahan yang ekuivalen dengan pecahan berikut: a) b) c) 2. Tulislah rnasing-inasing pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana a) b) 3. Tulislah masing-masing tujuh anggota himpunan yang ditentukan, jika a dan b bilangan-bilangan cacah dan b 0. a) {x x = dan a + b = 9} b) {x x = dan a + b < 11} c) {x x = dan a - b = 0} d) {x x = dan a b = 4} e) (x x = dan a + b < 5} 139
15 4. Carilah pecahan yang ekuivalen dengan. sehingga hasil kali pembilang dan penyebutnya a) Jika a = c, apakah =? Mengapa? b) Jika b = d, apakah. =? Mengapa? c) Jika = dan b = d, apakah c = a? Mengapa? 3. Urutan Bilangan Rasiorial Pada garis bilangan, bilangan rasional kurang dari jika terletak di sebelah kiri. Perhatikan garis bilangan pada gambar 4.9. kurang dari karena terletak di sebelah kiri. Gambar 6.9 Kita dapat mendefinisikan kurang dari untuk bilangan rasional sehingga konsisten dengan definisi untuk bilangan cacah dan bilangan bulat : Definisi : <, jika dan hanya jika ada bilangan rasional positip sehingga + = Selanjutnya, perhatikan bahwa jika diketahui dan bilanganbilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, dapatkah dibuktikan bahwa < jika dan hanya jika ad < bc? Sekarang, misalkan <. Dengan menggunakan definisi, maka ada bilangan rasional > 0 sehingga = + Kedua harus ditambah dengan maka, maka : + = ( + ) + = + ( + ) Mengapa? 140
16 = ( + ) + Mengapa? Jadi + = > 0 atau > 0 Karena d dan b keduanya positip, db > 0. Dengan demikian bc - ad > 0 atau ad < bc. Dari uraian di atas, maka didapat definisi baru untuk kurang dari pada bilangan rasional. Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut yang positip, maka < jika dan hanya jika ad < bc. karena 3.7 < 8.4 Contoh 2 : karena -2.2 < 3.1 Contoh 3 : karena -8.3 < 5.-2 a. Sifat Trikotomi Bilangan Rasional Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, maka terdapat tepat satu di antara berikut yang benar. < = > b. Sifat Kesamaan Bilangan Rasional Misalkan, dan bilangan-bilangan rasional sehingga = dengan, maka 1) + = + 2). =. c. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Rasional Misalkan, dan bilangan-bilangan rasional sehingga < dengan, maka 141
17 3) + < + 4). <., jika > 0 5). >., jika < 0 Bagi yang berminat dapat membuktikan sifat-sifat kesamaan dan ketidaksamaan bilangan rasional di atas., maka Contoh 2 : Contoh 3 : d. Sifat Transitif Ketidaksamaan Bilangan Rasional Misalkan, dan adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut- penyebut positip. Jika < dan < maka < Selanjutnya pada bilangan rasional ada sifat: Jika dan adalah dua bilangan rasional yang berbeda, maka selalu ada bilangan rasional lain di antara dan. Kenyataan ini menunjukkan bahwa di antara dua bilangan rasional, ada bilangan rasional ketiga. Di antara bilangan rasional pertama dan ketiga ada bilangan rasional lain. Demikian juga di antara bilangan rasional ketiga dan kedua. Proses ini dapat diteruskan tak terhingga. Sehingga dapat disimpulkan bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional. Bukti bahwa di antara tiap dua bilangan rasional ada bilangan rasional yang ketiga akan dibuktikan sebagai berikut. Akan ditunjukkan ada bilangan rasional di antara dan. <, b > 0 dan d > 0 142
18 Maka : ad < bc (ad)d < (bc)d Mengapa? (ad)d + (bc)d < (bc)d + (bc)d Mengapa? (ad + bc)d < 2 bcd Mengapa? (ad + bc)d < 2 bcd Mengapa? (ad + bc)d < (2 bd)c Mengapa? Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa < Terbukti didapat bilangan yang terletak di antara dan. LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Diketahui dan adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip. Buktikan bahwa jika ad < bc, maka < 2. Diketahui, dan bilangan-bilangan rasional dengan =. Buktikan : a) + = + 6). = + 3.Diketahui, dan bilangan-bilangan rasional dengan <. Buktikan a) + < + b). < +, jika > 0 c) + > +, jika < 0 4.Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut bila variabel dalam himpunan bilangan rasional a) + (-2) < 7 b) 143
