Efek de Haas-Van Alphen

Transkripsi

1 Efek de Haas-Van Alphen Diagmagnetisasi Landau pada suhu rendah menimbulkan efek osilasi dari susceptibilitas magnetik ketika medan magnet luar diturunkan, efek ini disebut efek de Haas-Van Alphen. Secara prinsip penyebabnya adalah karena Level Landau yg di bawah sudah penuh sehingga elektron harus melompat mengisi level Landau yang berikutnya. Telah diturunkan definisi g = eh hc L2 dan ω 0 = eh mc. Untuk level Landau-j energi (mengabaikan gerak arah Z): ε j = ħω 0 j = ħeh mc j + 1 2

2 Efek de Haas-Van Alphen Dengan definisi Bohr magneton, μ 0 = eħ energi dapat dituliskan: 2mc maka ungkapan ε j = 2μ 0 H(j + 1 ), sedangkan degenerasi dari level Landau 2 tsb : g = eh hc L2 = HL2 hc e = HL2 hc e Definisikan n=n/l 2 jumlah elektron persatuan luas (dibidang XY), maka : g = HN nhc/e = N H H 0 dengan H 0 = nhc/e.

3 Efek de Haas-Val Alphen H 0 : besar medan magnet H batas, jikalau H>H 0 maka seluruh N partikel dapat ditampung dalam 1 level Landau. Jika H>H 0 maka seluruh partikel (N) dapat ditampung pada level Landau terendah (ground state), sebab g>n. Energi ground state per partikel adalah: E 0 = μ N 0H (kasus j=0, dengan kondisi H>H 0 ). Jika H<H 0 maka sebagian partikel terpaksa menempati tingkat lebih tinggi.

4 Efek de Haas-Val Alphen Misal H sedemikian sehingga sebanyak j level Landau terendah terisi penuh, lalu level (j+1) terisi sebagian dan level lebih tinggi kosong. Maka syarat bagi H semacam ini adalah: j + 1 g < N < j + 2 g atau j + 1 < N g < j + 2 atau 1 < H < 1 j+2 H 0 j+1 Untuk H dalam interval yg disebutkan, maka energi per partikel: E 0 = {energi level-0 ds level-j}+{energi sisa partikel yg menempati level-(j+1)}

5 Energi Per Partikel j E 0 = g i=0 ε i + N j + 1 g ε j+1 Dengan ε i = 2μ 0 H(i ) dan g = NH/H 0 dapat ditunjukkan: E 0 = μ 0 NH 2j + 3 j + 1 j + 2 Ini untuk 1 < H < 1 atau 1 < x < 1 dengan j+2 H 0 j+1 j+2 j+1 x=h/h 0, sehingga untuk kondisi ini (x<1): E 0 /N = μ 0 H 0 x 2j + 3 j + 1 j + 2 x Sedangkan untuk H>H 0 atau x>1, maka seluruh partikel di ground state: E 0 = Nμ 0 H atau E 0 N = μ 0H 0 x H H 0

6 Energi, Magnetisasi dan Susceptibilitas E 0 N = μ 0 H 0 x x > 1 μ 0 H 0 x 2j + 3 j + 1 j + 2 x x < 1 & 1 j + 2 < x < 1 j + 1 Sedangkan magnetisasi per volum : M E0 = N = 1 E 0 /N, V H H 0 x M = μ 0 x > 1 μ 0 2j j + 1 j + 2 x x < 1 & 1 j + 2 < x < 1 j + 1 Susceptibilitas per volum :χ = M = 1 M, H H 0 x 0 x > 1 χ = 2μ 0 j + 1 j + 2 x < 1 & 1 H 0 j + 2 < x < 1 j + 1

7 Efek De Haas Van Alphen x x

8 Paramagnetism Pauli Gejala paramagnetism yg bersumber pada induksi elektron bebas oleh medan magnet luar. Bandingkan dengan paramagnetism Curier (pierre!) yg terkait dengan elektron yg terlokalisir. Mekanisme mikro yg menyebabkan timbulnya paramagnetism Pauli ini adalah karena pada elektron bebas, ketika dipengaruhi oleh medan magnet luar maka density of states dari elektron yg parallel dan anti parallel mengalami shifting (lihat gbr)

9 Paramagnetism Pauli. Sedangkan tingkat Fermi (top level) tetap, maka sebagian dari elektron yg parallel yg energinya > energi Fermi akan mengalami flipping sehingga menjadi anti paralel. Sebagai akibatnya terjadi perbedaan DOS dari paralel states dan anti paralel state, yg menyebabkan nett magnetisasi.

