KALKULUS UNTUK STATISTIKA

Transkripsi

1 Mulyana f( ) g( ) KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG

2 Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan bahan ajar Kalkulus I di Fakultas Teknik Universitas Pasundan, mengingat mata kuliah ini merupakan mata kuliah dasar keakhlian, sehingga materi kuliah yang diberikan diharapkan dapat mendukung para mahasiswa Fakultas Teknik Universitas Pasundan dalam mempelajari materi kuliah ilmu-ilmu teknik yang banyak memerlukan pemahaman ilmu kalkulus. Selain itu, karena mata kuliah Kalkulus ini merupakan salah satu mata kuliah yang diberikan pada kelas-kelas paralel, yang diajarkan oleh beberapa dosen, sehingga keragaman materi dan pencapaian materi kemungkinannya cukup besar. Oleh karena itu, dengan adanya diktat ini diharapkan keragaman tersebut dapat diperkecil. Penulis merasa materi pada diktat ini masih belum sempurna, sehingga kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya sangat diharapkan, karena editing akan selalu dilakukan setiap waktu, agar diktat ini dapat dijadikan acuan sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus untuk mahasiswa fakultas teknik. Kritik, saran, dan bantuan pemikiran dari semua pihak sehingga terwujudnya diktat ini, dan harapan untuk menjadikan diktat ini sebagai acuan materi perkuliahan, sekali lagi sangat diharapkan, dan diucapkan banyak terima kasih atas semua kerja-samanya. Bandung, Oktober Penulis i

3 DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar i Daftar Isi ii BAB I PENDAHULUAN I.. Struktur Bilangan I.. Sistem Bilangan Riil I.. Kalimat Matematis I.. Persamaan Linier I.. Persamaan Kuadrat I.6. Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan 8 I.6.. Pertidaksamaan Linier 8 I.6.. Pertidaksamaan Irasional 9 I.6.. Pertidaksamaan Pangkat Dua atau Lebih I.6.. Pertidaksamaan Pecahan I.6.. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak BAB II FUNGSI DAN GRAFIK 9 II.. Deskripsi Fungsi 9 II.. Gambar Fungsi II.. Fungsi Komposisi II.. Beberapa Bentuk Fungsi II... Fungsi Linier II... Fungsi Kuadrat 9 II... Fungsi Pangkat II... Fungsi Logaritma II... Fungsi Siklometri (fungsi goniometri, fungsi trigonometri) II.. Fungsi Irisan Kerucut 9 II... Lingkaran 9 II... Ellips II... Hiperbola ii

4 BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI 6 III.. Cara menghitung nilai limit 6 III.. Dalil-Dalil Limit Fungsi 8 III.. Limit Kiri, Limit Kanan III.. Kekontinuan Fungsi BAB IV TURUNAN (DIFERENSIASI) IV.. Arti Turunan Fungsi IV.. Dalil Dasar Untuk Turunan IV.. Turunan Fungsi Implisit 8 IV.. Turunan dan Kekontinuan Fungsi 9 IV.. Turunan Orde Tinggi 6 IV.6. Nilai Ekstrim Fungsi 6 IV.7. Beberapa Penggunaan Turunan 6 iii

5 BAB I SISTEM BILANGAN Bilangan adalah sebuah aksioma, sehingga tidak perlu didefinisikan. Untuk menyatakan sebuah bilangan digunakan lambang bilangan, yang berupa himpunan benda sejenis yang ada di sekitar kita. Misalnya bilangan lima, dapat dilambangkan oleh lima jari atau lima buah benda sejenis. Untuk keperluan perhitungan, digunakan gambar lambang bilangan yang dinamakan dengan angka. Angka inilah yang digunakan sebagai wakil bilangan. Misal pernyataan 7. Dalam hal ini,, dan 7, bukan sebagai angka, tetapi sebagai wakil dari bilangan lima, dua dan tujuh. I.. Struktur Bilangan Bilangan dapat dikelompokan atas himpunan,. Bilangan asli : {,,,... }. Bilangan cacah : {,,,,... } Pada himpunan bilangan ini didefinisikan bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. Misal :,,, 7,,, 7,.... Bilangan bulat : {...,,,,,,,,... } Bilangan yang berada di sebelah kiri atau bilangan yang lebih kecil dari, dinamakan bilangan negatif. Yang di kanannya atau bilangan yang lebih besar dari, dinamakan bilangan positif.. Bilangan real yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional a Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk, b tidak sama b dengan (ditulis b ), dengan a dan b bilangan bulat. Bilangan rasional jika disajikan dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang disajikan dengan menggunakan tanda koma (,) jika nilainnya antara dengan. Maka pada desimalnya (bilangan disebelah kanan tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau terhenti pada. Misalnya,, ,,...,,...,, 7

6 Dalam bilangan rasional, pernyataan b a, b, jika a lebih kecil dari b (ditulis a < b), dinamakan pecahan murni, sedangkan jika a lebih besar dari b (ditulis a > b), dinamakan pecahan campuran, sebab bentuknya dapat disajikan atas bilangan bulat dan pecahan murni, misalnya : bilangan rasional dinamakan bilangan irasional.. Bilangan yang tidak memiliki ciri seperti Bilangan irasional merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. Bilangan irasional jika disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya tidak akan terjadi pengulangan. Yang termasuk bilangan irasional diantaranya,. π,96, yang biasa diidentikan dengan 7,. bilangan eksponensial e,7888, yang biasa diidentikan dengan,. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, misalnya,, dan sejenisnya. Bilangan kompleks, yaitu bilangan yang disajikan oleh : a ib dengan a dan b bilangan real, i yang dinamakan bilangan imaginer. Pada sajian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer. Jika dibangun struktur bilangan, maka bentuknya akan seperti pada Gambar I..

7 bilangan kompleks bilangan imaginer bilangan real bilangan irasional bilangan rasional bilangan pecahan bilangan bulat bilangan bulat negatif bilangan cacah bilangan nol () bilangan asli Gambar I. Struktur Bilangan Jika dinotasikan, N himpunan bilangan asli, C himpunan bilangan cacah, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, I himpunan bilangan irasional, R himpunan bilangan real, dan K himpunan bilangan kompleks, maka berlaku hubungan,. C N {}. Q I φ. R Q I. N C Z R K I.. Sistem Bilangan Real Dalam matematika, yang disebut dengan sistem, adalah himpunan tidak kosong yang di dalamnya dilibatkan operasi terhadap anggota himpunannya. Pada himpunan bilangan real, operasi antar anggotanya adalah, perkalian (notasinya, atau. ), yang memiliki kawan, pembagian (notasinya, : atau ), dan perjumlahan (notasinya, ) yang memiliki kawan, pengurangan (notasinya, ). Pada proses perhitungan, operasi perkalian harus

8 didahulukan dari operasi perjumlahan, kecuali jika operasi perjumlahan itu ada didalam tanda kurung, sedangkan operasi perkalian dengan pembagian, dan perjumlahan dengan pengurangan, sifatnya setara, artinya mana yang lebih dulu disajikannya. Jadi yang dimaksud dengan sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang di dalammya dilibatkan operasi-operasi dan. Sistem bilangan real merupakan sitem bilangan yang banyak digunakan dalam perhitungan sehari-hari dan persoalan terapan. Operasi dalam sistem bilangan real memiliki sifat :. Tertutup. Jika a dan b bilangan real, maka a b (ditulis ab) dan a b juga bilangan real.. Komutatif. Jika a dan b bilangan real, maka ab ba, dan a b b a.. Asosiatif. Jika a, b, dan c bilangan real, maka a(bc) (ab)c, dan a (b c) (a b). Distributif. Jika a, b, dan c bilngan real, maka a(b c) ab ac Sifat asosiatif dan distributif menyatakan bahwa operasi dalam tanda kurung harus selalu didahulukan.. Trikhotomi. Jika a dan b bilangan real, maka hanya satu dari tiga hubungan di bawah ini yang berlaku. ) a b, ) a > b yang berarti : a b positif ( a b > ), ) a < b yang berarti : a b negatif ( a b < ), Sifat trikhotomi ini menyimpulkan, jika a dan b bilangan real, maka kemungkinannya a b atau a b. Dan jika a b, maka kemungkinannya a < b atau a > b. Dalam sistem bilalangan real, disajikan pula pernyataan a b, atau a b. Perbedaan arti dari sajian a b dengan a > b, (a b dengan a b) adalah : jika a < b (a > b) artinya a dengan b murni tidak sama. Tetapi untuk a b (a b) tidak murni tidak sama, artinya ada kemungkinan a b.

