Chap 7a Aplikasi Distribusi. Fermi Dirac (part-1)

Transkripsi

1 Chap 7a Aplikasi Distribusi Fermi Dirac (part-1)

2 Teori Bintang Katai Putih Apakah bintang Katai Putih Bintang yg warnanya pudar/pucat krn hanya memancarkan sedikit cahaya krn supply hidrogennya sudah tinggal sedikit berubah menjadi helium. Tipikal data bintang katai putih Isi : sebagian besar helium Kerapatan massa 10 7 gr/cm 3 ( ) Massa : gr ( 1 M O ) Suhu pusat : 10 7 K (=T 0 )

3 Teori Bintang Katai Putih Jadi bintang katai putih : suhu tinggi dengan tekanan tinggi. Sehingga atom-atom sudah terionisasi. Sehingga bintang bisa dianggap terdiri dari inti helium dan elektron. Jadi dianggap sebagai gas elektron yg bersifat seperti gas Fermi ideal dengan kerapatan sekitar elektron/cm 3 yang setara dengan energi Fermi : ε F = ħ m 1 v 3 = 0 MeV Dengan temperature Fermi setara T F = K. Karena ternyata T F >>> T bintang, maka praktis bintang katai putih bisa dianggap sebagai gas Fermion degenerate dekat ground state.

4 Model Model Bintang Katai Putih: Sistem N gas elektron dalam kondisi ground state dengan kerapatan bahwa elektron diperlakukan secara relativistik. Gas Elektron bergerak dengan latar belakang inti helium sejumlah N/ yg diam yg memberikan daya tarik gravitasi. Ada tiga efek : prinsip Pauli, dinamika relativistik, hukum gravitasi.

5 Energi Elektron Elektron dengan spin = ½ dengan momentum p. Elektron memiliki energi : Dengan m e : massa elektron. ε p,s = pc + m e c Energi ground state dari gas Fermi: E 0 = pc + m e c p <p F = V p F h 3 dp 4πp pc + m e c 0

6 Energi Elektron Dengan momentum Fermi p F didefinisikan sbg (untuk elektron ): V 4 h 3 3 πp F 3 = N p F = ħ 3π v Dengan substitusi x = dituliskan sbg: Dengan 1/3 p m e c, maka integral dalam E 0 dapat E 0 4 c 5 N = m e π ħ vf x F f x F = x F dx x 1 + x 0

7 Energi Elektron Untuk x<<1 maka : x 1 + x = x x x 4 +

8 Zero Point Pressure Dengan aproksimasi tsb maka: 1 3 x F 3 ( x F +. ) x F 1 f x F = 1 4 x F 4 (1 + 1 x +. ) x F 1 F Dengan x F = p F m e c = ħ m e c 3π v 1/3 Tekanan zero point yang ditimbukan gas Fermi diberikan oleh: P 0 = E 0 = m e 4 c 5 V π ħ 3 f x F V f x F P 0 = m e 4 c 5 π ħ x F x F f x F x F x F V

9 Zero Point Pressure Untuk kasus non relativistik (x F <<1) P 0 m e 4 c 5 π ħ x F x F 1 3 x F 3 ( x F P 0 m e 4 c 5 π ħ x F 3 (1 + 1 x F ) 1 3 x F 3 ( x F P 0 m e 4 c 5 15π ħ 3 x F 5 Untuk kasus relativistik ekstreem (x F >>1): P 0 m e 4 c 5 π ħ x F x F 1 4 x F 4 (1 + 1 x F )

10 Zero Point Pressure P 0 m e 4 c 5 1 π ħ 3 3 x F x F 1 4 x F x F = m e 4 c 5 1π ħ 3 x F 4 x F Jika massa total bintang M dan jari-jarinya R, maka: M = m e + m p N m p N 1/3 R = 3V 4π Dengan m p :massa proton. Memakai besaran ini maka : v = V 4 = 3 πr3 = 8πm pr 3 N N 3M

11 Zero Point Pressure Dan : Dengan definisi x F = ħ 1 m e c R M = 9π 8 9π 8 M m p 1/3 M1/3 M m p dan R = R R m e c

12 Zero Point Pressure Memakai definisi M dan R tsb, dan K = m ec 1π m e c ħ 3, maka: P K M5/3 R 5 P 0 K( M4/3 R 4 relativistik) (kasus non relativistik) M /3 R ) (kasus extrem

13 Kesetimbangan Bintang Katai Putih Kesetimbangan bisa dihitung sbb: Andai tak ada gravitasi, maka perlu tekanan dari luar untuk melawan tekanan gas fermi. Besar usaha untuk memampatkan gas tsb dari R= hingga jari-jari tertentu R: W = R P 0 4πr dr Jika sekarang gravitasi ada, maka akan ada gaya tarik antar massa di dalam bintang tsb, kita hitung usaha untuk membentuk bintang tsb oleh gaya gravitasi (gravitational self-energy ), berdasarkan analisa dimensionalitas bentuknya :

