Atau dengan menginverse S = S(U), menjadi U=U(S), kemudian menghitung:

Transkripsi

1 ISTITUT TEKOLOGI BADUG FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI FISIKA UJIA TEGAH SEMESTER - FI-5 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem. - 6/7 Hari/Tgl. : Senin 3 Maret 7 Waktu :.-3. Sifat : Closed Book.A (i) Jika, S: entropi, T:suhu, U: energi dalam, P: tekanan, : volume dan jumlah partikel, tuliskan hukum I thermodinamika untuk sistem terbuka yang memungkinkan pertukaran partikel dengan potensial kimia μ. Gunakan variabel-variabel di atas. (bobot:3) (ii). Memakai fungsi energi bebas Helmhotz (A), turunkan ungkapan (derivative) untuk mendapatkan : tekanan, entropi dan potensial kimia. (bobot:3).b (i) Dalam ensembel mikrokanonik, jika Ω(, E) adalah banyaknya keadaan terkait dengan energi sistem E dan volume, tuliskan ungkapan untuk mendapatkan tekanan P. (bobot:3) (ii) Jika H(q,p) menyatakan hamiltonian sistem partikel dalam volum dan suhu T, tuliskan ungkapan bagi fungsi partisi Kanonik Q ()sistem tersebut. (bobot:3) (iii) Untuk ensembel kanonik tsb turunkan ungkapan cara mendapatkan energi rata-rata sistem (U=<H>) dari Q dan tekanan P dengan menggunakan hubungan energi bebas Helmhotz A dan Q (). (bobot:6) A. (i) TdS = du + Pd μd (ii) A = U TS da = du T ds S dt Substitusi dari (i), da = P d μd S dt Maka P = ( A ),T T = ( A S ) U,T B. (i) S = k ln Ω Tekanan dapat diperoleh melalui hukum I di (i) : P T = ( S ) U, μ = ( A ) U, Atau dengan menginverse S = S(U), menjadi U=U(S), kemudian menghitung: P = ( U ) S, (ii) Fungsi partisi kanonik Dengan β = kt (iii) Energi rata-rata sistem : Dengan Q β = h 3! Q (, T) = h 3! d3 qd 3 p exp( β H(q, p) U =< H > = d3 qd 3 p H(q, p)exp( β H(q, p) d 3 qd 3 p exp( β H(q, p) ( ) d3 qd 3 p H(q, p) exp( β H(q, p), maka (*) menjadi: U = Q β Q = ln Q β

2 Tekanan dapat diperoleh melalui fungsi energi bebas Helmhotz: A = kt ln Q maka P = ( A ) T. Misalkan gas ideal terdiri dari partikel tak bermassa dalam volume yang bergerak dengan kecepatan cahaya c (kasus relativistik ekstrem), sehingga hubungan antara energi dan momentumnya adalah E = pc, dengan E: energi dan p:momentum. Hamiltonian sistem dengan partikel diberikan oleh : H(p, q) = n= E n dengan E n = p n c. a. Turunkanlah fungsi partisi kanonik klasik dari sistem ini. (bobot:) b. Turunkanlah persamaan keadaannya (bobot:5) c. Hitunglah kapasitas kalornya pada volume constant. (bobot:5) a. Fungsi partisi kanoniknya : Dengan Maka : Q (, T) = h 3! d3 pd 3 q exp( βh) = Q (, T) = h 3! d3 p d 3 p exp( βp n c) n= Q (, T) = h 3! [ dp 4πp exp( βpc) ] Q (, T) = x e αx dx = α 3 h 3! d3 p exp( β p n c) h 3! ( 8π β 3 c 3) = T 3 h 3! (8πk3 c 3 ) n= = h 3! [ d3 p exp( βpc)] b. Fungsi energi bebas Helmhotz : A = kt ln Q = kt ln { T 3 h 3! (8πk3 c 3 ) } Persamaan keadaan diperoleh dari : P = ( A ) = + kt P = kt c. Energi rata-ratanya : U = β ln Q = β ln ( h 3! ( 8π β 3 c 3) ) = 3 β = 3kT Dibandingkan dengan kasus non relativistik (U = 3/ kt) maka nilainya kali lipat lebih besar. Kapasitas kalornya C v = U T = 3k 3. Sebuah sistem terdiri dari partikel bebas. Energi tiap partikel hanya bisa memiliki status keadaan sebutlah a dan b dengan masing-masing memiliki tingkat energi Ea = dan Eb=. Misalkan sebanyak n partikel tsb di status a dan n di status b serta total energi sistem U. Partikel tak terbedakan. a. Turunkan Ω(U, ) yaitu banyaknya seluruh keadaan yang mungkin terkait jika energi total sistem U dengan jumlah partikel. (point:5) b. Tuliskan ungkapan entropi sistem ini S = S(U, ) (point:5) c. Turunkan ungkapan bagi temperatur T = T(U,). (point:5)