19 B. Pecahan Desimal Pecahan desimal diperkenalkan oleh Simon Stevin pada abad ke-16. Dalam bukunya The Tenth, yang dipublikasikan tahun 1585, dia menunjukkan bagaimana cara menulis pecahan desimal dan bagimana menghitungnya. Notasi Stevin untuk pecahan desimal 5,3476 adalah Stevin tidak menggunakan titik atau koma desimal untuk memisahkan bilangan yang bulat dan pecahan. Akhirnya, di Inggris menggunakan titik desimal, , dan di beberapa negara Eropa juga di Indonesia menggunakan koma desimal, 5,3476. Koma desimal diletakkan setelah angka satuan ; di sebelah kanan koma desimal berturut-turut diletakkan angka yang menyataka persepuluhan, perseratusan, perseribuan dan seterusnya. Contoh 2 : a) b) c) a) b) c) Selanjutnya, coptoh berikut ini menunjukkan hubungan antara pecahan dan pecahan desimal. Contoh 2: Contoh 3: = = Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal mudah dilakukan bila pecahan itu mempunyai penyebut perpangkatan 10. Tetapi bagaimanakah kalau 144
20 tidak demikián? Misal,. Dapakah diubah menjadi. pecahan lain yang penyebutnya perpangkatan 10. Demikian juga, Tidak mungkin bukan? Jika penyebutnya merupakan perpangkatan 2 atau 5 pecahan dapat diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan 10. Maka dan itu pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan 10, 2, atau 5 ini dapat ditulis sebagai pecahan desimal. atau Contoh 2 : atau = 1. Artmetika Desimal Berikut mi. akan dibicarakan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan dalam pecahan desimal. Contoh : Jumlahkan 0, ,23 Jawab : Cara pertama : 0,354 = dan 0,23 = Cara kedua :
21 = 0,584 Dalam cara kedua di atas, dike1ompokkan koefisien persepuluhan, peseratusan, dan perseribuan kemudian masing-masing dijumlahkan. Sekarang perhatikan contoh berikut ,584 Contoh 2 : Carilah 5, ,65 Jawab : 5, , , 323 Perhatikan bahwa dapat dilakukan penjumlahan seperti di atas karena algoritma berikut. Algoritma di atas tentu saja juga dapat diterapkan untuk melakukan lebih dari dua penjumlahan. 146
22 Contoh 3 : pengurangan. 15, ,56 4,2 75, ,043 Dengan cara yang sama, algoritma di atas dapat diterapkan untuk Contoh 2 : 23, 15 1, ,876 Sekarang akan dikalikan dua bilangan decimal : Contoh 2: Contoh 3: 147
23 Perhatikan bahwa dari contoh-contoh di atas, dapat dikemukakan bahwa jika mengalikan bilangan-bilangan yang masing-masing mempunyai r dan s tempat pecahan desimal, maka hasil kalinya mempunyai r + s tempat pecahan desimal. Contoh: 56,7 (1 tempat pecahan decimal) 0,637 (3 tempat pecahan desimal) x x 36,1179 (4 tempat pecahan desimal) Perkalian di atas dapat dilakukan karena algoritma berikut : Selanjutnya, akan dilakukan pembagian 5,38 : 2. Atau 148
24 Sebarang pembagian pecahan desimal dapat diubah ke pembagian yang pembaginya merupakan bilangan bulat. Bagilah 1668,728 : 2,3 Jawab : 168,728 : 2,43 ditulis Karena teorema dasar pecahan, maka Contoh 2 : Carilah 0,24383 : 0,37 Jawab : Digunakan teorema dasar pecahan. 149
25 Dan contoh-contoh di atas, secara umum, dapat dinyatakan jika pembaginya mempunyai r tempat pecahan desimal, maka supaya pembaginya merupakan bilangan bulat, koma desimal pada bilangan yang dibagi dipindah sebanyak r tempat ke arah kanan. Jadi 168,728 : 2,3 hasilnya akan sama dengan 1687,28 : 23. Perhatikan, 15,6 : 0,26 hasilnya akan sama dengan 1560 : 26. Mengapa? 2. Pecahan Desimal Berulang Pada bagian ini akan dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional sebagai pecahan desimal. Ubahlah menjadi pecahan desimal. a) b) c) Jawab : 150
