FI-5002 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem /2017 PR#1 : Review of Thermo & Microcanonical Ensemble Dikumpulkan :

Transkripsi

1 ISTITUT TEKOLOGI BADUG FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI FISIKA FI-500 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem /017 PR#1 : Review of Thermo & Microcanonical Ensemble Dikumpulkan : 1. Review Thermodynamics Hukum ke I Thermodinamika untuk sistem tertutup yg tak ada pertukaran partikel adalah dq = du + dw dengan Q: kalor yg masuk sistem, U: energi dalam sistem dan W adalah usaha yg dilakukan sistem. a. Untuk sistem terbuka, sistem boleh bertukar partikel dengan lingkungan. Misalkan pertambahan energi untuk tiap tambahan 1 partikel ke dalam sistem adalah μ (disebut juga potensial kimia). Tuliskan modifikasi hukum I Thermodinamika untuk kasus ini, jika adalah jumlah partikel didalam sistem. (point:5) b. Salah satu fungsi energi bebas yg penting adalah energi bebas Helmhotz A, yang memiliki definisi A = U TS dengan T temperatur dan S : entropi. Menggunakan definisi tsb buktikan hal berikut ini: (point:5) (i) ( A T ) = S (ii) ( A,V V ) = P (iii) ( A,T ) = μ T,V c. Pakailah (b) untuk menurunkan Maxwell relations berikut ini: (point:5) (i) T ) = ( S,V V ) (ii) ( S,T ) = ( μ V,T T ) V, (iii) ) = ( μ T,V V ) T, a. dq = TdS, dw = PdV untuk sistem tertutup (tanpa pertukaran partikel) maka hukum 1: du = TdS PdV Jika ada d partikel masuk ke sistem maka ada tambahan energi dalam sebesar μ d, sehingga hukum 1 berubah menjadi : du = TdS PdV + μ d b. Mulai dari A = U TS, maka da = du TdS S dt. Substitusi du dari (a) maka : da = PdV S dt + μ d Sehingga jelas: c. Maxwell relations: dari (b) Dengan cara serupa: Demikian juga: P = ( A V ) T,, S = ( A T ),V, μ = ( A ) T,V T ) = ( A ) dan ( S T V V ) = ( A V T ) T ) = ( S V ) ( S ) = ( A ) dan ( μ T T ) = ( A T ) ( S ) = ( μ T ) ) = ( A ) dan ( μ V V ) = ( A V ) ew SOLUTIO

2 ) = ( μ V ). Ensembel mikrokanonik dan paradox Gibbs. Gas ideal partikel yg tidak saling berinteraksi dalam ruang V dengan massa masing-masing partikel m. Dengan H adalah Hamiltonian gas ideal H(q, p) = p i m Dengan pi adalah vektor momentum partikel ke -i, dan qi : vektor posisi partikel ke-i. Definisikan banyaknya keadaan di ruang fasa untuk energy H(q,p) <= E adalah: Ω (E, V, T) = ( 1 h 3) d3 pd 3 q a. Hitunglah Ω (E, V, T) tsb di atas. (bobot:5) b. Pakailah aproksimasi Stirling bagi ln x! untuk mendapatkan ungkapan bagi entropi S(E,V,T). (bobot:5) c. Misalkan juga sebuah ruang disekat volumenya sama, masing-masing memiliki volume =V. Kedua ruang diisi gas ideal yg sama, masing-masing jumlah partikelnya sama, yaitu. Demikian juga temperaturnya sama yaitu T. Pakailah (b) untuk mendapatkan ungkapan bagi entropi sistem yg bersekat ini S. (bobot:5) d. Sekarang sekat dibuka, hitung entropi sistem yang baru S (bobot:3) e. Hitunglah perubahan entropi yang terjadi S= S -S, dan jelaskan apakah entropi bertambah atau berkurang, serta jelaskan bagaimanakah hasil yang seharusnya. (bobot:) f. Jelaskan bagaimanakah perbaikan dari definisi Ω (E, V, T) agar didapatkan hasil yg benar, dan tunjukkanlah hasil yg benar tsb setelah memakai definisi Ω yang baru. (bobot:5) a. Dengan Ω (E, V, T) = ( 1 h 3) d3 pd 3 q = H(q, p) = p i E m ( V h 3) d3 p Integral tsb menyatakan volume bola berdimensi 3, dengan jari-jari R = me : V3(R) yg diberikan oleh: V 3 (R) = 3 R 3 Γ( 3 = 3 (me) 3/ + 1) Γ( 3 + 1) Sehingga: 3 Ω (E, V, T) = ( V (me) 3/ h3) Γ( 3 + 1) b. Entropi S adalah S= k ln 3 S = k ln Ω (E, V, T) = k ln {( V (me) 3 h3) Γ ( 3 } = k ln ( V + 1) h Dengan definisi fungsi dan aproksimasi stirling: 3) + 3k 3 ln(me) + k ln ( Γ ( 3 ) + 1) Langkah terakhir karena besar sekali! k ln Γ ( 3 + 1) = k ln (3!) k {3 ln 3 3 }