9 Sebagai implikasi dari sifat trikhotomi, maka berlaku hubungan ) a b >, jika a >, b >, a b <, jika a <, b <, ab >, jika a >, b >, atau a <, b< ab <, jika a >, b <, atau a <, b >. ) untuk setiap bilangan real c, () a c > b c, jika a > b, () a c < b c, jika a < b, () jika a > b, maka ac > bc, jika c >. Dan ac < bc, jika c <, sebaliknya, jika a < b, maka ac < bc, jika c >. Dan ac > bc, jika c <. 6. Adanya unsur satuan Definisi s dinamakan unsur satuan dari terhadap operasi *, jika s* atau *s. Dalam sistem bilangan real, unsur satuan terhadap perkalian () adalah, dan terhadap perjumlahan () adalah. 7. Adanya unsur kawan Definisi k dinamakan unsur kawan dari terhadap operasi *, jika k* s atau *k s, s unsur satuan. Dalam sistem bilangan real, unsur kawan dari terhadap perkalian adalah : ( - ), dan terhadap perjumlahan :. Berdasarkan unsur kawan ini, berlaku pernyataan dan : y y y y (y).

10 I.. Kalimat Matematis Kalimat matematis adalah kalimat yang memiliki nilai salah atau benar. Jika nilainya dapat ditentukan secara langsung tanpa sebuah proses perhitungan, maka kalimat matematis dinamakan kalimat tertutup. Sedangkan jika tidak langsung (nilainya harus dicari melalui sebuah proses perhitungan) dinamakan kalimat terbuka. Contoh Kalimat tertutup : 6 < Kalimat terbuka : < Dalam sistem bilangan real, yang termasuk kalimat tertutup adalah kesamaan dan ketidaksamaan, sedangkan kalimat terbuka persamaan dan pertidaksamaan. KALIMAT MATEMATIS KALIMAT TERBUKA KALIMAT TERTUTUP KESAMAAN KETIDAK- SAMAAN PERSAMAAN PERTIDAK- SAMAAN Gambar I. Struktur Kalimat Matematis Sifat trikhotomi merupakan perwujudan (implemantion) dari kalimat tertutup dalam sistem bilangan real. Sebab jika ada dua bilangan real a dan b, maka kemungkinannya, a sama dengan b (a b), atau a tidak sama dengan b a b (a b). Dalam hal a b, kemungkinannya, a > b atau a < b. Bentuk ketidaksamaan, a > b (a < b), dinamakan ketidaksamaan murni, sedangkan (a b) dinamakan ketidaksamaan tidak murni. 6 a b, Karena nilai dari kalimat tertutup dapat ditentukan secara langsung, sehingga untuk menentukan jawabnya tidak diperlukan perhitungan atau analisis tertentu, maka tidak ada

11 pembahasan lanjut tentang kalimat tertutup. Pembahasan lanjut dilakukan hanya untuk kalimat terbuka, yaitu persamaan dan pertidaksamaan, sebab untuk menentukan jawabnya diperlukan perhitungan tertentu. Sudah dikemukakan, dalam sistem bilangan riil, yang termasuk dalam kalimat terbuka adalah persamaan, yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda sama dengan (), dan pertidaksamaan yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda tidak sama dengan (>,, <, ). Dalam persamaan atau pertidaksamaan,. Bagian di sebelah kiri tanda, >,, < atau, dinamakan ruas kiri, dan disebelah kanannya, ruas kanan,. Lambang yang memiliki nilai, dengan nilainya ditentukan atau diperoleh melalui sebuah proses perhitungan, sehingga persamaan menjadi kesamaan atau pertidaksamaan menjadi ketidaksamaan, dinamakan variabel,. Nilai variabel yang menyebabkan persamaan atau pertidaksamaan bernilai benar, dinamakan jawab, akar, solusi atau penyelesaian. Dalam buku ajar ini, akan digunakan kata jawab, sebagai hasil perhitungan dari persamaan atau pertidaksamaan yang bernilai benar. I.. Beberapa Bentuk Persamaan Sudah dikemukakan, persamaan adalah kalimat matematis terbuka yang melibatkan tanda. Untuk mencari jawab sebuah persamaan, lakukan langkah-langkah sebagai berikut,. Ruas kanan disama dengankan,. Jika dimungkinkan, maka faktorkan ruas kiri atas faktor-faktor linear. Jika tidak, maka lakukan analisis ciri.. Berdasarkan hasil faktorisasi atau analisis ciri, tentukan jawab persamaan. 7

12 I... Persamaan Linear Persamaan linear merupakan persamaan yang bentuknya paling sederhana. umum persamaannya adalah a b dengan a dan b, bilangan real. variabel. Jawab dari persamaan ini adalah, b a Bentuk Contoh. Tentukan jawab persamaan 7 Jawab : Ruas kanan disama dengankan Sehingga jawab persamaannya : 8 I... Persamaan Kuadrat Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah a b c dengan a, b dan c bilangan real. variabel. Jawab dari persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara. Metode faktorisasi. Konsepsinya, () faktorkan hasil kali a dengan c, dengan jumlah kedua faktornya sama dengan b. a c d d d, d d b, () ubah persamaan kuadrat menjadi a d d c () lakukan perhitungan sebagai kerikut. a d d c (a d ) (d c) a( a d ) d ( c ) d d Karena a c d d yang identik dengan c a d e, maka (a d )( e) 8

13 Sehingga jawabnya,. Dengan menggunakan rumus. a d d a e e d a Konsepsinya, jika dan jawab persamaan kuadrat, maka dipenuhi hubungan : b ± b a ac.,. dalam formulasi tersebut, b ac D, dinamakan diskriminan. Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan ciri dari jawab persamaan. Jika ) D >, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab bilangan real, ) D maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real, ) D < maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks. Contoh. Tentukan jawab dari persamaan! Jawab : Dengan cara faktorisasi: () () () (), sebab () (). Jika dihubungkan dengan teorinya : a, d, d, maka jawabnya Dengan menggunakan rumus : d a d a D (-) ()(-) >, jadi persamaan kuadrat memiliki jawab dua bilangan real, yaitu 9

14 ( ) ± ( ) ±., Jadi jawab persamaan adalah, dan. Jika disajikan dalam sebuah bentuk himpunan, maka himpunan jawabnya, H {. }. Dari rumus untuk mencari jawab persamaan kuadrat a b c, yaitu. b ± b ac, yang berarti a b b ac dan a b b ac. a Maka diperoleh hubungan ) ) b b ac b b ac b a a a. b b ac b a b ac a b a ( b) ( b ac ) b ( b ac) a ac a c a ( ) a Yang menyimpulkan bahwa, jika dan jawab persamaan kuadrat a b c, maka berlaku hubungan ) ) c.. a b a

