GEOMETRI PROYEKTIF PG(2, p n ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG SIMETRIS. Jln. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang

Transkripsi

1 urnal atematika Vol, No3, Desemer 8: -5, ISSN: GEOERI PROYEKIF PG(, p n ) UNUK EBENUK RANCANGAN BOK IDAK ENGKAP SEIBANG SIERIS Yuni Hidayati dan Bamang Irawanto, urusan atematika FIPA Uniersitas Diponegoro ln Prof H Soedarto, SH, emalang, Semarang is Balanced Incomplete Block (BIB) design with and r k Proectie geometry PG (, p n ) is the finite geometry of two dimensions oer the Galois Field GF(p n ) Proectie geometry PG (, p n ) can e used to construct symmetric BIB design if the points of PG(, p n ) are assumed same with the oect of symmetric BIB design and the lines which contain the points from PG(, p n ) same with the locks of symmetric BIB design Astract A Symmetric Balanced Incomplete Block design with parameters (,, k, r,) Keywords: Galois Field GF(p n ), Proectie geometry PG (, p n ) PENDAHUUAN Geometri diseut geometri erhingga ika geometri memiliki umlah titik yang erhingga Elemen-elemen dalam geometri erhingga dapat digunakan untuk mengkontruksi geometri euclid erhingga dari dimensi dua yang dinotasikan EG (, p n ) dan geometri proyektif dari dimensi dua yang dinotasikan PG (, p n ) PG (, p n ) digunakan untuk merancang suatu Rancangan Blok idak engkap Seimang Simetris (RBSS) Rancangan Blok idak engkap Seimang Simetris (RBSS) adalah salah satu pengemangan dari Rancangan Blok idak engkap Seimang (RBS) Suatu RBS dengan parameter (,, r, k, ) dikatakan simetris ika dan uga r k GEOERI PROYEKIF PG (, p n ) Geometri Proyektif diperoleh dari perluasan geometri Euclid EG (, p n ) Karena setiap dua garis pada PG(,p n ) harus erpotongan maka harus ditamahkan satu titik aru pada EG(,p n ) yang erkorespondensi ke setiap parallel pencil dan posisinya erdekatan dengan garis-garis yang erada di parallel pencil terseut eorema [] Geometri proyektif PG(,p n ) mempunyai s + s + titik dan s + s + garis, yang mana setiap garis memuat s + titik dan setiap titik termuat di s + garis Berdasarkan EG(,p n ) yang mempunyai s titik dan terdapat s + titik di tak hingga (titik yang erkorespondensi ke setiap parallel pencil) maka ada s + s + titik pada PG(,p n ) Begitu uga dengan garis, terdapat s + s garis pada EG(,p n ) dan satu garis di tak hingga yang menghuungkan semua titik-titik di tak hingga sehingga ada s + s + garis pada PG(,p n ) Untuk setiap m tertentu dari GF(p n ) terdapat parallel pencil dari entuk y mx + β dengan kemiringan m Setiap garis dari pencil ini mempunyai persamaan y mx + β, yang mana mempunyai harga m yang sama untuk setiap garis dari satu pencil tetapi harga β yang ereda untuk setiap garis yang ereda dalam satu pencil itik-titik di tak hingga yang erkorespondensi dengan pencil ini