3 Sehinga entropinya adalah: S = k ln ( V 3k h3) + Atau ln(me) 3k {ln 3 1} = k ln ( V h S = k ln [ V 3 h 3 (4mE 3 ) 3k ] + 3k 3) + ln (4mE 3 ) + 3k c. Ruang masing-masing volume V, bersekat dengant sama (jadi E sama), gas yang sama. Kita tuliskan ulang entropinya: Or dengan S = k ln [V ( E 3 ) 3k ] + ( ) { ln [(4m 3h ) ] + 1} u = E = 3 kt S = k ln(vu 3/ ) + s 0 s 0 = ( 3k ) { ln [(4m 3h ) ] + 1} Suku u: energi perpartikel hanya bergantung temperatur, sedangkan s0 : suku yang hanya bergantung kepada massa per partikel saja. Sekarang entropi gabungan volume V masing-masing berisi gas ideal dengan suhu yang sama berarti: S = S 1 + S = k ln (Vu 3 ) + s 0 d. Sekat dibuka, maka sekarang volume V, jumlah partikelnya, tapi u akan sama karena temperatur sama, demikian juga s0 akan sama sebab massa perpartikel sama. Sehingga entropi gabungannya menjadi: e. Perubahan entropinya S 1 = k ln[vu 3/ ] + s 0 ΔS = S 1 S = k ln > 0 Padahal karena kedua sistem gas tsb identik, tak ada perubahan entropi! Jika bertambah maka entropi bukan lagi fungsi keadaan akan tetapi bergantung sejarah bagaimana gas tsb dicampur-campurkan (seperti membuka sekat-sekat tsb), dan ini akan membawa nilai entropi tak hingga! Jadi seharusnya S=0 f. Untuk mengatasi hal ini Gibbs mengusulkan penambahan 1/! dalam menghitung banyaknya keadaan awal: Ω (E, V, T) = 1! ( 1 h 3) d3 pd 3 q Sehingga dengan ini nilai entropi harus dikoreksi dengan faktor (dengan aproksimasi Stirling!): S koreksi = k ln! k ln + k Jadi nilai entropi yg tepat adalah: S = k ln(vu 3/ ) + s 0 k ln + k Dengan S = k ln( V u3/ ) + s 0 s 0 = ( 3k ) { ln [(4m 3h ) ] }

4 Memakai definisi yang baru ini maka: (i) entropi sebelum pencampuran (ii) entropi setelah pencampuran S = S 1 + S = k ln ( V u3 ) + s 0 S 1 = k ln ( V u3 ) + s 0 Sehingga perubahan entropinya :ΔS = S 1 S = 0 3. Osilator Harmonik Klasik. Misal terdapat (besar sekali) osilator harmonis yang tidak saling berinteraksi dan masing-masing sudah menempati lokasi tertentu sehingga terbedakan. Hamiltonian sistem diberikan oleh H(q, p) = 1 mω q i + p i m dengan qi simpangan dan pi : momentum, serta m adalah massa osilator. a. Turunkanlah ungkapan bagi Q yaitu fungsi partisi kanonik sistem osilator harmonis ini. (bobot:10) b. Turunkan ungkapan bagi A fungsi energi bebas Helmhotz: (bobot:5) c. Pergunakan (b) untuk mendapatkan tekanan (P), Entropi (S) dan energi dalam U (atau E). (bobot:10) a. Fungsi partisi Kanonik Klasik Q = ( 1 h ) exp( βh(q, p))d pd q Q = ( 1 h ) exp( β 1 mω q i + p i m ) d pd q Q = ( 1 h ) exp( β (1 mω q i + p i m )) dq i dp i Q = ( 1 h ) Integral tsb diatas dapat dihitung dengan mudah: exp( β (1 mω q i + p i m )) dq i dp i exp( β ( 1 mω q i + p i m )) dq i dp i = [ exp ( β ( 1 mω q x )) dq x exp( β ( p x m ) dp x ] = [ β mω β m Q = ( 1 h) [kt ω ] = ( kt ω ) ] b. Fungsi energi bebas Helmhotz A: c. Tekanan, Entropi dan Energi rata-rata : A = kt ln Q = kt ln ( kt ) = kt ln (kt hω ħω ) P = A V = 0 S = A = k ln (kt T ħω ) + k