15 Contoh. Jika dan jawab persamaan, maka dengan tidak menghitung nilainilainya, hitunglah a) X! b)! Jawab : 9 a) ( ) b) ( )( ) ( ) Contoh. ( ) Bangun persamaan kuadrat yang jumlah nilai jawabnya sama dengan, dan hasil kalinya sama dengan! Jawab : Jika dimisalkan bentuk persamaannya a b c dan,, maka a b b a c c a a sehingga persamaan yang dicari a a. Karena a maka kedua ruas dari persamaan dapat dibagi oleh a, sehingga bentuk persamaan kuadratnya,

16 Contoh. Bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya lebih besar dari persamaan Jawab : Jika dimisalkan, jawab persamaan, dan y, y jawab persamaan kuadrat yang akan dibangun dengan persamaan maka ay by c, b y y ( )( ) ( ) a c y y ( )( ) ( ) a c a Sehingga bentuk persamaan yang dicari adalah 6 ay ay a. 6 6 b a Karena a, jika persamaan dibagi a dan dikalikan, maka persamaan kuadrat yang dicari, atau jika variabelnya disajikan oleh Definisi Bentuk kuadrat a b c, dinamakan y 6y, 6 ) definit positif, jika a b c >, untuk sembarang nilai. Hal ini akan terjadi jika D b ac < dan a >. ) definit semi positif, jika a b c, untuk sembarang nilai. Hal ini terjadi jika D b ac dan a >. ) definit negatif, jika a b c <, untuk sembarang nilai. Hal ini terjadi jika D b ac < dan a<

17 ) definit semi positif, jika a b c, untuk sembarang nilai. Hal ini terjadi jika D b ac dan a< I... Persamaan Polinom Persamaan a n n a n- n-... a a, dengan n dan a n, dinamakan persamaan polinom berderajat n. Menyelesaikan persamaan ini, tidak sesederhana dan semudah seperti menyelesaikan persamaan kuadrat atau persamaan linear, karena untuk memfaktorkan ruas kiri tidak ada acuan khusus. Salah satu acuan yang dapat digunakan (walaupun belum tentu mudah prosesnya), adalah faktor dari konstanta persamaan (a ). Contoh 6 Tentukan jawab persamaan 6 Jawab : a Jika disubtitusikan ke ruas kiri 6() () () 6 maka - salah satu faktor dari 6. Untuk mencari faktor yang lainnya, ) bagi 6 oleh ( ) (6 ) : ( ) 6 ) faktorkan 6 6 ( )( ). Sehingga faktorisasi persamaan : 6 ( )( )( ) dan jawabnya Contoh 7 Tentukan jawab persamaan 7 7 Jawab : a. Jika disubtitusikan ke ruas kiri : () 7() 7() 7 7

18 () 7() 7() 7 7 () 7() 7() 7 () 7() 7() 7 6 Jadi tidak ada jawab persamaan yang merupakan bilangan bulat. Jika menelaah hasil perhitungan, nilai persamaan untuk dengan berbeda tanda. Artinya, dalam selang < <, ada nilai yang menyebabkan persamaan sama dengan. Jika disubtitusikan ke ruas kiri, maka diperoleh hasil ( ) 7( ) 7 7( ) Yang berarti, ( ) adalah salah satu faktor persamaan. Sehingga faktorisasinya, 7 7 ( )( ). Jika dihitung, determinan dari bentuk kuadrat, D () ()() <, dan koefisien kuadratnya, a >. Sehingga bentuk kuadrat ( ) definit positif, atau >, untuk setiap nilai. Sehingga jawab persamaan 7 7 adalah :. Untuk menyelesaikan persamaan polinom berderajat n, n, jika sulit dilakukan secara manual, dapat digunakan perangkat lunak komputer (software), diantaranya Mathcad. Mathcad adalah perangkat lunak komputer untuk membantu perhitungan dalam persoalan Matematika dan terapannya. Program ini sangat berguna bagi para profesional, pendidik, dan mahasiswa, yang sering menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan persoalan terapan. Karena program ini memiliki kemampuan yang tinggi, dalam proses penyelesaiannya. Sebagai sebuah spreadsheet, cukup sederhana dalam penggunaannya. Misalnya untuk mencari jawab persamaan Jika dilakukan secara manual, prosesnya tidak sederhana dan memerlukan waktu yang cukup lama. Sedangkan jika diselesaikan dengan menggunakan Mathcad, maka prosesnya cukup sederhana, sebagai berikut.

19 . Jalankan program Mathcad, sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini. ) Tutup tampilan Resource Centre, sehingga tampilan menjadi seperti di bawah ini. ) Pada ruang editor (bidang putih yang ada ponter ) secara berurut tulis f() (tulis sembarang nilai) soln root(f(),), selanjutnya klik pada fungsi Evaluati soln Catatan tanda, dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau Evaluati

20 Dari tampilan spreadsheet, diperoleh himpunan jawabnya H {,88, -,78,,97,9i,,97 -,9i} I.. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Sudah dikemukakan, pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang melibatkan tanda >,, <, atau. Menentukan jawab sebuah pertidaksamaan identik dengan penyelesaian sebuah persamaan, yaitu ) ruas kanan disama dengankan, ) jika memungkinkan, lakukan faktorisasi ruas kiri. Jika tidak, lakukan telaah ciri, ) gunakan garis bilangan, yaitu garis yang titik-titiknya merupakan wakil dari bilangan real, ) tentukan daerah tanda pada garis bilangan, ) tentukan daerah tanda yang sesuai dengan pertidaksamaannya. Di bawah ini disajikan beberapa bentuk pertidaksamaan yang sering muncul dalam persoalan sehari-hari atau terapan. I... Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabel-variabel pada setiap ruasnya berderajat satu, dan pertidaksamaan ini merupakan pertidaksamaan yang paling sederhana bentuk dan penyelesaiannya. 6

21 Contoh 8. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan < 9! Jawab : < 9 < 9 < < Jawab pertidaksamaan, <. Jika disajikan pada garis bilangan Contoh 9. Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 7! Jawab : Jadi himpunan jawabnya, Jika disajikan pada garis bilangan ) H { }. Contoh. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan 6 -! Jawab : [ Karena semua ruas memuat variabel, sebaiknya dilakukan pemecahan jawaban yang selanjutnya dilakukan penggabungan, sebagai berikut 7

22 < 6 < 6 6 < < > [ Jawab pertidaksamaan adalah irisan kedua garis bilangan, yaitu : (. I... Pertidaksamaan Irasional Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang satu atau beberapa suku variabelnya berada di bawah tanda akar, sehingga untuk mencari jawabnya harus diperhatikan syarat dari suku di bawah tanda akarnya, agar diperoleh nilai dalam bilangan real. Prinsip mencari jawab dari pertidaksamaan ini, adalah dengan mengubah suku irasional menjadi rasional, yang salah satu diantaranya melalui proses pengkuadratan. Contoh. Selesaikan pertidaksamaan <! Jawab : Agar nilai dari real, maka harus dipenuhi syarat : Untuk penyelesaian pertidaksamaannya, kuadratkan kedua ruasnya. masing-masing ruas positif, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Karena suku pada 8

23 < ( ) < < < < 9 Jika kedua jawab digabungkan dengan menggunakan garis bilangan, [ maka himpunan jawabnya Contoh. H < 9 ) 9 Untuk harga-harga manakah yang memenuhi pertidaksamaan <? Jawab : Syarat untuk suku di bawah tanda akar agar diperoleh bilangan real () () Untuk penyelesaian pertidaksamaannya. Karena ruas kiri dan ruas kanan merupakan bilangan positif, maka jika keduanya dikuatdratkan, tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan. ( - ) < ( ) < < < < - < > () 9