3 d. Berdasarkan hasil (c), tunjukkan kondisi agar temperatur bernilai negatif! (point:5) a. Banyaknya keadaan Ω(U, ) adalah banyaknya kombinasi dari partikel dibagi menjadi dua macam yaitu n di status-a dan n=-n di status b. Maka U = n + ( n ) = ( n ) Sehingga n = U Banyak seluruh keadaan terkait ini adalah Ω(U, ) =! n! ( n )! =! ( U)!(U)! b. Entropi sistem! S(U, ) = k ln Ω(U, ) = k ln ( ( U)! U! ) Untuk besar dipergunakan aproksimasi Stirling: S(U, ) = ln! ln( U)! ln(u)! k S(U, ) ln ( U) ln( U) + ( U) (U) ln(u) + (U) k c. Temperatur Atau S(U, ) ln ( U) ln( U) (U) ln U k T = ( S ) = k{ln( U) ln(u)} U T = k {ln ( U ) } T(U, ) = k ln ( U ) d. Kondisi agar T < : yaitu jika < ( ) < atau < < atau > U > U U atau < U <. Ini berarti lebih banyak partikel berada di level E (upper level) dibandingkan yang di level! Hal ini juga dikenal sebagai population inversion. 4. Gas real terdiri dari partikel yang masing-masing bermassa m di dalam volum memiliki hamiltonian sistem sbb H = p i + U(r m ij ) i= Dengan p i : besar momentum partikel ke-i, dan U(r ij ) adalah fungsi potensial antara partikel ke-i dan ke-j. a. Anggap partikel tak terbedakan. Tuliskanlah fungsi partisi kanonik klasik untuk sistem ini, Q. Tunjukkanlah Q dapat dinyatakan sebagai : Q =! λ 3 Z Dengan Z adalah integral konfigurasi yang melibatkan Uij dan λ: panjang gelombang thermal (tuliskan definisi Z dan λ). b. Definisikan parameter kecil f ij = e βu ij, memakai definisi ini maka Z dapat dinyatakan sebagai ekspansi : Z = ( + α(t) + ) Dapatkan ungkapan bagi α(t) tersebut dinyatakan dalam f(r). i<j j

4 c. Turunkanlah ungkapan bagi a (T) berikut ini untuk kasus α kecil. P = nkt { + n a (T) + n a 3 (T) + } d. Jika potensial antara dua partikel diberikan oleh (potensial Sutherland): r < r U(r) = { ( r 6 r ) r r (i) Buatlah sketsa U(r) tsb. (ii) Hitunglah a (T) untuk kasus ini. (iii) Tunjukkanlah bahwa persamaan keadaannya bisa dinyatakan sbg: (P + a v) (v b) = kt Jadi turunkanlah ungkapan bagi a dan b dinyatakan dalam r. a. Fungsi partisi kanoniknya: Q = h 3! d3 q d 3 p exp( βh) Integral bagian momentum: Dengan Sehingga: x e αx dx = π 4 Defisikan : h = h 3! d3 p exp ( β m p i ) d 3 q exp ( β U ij ) d 3 p exp ( β m p i ) = [ dp 4πp exp ( β m p )] α 3/ Q = (πmkt)3/ h 3! i= i= dp 4πp exp ( β m p ) λ = dan Z πmkt = d 3 q exp( β U j= ij = 4π π 4 i<j j= ( m β ) 3/ = (πmkt) 3/ d 3 q exp ( β U ij ) = λ 3! Z i<j ) i<j j= b. Integral konfigurasinya : Z = d 3 q ( f ij ) i<j j = d 3 q { + f ij + f ij i<j j= i<j j= k<l l= f kl + } Z = + d 3 q.. d 3 q f ij + = + Z = + Z = + i<j j= ( ) d 3 q d 3 q f + = + ( ) ( ) 4π dr r f(r) + = [ + d 3 q.. d 3 q f +. ( ) d 3 rf(r) + ( ) π dr r f(r) + ]

5 Dengan : α(, T) = Z = ( + α(t) +. ) ( ) π dr r f(r) c. Fungsi energi bebas Helmhotz : A = kt ln Q = kt ln λ 3! Z = kt ln{ λ 3 ( + α)} = kt ln! λ 3 kt ln ( + α)! Untuk α kecil, ln( + α) α A kt ln λ 3 kt α(, T)! Selanjutnya dengan besar, ( ) P = ( A ) = kt + kt ( α,t ) + kt,t kt = nkt( + n a (T) + ) Dengan a (T) = π dr r f(r) d. (i) Sketsa U(r) U(r) π dr r f(r) r r d(ii). a (T) = π dr r f(r) r r f(r) = e βu(r) = { e β(r ) 6 r r > r r = π [ dr r a (T) = π [ 3 r 3 + dr r [e β(r r ) 6 ] + dr r [e β(r ) 6 r ] ] r r ] Untuk ( r ) kecil, eβ(r r )6 β ( r r Dan d(iii). r )6 sehingga: dr r [e β(r ) 6 r ] = β dr r r r 4 = β 3 r 3 a (T) = π ( 3 r 3 + β 3 r 3 ) = πr 3 ( β) 3 r 6

6 Trik : Sehingga: Atau: Jikalau: Maka : a = πr 3 3 dan b = πr 3 3 =a. P = nkt( + n a (T) = nkt ( + πn 3 r 3 [ β]) P + πr 3 3 n = nkt ( + πr 3 n 3 ) P + πr 3 3v = kt v ( + πr 3 3v ) v α = v ( α v ) v ( + α v ) P + πr 3 3v kt (v πr 3 3 ) (P + πr 3 3v ) (v πr 3 3 ) kt (P + a v) (v b) = kt &&&&&&&&& UTSMAR6 & &&&&&&&&&& Beberapa integral dan fungsi yg berguna e αx dx = π α x e αx dx = π α 3/ ln x! xlnx x, untuk x besar ln( + x) x x + x3. Untuk x kecil 3 d S d (r) = π r d :luas permukaan bola di ruang berdimensi d. Γ( d ) d (r) = π d r d :volume bola di ruang berdimensi d. Γ( d +)