26 Perhatikan pada contoh (a) sisanya adalah 0. Pecahan desimal yang demikian disebut pecahan desimal berakhir. Jika pembagian (a) dilanjutkan, akan diperoleh 0, Oleh karena itu pecahan desimal berakhir dapat juga ditulis sebagai pecahan desimal tak berakhir. Pada contoh (b) dan (c) sisa pembagian nol tidak akan diperoleh. Pecahan desimal demikian disebut tak berakhir. Pecahan desimal ini mempunyai sifat yang menarik. Pada contoh (b) angka 6 berulang terus, sedang pada contoh (c) angka 18 berulang terus. Pecahan desimal demikian disebut pecahan desimal berulang. Contoh di atas dapat ditulis, = 0, = 0,6, dan 0,18 Contoh 2 : Contoh 3 : Contoh 4: = 0, = 0,2 = 0, = 0,135 = 0, = 0, Dalam contoh-contoh di atas dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional positip sebagai pecahan desimal. Tentu saja hal ini dapat diperluas untuk bilangan rasional negatip. Selanjutnya, apakah sebaliknya merupakan pernyataan benar? Dengan kata lain, apakah setiap pecahan desimal yang angka-angkanya berulang teratur merupakan bilangan rasional? Perhatikan contoh berikut. Ubahlah 0,037 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : atau Misalkan N = 0,037. Karena ada tiga angka yang berulang teratur. N kita kalikan dengan N = 37, N = 0, N =
27 N = Sebagai latihan, cek kembali dengan mengubah ke desimal. Contoh 2 : Ubahlah 0,00253 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : N = 0, N = 2, N = 0, N = 2,53 N = Cek kembali dengan mengubah ke desimal. Contoh 3 : Ubahlah 8,5853 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : N = N = 8, N = 858, N = 8, N = 849,95 Cek kembali dengan mengubah ke desimal. Selanjutnya, perlu dicatat bahwa setiap pecahan desimal berakhir dapat ditulis sebagai pecahan desimal berulang. Kurangilah angka terakhir dengan satu, kemudian tulis 9 berulang teratur. Contoh 4 : 1) 57,6 = 57,59 2) 0,037 = 0,036 3) Cek kembali apakah 2 = 1,9 Jawab : N = 1,
28 10 N = 19,999 N = 1, N = 18 N = Jadi. 2 = 1,9 Dan uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan pecahan desimal berakhir atau pecahan decimal dengan angkaangka yang berulang teratur; sebaliknya, setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional. LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Hitunglah a) 567,274-9,5657 b) 0, ,9874 c) 7,523. 0,0097 d) 2466,411 : 3,53 2. Tuliskan lambang desimalnya. a) b) c) 3. Yang mana dari tugas nomor 2 tersebut yang merupakan pecahan desimal berakhir? 4. Tuliskan lambang pecahannya. a) 15,037 b) 0,035 c) 0,7 5. Tunjukkan bahwa a) 9,379 adalah 9,38 b) 6,9 adalah 7 C. Bilangan Irasional dan Bilangan Real Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal berulang teratur. Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angkaangkanya berulang tératur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional. Misalkan, 153
29 0, adalah bilangan irasional, sebab angka-angkanya tidak berakhir dan tidak berulang teratur. Bilangan π merupakan contoh bilangan irasional. π bukan atau 3,1416, tatapi π adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang. Pendekatan untuk π sampai. 20 angka desimal adalah : 3, Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya, dalam beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Pythagoras menyatakan dengan tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional. Tetapi pada suatu hari mereka mulai bertanya : Berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja, jika panjang sisinya x, maka x. x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri sama dengan 2? (atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan ). Akhirnya dibuktikan bahwa Contoh : Buktikan tidak rasional. bilangan irasional. Jawab : Diasumsikan rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan terjadi kontradiksi. Sehingga irasional. Andaikan rasional. Maka dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat sedemikian hingga a dan b relatif prima. Jika =, maka ( ) 2 = 2 dan a 2 = 2b 2 Karena 2b 2 bilangan bulat genap, maka a 2 adalah genap, demikian pula a. Mengapa? Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan bulat. Didapat a 2 = 4c 2. Padahal a 2 = 2b 2, maka b 2 = 2c 2, sehingga b 2 genap, akibatnya b genap. 154