24 Jika ketiga jawab, (), (), dan (), digabungkan dengan menggunakan garis bilangan [ [ ( maka himpunan jawabnya : H. Contoh. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan 6 <! Jawab : Syarat untuk unsur di bawah tanda akar 6-6 () () Penyelesaian pertidaksamaannya ( ) ( ) ( ) ( ) () > > > > > < < < < < [ 6 [ ( sehingga himpunan jawabnya : H { > }

25 I.. Pertidaksamaan Polinom Untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinom, dapat dilakukan dengan proses sebagai berikut. Jadikanlah ruas kanan sama dengan, dan pangkat variabel yang paling tinggi koefisiennya positif.. Unsur di ruas kiri, jika mungkin uraikan atas faktor-faktor linier, dan hitung nilai-nilai yang menyebabkan faktor-faktor sama dengan (nilai ini dinamakan nilai nol).. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan, dan lakukan uji tanda untuk menentukan daerah himpunan jawab, dengan cara sebagai berikut :.. ambil sebuah nilai yang bukan nilai nol dan subtitusikan ke ruas kiri.. perhatikan tanda dari nilai yang diperoleh, positif () atau negatif (-).. tandai daerah di mana nilai yang diambil tersebut berada dengan tanda yang diperoleh, dan tanda berubah jika melewati nilai nol yang berasal dari faktor berpangkat ganjil, sedangkan jika berasal dari faktor berpangkat genap tanda tetap. Contoh. Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan < 6 8! Jawab : < < < ( )( ) < Nilai-nilai nolnya : Ambil sembarang nilai yang tidak sama dengan dan. Misalnya. Subtitusikan ke ruas kiri : ( )( ) (. )() ) > yang berarti daerah di sebelah kiri bertanda, antara dan bertanda, dan di sebelah kanan bertanda, sehingga gambar daerah tandanya :

26 Karena tanda pertidaksamaannya <, jadi himpunan jawabnya H < <. Contoh. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan ( )( ) > Jawab : ( )( ) > ( ) ( )( ) > Nilai-nilai nolnya : - Gambar daerah tandanya : Karena tanda pertidaksamaan >, jadi himpunan jawabnya H { < } { > } Contoh 6. Tentukan batas-batas harga yang memenuhi pertidaksamaan > - Jawab : > > > Karena bentuk kuadrat, memiliki ciri diskriminannya : D (-) ()() -87 <

27 koefisien kuadratnya : a >, maka bentuk kuadrat definit positif, > untuk setiap nilai. Sehingga himpunan jawabnya, H { bilangan real }. I... Pertidaksamaan Pecahan Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang merupakan sebuah pecahan atas suku-suku. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini prosesnya sebagai berikut,. Ruas kanan disama dengankan. Lakukan perhitungan di ruas kiri sehingga diperoleh sebuah bentuk pecahan atas sukusuku, yang selanjutnya ubah menjadi bangun perkalian.. Faktorkan bangun perkalian tersebut (jika bisa), dan tentukan nilai-nilai nolnya.. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan dan lakukan penentuan daerah tanda. Contoh 7. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan 6! Jawab : 6 6 (8 7)( ) Nilai nolnya : 6 ( )

28 Gambar daerah tanda sehingga himpunan jawabnya, Contoh Selesaikan pertidaksamaan! 6 Jawab : ( 7 ) 7 H 8 ( )( 6) ( )( 6) ( 6 )( )( 6) Nilai-nilai nolnya : Gambar daerah tandanya 6 ( )( 6) ( )( ) ( )( 6) sehingga himpunan jawabnya, H { 6}

29 Contoh 9. Tentukan himpunan jawab untuk pertidaksamaan! 6 Jawab : ( 6) 6 6 ( )( ) ( 7)( ) ( )( ) 7 ( 7)( )( )( ) Nilai nolnya : 7 7 Gambar daerah tandanya ( )( ) Sehingga himpunan jawabnya, { } 7 7 H I... Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak Nilai mutlak dari, ditulis, didefinisikan sebagai berikut, jika >, jika -, jika < Berdasarkan definisi tersebut berarti nilai mutlak dari suatu bilangan riil adalah bilangan positif atau. Sebagai contoh,, ().

30 Secara ilmu ukur adalah jarak dari ke pada garis bilangan real. Sifat-sifat dari nilai mutlak - Gambar I. Sajian ilmu ukur dari. Untuk setiap bilangan real, berlaku hubungan : ) ) ). Untuk setiap bilangan real dan y, berlaku hubungan : ) y ±y y ) y y ) y y dan y y ) y y dan y y ) y y dan y y. Untuk setiap bilangan real dan a, berlaku hubungan : ) a, a > a a a ) a, a > a atau -a a Berdasarkan telaahan dari nilai mutlak tersebut, proses penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak, adalah dengan mengubah pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan yang tidak mengandung nilai mutlak. Selanjutnya penyelesaian pertidaksamaan dilakukan berdasarkan bentuk kasusnya. Menghilangkan nilai mutlak dalam pertidaksamaan dilakukan dengan memperhatikan sifat-sifat dari nilai mutlak seperti yang telah dikemukakan. 6

31 Contoh. Tentukan himpunan jawab pertidaksamaan a. b. Jawab : a. ( )( ) Karena bentuk kuadrat Nilai nol : diskriminannya : D() ()() 7< koefisien kuadratnya : a > Gambar daerah tandanya yang berarti pertidaksamaan, selalu benar, atau himpunan jawabnya, H { bilangan riil }. sehingga himpunan jawabnya, H { }. Karena H H H, jadi himpunan jawab pertidaksamaan adalah H { } 7

32 b. atau ( )( ) ( ) Nilai nol : Nilai nolnya : Gambar daerah tandanya Gambar daerah tandanya himpunan jawabnya, himpunan jawabnya, H { } { } H { } Jika kedua himpunan jawab diiriskan dengan menggambarkan daerah tandanya maka himpunan jawab pertidaksamaan adalah himpunan kosong, H φ. Sehingga tidak ada nilai memenuhi pertidaksamaan Contoh. Selesaikanlah pertidaksamaan 8

33 9 Jawab : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( )( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ( )( ) { } [ ] ( ) { } ( )( ) { } [ ] ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Nilai-nilai nolnya : ) () () ( ) () ). Karena bentuk kuadrat memiliki nilai diskriminan D() ()() < dan nilai koefisien kuadrat a >, maka >, untuk setiap nilai. Sehingga gambar daerah tandanya - dan himpunan jawabnya, H

34 Jika kita menelaah proses penyelesaian sebuah pertidaksamaan, yang pada dasarnya adalah, bagaimana menentukan nilai nol dari ruas kiri, setelah ruas kanan disama dengankan nol? Maka jika diinginkan menyelesaikan sebuah pertidaksamaan dengan menggunakan program Mathcad, identik dengan menyelesaikan sebuah persamaan dari bentuk ruas kirinya, yang dilanjutkan dengan menentukan daerah tandanya. SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN. Bentuk pembagian b a, dengan a, terdefinisikan, jika b. a Bukti : Jika b, maka a.b. Hal ini kontradiktif dengan ketentuan bahwa a Selanjutnya tunjukan bahwa bentuk pembagian, juga tidak terdefinisikan.. Dalil fundamental dalam ilmu hitung (aritmetika) : Setiap bilangan asli merupakan hasil perkalian dari bilangan prima. Makna dari dalil tersebut, untuk menunjukan apakah bilangan asli merupakan bilangan prima, adalah dengan memfaktorkannya atas bilangan-bilangan prima. Jika memiliki lebih dari satu faktor bilangan prima, maka bilangan asli itu bukan bilangan prima. Misal :.,..., 9.9, dan sejenisnya, bukan bilangan prima. Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, mana yang merupakan bilangan prima a) b) 9 c) 7 d) e) 77 f) 7 g) 76. Menunjukan bahwa bilangan irasional dengan pembuktian kontradiktif. a Misalkan adalah bilangan rasional, sehingga dapat disajikan, a dan b b bilangan asli yang tidak sama dengan, b. Jika kedua ruas dikuadratkan, maka a b b a a.b.b Berdasarkan dalil fundamental, kuadrat bilangan asli dapat disajikan dalam perkalian atas bilangan prima yang bersifat tunggal, dengan banyaknya bilangan prima masingmasing genap.