5 Dengan β = 1 kt E = kt ln ( kt ħω ln Q E = U = = (βa) A T ) + β = kt ln (kt T ħω ) + 1 kt E = kt A = A + β ( k ln (kt ħω ) k) ( kt ) 4.Sebuah atom dengan momen dipol magnetik yg bersudut terhadap medan magnet luar B memiliki energi magnetik E = - B cos. Banyaknya seluruh keadaan ( volum ruang fasa) yang mungkin untuk yg bersudut tertentu adalah : sin d (dalam koordinat bola). a. Turunkan ungkapan bagi fungsi partisi kanonik bagi 1 atom ini: Q1 (,B, T) (bobot:5) Q 1 = e βe(θ) θ,φ Dengan mengaproksimasi Σ sinθdθdφ b. Anggap atom tak dapat dibedakan, dapatkan ungkapan fungsi partisi kanonik bagi kumpulan buah dipol magnet yg tak saling berinteraksi. (bobot:5) c. Hitunglah energi magnetik rata-ratanya E sebagai fungsi,,b, T (bobot:5) d. E terkait dengan momen dipol magnetik rata-rata m melalui E = -m B. Dapatkan ungkapan bagi m sebagai fungsi,,b, T(bobot:5) e. Pada temperatur T tinggi dapatkan ungkapan aproksimasi bagi m(bobot:5) a. Fungsi partisi kanonik 1 atom: Q 1 = exp(βμb cos θ)sinθdθdφ θ=0 φ=0 = ( 1 βμb ) eβμbcosθ ]θ=0 Q 1 = ( 1 βμb ) (eβμb e βμb ) = 4 βμb sinh(βμb) b. Untuk sistem atom tak terbedakan yg tak saling berinteraksi: Q = 1! (Q 1) = 1! [ 4 βμb sinh(βμb)] c. Energi rata-rata : ln Q E = U = 4 = ln [ βμb sinh(βμb)] E = ( 1 ) ln[sinh(βμb)] = kt μb coth (μb β kt ) d. Momen dipol magnetik rata-rata, m: E = mb m = E B = kt + μ coth (μb B kt ) Atau dapat juga dituliskan sbg: m = μ {coth ( μb kt ) kt μb } μl(βμb) Dengan fungsi L dikenal sebagai fungsi Langevin: L(βμB) = coth ( μb kt ) kt μb e. Pada temperature tinggi: Pada suhu tinggi maka coth x 1 x x 1 45 x3 +

6 Sehingga Atau sampai orde pertama : L(βμB) 1 3 (μb kt ) (μb kt ) + m = μ { 1 3 (μb kt ) (μb kt ) + } m 1 3 (μ B kt ) 5. Sebuah sistem terdiri dari partikel bebas. Energi tiap partikel hanya bisa memiliki status keadaan dengan masing-masing memiliki tingkat energi 0 dan E (>0). Misalkan sebanyak n 0 partikel tsb di level energi 0, dan n 1 di level energi E serta total energi sistem U. a. Turunkan Ω(U, ) yaitu banyaknya seluruh keadaan yang mungkin terkait dengan energi total U dan jumlah partikel. (point:5) b. Tuliskan entropi sistem ini S = S(U, ) (point:5) c. Turunkan ungkapan bagi temperatur T = T(U,). (point:5) d. Berdasarkan hasil (c), tunjukkan kondisi agar temperatur bernilai negatif! (point:5) a. Banyaknya keadaan Ω(U, ) adalah banyaknya kombinasi dari partikel dibagi menjadi dua macam yaitu n0 di level-0 dan n1=-n0 di level-e. Asumsi partikel distinguishable maka U = n ( n 0 ) E = ( n 0 )E Sehingga n 0 = ( U E ) Banyak seluruh keadaan terkait ini adalah Ω(U, ) = b. Entropi sistem! n 0! ( n 0 )! =! ( U E )!(U E )!! S(U, ) = k ln Ω(U, ) = k ln ( ( U ) E )! (U E )! Untuk besar dipergunakan aproksimasi Stirling: S(U, ) = ln! ln ( U k E )! ln (U E )! S(U, ) ln ( U k E ) ln ( U E ) + ( U E ) (U E ) ln (U E ) + (U E ) c. Temperatur S(U, ) ln ( U k E ) ln ( U E ) (U E ) ln (U E ) Atau 1 T = ( S U ) = k {1 E ln ( U E ) 1 E ln (U E )} 1 T = k {ln (E E U 1) } E T(U, ) = k ln ( E U 1) d. Kondisi agar T < 0: yaitu jika 0 < ( E E 1) < 1 atau 1 < < atau 1 > U > 1 U U E atau 1 E < U < E. Ini berarti lebih banyak partikel berada di level E (upper level) dibandingkan yang di level 0! Hal ini juga dikenal sebagai population inversion.

7 Apakah arti temperatur negatif? Tidakkah bertentangan dengan hukum Thermodinamika?? &&&&&&&&FEB017&&&&&&&&&&&&&