14 Kesetimbangan Bintang Katai Putih W g = αγm R Dengan konstanta pembanding (sekitar 1) dan tetapan gravitasi umum. Perlu info ttg distribusi massa bintang untuk menghitung. Pada jari-jari kesetimbangan mestilah usaha oleh gaya luar tsb = - usaha oleh gaya gravitasi 0 P 0 4πr dr = αγm R

15 Syarat Kesetimbangan Ambil turunan thd R pers. Di atas, maka syarat kesetimbangan: 8m p me c 4 M P 0 = αγm = αγ 4πR 4 4π 9π ħ R 4 (*) Sebenarnya persamaan ini mendefinisikan konstanta! Hubungan M dan R, akan diperoleh untuk 3 kasus : a. Misal suhu elektron jauh lebih tinggi dari suhu Fermi, sehingga distribusi Fermi-Dirac gas Boltzmann, sehingga: P 0 = kt v = 3kT M 8πm p R 3

16 Hubungan M-R Substitusi ke (*) diperoleh: R = 3 αm m pγ kt Jadi R sebanding dengan M. Hubungan ini tak pernah dijumpai untuk bintang katai putih. b. Misal bintang katai putih memiliki kerapatan (1/v) yang rendah dan bersifat non relativistik (x F <<1), menggunakan P 0 untuk kasus ini diperoleh: 4 5 5/3 M K R 5 = K M R 4

17 Hubungan M-R Dengan K = αγ 4π 8m p 9π me c Sehingga diperoleh persamaan: M 5/3 R = 4 K 5 K Artinya : jika massa bintang besar maka jari-jarinya kecil. Cocok dengan aproksimasi yg adalah density rendah, ketika R besar dan M kecil. ħ 4

18 Hubungan M-R C. Misal gas elektron memiliki kerapatan besar sehingga efek relativistik penting (x F >>1), maka dengan P 0 yg sesuai didapatkan: K M 4 3 R 4 M Dengan 3 R = K M M 0 = K 3/ 7π = K 64α gr =massa matahari R 4 atau R = M /3 1 M/M 0 /3 3/ ħc γm p 3/ nilai M 0 Aproksimasi ini valid untuk kerapatan tinggi, atau R 0. Jadi ketika massa mendekati massa matahari.

19 Limit Chandrasekhar Berarti : tidak ada bintang katai putih yg massanya lebih besar dari matahari (kalau tidak jari-jarinya akan imajiner)!. Secara fisis hal ini dijelaskan karena kalau massa terlalu besar maka tekanan (tolak-menolak) karena prinsip Pauli tidak akan cukup melawan oleh keruntuhan bintang karena gaya gravitasinya. Note: Perhitungan yg lebih akurat memberikan estimate thd M 0 = 1,4 M 0 yg dikenal dengan nama limit Chandrasekhar. Jadi tak akan ada bintang yg bisa jadi bintang katai putih kalau massanya lebih dari massa Chandrasekhar.

20 Diamagnetism Landau Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehingga terjadi tolak-menolak. Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism dari kuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruh medan magnet Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: χ M/ H Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan medan magnet H: M 1 V < H 0/ H >

21 Diamagnetism Landau Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehingga terjadi tolak-menolak. Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism dari kuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruh medan magnet Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: χ M/ H Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan medan magnet H: M 1 V < H 0/ H >

22 Diamagnetism Landau Dengan H 0 : hamiltonian sistem dengan adanya medan magnet luar H. Untuk Ensembel Kanonik: M = kt ln Q N/V H dan Ensembel Grand Kanonik M = kt ln ζ H V T,V,z Jika χ < 0 maka sistem bersifat diagmagnetik dan jika χ > 0 bersifat paramagnetik

23 Model Diamagnetism Sumber sifat magnetik bahan : (a) elektron (bebas/terikat) yg bergerak di orbit yg terkuantisasi di bawah medan magnet luar. Hal ini terkait dengan diagmagnetism (b) spin elektron yg cenderung paralel dengan medan magnet luar. Hal ini terkait dengan paramagnetism. Model diagmagnetism : gas elektron bebas (spinless) di bawah pengaruh medan magnet luar. Elektron non relativistik.

24 Model Diamagnetism Hamiltonian diberikan oleh: H 0 = 1 m p + e c Dengan p momentum dan A: vektor potensial magnetik. Konstanta e: besar muatan elektron (+). Sedangkan H = A A Pers. Schrodinger sistem ini : H 0 ψ = Eψ Asumsi : medan magnet luar : H = zh, dengan H: konstan (uniform external field), dengan ini maka : A = Hy x kita pilih A y =A z =0.