2 urnal atematika Vol, No3, Desemer 8:-5 dikoordinasikan oleh m Selain itu uga terdapat parallel pencil dari entuk x γ dengan kemiringan Korespondensi antar titik-titik dapat dikoordinasikan oleh Garis di tak hingga dinotasikan dengan l l terdiri dari s + titik di tak hingga dan tidak memuat titik erhingga Setiap garis erhingga memuat s titik erhingga dan titik di tak hingga yang erkorespondensi dengan pencil dimana garis terseut erada, sehingga garis y mx + β memuat titik (m) di tak hingga dan garis x γ memuat titik ( ) adi setiap garis dari PG(,p n ) memuat s + titik Sedangkan titik erhingga termuat di s + garis erhingga, yang mana s + garis erhingga terseut teragi merata di setiap parallel pencil dan titik di tak hingga termuat di setiap s garis dari parallel pencil yang erkorespondensi dengan titik terseut serta termuat pada garis di tak hingga adi setiap titik dari PG(,p n ) termuat tepat di s + garis 3 RANCANGAN BOK IDAK ENGKAP SEIBANG SIERIS (RBSS) Definisi Suatu RBS dengan parameter (,, r, k, ) dikatakan simetris ika dan r k RBSS dapat disaikan dalam entuk matriks yaitu ( ) Definisi, dengan i,, dan atriks ( ),, suatu RBS dengan parameter (,, r, k, ) dengan lok-lok B,, B dan oekoek m,m yang didefinisikan seagai erikut : mi, ika mi B dan mi, ika mi B eorema [], dengan i,, dan ika ( ),, suatu RBS dengan parameter (,, r, k, ), maka r dan k i eorema 3 [], dengan i,, dan ika ( ),, suatu RBS dengan parameter (,, r, k, ), maka (i) m α r, ika i α, dan m m, ika i α i α (ii) ( r ) I + dimana adalah transpose dari matriks, I adalah matriks identitas erukuran dan adalah matriks erukuran yang semua elemennya adalah N r + r (iii) ( ) ( ) rk( r ) (i) ika α menadi i, maka persamaan (i) r sehingga m i karena m i atau Analog dengan teorema Andaikan i α, maka mim α ika dan hanya ika keduanya dan m α ernilai yang mana kedua oek i dan α muncul dalam lok kemudian ada tepat nilai dari untuk kemunculan ersama pasangan i dan α dalam lok oleh karena itu mim α untuk tepat nilai dari untuk suatu i dan α tertentu dimana i α, dan nol untuk nilai-nilai yang lain dari ini memuktikan (i) untuk kasus i α

3 Yuni Hidayati dan Bamang Irawanto (Geometri Proyektif Pg(, P n ) untuk ementuk Rancangan Blok) (ii) m m m m m m m m O m m m m dari persamaan (i) diperoleh ahwa (iii), r r r r { r + ( ) } r O O r r yang diperoleh dengan menamahkan aris-aris terakhir pada aris pertama dan mengeluarkan faktor { r + ( ) } dari elemen-elemen aris pertama Kemudian mengalikan aris pertama dengan dan mengurangkannya dari aris-aris yang lain, diperoleh: { r + ( ) } r { r + ( ) }( r ) rk( r ) r O r eorema 4 [] ika adalah suatu matriks incidence dari suatu RBS (,, r, k, ) yang simetris adalah matrik transpos dari I adalah matrik identitas erukuran, adalah matriks erukuran yang r r r O r r r O r + O r ( r ) I + semua elemennya adalah, maka memenuhi 4 relasi erikut: N k I + (i) ( ) ( k ) I + N () (i) k (ii) k Di sini, (i) adalah entuk yang diakiatkan oleh (ii) mengingat ahwa, r k, Selain itu (i) menyatakan ahwa setiap aris pada memuat k uah elemen, ini erarti ahwa terdapat seumlah r k lok-lok yang memuat setiap oek Persamaan (ii) menyatakan ahwa setiap kolom pada memuat k uah elemen, ini erarti ahwa terdapat seumlah k oek dalam setiap lok adi, persamaan () uga isa didapatkan Persamaan () merupakan akiat dari (i), (i) dan (ii) [5] eorema 5 [] Andaikan adalah suatu matriks nonsingular erukuran yang memenuhi (i) atau () dan uga (i) atau (ii), maka memenuhi keempat persamaan, (i), (), (i) dan (ii) Selanutnya, k, memenuhi relasi k k ( ) Berdasarkan persamaan (iii) N ( k ) ( + k), maka kenonsingularan dari erarti ahwa k, + k isalkan diasumsikan ahwa (i) dan (i) dipenuhi, maka nonsingular dan ( k ) I +, k ika persamaan (i) dikalikan dengan pada seelah kiri, maka diperoleh ( ) ( k ), sehingga k dengan k dan k Selain itu ( ) ( ) k atau k, karena 3