35 Dari sajian, a.b.b ) jika b bilangan asli ganjil, maka banyaknya bilangan prima dalam perkalian hanya satu, ganjil ) jika b bilangan asli genap, b.b a..b..b...b.b, maka bilangan prima dalam perkalian ada tiga, ganjil Karena a kuadrat bilangan asli, jadi kontradiksi dengan dalil fundamental, atau bukan bilangan rasional. Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, tunjukan bahwa merupakan bilangan irasional, dengan mengunakan kontradiktif dalil fundamental a) b) c) d) 8 e) f) g). Tunjukan bahwa a) Jika a dan b bilangan rasional, maka c a.b, bilangan rasional. Apakah hal ini berlaku untuk bilangan irasional? Lakukan analisisnya! b) Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka c a.b, bilangan irasional. c) Jika a bilangan rasional, a, dan b bilangan irasional, maka c a.b, bilangan irasional.. Tunjukan bahwa jika a >, b >, maka a) a < b jika dan hanya jika a < b b) a < b jika dan hanya jika a > b a b 6. Tunjukan bahwa jika a < b, maka a < < b! 7. Tentukan jawab persamaan-persamaan di bawah ini a) 7 b) 7 c) 6 d) 9 7 e)

36 8. Jika dan jawab persamaan, maka dengan tidak menghitung nilainilai dan, hitunglah a) b) c) d) e) 9. Jika ditetapkan persamaan kuadrat, maka bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya a) dua kali lebih besar b) lebih besar dua c) dua kali lebih besar dan lebih besar dua. Tentukan jawab pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini a) b) < c) 6 d) e) 6 > f) 9 g) h) 6 >

37 . Tunjukan bahwa a) < y jika dan hanya jika < y b) Jika a > b > maka a > b c) a b c a b c d) Jika maka 7 e) Jika maka f) Jika a dan b maka ab a b g) h) 9 9 i) < jika < atau >, dan > jika < < j) Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka a b dan ab adalah bilangan irasional.

38 BAB II FUNGSI REAL DAN GRAFIKNYA Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi (perkawanan) antara dua buah himpunan tidak kosong. Jika kedua himpunan yang direlasikan, dengan relasinya membangun sebuah fungsi, adalah himpunan bilangan real, maka fungsi dinamakan fungsi real. Pada bab ini akan disajikan deskripsi dan konsepsi pada fungsi real. II.. Deskripsi Fungsi Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan cara, setiap anggota himpunan X hanya dikawankan (dipasangkan) dengan satu dan hanya satu kali dengan anggota himpunan Y. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini, y y y Z y y y Z X Y X Y Gambar II. Gambar II. Relasi yang merupakan fungsi Relasi yang bukan fungsi [Sebab setiap anggota X hanya [Sebab ada anggota X yang memiliki memiliki satu kawan] kawan lebih dari satu ] Untuk menyatakan sebuah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, dapat digunakan salah satu dari bentuk notasi di bawah ini, Tabel II. Bentuk-bentuk Notasi Fungsi Notasi Panah Persamaan Ekplisit Persamaan Implisit f : X Y y Y f(x) f (X, Y)

39 Dalam deskripsi fungsi tersebut, X disebut Domain (daerah asal) dan Y Kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan Z yang merupakan himpunan bagian dari Y, dengan setiap anggotanya adalah kawan dari X, disebut Range (daerah harga, daerah peta). Misalnya fungsi seperti pada Gambar, rangenya : Z {y, y, y }. Berdasarkan kondisi dari range dan cara perkawanannya, fungsi dibedakan atas. Fungsi ke dalam (into), yaitu fungsi dengan rangenya merupakan himpunan bagian murni dari kodomain.. Fungsi pada (onto), yaitu fungsi dengan rangenya sama dengan kodomain.. Fungsi satu-satu (one to one), yaitu fungsi dengan setiap anggota X dan Y hanya memiliki satu dan hanya satu pasangan. Fungsi satu-satu ini dibedakan atas fungsi satu-satu pada dan fungsi satu-satu ke dalam. Untuk ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini Z Z X Y X Y Gambar II. f : X Y, fungsi kedalam [sebab ada anggota Y yang tidak memiliki kawan] Gambar II. f : X Y, fungsi pada [sebab setiap anggota Y memiliki kawan]

40 f... y y... y n Z... y y... y n Z k k X Y Gambar II. f : X Y, fungsi satu-satu ke dalam f - X Y Gambar II.6 f : X Y, fungsi satu-satu pada Setiap fungsi yang merupakan fungsi satu-satu pada, akan memiliki fungsi invers. Definisi Jika fungsi satu-satu pada, maka fungsi f : X Y i y i g : Y X, y i i dinamakan fungsi invers dari f, ditulis : f Misal, jika maka fungsi X { bilangan real, } dan Y { y y bilangan real, y }, f : X Y y adalah fungsi satu-satu pada, dan fungsi inversnya f - : Y X y y 6

41 II.. Sistem Salib Sumbu Setiap bentuk fungsi dapat digambarkan sajian hubungan elemen domain dengan kodomainnya. Untuk menggambarkannya diperlukan sebuah media, yang dinamakan sistem salib sumbu, yaitu dua garis berpotongan tegak lurus, yang masing-masing titiknya menyajikan bilangan riil. Sumbu datar, dinamakan sumbu absis, dinotasikan dengan X, dan berperan sebagai domain. Sedangkan sumbu tegak, dinamakan sumbu ordinat, dinotasikan dengan Y, dan berperan sebagai kodomain. Titik potong sumbu absis dengan ordinat dinamakan titik pusat, dan dinotasikan dengan O. Pasangan nilai berurut (, y ), dengan nilai pada sumbu absis, dan y pada sumbu ordinat, dinamakan koordinat. dinamakan absis, dan y ordinat. Koordinat seperti ini dinamakan koordinat kartesius. Y sumbu ordinat y T(,y ) X O(,) sumbu absis Gambar II.7 Sistem Koordinat Kartesius 7

42 Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini. y Y O φ r T(,y ) X r : jarak antara titik O (, ) dengan titik T (, y ), r OT. φ : sudut antara sumbu-x dengan garis OT, yang diukur dari sumbu-x ke garis OT dengan berlawanan arah gerak jarum jam. Gambar II.9 Sistem Koordinat Polar Koordinat titik T yang disajikan dalam pasangan r dengan φ, T (r, φ), dinamakan Koordinat Polar. Dengan menggunakan goneometri, dapat diformulasikan hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius. Jika (r,φ) koordinat polar dari koordinat kartesius (,y ), maka r dan tg φ y y. Koordinat polar dapat digunakan sebagai koordinat alternatif, jika analisis dengan menggunakan koordinat kartesius sulit diselesaikan. II.. Diagram dan Grafik Gambar dari fungsi dinamakan Grafik, jika bentuknya sebuah garis atau lengkungan. Sedangkan jika sebuah pencaran titik, disebut Diagram. Misalnya, fungsi dari himpunan X {-, -,,, } ke himpunan Y {,,,, } dengan bentuk f : X Y y 8