25 Hamiltonian Sistem Substitusikan ke pers. Schrodinger akan menghasilkan: 1 m ħ k x + ħ k z + p y + eh c y eh c ħk x y ψ = Eψ ħ m k x + k z + 1 m p y + 1 m eh c y ħk x eh mc y ψ = Eψ

26 Pers. Schrodinger System Pakai definisi frekuensi cyclotron :ω 0 eh mc, maka: ħ m k x + k z + 1 m p y + 1 mω 0 y ω 0 ħk x y Selanjutnya kuantitas dalam [..] dapat dituliskan sbg: ψ = Eψ [..] = 1 p m y + 1 mω 0 y y 0 ħ k x dengan y m 0 ħc k eh x Sehingga persamaan Schrodinger menjadi: 1 m p y + 1 mω 0 y y 0 f y = E f(y) Dengan E = E ħ k z m

27 Energi eigen sistem Arti: 1 m p y + 1 mω 0 y y 0 Suku : Energi kinetik + potensial dari osilator harmonis dengan pusat osilasi di y 0 dengan frekuensi ω 0. Oleh karena itu energi eigen sistem osilator ini adalah: Energi kinetik dari gerak sejajar medan luar (z) ħω 0 n + 1, n = 0,1,, Dan energi eigen sistem keseluruhan adalah: E = E ħ k z m = ħω 0 n + 1 atau E(p z, n) = p z m + ħω 0 n + 1 E : kontribusi energi dari komponen gerak arah XY = ħω 0 (n+1/ ). Ingat ω 0 eh mc Energi krn gerak di bidang tegak lurus medan luar (XY)

28 Analisa Energi & Level Landau Jika H=0, maka eigenstates hanyalah gerak di bidang XY saja, dengan spektrum energi diberikan oleh : E = ħ k x + ħ k y m m Tapi sejalan dengan L (ukuran sistem), maka praktis spektrum energi ini kontinu. Jika H 0, maka spektrum energi yg kontinu akan pecah menjadi satu set tingkat energi diskrit yg degenerate yg dilabeli bilangan kuantum n, dengan energi E = ħω 0 n + 1

29 Analisa Energi & Level Landau Untuk tiap nilai n tertentu, ada banyak status degenerate yg dilabeli k x. Set yg dilabeli satu nilai n disebut level Landau. Jarak antara Level Landau adalah ħω 0 = eħ mc H. Jelas semakin besar medan luar, semakin besar juga jarak ini. Misal elektron ini berada dalam kotak LxLxL. Dengan syarat batas periodik, maka nilai-nilai k x yg diijinkan adalah k x = πn x L, dengan n x =0, 1,,

30 Degenerasi Level Landau Tetapi ada batasan n x sebab y 0 mestilah: 0 y 0 L, sehingga n x mestilah positif. y 0 = ħc k eh x = hc eh Berarti n x max : n x L n x,max = eh hc L g g: degenerasi tiap level Landau!

31 Susceptibility Magnetik Fungsi partisi Grand Kanonik: ζ = m (1 + ze βε m) Dengan m =(p z,n, ) dengan =1,,..,g. ln ζ = g α=1 n=0 p z ln(1 + ze βεpz,n,α ) mengingat p z = ħk z = h π n π L z = h n L z, sehingga Σ pz L dp: banyak momentum p h z :,,

32 Susceptibility Magnetik Sehingga: ln ζ gl dp ln(1 + ze βε p,n ) h n=0 0 Jumlah rata-rata elektron: N gl dp h n=0 0 1 z 1 e βε + 1 Pada daerah klasik, yaitu T>>. Pada limit ini z 0 agar N tetap berhingga. Sehingga persamaan di ln di ekspansi dan diambil order-1: ln 1 + ze βε ze βε

33 Susceptibility Magnetik Sehingga: ln ζ glz dpze βε = glz h n=0 0 ln ζ glz h glz h e βħω 1 0 n+ n=0 πmkt ln ζ glz λ n=0 h n=0 0 0 e βħω 0 n+ 1 e βħω 0 1 e βħω = glz 0 λ p β( dpze m +ħω 0 n+ 1 ) p β( dpze m ) e x 1 e x

34 Aproksimasi suhu Tinggi h Dengan λ = dan x = βħω 0 πmkt e x 1 e x = 1 e x e x x + x + x3 6 1 x x3 +. Sehingga ln ζ glz λ, aproksimasi untuk x kecil: x + (1 x + x3 6 + ) 1 x x x x = glz λ 1 kt 1 x (1 1 6 x + ) ħω ħω 0 kt

35 Susceptibilitas Magnetik Dengan mengingat definisi g = eh hc L dan ω 0 = eh, maka faktor mc glh = V dengan V=L 3. Sehingga : mω 0 ln ζ zv λ ħω 0 kt Sekarang kita bisa menghitung susceptibilitas magnetik : χ = ln ζ M dengan M = kt H H V Maka akan diperoleh : χ = z 3kTλ 3 eħ mc

36 Susceptibilitas Magnetik Jelas χ <0 faktor dalam (..) tak lain adalah Bohr Magneton. Variabel z dapat dieliminasi dengan bantuan N dengan mempertahankan hingga order satu dalam z. Hasil akhirnya dapat diperoleh: χ = 1 3kTv eħ mc Hasil ini sesuai dengan hukum Curie yang terkenal bahwa χ ~ 1 T