Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo

Transkripsi

1 Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo

2 Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan tentang Model matematis harga Saham Membuat simulasi harga saham Membuat simulasi harga opsi tipe Eropa Membuat simulasi harga opsi tipe Amerika menggunakan metode Estimasi Least Square

3 6.1 Proses Ito Untuk Harga Saham Proses Wiener: dx = adt + bdz, a dan b konstan Proses Wiener Tergeneralisir: dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz Proses Wiener gagal dalam menangkap aspek kunci dari harga saham, yaitu ketidakpastian dari besarnya harga saham di masa mendatang proporsional terhadap harga saham Model harga saham yang sesuai: ds/s = μdt + σdz = μdt + σ dt ε dengan µ adalah nilai harapan keuntungan dan σ adalah volatilitas (i)

4 6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Contoh: Diketahui harga saham sekarang adalah $20 dengan harapan keuntungan µ = 14% dan volatilitas σ = 20%. Misalkan Δt = 0.01 artinya perubahan harga saham terjadi dalam interval waktu 0.01 tahun atau 3,65 hari. Dari persamaan (i), diperoleh ΔS = 0, ,4ε. Untuk periode pertama, diperoleh dari sampel, ε dari N(0,1) sama dengan 0.52 sehingga perubahan harga saham selama periode waktu pertama adalah ΔS = x x 20 x 0.52 = 0.236

5 6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Setelah 3,65 hari lagi, harga saham menjadi = $20,236. Selanjutnya nilai dari sampel ε untuk periode berikutnya adalah Dari persamaan (i), perubahan selama periode waktu kedua adalah ΔS = x x x 1.44 = Jadi, 3,65 hari berikutnya, harga saham menjadi 20, = $20,847; dan begitu seterusnya.

6 6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Simulasi harga saham untuk µ = 0.14 dan σ = 0.20 dengan periode waktu 0.01 tahun. Harga Saham Sampel Random Perubahan harga saham Awal Periode untuk ε Perperiode

7 6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham 1) Misalkan variabel x mengikuti proses Ito: dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz dimana dz merupakan proses Wiener, a dan b adalah fungsi dari x dan t. 2) Ito mengusulkan jika G suatu fungsi dari x dan t, maka dipunyai ekspansi deret Taylor sebagai berikut: 3) Dengan mengabaikan suku yang berorder di atas Δt (Δt 0, demikian juga dengan suku berorde di atas Δt) diperoleh:

8 6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham 4) Selanjutnya dengan melihat persamaan 1), diperoleh Δx = aδt + bε Δt, dan persamaan 3) menjadi: 5) Diketahui E(ε 2 Δt) = Δt, karena nilai dari E(ε 2 ) = 1.Ini dapat diartikan bahwa nilai ε 2 Δt mendekati nilai Δt, sehingga diperoleh: 6) Dengan mengambil limit diperoleh:

9 . 6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham 7) Subtitusikan 1) ke 6) diperoleh: 8) Ternyata dapat kita lihat, bahwa proses G juga mengikuti proses Ito dengan drift rate dan standard deviasi 9) Dengan mengganti persamaan diferensial dx dengan ds pada persamaan diferensial dg, diperoleh

10 . 6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham Contoh: Model Harga Saham Lognormal Kita dapat menggunakan lemma Ito untuk menurunkan proses Ln S. Diketahui model persamaan diferensial harga saham ds/s = μdt + σdz. Kita definisikan G = ln S, dengan lemma Ito diperoleh: dg = d lns = (μ- ½ σ 2 ) dt + σdz Karena μ dan σ konstan, persamaan ini mengindikasikan bahwa G = Ln S mengikuti proses Wiener tergeneralisir. Selanjutnya dapat dibuktikan juga bahwa Ln S T Ln S 0 ~ N((μ -0.5σ 2 )T; σ 2 T).

