IX. Aplikasi Mekanika Statistik

Transkripsi

1 IX. Aplikasi Mekanika Statistik 9.1. Gas Ideal Monatomik Sebagai test case termodinamika statistik, kita coba terapkan untuk gas ideal monatomik. Mulai dengan fungsi partisi: ε j Z = g j exp j k B T Energi tiap partikel ε j dapat dinyatakan: / n j h V ε j = 8m (berasal dari ε = p /m, sedangkan p = nh/λ dst. Derivasi lebih mendetail membutuhkan sedikit pengetahuan Mekanika Kuantum.) Hasil akhir: Z = V πmkt h / test case dilakukan dengan melihat hasil: ln Z P = NkT V T / πmkt disini ln Z = ln V + ln, sehingga h ln Z 1 = V T V kita dapatkan M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 11

2 P = NkT V 1 atau PV = NkT sesuai dengan persamaan gas ideal yang diperoleh dari Termodinamika klassik Teori kinetika gas Hal lain, energi dalam U = NkT ln Z T dengan pendekatan non-statistik. V = NkT juga sesuai Konklusi: ketiga pendekatan ini saling sesuai dan saling komplemen. 9.. Distribusi Kecepatan Molekul Dari fungsi partisi molekul-molekul gas dapat diturunkan distribusi molekul pada suatu daerah kecepatan tertentu. Suatu molekul m berada bersama-sama molekul-molekul yang lain membentuk gas. Bila gaya luar tidak ada (seperti gravitasi), energi molekul menjadi: p ε = (gas ideal sehingga tidak ada energi potensial) m seterusnya, probabilitas menemukan molekul: P s (r, p) d r d p disini β = 1/kT [ p e β / m] d r d p Arti fisis persamaan terakhir: kemungkinan menemukan molekul dengan pusat massa dalam jangkauan (r ; dr) dan (p ; dp). M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 1

3 Apabila persamaan ini dikalikan dengan N (jumlah keseluruhan molekul) maka hasilnya menunjukkan nilai rata-rata jumlah molekul pada jangkauan posisi dan momentum tersebut. Persamaan terakhir ini kalau diterjemahkan dalam bahasa kecepatan, mengingat v = p/m akan menjadi: f (r, v) d r d v yang berarti jumlah molekul yang memiliki pusat massa antara r dan r+ dr dengan kecepatan antara v dan v+ dv f (r, v) d r d v = C / e βmv d r d v N βm Setelah dinormalisasi menghasilkan C = V N, tulis n =, π V maka: f (r, v) d r d βm v = n / e βmv d r d v π r dan v saling independen f (v) d βm v = n / e βmv d v π Sekarang kalau kita lihat besar kecepatan saja (tanpa melihat arah). Jumlah partikel yang memiliki besar kecepatan antara v dan v + v. F v dv = 4πv f (v) dv Sehingga dapat ditulis / 4N m F v v = v exp π kt Terkadang ditulis N = F v v mv kt v M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 1

4 F v area = N v laju, v Dari persamaan ini dapat dicari jumlah partikel yang memiliki daerah kecepatan tertentu. Juga dapat dicari: vdnv kecepatan partikel rata-rata v = dnv kecepatan partikel yang paling banyak dimiliki oleh molekul, F yaitu kondisi v = v kecepatan rms: v rms = v, dengan v = v dnv dnv M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 14

5 Didapat: v m = v = v rms = kt m 8 kt π m kt m = kt,55 m jadi v m : v : v rms = 1 : 1,18 : 1,4 Feature lain: T 1 F V T T 1 < T < T T laju, v What can you tell about this picture? M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 15

6 9.. Teori Einstein tentang Kapasitas Panas Zat Padat Dalam pembahasan sebelumnya, kapasitas panas zat padat pada berbagai zat pada volume tetap mendekati formula Dulong-Petit R untuk suhu tinggi, namun berkurang pada suhu rendah. c v R T Salah satu penjelasan awal dari fenomena ini adalah oleh Einstein yang menganggab bahwa atom-atom pada zat padat pada pendekatan pertama merupakan sekumpulan osilator harmonis yang terkuantisasi dengan frekuensi sama ν. Energi osilator harmonis: ε j = n j hν Lalu gunakan fungsi partisi: Z = Σ e -βεj dan U = NkT ln Z T V M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 16

7 diperoleh: U = N k θ E exp( θ E / T ) 1 dengan θ E merupakan temperatur Einstein yang didefinisikan sebagai θ E = hν/k Dari hal ini kapasitas panas pada volume konstan dapat diperoleh: θ c v = R E exp( θe / T ) T [exp( θe / T ) 1] Dapat dilihat pada suhu tinggi c v R (sesuai Dulong-Petit) dan teori ini dapat menerangkan fenomena turunnya nilai c v pada suhu yang cukup rendah. Namun pada suhu sangat rendah teori ini tidak berkesesuaian dengan fakta eksperimen. Jadi meskipun dalam suatu bagian teori ini menunjukkan pendekatan yang benar, namun belum semua fenomena dapat diterangkan oleh teori ini Teori Debey tentang Kapasitas Panas Zat Padat Berbeda dengan Einstein, Debey berpendapat bahwa frekuensi vibrasi pada zat padat tidak sama tetapi frekuensi ini sesuai dengan frekuensi natural masing-masing atom. Frekuensi alamiah (natural) atom-atom dalam kristal sama seperti frekuensi gelombang stasioner bila kristal dianggab benda kontinu. Cara perhitungan berikutnya seperti model Einstein. Pendekatan ini ternyata menghasilkan nilai c v yang lebih cocok pada suhu sangat rendah. Pembahasan lebih lanjut dalam kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat dan Fisika Statistik. M. Hikam, Termodinamika: Aplikasi Mekanika Statistik 17