Ensembel Grand Kanonik (Kuantum) Gas IDeal

Transkripsi

1 Ensembel Grand Kanonik (Kuantum) Gas IDeal

2 Fungsi Partisi Grand Kanonik: Gas Ideal Seerti di Klasik fungsi artisi Grand Kanonik : ζ z, V, T = N=0 z N Q N (V, T) dengan Q N adalah fungsi artisi kanonik, yang bisa dinyatakan sbg: Dengan kendala : Q N V, T = g n e βe{n } E n = ε n dan N = n

3 Perumusan dalam Ensembel Grand Kanonik Nilai-nilai n : (masih asumsi sinless artikel) Gas Bose (Boson) : n = 0,1,,3, Gas Fermi (Fermion) : n = 0,1 Gas Boltzmann : n = 0,1,,3, TETAPI, untuk setia distribusi tertentu {n } banyaknya keadaan berbeda (distinguisahble) yang terkait adalah: Gas Bose (Boson) : g{n }=1 Gas Fermi (Fermion) : g{n }=1 Gas Boltzmann : 1 Hal ini karena untuk Boltzon, N! Πn! ertukaran artikel dengan momentum sama antar artikel yg berbeda osisinya tidak menghasilkan distribusi baru N!

4 Gas ideal Boltzmann dalam Ensembel Grand Kanonik Untuk Gas ideal Boltzmann : e βn 1ε 1 Q N = ( e βn 0ε 0 n n o,n 1, 0! Σ i n i =N n 1! ) = 1 N! e βε 0 + e βε 1 + N Untuk hasil terakhir ini telah diergunakan teori multinomial. Jikalau N besar dan V besar ( ), maka enjumlahan tsb daat didekati: e βε = V h 3 0 d4π e β /m = V πmkt h 3/

5 Gas ideal Boltzmann dalam Ensembel Grand Kanonik Sehingga entroi gas ideal Boltzmann: Q N = VN N! πmkt h Dengan definisi yang biasa bagi. 3N/ = VN N! λ 3N

6 Gas ideal Boson dan Fermion Konstrain Σn = N menyebabkan enjumlahan untuk kasus Gas Bose dan Fermi tidak daat dilakukan dengan mudah. Lebih mudah dilakukan dalam kerangka ensembel Grand Kanonik. Fungsi artisi grand kanonik adalah: ζ z, V, T = N=0 z N Q N V, T = N=0 {n } Σn P =N z N e βσε n = Penjumlahan {n } artinya terhada seluruh distribusi N artikel yg dierbolehkan! Tia satu distribusi = 1 suku di SUM

7 Gas ideal Boson dan Fermion ζ z, V, T = N=0 {n } Σn P =N ze βε Penjumlahan ganda tsb berarti sama saja dengan menjumlahkan untuk seluruh kemungkinan nilai n untuk masing-masing secara indeenden, tai tak ada kendala n = N lagi sebab N berjalan 0,1,,. n ζ z, V, T = n o n 1 ze βε 0 n 0 ze βε 1 n1

8 Gas ideal Boson dan Fermion ζ z, V, T = n 0 ze βε 0 n 0 ze βε1 n 1 = ze βε n n Penjumlahan terhada n adalah: n=0,1,,3,. (Boson) n=0,1 (Fermion) Hasilnya adalah: Boson : jumlah deret geometri: n ze βε Fermion : hanya suku : 1 + ze βε

9 Fungsi Partisi Grand Kanonik Gas Ideal Fermion dan Boson Sehingga fungsi artisi grand kanonik untuk gas ideal Fermion dan Boson adalah: 1 1 ze βε, Boson ζ z, V, T = (1 + ze βε ), Fermion Seerti telah diturunkan di ensembel grand kanonik klasik, maka : PV kt = ln ζ (z, V, T), sehingga:

10 Fungsi Partisi Grand Kanonik Gas Ideal Fermion dan Boson PV kt = ln 1 ze βε, Boson ln(1 + ze βε ), Fermion Persamaan ini untuk diakai bersama dengan ersamaan N untuk eliminasi z!