43 maka diagramnya Y X - - Gambar II.7 Diagram fungsi f : y Sedangkan jika X { bilangan riel}, Y {y y bilangan riel}, dan bentuk fungsinya f : X Y y maka grafiknya Y X Gambar 8 Grafik fungsi f : y Menggambarkan grafik fungsi, jika dilakukan secara manual, maka prosesnya sebagai berikut. 9

44 . Menentukan titik-titik yang dilalui oleh grafik. a. Titik-titik tertentu, misalnya titik potong dengan sumbu koordinat, titik ekstrim, titik simetris dan sejenisnya. b. Titik-titik sembarang, yang dapat dilakukan dengan menentukan sembarang nilai, dan mensubtitusikannya ke persamaan fungsi. Prosesnya dapat dilakukan melalui sebuah tabel perhitungan Misal untuk fungsi y. y Koordinat Titik - (-) (-, ) - (-) (-, ), (,), (,,,) dst. Menggambarkan koordinat titik-titik yang dilalui grafik.. Menghubungkan titik-titik yang digambarkan pada langkah pertama, Tingkat akurasi dan estetika grafik yang digambarkan secara manual, sangat bergantung pada pengalaman dan keahlian menggambar dari si-pembuat-nya. Untuk mendapatkan gambar grafik fungsi yang bagus, tanpa diperlukan pengalaman dan daya estetika, dengan proses cukup sederhana adalah dengan menggunakan program komputer Mathcad. Langkah-langkah menggambarkan grafik fungsi dengan Mathcad :. Jalankan program Mathcad, sehingga diperoleh tampilan

45 ) Tutup tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan ) Pada pointer tulis persamaan fungsi yang akan digambarkan dengan formulasi f() persamaan fungsi Tanda, dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau Evaluati Misal fungsi yang akan digambarkan, Y. Formulasi penulisan pada bidang editor seperti di bawah ini.

46 ) Klik gambar grafik yang ada pada sudut kiri atas kotak Graph (lihat tanda panah), sehingga diperoleh tampilan klik persamaan fungsi setelah menulis dan f() di kotak hitam kecil tulis : f() tulis : ) Pada kotak hitam kecil di bawah kotak putih besar, tulis :, dan f() yang ada di sebelah kirinya. 6) Klik persamaan fungsi, sehingga diperoleh tampilan pada kotak putih klik dua kali untuk formating grafik

47 7) Klik dua kali pada kotak putih yang ada gambar grafik f(), untuk formating grafik, 8) Lakukan formating grafik sehingga diperoleh gambar yang bagus, menurut si pembuat. Misalnya seperti tampilan di bawah ini.

48 II.. Fungsi Komposisi Jika f : X Y, fungsi dari himpunan X ke Y, dan g : Y Z, fungsi dari himpunan Y ke Z, yang merelasikan elemen-elemen dari range fungsi f, dengan elemen himpunan Z. Maka fungsi h : X Z disebut fungsi komposisi dari f dengan g, ditulis h f o g atau h f(g) f ff f g f o g Sebagai contoh, jika X Y Z Gambar II. Diagram fungsi komposisi dan maka f : X Y y g : Y Z y z Sin y fog : X Z z Sin Sajian tersebut jika dalam persamaan eksplisit adalah : Y X Z Sin Y Z Sin X

49 II.. Operasi Pada Fungsi Karena nilai dari fungsi real adalah bilangan real, maka himpunan dari fungsi real yang tidak kosong, yang di dalamnya dilibatkan operator perkalian dan perjumlahan, merupakan sebuah sistem bilangan real. Sehingga jika dimiliki dua buah fungsi atau lebih, dengan domain dan kodomain yang sama, maka dapat dilakukan proses perkalian, perjumlahan, atau kombinasi keduanya, beserta operasi kawannya. Domain dan kodomain fungsi hasil operasi adalah irisan dari domain dan range fungsi komponennya. Perhatikan ilustrasi di bawah ini. A f() B M f()*g() N V X g() W Y Gambar II. Konsepsi Operasi Fungsi Jika f(), fungsi dari himpunan A ke himpunan B ; dan g(), fungsi dari himpunan V ke himpunan W ; maka operasi f() dengan g() yang disajikan oleh f()*g(), adalah fungsi dari himpunan M A V ke himpunan N B W. Sebagai contoh, jika f(), domain { < < }, kodomain { } g() Sin, domain {π π}, kodomain { } dan dilakukan operasi fungsi, H() f() g() dan I() f().g(), yang jika digambarkan grafiknya dengan Mathcad, hasilnya seperti di bawah ini

50 f( ) g( ) H( ) I( ).. f() g() Sin H() f() g() I() f().g() Pada gambar tersurat, untuk fungsi H() dengan I(), domain {π π} kodomain { < < }. II.. II... Beberapa Bentuk Fungsi Fungsi Linear Fungsi linear (atau fungsi pangkat satu) jika disajikan dalam persamaan eksplisit bentuknya : dan dalam persamaan implisit bentuknya : Y ax b ax by c Domain, kodomain, dan range dari fungsi linear adalah himpunan bilangan real, dan fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversnya lurus. Y a X Fungsi linear biasa juga disebut persamaan garis, karena grafiknya merupakan garis b a 6

51 Y Y ax b φ sudut antara grafik fungsi dengan sumbu-x, diukur dari sumbu-x berlawanan arah gerak jarum jam φ (,b) X (,b) titik potong grafik fungsi dengan sumbu-y Gambar II. Grafik fungsi linear maka Pada persamaan eksplisit, Y ax b, jika φ sudut antara sumbu-x dengan grafik fungsi, a Tg φ dinamakan Koefisien Arah atau Gradient. Sedangkan φ disebut Sudut Arah. Dalam persamaan implisit, koefisien arah grafik fungsi sama dengan sumbu-y : c,. b ax by c a, dan koordinat titik potong grafik dengan b Cara menggambarkan grafik fungsi linear ada dua cara, yaitu berdasarkan ) dua titik yang dilalui grafik ) nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik. Contoh soal. Gambarkan grafik fungsi Y X! Jawab :. Jika berdasarkan dua titik yang dilalui grafik, maka ambil dua nilai sembarang dari X dan hitung nilai Y sesuai dengan persamaan fungsinya, misalnya : X Y () 7 () 7

52 Y - X - (, -) (, -7) -7. Jika berdasarkan nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik, maka ) gambarkan garis arah dengan sudut arah φ, yang nilai koefisien arahnya, Tg φ. ) tentukan sebuah titik yang dilalui grafik, dan untuk kemudahan ambil titik potong grafik dengan sumbu-y, (, -), ) gambarkan garis yang sejajar garis arah dan melalui titik potong tersebut Y garis arah φ X (, -) 8

53 9 Berdasarkan cara menggambarkan grafiknya, membangun persamaan fungsi linear, dapat dilakukan berdasarkan. dua titik yang dilalui grafik. nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik. Persamaan fungsi linear jika melalui titik (, y ) dan (, y ) adalah X y y y Y Jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya menjadi y y X y y y y y y X y y y y y X y y Y Sedangkan persamaannya jika nilai koefisien arah, a dan melalui titik (, y ) adalah, Y y a(x ) Yang jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya Y ax a y ax (a y ) Contoh soal. Tentukan persamaan fungsi linear, jika grafiknya a. melalui titik-titik (-, ) dan (, -) b. memiliki koefisien arah dan melalui titik (, ) Jawab : a. X Y ) ( () ) ( X () ) ( () Y ()(Y ) ()(X ) Y 6 X X Y 6 X Y (persamaan eksplisit) X Y (persamaan implisit) b. Y () ()(X - ) Y X Y X (persamaam implisit) X Y (persamaan eksplisit)

54 II... Sudut antara dua grafik Salah satu segi yang dapat diturunkan dari koefisien arah grafik fungsi linear, adalah sudut antara dua grafik seperti di bawah ini. Y g : YaX b ϕ l : Y mx n ϕ ϕ X Gambar II. ϕ sudut antara g dan l ( ϕ ½π) Pada Gambar II.. ϕ sudut arah l Tg ϕ m ϕ sudut arah g Tg ϕ a ϕ ϕ ϕ Tg ϕ Tg (ϕ ϕ ) Sin( ϕ Cos( ϕ ϕ) ϕ ) SinϕCosϕ Cosϕ Cosϕ Cosϕ Sinϕ Sinϕ Sinϕ SinϕCosϕ CosϕCosϕ CosϕCosϕ Cosϕ Cosϕ CosϕSinϕ CosϕCosϕ SinϕSinϕ Cosϕ Cosϕ Sinϕ Sinϕ Cosϕ Cosϕ SinϕSinϕ Cosϕ Cosϕ Tgϕ Tgϕ Tgϕ Tgϕ a m am Karena sudut antara dua grafik yang digunakan adalah sudut lancip, ϕ ½π, yang berarti Tg ϕ. Sedangkan dari formulasi kesamaan dimungkinkan Tg ϕ, maka pada

55 formulasi kesamaan, ruas kanan harus disajikan dalam harga mutlak. Sehingga jika ϕ sudut antara dua grafik fungsi linear, g : YaX b dengan l : Y mx n, maka a - m Tg ϕ am II... Dua grafik fungsi linear Dari konsepsi sudut antara dua grafik fungsi linear, maka dapat disimpulkan bahwa antara dua grafik fungsi linear hanya satu dari dua hal di bawah ini yang berlaku, yaitu ) Sejajar. Dua grafik fungsi linear akan sejajar jika koefisien arah keduanya sama, a m. ) Berpotongan, yang dibedakan atas a) berpotongan tegak lurus. Dua grafik fungsi linear akan berpotongan tegak lurus jika hasil kali koefisien arahnya sama dengan, a.m. b) berpotongan biasa. Untuk menentukan titik potong dua grafik dapat dilakukan dengan mempersamakan kedua persamaan fungsinya. Jika diketahui dua grafik fungsi linear, Y ax b dan Y nx m, maka koordinat titik potongnya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut : Y ax b Y nx m ax b mx n ax mx n b (a m)x n b X n b a m dari persamaan Y ax b Y a(n b) b(a m) an Y a m a m a bm m sehingga koordinat titik potongnya. n b a b a m n b an bm, a m a m

56 Y Y Y X X X sejajar berpotongan berpotongan tegak lurus Gambar II. Kemungkinan dua grafik fungsi linear Contoh soal. Tentukan persamaan fungsi linear yang grafiknya berpotongan tegak lurus dengan grafik fungsi dan melalui titik potong grafik fungsi Jawab : Y X Y X dengan Y X! Jika a koefisien arah grafik yang tegak lurus grafik Y X, maka (a)() a Koordinat titik potong grafik Y X dengan Y X : Y X Y X X Y X X X X X X X Y () koordinat titik potongnya : (, ), Sehingga persamaan fungsi linear yang dicari, adalah fungsi yang grafiknya melalui titik (, ) dengan koefisien arah, yaitu : Y () (X () Y X Y X.

57 Persamaan fungsi jika disajikan dalam persamaan implisit, maka diperoeh hasil Y X Y X X Y Jika grafik fungsi-fungsi tersebut digambarkan dengan menggunakan program Mathcad pada domain { }, maka hasilnya seperti di samping ini. Dengan fungsi-fungsi yang ditetapkan : f() : Y X, g() : Y X, h() : Y, dan fungsi yang dicari : i() : Y X. f( ) g( ) h( ) i( ) i() g() h() f() Gambar posisi grafik fungsi linier yang ditetapkan dengan yang dicari II... Fungsi Kuadrat Persamaan fungsi kuadrat, atau biasa juga disebut persamaan parabola tegak, adalah : Y ax bx c, a. Selanjutnya perhatikan proses aljabar di bawah ini : Y ax X X b a b a bx c X ± b a ax b a (a)(y c) b a bx Y c Y c a X ± a X X b a b Y c X a a ay ac b Y c b a a b a Karena ay ac b akan bernilai real jika ay ac b, atau b ac b ac Y, jika a >, dan Y a a, jika a <. Maka range fungsi kuadrat adalah, b ac b ac Y { y }, jika a < atau Y { y }, jika a >. a a

58 Dari hubungan maka b (a)(y c) b (a)(y c) b ±, karena, a a a X b (a)(y c) b b, jika X atau a a a X X b a b (a)(y c) b b, jika X atau X a a a X Hal ini menyimpulkan bahwa, fungsi kuadrat merupakan fungsi satu-satu pada, jika b b domainnya X { } atau X { }. a a Dalam domain tersebut, fungsi inversnya Sehingga jika domainnya Y a Y a ax (b ax (b tetapi hanya merupakan fungsi ke dalam. ac) b a ac) b a,, jika b a X > jika X < < X < maka fungsi kuadrat bukan fungsi satu-satu pada, Dari uraian tersebut, garis dengan persamaan dan nilai b a b a b X, dinamakan Sumbu Simetris, a b ac Y, adalah nilai ekstrim fungsi. Nilai ekstrim ini, merupakan nilai a minimum jika a >, dan nilai maksimum jika a <. Untuk menggambarkan fungsi kuadrat secara manual diperlukan komponenkomponen :. Sumbu simetris, yaitu garis dengan persamaan b X. a b b ac. Titik ekstrim, yaitu titik dengan koordinat, a a. Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, ) dengan sumbu-y : X Y c koordinat titik potongnya (, c) ) dengan sumbu-x : Y ax bx c

59 Persamaan kuadrat ax bx c akan memiliki jawab riil, jika b ac, sehingga grafik fungsi kuadrat akan a) memotong sumbu-x, jika b ac >, b) menyinggung sumbu-x jika b ac.. Titik-titik yang dilalui grafik, Untuk ini buat tabel pasangan harga X dengan Y. Contoh soal. Gambarkan grafik fungsi Y X X! Jawab : ) Sumbu simetrinya : ) Titik ekstrimnya : X. ( ) Koefisien kuadratnya, a <, jadi titik ekstrim merupakan titik maksimum. Koordinatnya : (), ( )() 9, ( ) 8 ) Koordinat titik potong dengan : a) sumbu-y : (, ) b) sumbu-x : Diskriman fungsi D () (-)() 9 >, jadi grafik memotong sumbu-x. Koordinat titik potongnya Y Y X X X (X )(X ) X X X X X Koordinat titik-titik potongnya : (, ) dan (,)

60 ) Koordinat titik-titik lain yang dilalui grafik : Ambil nilai X sembarang yang belum ada, dan sepihak terhadap sumbu simetri. Pada contoh ini sumbu simetrinya X, jadi yang diambil nilai X < atau X >. Jika diambil X <, maka bangun tabel seperti di bawah ini X Y Koordinat titik () () (, ) ( ) ( ) (, ) dst. Sehingga bentuk grafiknya seperti di bawah ini Y 9, 8 (-,) X (,) X (-,-) (,-) X Grafik fungsi kuadrat f() : Y X X jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain X { }, hasilnya seperti di disamping ini. f ( ) Grafik fungsi kuadrat Y X X jika digambarkan dengan Mathcad 6

61 Kemungkinan grafik fungsi kuadrat jika ditelaah berdasarkan sumbu-x, disajikan pada Gambar II. di bawah ini. a > a < f( ) D > f ( ) Grafik memotong sumbu-x dan terbuka ke atas Grafik memotong sumbu-x dan terbuka ke bawah D f ( ) f ( ) Grafik menyinggung sumbu-x dan terbuka ke atas Grafik menyinggung sumbu-x dan terbuka ke bawah f( ) D < f( ) Grafik tidak memotong sumbu-x dan terbuka ke atas Grafik tidak memotong sumbu-x dan terbuka ke bawah Gambar II. Kemungkinan posisi grafik fungsi kuadrat terhadap Sumbu-X 7

62 II... Grafik fungsi kuadrat dengan fungsi linear Jika dimiliki sebuah grafik fungsi kuadrat dengan sebuah grafik fungsi linear, maka hanya satu dari tiga kemungkinan di bawah ini yang terjadi, yaitu a) tidak berpotongan b) berpotongan c) bersinggungan Y ax b Y cx dx e ax b cx dx e cx (d a)x (e b) Diskriminan bentuk kuadrat cx (d a)x (e b) : D (d a) (c)(e b) Ada tiga kemungkinan untuk D a) D < grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan b) D grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat c) D > grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat. 8. f( ). f( ). g( ). h( ).. 8. Grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan Grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat 8. f( ) i( ).. 8. Grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat Gambar II.6 Kemungkinan grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat 8

63 Contoh soal Tentukan a) persamaan garis singgung pada parabola Y X X di titik (, ) b) hubungan a dan b pada persamaan parabola Y ax bx, agar grafiknya memotong grafik fungsi linear Y X Jawab a) Jika dimisalkan persamaan garis singungnya Y ax b, maka ) melalui titik (, ) a() b a b Y bx b ) menyinggung parabola Y X X Y bx b Y X X bx b X X X (b )X (b) diskriminan bentuk kuadrat X (b )X (-b) : D (b ) ()(-b) b 6b 9 8 8b b b (b ) Karena yang ditentukan menyinggung, maka D harus disama-dengankan, D, atau b Sehingga persamaan garis singgunggnya, Y ()X () X b) Y X Y ax bx X ax bx ax (b)x diskriminan bentuk kuadrat ax (b)x : D (b) (a)() b b 8a Karena yang ditentukan berpotongan, maka D harus lebih besar dari, D >, atau b b 8a > (b ) 8a > {(b) 8 a }{(b) 8 a } > Hal ini berarti, hubungan a dengan b ) (b) 8 a > b > 8 a (b) 8 a > b > 8 a atau ) (b) 8 a < b < 8 a (b) 8 a < b < 8 a 9

64 II... Fungsi Pangkat Bentuk umum dari fungsi pangkat adalah Y a X, dengan a > bilangan real. Dalam hal a e, yaitu bilangan irasional yang nilainya e,96, bentuk Y e X dinamakan fungsi eksponensial. Grafik dari fungsi pangkat seperti pada Gambar II.. Y Ya X, a > (,) Ya X, < a < Misal grafik fungsi Gambar II.7 Grafik fungsi pangkat X f() : Y X dan g() : Y jika digambarkan dengan program Mathcad dalam domain X { < < }, maka hasilnya seperti di samping ini : Domain fungsi pangkat adalah X { < < } dan rangenya Y {y > }. Fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversinya : Y a log Y. Sifat perpangkatan X f( ) g( ) g() f() Grafik fungsi f() : Y X dan g() : Y jika digambarkan dengan Mathcad X. a a a X X, X a X. X ab X a X b, X a-b X a X -b a X b X. ( a ) b X ab 6

65 II... Fungsi Logaritma Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah Y a log X dengan a >, bilangan real. Dalam hal a, log X ditulis log X, dan dinamakan Logaritma Biasa. Jika a e, yaitu bilangan irasional, e,96, maka e log X ditulis ln X, dan dinamakan Logaritma Natural. Y Y a log X, a > (,) X Y a log X, < a < Gambar II.8 Grafik fungsi logaritma Misal grafik fungsi f() : Y log X dengan g() : Y log jika digambarkan dengan program Mathcad f ( ) g( ) f() g() dalam domain X { < < }, hasilnya seperti di samping ini. Domain dari fungsi logaritma adalah, X { > }, dan rangenya, Y { < y < }. Grafik fungsi f() : Y log X dan g() : Y log Sifat logaritma :. a log XY a log X a log Y, a X log Y a logx a logy. X logy a a logy logx. a log X b b a log X 6

66 II... Fungsi siklometri (fungsi goniometri, fungsi trigonometri) Perhatikan gambar di bawah ini r y ϕ dan perbandingan-perbandingan sisi-sisi dari segi-tiga siku-sikunya. Berdasarkan hal-hal tersebut didefinisikan y r Sinus ϕ Sin ϕ Cosecan ϕ Cosec ϕ r y r Cosinus ϕ Cos ϕ Secan ϕ Sec ϕ r y Tangens ϕ Tg ϕ Cotangens ϕ Ctg ϕ y Formulasi perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri (trigonometri). Dari perbandingan goniometri tersebut diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut ) Sin ϕ, Cos ϕ ) Sin (9 ϕ) Cos ϕ, Cos (9 ϕ) Sin ϕ, Tg (9 ϕ) Ctg ϕ ) Cosec ϕ Sin ϕ, Sec ϕ Cos ϕ, Tg ϕ Sin ϕ Cos ϕ, Cotg ϕ ) Sin ϕ Cos ϕ, Tg ϕ Sec ϕ, Ctg ϕ Cosec ϕ Tg ϕ Fungsi Y Sin X dan Y Cos X, merupakan fungsi dasar dari fungsi goniometri, sebab fungsi-fungsi goniometri yang lainnya dapat diturunkan dari keduanya. Range dari fungsi ini adalah Y { y }. 6

67 Grafik fungsi f() : Y Sin X dan g() : Y Cos X digambarkan dengan Mathcad dalam domain X { < < }, hasilnya seperti di samping ini. Domain fungsi Y Sin X adalah X {kπ < < (k )π}, k,,,... atau X {kπ < < (k )π}, k,,,... Domain fungsi Y Sin X adalah X {kπ < < (k )π}, k,,,... f( ) g( ) Gambar II.9 Grafik fungsi siklometri : f() Sin, g() Cos atau X {kπ < < (k )π}, k,,,... Dan domain fungsi Y Cos X adalah X {(k )π < X < (k )π}, k,,,... atau X (k )π < X < (k )π, k,,,... Sehingga pada domain tersebut fungsi memiliki fungsi invers. Fungsi invers untuk Y Sin X, adalah Y Arc Sin X. Sedangkan untuk Y Cos X, adalah Y Arc Cos X.. Fungsi goniometri yang lainnya,. Y Tg X Sin. Cos Fungsi ini terdefinisikan jika Cos, atau jika X π, ± π, ± π,.... f( ) g( ). Y Ctg X Tg Cos Sin Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X atau jika X, ± π, ± π,... Gambar II. Grafik fungsi siklometri f() : Y Tg X ; g() : Y Ctg X 6