4 urnal atematika Vol, No3, Desemer 8:-5 Dengan diperoleh ( ) ( ) k + ( k ) + k ( k ) + k, maka k adi, k k g, k dimana g adalah konstanta Sehingga g ( g ) g ( ) g ( k ) gk gk Ini memerikan gk, sehingga gk, g k etapi g( k ) k k Dengan mengganti ( k ) k k g k diperoleh k dan mengalikan dengan k diperoleh k k, yang sama dengan relasi k k ( ) yang akan diuktikan uga Selain itu g k memerikan k atau k yang merupakan relasi (ii) yang ingin diuktikan Sedangkan untuk relasi ( k ) + k ika dikalikan dengan pada seelah kanan, akan diperoleh k + k ( ) ( k ) I + k ( k ) I + k ( k ) ( k ) I + yang merupakan relasi () yang ingin diuktikan Sehingga terukti ahwa untuk nonsingular, (i) dan (i) menunukkan dipenuhinya (), (ii) dan relasi k k ( ) Dengan mengganti dengan, dan dengan penelasan yang sama, maka akan dapat diuktikan ahwa persamaan () dan (i) atau (ii) uga memenuhi relasi-relasi yang lain 4 PG (, p n ) UNUK EBENUK RBSS Untuk merancang suatu Rancangan Blok idak engkap Seimang Simetris (RBSS) dapat menggunakan PG (, p n ) Contoh isalkan terdapat 7 oek,,, 7 dalam 7 lok ( 7, r k 3dan ) Dengan menganggap 7 oek sama dengan 7 titik pada PG(, ) dan 7 lok yang memuat 7 oek terseut sama dengan 7 garis yang memuat titik-titik dari PG(, ), maka persoalan di atas dapat diselesaikan dengan erdasarkan Geometri Proyektif PG (, ) Salah satu cara untuk memperoleh lok adalah dengan mengidentifikasi 7 oek (misalkan dinotasikan dengan,, 3, 4, dst ) dengan 7 titik dari geometri erhingga PG (, ) Dari titik-titik pada PG (,) dapat diidentifikasi oek-oeknya yaitu : ael ael oek-oek erdasarkan PG (,) itik-titik dari PG (,) Oek () (,) ( ) 3 (,) 4 (,) 5 (,) 6 () 7 dan garis-garis pada PG (,) ditunukkan dalam ael ael ael garis-garis pada PG (,) Persamaan Garis itik-titik yang dihuungkan y (,), (,), () y (,), (,), () y x (,), (,), () 4

5 Yuni Hidayati dan Bamang Irawanto (Geometri Proyektif Pg(, P n ) untuk ementuk Rancangan Blok) y x + (,), (,), () x (,), (,), ( ) x (,), (,), ( ) l (), (), ( ) Dari ael, dapat diuat rancangan lokloknya yaitu : ael 3 ael lok-lok yang dihasilkan dari PG (,) B : (6,,7) B 5 : (4,5,7) B : (6,5,) B 6 : (,4,) B 3 : (6,4,3) B 7 : (,5,3) B 4 : (7,,3) Dari ael 3, matriks incidencenya adalah: Disini kolom kedua menunukkan ahwa lok B memuat oek-oek 5 dan 6 dan aris ketiga menunukkan ahwa oek 3 muncul di dalam lok-lok B 3, B 4, B 7 5 KESIPUAN RBSS dapat dientuk dari geometri erhingga khususnya geometri Proyektif dari dua dimensi PG (, p n ) atas lapangan GF (p n ) Geometri Proyektif PG (, p n ) merupakan perluasan dari Geometri Euclid EG (, p n ) dari dua dimensi PG (, p n ) atas lapangan GF (p n ) 6 DAFAR PUSAKA [] Bamang Irawanto (), Galois Field, esis, urusan Ilmu-ilmu atematika dan Pengetahuan Alam UG, Yogyakarta [] Bose R C & anel, B (984), Introduction to Cominatorial heory, ohn Wiley & Sons, New York [3] ungnickel, D & Vanstone, S A (993), Coding heory, Design heory, Group heory, ohn Wiley & Sons Inc, Canada [4] ac Williams, F & Sloane, N A (993), he heory of Error Correcting Codes, urray Hill, USA [5] arshall Hall, r (986), Cominatorial heory, Second Edition, ohn Wiley & Sons New York [6] Van int, H & Wilson, R (99), A Course in Cominatorics, Camridge Uniersity Press, Australia 5