30 Karena a dan b keduanya genap, tentu mempunyai faktor persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi. dengan pengandaian. Sehingga pengandaian bilangan rasional tidak benar. Jadi irasional. Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua dari semua bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16,... ) adalah bilangan irasional. Karena akar pangkat dua dan banyak bilangan rasional adalah bukan rasional, maka berikut mi akan dibicarakan pendekatan desimal dan bilangan akar pangkat dua. Salah satu algoritma untuk menentukan pendekatan desimal dan bilangan akar pangkat dua adalah metode rata-rata yang langkah-langkahnya sebagai berikut. a) Tentukan estimasi nilai pendekatan itu. b) Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya, dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki. c) Tentukan nilai ratarata dan bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai ratarata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari. d) Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi. Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh ketelitian yang dikehendaki. Tentukan nilai pendekatan Jawab: Karena (1,4) 2 = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857 = 1, Ulangilah proses di atas, dipilih 1, sebagai estimasi. 1, sebagai estimasi 2 : 1, = = = 1, Jadi. 1,4142 adalah nilai pendekatan teliti sampai 4 tempat desimal. 155
31 Contoh 2: Tentukan nilal pendekatan Jawab: Karena (30) 2 = 900, dipilih 30 sebagai estimasi. = 31, = 30, ,51 : 30, = 30, = 30, Jadi. 30,6351 adalah nilai. pendekatan teliti sampai 4 tempat desimal. Dan pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang. Sedang bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan tidak berulang. Gabungan dan kedua himpunan bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan real atau nyata. Telah dibicarakan bahwa bilangan rasional dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Demikian juga telah dibicarakan bahwa untuk sembarang dua bilangan rasional yang berbeda, terdapat bilangan rasional di antara keduanya. Kelihatannya bilangan rasional di seluruh titik pada garis bilangan. Hal mi tidak benar. Perhatikan gambar 6.10 berikut, bilangan irasional juga dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Gambar
32 Gambar di atas menunjukkan cara meletakkan dan ( ) 2 pada garis bilangan. Dan gambar bujur sangkar yang sisinya satu satuan, maka panjang diagonalnya =. Dengan pusat 0 dapat dibuat lingkaran dengan jari-jari, sehingga letak dan - dapat ditentukan pada garis bilangan. Cambar 4.11 berikut ini menyatakan cara menempatkan + dan. Gambar 6.11 Apakah + rasional? Andaikan + bilangan rasional, maka dapat ditulis sebesar + = dan b bulat, b 0. Karena bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan, maka bilangan rasional, akibatnya juga rasional. Terjadilah kontradiksi. Akibatnya + bilangan irasonal. Bagi yang berminat dapat membuktikan secara umum, bahwa jumlah bilangan rasional dan irasional adalah irasional. Demikian pula dapat dibuktikan bahwa hasil kali bilangan rasional yang bukan nol dan bilangan irasional adalah irasional. Tunjukkan 7. irasional Jawab : Andaikan 7. rasional, maka dapat ditulis sebagai : 157
33 7 = (7 ) = ( ) rasional, maka rasional. Terjadilah kontradiksi, maka pengandaian tidak benar. Yang benar 7 irasional. Contoh 2 : Tunjukkan irasional. Jawab : = Karena ( ) irasional, jadi irasional. Misalkan, garis bilangan dibagi lagi menjadi sepuluh segmen garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,4 sebagai. pendekatan, dan dapat dicek kembali dengan mengkuadratkan 1,4. Kemudian dibagi menjadi seratus segmen garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,41 sebagai pendekatan. Cek kembali dengan mengkuadratkan 1,41. Demikian seterusnya sehingga diperoleh bilangan rasional 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,41423 sebagai nilai pendekatan. Hal ini membeni petunjuk secara intuitif bahwa bilangan real bersifat padat (dense), artinya di antara dua bilangan real selalu ada bilangan real lain, bagaimanapun dekatnya terhadap yang lain. Akhirnya dapat dikemukakan bahwa setiap titik pada garis bilangan menunjukkan bilangan real dan setiap bilangan real dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Karakteristik ini dikatakan bahwa sistem bilangan real adalah lengkap. Sistem bilangan rasional tidak lengkap karena ada titik pada garis bilangan tidak menyatakan bilangan rasional. Berikut ini dikemukakan beberapa sifat bilangan real. Karena bilangan real merupakan perluasan dari bilangan rasional, maka semua sifat dalam sistem bilangan rasional harus dipenuhi dalam system bilangan real. Sifat-sifat dalam sistem bilangan real sebagai berikut : 158
