Ensembel Grand Kanonik Klasik. Part-2

Transkripsi

1 Ensembel Grand Kanonik Klasik Part-2

2 Penerapan Ensembel Grand Kanonik Pada Gas Ideal Contoh: Gas ideal dalam volum V sejumlah N partikel dengan temperatur T. Partikel gas tidak saling berinteraksi, dan tak terbedakan (atau non localized). Dari ensembel Kanonik telah diperoleh fungsi partisi kanonik gas ideal ini secara lebih umum boleh kita tuliskan bahwa: Q N V,T = Q 1 N Q N! 1 V, T = Vf(T) Dengan Q 1 adalah fungsi partisi kanonik 1 partikel dan f = f(t) adalah suatu fungsi yg hanya bergantung T. Bentuk eksplisit f(t) bergantung pada derajat kebebasan system yg dibahas.

3 Penerapan Ensembel Grand Kanonik Pada Gas Ideal Sehingga fungsi partisi grand kanonik dapat diperoleh: zvf T N ζ z, V, T = z N Q N (V, T) = N! N=0 N=0 ζ(z, V, T) = exp zvf T Berarti penerapan hubungan (A) akan menghasilkan : Atau PV = ln ζ = zvf T kt P = zktf T (A. 1)

4 Penerapan Ensembel Grand Kanonik Pada Gas Ideal Dan untuk jumlah partikel rata-rata:n N = z ln ζ z = zvf T (B) Eliminasi z dari kedua persamaan (A dan B) diperoleh persamaan keadaan gas ideal (agar mudah N = N) : PV kt = N Perhatikan untuk hasil ini tidak perlu bentuk eksplisit f(t)!

5 Penerapan Ensembel Grand Kanonik Pada Gas Ideal Hasil-hasil lain dapat diperoleh melalui ungkapan energi U: U = β ln ζ = zvkt2 f (T) Nilai z kita eliminasi dengan bantuan (..), akan diperoleh: U = NkT 2 f (T)/f(T) Fungsi energy bebas Helmhotz akan diberikan oleh: A = NkT ln z kt ln ζ(z, V, T)

6 Penerapan Ensembel Grand Kanonik Pada Gas Ideal Dan Entropi denga pertolongan A = U TS : S = Nk ln z + zvk {Tf T + f(t)} Kedua persamaan terakhir (A dan S) ini bisa dinyatakan sbg fungsi N,V dan T dengan mengiliminasi z memakai bantuan ungkapan bagi N! (lihat B)!

7 Gas Ideal Monoatomik (Klasik) Contoh: Misalkan sejumlah N partikel gas ideal monoatomik dalam volum V dengan temperatur T. Sehingga derajat kebebasan hanya energy kinetic 3D. Dari ensembel Kanonik telah diperoleh fungsi partisi kanonik gas ideal monoatomic ini untuk 1 partikel : Q 1 V, T = V 3 λ T λ T = h 2πmkT Maka akan didapatkan hasil sbb: Q 1 V, T = Vf T f T = 1 λ T = 2πmkT h 3

8 Berarti Gas Ideal Monoatomik (Klasik) f T = 3 2T f(t) Sehingga diperoleh berbagai hasil berikut ini, dari (A,B) P = zktf T memberikan Energi (C): dan N = zvf(t), dengan eliminasi z jelas PV = NkT U = NkT 2 f T f T Energi bebas helmhotz : = 3 2 NkT A = NkT ln z kt ln ζ(z, V, T)

9 Gas Ideal Monoatomik (Klasik) Dengan bantuan: PV = ln ζ(z, V, T) dan ungkapan N, dan kt maka: N = zvf(t) N A = NkT ln PV Vf T = NkT ln N V h 2πmkT 3 1 Telah dipergunakan pers. Keadaan PV=NkT. Hasil ini sama dengan yang diperoleh melalui ensemble kanonik.

10 Model : N localized independent particles Model : N partikel terlokalisasi tak berinteraksi (serupa dengan N osilator harmonis terlokalisir). Fungsi partisi kanonik 1 partikel Q 1 V, T dan untuk N partikel (distinguishable!) adalah: Q N V, T = Q 1 V, T Karena partikelnya terlokalisir maka tak bergantung volume sehingga bisa dituliskan Q 1 V, T = φ(t). Fungsi partisi Grand Kanonik : ζ z, V, T N=0 z N Q N V, T = N=0 N zφ T N = 1 1 zφ T

11 Model : N localized independent particles Berbagai besaran thermo dapat diperoleh: 1. PV = ln ζ(z, V, T) = ln 1 zφ T kt Dalam limit thermo V, maka kt P = lim ln 1 zφ = 0 V V 2. ln{ζ z, V, T } ln 1 zφ T < N > N = z = z z z N = zφ(t) 1 zφ T