11 Okuansi Rata-rata Fermion dan Boson N = z ln ζ z, V, T = z ze βε 1 ze βε, Boson ze βε 1 + ze βε, Fermion Dengan memakai hasil-hasil di atas, daat dieroleh hasil yg sebelumnya misalnya : okuansi rata-rata <n >. < n > = 1 ζ N=0 z N {n } Σn =N n e βσn ε = 1 β ε ln ζ

12 Okuansi Rata-Rata Fermion dan Boson < n >= 1 z 1 e βε 1 = 1 e β(ε μ) 1 1 z 1 e βε + 1 = 1 e β(ε μ) + 1 Boson Fermion

13 Gas Fermi Ideal Dalam limiit V, maka Σ V h 3 d3 = 4πV sehingga untuk gas Fermi ideal daat didekati oleh: P kt = 4π d ln(1 + z e β m ) Dengan v = V N. h v = 4π h 3 0 d 1 h z 1 e β m d, Untuk mengevaluasi integral di atas, lakukan substitusi x = β m, maka akan didaatkan:

14 Gas Fermi Ideal P kt = 1 λ 3 4π 0 dx x ln(1 + z e x ) = 1 λ 3 f 5 z f 5 z = 4 π 0 dx x ln(1 + z e x ) = m=1 1 m+1 z m m 5/ Untuk 1/v, jelas 1 v = 4π h 3 0 d z 1 e β m

15 Gas Fermi Ideal = z z 4π h 3 0 d ln 1 + z e β m Sebab: z f 5 1 v = z z 1 λ 3 f 5 z = z [ m=1 z = 1 λ 3 f 3 1 m+1 z m z m 5/ ] = 1 z f 3 z f3 z = m=1 1 m+1 z m m 3/

16 Jadi untuk gas Fermi ideal: P kt = 1 λ 3 f 5 Gas Fermi Ideal z dan 1 v = 1 λ 3 f 3 Dari kedua ersamaan tsb z mesti dieliminasi untuk mendaatkan ersamaan keadaan!*) z *)di Bab berikutnya

17 Gas Boson Ideal Untuk kasus Boson berbeda. Sebab rumus-rumusnya akan divergen ketika z 1 untuk =0. Satu suku =0 akan besar sekali dibandingkan sisanya. PV = kt ln 1 ze βε ze dan N = βε 1 ze βε Oleh karena itu suku ertama diisahkan, lalu sisanya diaroksimasi dengan integral.

18 Pers. Bagi gas Bose ideal: P kt = 4π h v = 4π h 3 0 Gas Bose Ideal d ln 1 z e β m d 1 z 1 e β m 1 1 V + 1 V ln(1 z) z 1 z Dengan cara serua Fermion, ersamaan ini daat diungkakan sbg: P = 1 kt λ 3 g5 1 v = 1 λ 3 g3 z 1 V z + 1 V ln 1 z z 1 z

19 Dengan definisi fungsi g sbb: Gas Bose Ideal g 5 z = 4 π 0 dx x ln 1 e x = g3 z = z z g 5 z = z m m 3/ m=1 m=1 z m m 5/

20 Energi rata-rata distribusi Fermion dan Boson Formula untuk energi rata-rata : U =< E > = 1 ζ N=0 z N {n } Σn =N Σn ε e βσn ε = β ln ζ Tetai PV kt = ln ζ, sedangkan P kt diberikan oleh fungsi f 5/ dan g 5/. Sehingga dieroleh: U = 3 kt 1 λ 3 f 5 z, 3 kt 1 λ 3 g 5 z, Fermion Boson

21 Energi rata-rata distribusi Fermion dan Boson Dengan membandingkan dengan ungkaan P/kT akan didaat untuk kedua kasus tsb: U= 3/ PV (Khusus Boson, suku 1/V ln (1-z) daat diabaikan dalam limit thermodinamika)