10 Paramagnetism Pauli Hamiltonian dari elektron bebas di bawah pengaruh medan magnet H, diberikan oleh: = 1 2m p + e c A 2 μ 0 σ. H Dengan μ o = eħ/2mc dan matrix spin Pauli. Suku pertama terkait dengan diamagnetism, sedangkan yg kedua dengan paramagnetism. Energi satu elektron bebas terkait dengan spin Pauli adalah: ε p,s = p2 sμ 2m 0H dengan s= 1 Energi total sistem N elektron bebas diberikan oleh: E n p,s = p,s ε p,s n p,s

11 Paramagnetism Pauli Sebagai Fermion maka elektron dengan spin ½ tunduk pada persamaan: P = 2 f kt λ 3 5/2 (z) dan Dengan definisi: f 3/2 z m = 4 π 0 dx Dimana z m = ze ±βμ 0H dan z = e βμ. 1 v = 2 λ 3 f 3/2 (z) x 2 z m 1 e x2 + 1

12 Rapat Spin Up/Down Karena energi perspin s diberikan oleh E s = s 0 H, maka magnetisasi per spin adalah m = E = sμ H 0. Dan magnetisasi total menjadi: M = μ 0 N + N Dengan N +/- adalah jumlah spin up/down, untuk masing-masing spin diberikan oleh : 1 = N + v + V = 1 λ 3 f 3/2 ( ze βμ0h ) 1 = N v V = 1 λ 3 f 3/2 ( ze βμ0h )

13 Magnetisasi Suhu Tinggi Kasus T>> (suhu tinggi) H<< medan lemah. Jika suhu tinggi dan medan H relatif kecil, maka z kecil sehingga boleh didekati: f 3/2 z z Magnetisasi menjadi: M = μ 0V λ 3 [ f 3 2 M μ 0V zeβμ0h f3(ze βμ0h )] 2 λ 3 z eβμ0h e βμ0h = 2μ 0V λ 3 zsinh(βμ 0H) Parameter z bisa dieliminasi dengan bantuan jumlah total spin =N

14 Magnetisasi Suhu Tinggi Sehingga diperoleh : N = N + + N 2Vz cosh(βμ 0H) λ 3 M μ 0 N tanh(βμ 0 H) Pada suhu tinggi medan H kecil, maka aproksimasi tanh x x akan menghasilkan : M μ 0 2 NβH = μ 0 2 N kt H

15 Susceptibiltas Suhu Tinggi Susceptibilitas magnetiknya menjadi: χ = M 2 N μ 0 H kt Atau susceptibilitas per unit volum:χ μ 0 2 Dengan v=v/n. Hasil ini sama dengan kalau diturunkan untuk kasus klasik dengan spin lokal up/down menggunakan distribusi Boltzmann yang dikenal dengan hukum Curie (Pierre!). Jadi efek kuantum tidak signifikan pada suhu tinggi. ktv

16 Kasus Ground State Kasus Ground State Pada suhu rendah sekali (ground state) maka z>>, sehingga aproksimasi yang dipergunakan adalah: f 3/2 z = 4 3 π [ ln z π2 1 ln z 2 + ] 8 Pada suhu rendah sekali, kita ambil suku pertama saja sehingga: f 3/2 z 4 3 π [ ln z 3 2 Maka untuk kasus ini: f3 2 ze ±βμ 0H 4 3 π ln z ± βμ 0H 3/2

17 Kasus Ground State Seperti pernah diturunkan pada suhu rendah z e βε F dengan ε F : energi Fermi. Berarti dalam kasus ini: λ 3 v π βε F 3/2 Magnetisasi menjadi: M = μ 0V λ 3 [ f 3 zeβμ0h f3(ze βμ0h )] 2 2 Memakai aproksimasi suhu rendah: M μ 0N π βε F 3/2 4 3 π [ βε F + βμ 0 H 3/2 βε F βμ 0 H 3/2 ]

18 Magnetisasi & Susceptibilitas Ground State Jikalau ε F βμ 0 H maka : M μ 0N 2β 3/2 3/2 β 3/2 3/2 βμ ε ε F [ H ε F F M 3Nμ 0 2 H 3Nμ 0 2ε F 2ε F 2 H Atau susceptibilitasnya : χ = M χ 3μ 0 2 2ε F v 3Nμ 2 0 H 2ε F βμ 0H ε F 3 2 ] atau susceptibilitas per unit volum