11 Bab 6 Minggu ke 11 Simulasi Monte Carlo Untuk Harga Opsi

12 Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Membuat simulasi harga opsi tipe Eropa Membuat simulasi harga opsi tipe Amerika menggunakan metode Estimasi Least Square

13 6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Langkah-langkah: 1) Simulasikan lintasan harga saham S secara random 2) Hitung keuntungan opsi 3) Diskontokan ekspektasi payoff pada suku bunga bebas risiko untuk mendapatkan estimasi harga opsi. 4) Ulangi langkah 1-3 sebanyak M kali 5) Hitung rata-rata M harga opsi sebagai harga opsi MC

14 6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Contoh: Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham akan menggunakan persamaan (i). Diketahui S 0 = , dan K = Dari simulasi tersebut kita dapatkan matriks S berikut : Lintasan S1 S2 S

15 6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Dari simulasi lintasan harga saham, kemudian dihitung keuntungan opsi atau payoff pada waktu jatuh tempo. Opsi put tipe Eropa menggunakan formula K-S T dengan K= adalah harga kontrak. Lintasan S3 Payoff

16 6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Dari tabel keuntungan opsi di atas, kemudian dihitung harga opsi dengan mendiskonto semua payoff kewaktu t 0 dan mengambil nilai rata-rata sebagai harga opsi simulasi MC. Lintasan Payoff Harga Opsi

17 6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Diperoleh estimasi harga opsi simulasi monte carlo adalah:

18 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah-langkah: 1) Simulasi short rate 2) Simulasi harga saham menggunakan input dari nilai short rate yang telah disimulasikan terlebih dahulu 3) Menghitungkeuntungan opsi pada tiap-tiap waktu tiap lintasan 4) Menghitung waktu optimal untuk mengeksekusi opsi amerika a) Menentukan nilai Y T-1 = e -rt f T, nilai diskonto keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo T ke waktu T-1, untuk semua lintasan. b) Meregresikan Y T-1 dengan nilai S T-1 dan r T-1, selanjutnya diperoleh nilai Y T-1 (hat).

19 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika c) Bandingkan nilai Y T-1 (hat) dengan f T-1. Jika nilai Y T- 1(hat) > f T-1 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya. d) Ulangi proses 4-7 sampai waktu t =1. e) Untuk masing-masing lintasan diperoleh waktu yang optimal dan keuntungan opsi pada waktu tersebut. Harga opsi untuk masing-masing lintasan adalah nilai diskonto dari keuntungan optimal tersebut. 5) Hitung rata-rata harga opsi semua lintasan sebagai harga opsi MCKT.

20 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Contoh: Misalkan terdapat sebuah opsi put Amerika dengan assetinduk berupa saham. Diketahui S 0 = $30, σ = 30% dan tingkat hasil dividen sebesar 2%. Opsi tersebut dapat dieksekusi pada harga K = $40 pada saat t 1, t 2, dan t 3, dimana saat t 3 adalah masa berakhirnya hak opsi, jadi panjang intervalnya adalah 1/3.Diketahui pula bahwa tingkat suku bunga bebas risiko saat ini adalah sebesar 2%,memiliki volatilitas sebesar 5%. Simulasi akan dilakukan sebanyak 10 kali.

21 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah 1 : Simulasi harga saham dan short rate

22 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah 2 : Menghitung matriks payoff

23 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah 3 : Menentukan nilai opsi

24 6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Pada lintasan pertama, opsi dieksekusi pada t 2, sehingga nilai dari matriks payoff didiskonto ke t 0 (saat ini). Diketahui dari matriks short rate, nilai short rate lintasan pertama pada t 2 adalah (3,25%) dan t 1 adalah (2.87%). Nilai saat ini dari adalah e Maka estimasi nilai opsi yang diperoleh adalah Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi sebesar $ Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan dengan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil dari sebuah opsi dengan data parameter yang telah diberikan adalah sebesar $

25 Thank You