12 Model : N localized independent particles 3. Energi rata-rata < H > = U: U = ln ζ z, V, T β = = zkt2 φ (T) (1 zφ(t)) β ln 1 zφ T 4. Fungsi energy bebas Helmhotz : A = kt ln ζ A = NkT ln z + kt ln 1 zφ T 5. Entropi : U A S = T z N = zkt φ T 1 zφ T Nk ln z k 1 zφ T

13 Model : N localized independent Dari (2): N = zφ(t) 1 zφ T Maka zφ = N 1 1 N+1 N Sehingga : particles untuk N >> U = zkt2 φ (T) (1 zφ(t)) NzkT2 φ T U N zkt2 φ T = kt2 φ T φ T A = NkT ln z + kt ln 1 zφ T A N kt ln φ T + O(ln N N ) S ln φ T + T φ T Nk φ T + O(ln N N )

14 Model : N localized independent harmonic oscillator Untuk osilator N harmonic klasik terlokasilir tak saling berinteraksi, telah diturunkan (lihat Bab. Aplikasi Ensembel Kanonik), bahwa Q 1 T = φ T = kt ħω U N zkt2 φ T = kt2 φ T φ T A N kt ln φ T S ln φ T + T φ T Nk φ T = kt kt = kt ln ħω = ln kt ħω + 1

15 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel Grand Kanonik Akan ditunjukkan bahwa fluktuasi jumlah partikel untuk Ensembel Grand Kanonik sangat kecil. Tinjau ukuran fluktuasi yaitu <( N) 2 >. < ΔN 2 > = < N < N > 2 > = < N 2 > < N > 2 Ungkapan terakhir ini bisa dikaitkan dengan fungsi partisi grand kanonik. Telah diperoleh: ln{ζ z, V, T } < N > = z z Jika diambil derivative thd z: < N > = N=0 Nz N Q N V, T z z z N Q N V, T N=0

16 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel < N > = 1 z z N=0 N=0 Grand Kanonik N 2 zq N V, T z N Q N V, T 1 z N=0 N=0 NzQ N V, T z N Q N V, T 2 z < N > z =< N 2 > < N > 2 Jadi: < ΔN 2 > = z z z ln ζ z, V, T z

17 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel Grand Kanonik Mengingat z = e βμ, maka bisa dituliskan juga: < N > = 1 ln ζ β μ < ΔN 2 > = 1 2 ( PV kt ) β 2 μ 2 = VkT 2 P μ 2 Untuk mendapatkan ungkapan 2 P, dilakukan dengan 2 μ mendefinisikan fungsi sbb: A N, V, T = Na v Dengan A : fungsi energi bebas Helmhotz, yg terakit dengan dan tekanan P.

18 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel Grand Kanonik Telah diturunkan bahwa: P = A μ = A V N,T N V,T Jadi: Untuk mendapatkan ungkapan 2 P, dilakukan dengan 2 μ mendefinisikan fungsi sbb: A N, V, T = Na v Dengan A : fungsi energi bebas Helmhotz, yg terakit dengan dan tekanan P. Memakai definisi tsb, maka:

19 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel Grand Kanonik P = a(v) v μ = Na(v) N = a v + N a(v) v v N = a v v a(v) v Memakai hasil tsb maka: μ v = v 2 a(v) v 2

20 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel P μ Sehingga = a v v Grand Kanonik a v v v μ = 2 P μ 2 = 1 = v 3 2 a v 2 2 a v v 2 v 2 a v v 2 = 1 v 3 P v Isothermal kompresibilitas didefinisikan sbg:κ T = 1 maka: 2 P μ 2 = Κ T v 2 1 v V P v,

21 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel Sehingga: Grand Kanonik < ΔN 2 > = VkT 2 P μ 2 = VkT Κ T v 2 = NkTΚ T v Berarti fluktuasi relatif rata-rata: < ΔN 2 > 1 N N Ini berarti dalam limit thermodinamika, lebar distribusi N sangat sempit sekali. Probabilitas suatu sistem di ensembel grand kanonik memiliki jumlah partikel N akan sebanding dengan W(N): W N z N β(μn A N,V,T ) Q N V, T = e

22 Fluktuasi Jumlah Partikel di Ensembel Grand Kanonik Jika fluktuasi M sangat sempit, maka fungsi partisi grand kanonik sangat didominasi suku yg terkait dengan N < N >, sehingga secara aproksimasi: ζ z, V, T z N Q N V, T = exp[β μn A N, V, T ] Dalam kondisi ini maka fungsi energi bebas Helmhotz bisa didekati dengan: A N, V, T = ktn ln z kt ln ζ z, V, T