34 1) Tertutup dalam operasi penjumlahan. 2) Tertutup dalam operasi pengurangan. 3) Tertutup dalam operasi. perkalian. 4) Tertutup dalam operasi pembagian, kecuali pembagian oleh nol. 5) Memenuhi sifat komutatif dan asosiatif untuk penjumlahàn dan perkalian. 6) Memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 7) Terdapat unsur identitas penjumlahan. 8) Terdapat unsur identitas perkalian. 9) Untuk setiap bilangan real terdapat invers penjumlahannya. 10) Untuk setiap bilangan real yang bukan 0 terdapat invers perkaliannya. 11) Transitif urutan. Jika a < b dan b < c maka a < c. 12) Sifat Trikotomi. Untuk a dan b bilangan real, terdapat tepat satu di antara hubungan berikut a < b; a = b; a b. 13) Bilangan real bersifat padat (dense). Di antara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan real lain. 14) Bilangan real bersifat lengkap. Selanjutnya akan dibicarakan perluasan sifat-sifat eksponen untuk bilangan bulat dan rasional dalam sistem bilangan real. x 2 = = = 1, sedangkan x 2. x -2 = x 2 + (-2) = x 0 = 1 Karena invers perkalian dari x 2 tunggal, maka x -2 = Demikian juga, x 1/2. X 1/2 = x 1/2 +1/2 = x 1 dan (x 1/2 ) 2 = x 1/2.2 = x 1 Tetapi. atau ( ) 2 didefinisikan sama dengan x. Dengan demikian x 1/2 = Secara umum, untuk sebarang bilangan real x dan bilangan asli n, 159
35 x -n =. x 0 x 1/n =, jika ada Selanjutnya, akan diperluas penggunaan rumus-rumus x m. x n = x m+n (x m ) n = x mn (xy) m = x m. y m ( ) m = Jawab : Tentukan nilai dari a) 7-2 dan b) 9-1/9 Contoh 2 : Tulis dalam bentuk paling sederhana. a) b) Jawab : a) = b) =
36 LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Tentukan bilangan-bilangan berikut termasuk rasional atau tidak rasional. a) + 5 b) c) d) 2. keduanya irasional. Mengapa? a) Apakah hasil kalinya merupakan bilangan rasional? b) Apakah hasil baginya merupakan bilangan rasinal? c) Apakah jumlahnya merupakan bilangan rasional? d) Jelaskan masing-masing jawabnya! 3. Tentukan nilai pendekatannya sampai 4 tempat desimal. a) b) c) d) e) / 563,48 4. Diketahui R = {bilangan real}, B = {bilangan bulat}, C = {bilangan cacah}, Q = {bilangan rasional}, I = {bilangan irasional}. Tentukan pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah. a) B Ϲ Q b) Q C R c) Q C d) B Q = Q 5. a) Tentukan bilangan cacah terbesar yang lebih kecil dari 9 b) Tentukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 9. c) Tentukan bilangan rasional terbesar yang lebih kecil dari 9. d) Tentukan bilangan irasional terbesar yang lebih kecil dari 9. e) Tentukan bilangan real terbesar yang lebih kecil dari Tunjukkan dengan contoh. a) Hasil kali bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. b) Hasil bagi bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. c) Jumlah bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. 161
37 d) Selisih bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. 7. Sederhanakan : 162
SISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciPerhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b
2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang
Lebih terperinciBAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN
BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciBAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit
BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 06 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB I BILANGAN Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciIdentitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.
Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperincia 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2
Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciBILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.
BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciSumber: Kamus Visual, 2004
1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciINTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3
Lebih terperinciHimpunan dari Bilangan-Bilangan
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan
Lebih terperincipangkatnya dari bilangan 10 yang dipangkatkan ( 1
Desimal A. Pendahuluan Desimal dapat digunakan untuk menyatakan bilangan yang sangat besarataupun bilangan yang sangat kecil, yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan bulat ataupun rasional. Misalnya
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciPemfaktoran prima (2)
FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciRUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p
Lebih terperinci2 PECAHAN. Kata-Kata Kunci: jenis pecahan pengurangan pecahan bentuk pecahan perkalian pecahan penjumlahan pecahan pembagian pecahan
PECAHAN Sebuah gelas jika terkena getaran dapat pecah berkeping-keping. Bagian pecahannya lebih kecil daripada ketika gelas masih utuh. Menurut kalian, samakah jumlah seluruh pecahan gelas dengan satu
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciBILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli
BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN
K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear
Lebih terperinciBAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN
BAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN Algoritma adalah suatu prosedur yang singkat dan sistematis untuk melakukan operasi aritmetika, misalnya penjumlahan dan perkalian. Jika kita melakukan
Lebih terperinci03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa
0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :
Lebih terperinciBILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah.
BILANGAN BULAT 1. Bilangan Asli (Natural Number) Bilangan Asli berkaitan dengan hasil membilang, urutan, ranking. Bilangan Cacah berkaitan dengan banyaknya anggota suatu himpunan. Definisi penjumlahan:
Lebih terperinciMelakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah
Bab 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menguasai sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat,. menjumlahkan
Lebih terperinci1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor
ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciMATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII
MATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII Pengetik : Siti Nuraeni (110070009) Dewi Komalasari (110070279) Nurhasanah (110070074) Editor : Dewi Komalasari Abdul Rochmat (110070117) Tim Kreatif
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami
Lebih terperinciBAB I INDUKSI MATEMATIKA
BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ;
4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan
Lebih terperinciSistem Bilangan Riil
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciBILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktorfaktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian
Lebih terperinciSifat 1 Untuksebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n, berlaku a m. a m = a m + n
Bilangan Berpangkat Kita ingat kembali bahwa untuk bilangan-bilangan cacah a, m, dan n dengan a 0, berlaku: 1 a m = a a a a (sebanyak m faktor) a m a n = a m + n a 0 = 1, di mana a 0 Notasi-notasi di atas
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBab. Bilangan Riil. A. Macam-Macam Bilangan B. Operasi Hitung pada. Bilangan Riil. C. Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan D.
Bab I Sumber: upload.wikimedia.org Bilangan Riil Anda telah mempelajari konsep bilangan bulat di Kelas VII. Pada bab ini akan dibahas konsep bilangan riil yang merupakan pengembangan dari bilangan bulat.
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciModul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini
PENDAHULUAN Konsep Pra - Bilangan dan Bilangan Cacah KONSEP PRA-BILANGAN DAN BILANGAN CACAH Modul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah. Isi modul ini membahas tentang konsep pra-bilangan dan bilangan
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciStandar Kompetensi 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
Apa yang akan Anda Pelajari? Bilangan pecahan biasa, campuran, desimal, persen, dan permil Mengubah bentuk pecahan ke bentuk yang lain Operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat dengan melibatkan
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN
EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN 1 EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciBAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional
BAB III PECAHAN KONTINU dan PIANO A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional Sekarang akan dibahas tentang pecahan kontinu tak hingga yang diawali dengan barisan tak hingga bilangan bulat mendefinisikan
Lebih terperinciBILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب
Lebih terperinciBAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR Setelah mempelajari bab ini kamu diharapkan mampu melakukan operasi aljabar, beberapa alternatif penyelesaian yang dihadapi oleh siswa terkait dengan
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM. 08159122650 mafiz_69@yahoo.com Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2 BUKU
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Pengertian HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan dari sejumlah obyek. Sedangkan obyek yang ada didalamnya disebut anggota/elemen/unsur. Benda-benda yang berada di sekitar
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciBAB V BILANGAN PECAHAN
BAB V BILANGAN PECAHAN Bilangan pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut ; a pembilang dan b penyebut 1. Macam-macam bilangan Pecahan a. Pecahan Biasa pembilangnya lebih kecil dari penyebut ; a < b,,
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciMateri Ke_2 (dua) Himpunan
Materi Ke_2 (dua) Himpunan 12-10-2013 OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union), notasi U : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau
Lebih terperinciBILANGAN MODUL PERKULIAHAN
MODUL PERKULIAHAN BILANGAN Sistem bilangan real Operasi pada bilangan bulat Operasi pada bilangan pecahan Sifat-sifat bilangan berpangkat Operasi bilangan berpangkat Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciBAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinci