FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-fibonacci. Rini Adha Apriani ABSTRACT

Transkripsi

1 FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-fibonacci Rini Adha Apriani Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru ABSTRACT This article discusses the formula of k-fibonacci difference sequences from the initial k-fibonacci numbers and formula for the sum of these new sequences as. This formula is evidenced by the concept of k-fibonacci difference sequences. Keywords: sequences k-fibonacci numbers k-fibonacci sequences k-fibonacci difference ABSTRAK Artikel ini membahas formula selisih barisan k-fibonacci dari barisan bilangan k- Fibonacci yang utama dan formula penumlahan untuk barisan selisih yang baru. Formula ini dibuktikan menggunakan konsep dari selisih barisan bilangan k- Fibonacci. Kata kunci: Bilangan k-fibonacci barisan k-fibonacci selisih barisan bilangan k-fibonacci 1. PENDAHULUAN Barisan bilangan Fibonacci adalah salah satu barisan bilangan yang menarik. Di dalam buku Burton [2 h. 284] dielaskan bahwa barisan bilangan Fibonacci dikenal setelah seorang matematikawan Italia bernama Leonardo Fibonacci pada tahun 1202 di dalam bukunya berudul LiberAbaci melakukan sebuah pengamatan terhadap peternakan kelinci. Di dalam buku Koshy [5 h.128] dielaskan bahwa pengamatan dilakukan selama satu tahun terhadap sepasang kelinci seekor antan dan seekor betina. Dengan asumsi bahwa setiap pasang kelinci akan menadi dewasa setiap bulannya setiap pasang kelinci melahirkan sepasang kelinci yang baru setiap bulannya dan tidak ada kelinci yang mati. Pada bulan 1

2 pertama lahir sepasang kelinci berarti belum terdapat pasangan kelinci dewasa kemudian sepasang kelinci tersebut membutuhkan waktu selama satu bulan untuk menadi dewasa dan masih berumlah satu pasang hingga akhir bulan pertama. Lalu pasangan kelinci yang telah menadi dewasa melahirkan pasangan kelinci baru pada akhir bulan kedua adi terdapat dua pasang kelinci. Sepasang kelinci yang telah dewasa kemudian melahirkan pasangan kelinci yang baru lagi di bulan ketiga sedangkan pasangan kelinci yang baru lahir di bulan kedua masih membutuhkan waktu selama satu bulan hingga bulan keempat untuk menadi dewasa sehingga terdapat tiga pasang kelinci. Pasangan kelinci yang dewasa pada bulan keempat telah berumlah dua pasang dan masing-masing melahirkan sepasang kelinci sehingga menadi lima pasang kelinci termasuk pasangan kelinci yang lahir di bulan ketiga yang masih membutuhkan waktu satu bulan hingga bulan kelima untuk menadi dewasa. Hal serupa teradi berulang pada bulan-bulan berikutnya. Pengamatan tersebut menghasilkan sebuah barisan bilangan yang ditulis Fibonacci sebagai berikut: Di dalam Rosen [6 h. 158] uga dielaskan bahwa barisan Fibonacci adalah barisan yang diperoleh dengan menambahkan dua suku bilangan sebelumnya. Barisan Fibonacci berawal dari bilangan 0 dan 1 atau F 0 = 0 dan F 1 = 1 dan secara rekursif didefinisikan sebagai F n = F n 1 + F n 2 untuk n 2. Barisan Fibonacci telah banyak digeneralisasi menadi suatu barisan yang baru salah satu bentuk generalisasi dari barisan Fibonacci adalah barisan bilangan k- Fibonacci. Falcon [3] menelaskan bahwa dalam barisan bilangan k-fibonacci uga terdapat rumus umum selisih dan rumus penumlahan dari barisan bilangan k- Fibonacci. Rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan formula barisan k-fibonacci dan definisi selisih barisan untuk mendapatkan formula selisih dan penumlahan untuk barisan selisih k-fibonacci. Rumus-rumus tersebut digunakan untuk membentuk barisan selisih sebagai barisan yang baru dari barisan k-fibonacci. Di dalam artikel ini diberikan penelasan formula selisih dan penumlahan barisan bilangan k-fibonacci menggunakan definisi selisih barisan. Artikel ini merupakan review sebagian artikel Falcon [3]. 2. BARISAN BILANGAN k-fibonacci Falcon dan Plaza [4] memberikan definisi barisan k-fibonacci seperti yang tertera dalam definisi berikut. 2

3 Definisi 1 Untuk setiap bilangan bulat k 1 barisan k-fibonacci katakanlah {F } n N didefinisikan secara rekursif yaitu dengan kondisi awal F +1 = kf + F 1 untuk n 1 F = 0; F = 1. Falcon dan Plaza [3] uga memberikan persamaan untuk barisan k-fibonacci dengan n adalah bilangan negatif yaitu F k n = ( 1 n+1 F. 3. SELISIH BARISAN k-fibonacci Di dalam artikel Falcon [3] dinyatakan bahwa untuk selisih barisan bilangan terurut {a 0 a 1...} selisih pertama (a n = a n+1 a n n 0. Selanutnya selisih ke-i dari barisan a n dapat ditulis sebagai i (a n = i 1 (a n+1 i 1 (a n = i ( i ( 1 a i+n. (1 Kemudian ika persamaan (1 diterapkan untuk menentukan selisih barisan k- Fibonacci maka diperoleh persamaan berikut: (i (F k = k = (i (F ( = = F (i Selisih ke-i barisan k-fibonacci kemudian ditulis secara umum yaitu = i ( i ( 1 F ki+n. (2 4. FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-fibonacci Pada bagian ini dipaparkan formula selisih dan penumlahan barisan bilangan k- Fibonacci yang dinyatakan dalam lema dan beberapa teorema berikut. Lema 2 Bilangan selisih k-fibonacci memenuhi hubungan rekursif bilangan k- Fibonacci: F i +1 = kf i + F i 1 i N. (3 3

4 Bukti. Tunukkan bahwa benar untuk i = 1 F 1 +1 = F 0 +2 F 0 +1 = (kf +1 + F (kf + F 1 = kf 1 + F 1 1. Selanutnya diasumsikan benar untuk i r yaitu F+1 r = F r 1 +2 F r 1 +1 = ( kf r F ( r 1 kf r 1 F+1 r = k(f (r + F n 1. (r + F r 1 1 Kemudian ditunukkan bahwa rumus tersebut benar untuk i = r + 1. F r+1 +1 = F r +2 F r +1 = ( kf r +1 + F r ( kf r + F r 1 F r+1 r+1 +1 = kf + F r+1 1. Jadi terbukti bahwa F i +1 = kf i + F i 1. Selanutnya Falcon [3] memberikan teorema mengenai hubungan antara selisih barisan k-fibonacci ke-i dan i 1 yaitu Teorema 3 Untuk i n 1 dengan (i 1 = (k 1F + F (i 1 1 (4 = F (i 1. Bukti. Kemudian persamaan (4 diabarkan sebagai berikut: (k 1F (i 1 + F (i 1 (i 1 1 = kf + F (i 1 = k ( 1 1 F ki 1+n i=1 ( 1 F ki 1+n + ( 1 F ki 2+n 4

5 (k 1F (i 1 = ( 1 (kf ki 1+n + F ki 2+n ( 1 F ki 1+n = ( 1 F ki+n ( (i 1 ( 1 F ki 1+n = F ki+n + ( 1 F ki+n =1 ( 1 F ki 1+n = F ki+n + ( 1 F ki+n =1 ( 1 1 F ki+n + ( 1 (i 1 F 1 =1 [( ( ] i 1 (i 1 = F ki+n + ( 1 + F ki+n ( 1 =1 ( 1 i ( 1 1 F ( i = F ki+n + ( 1 F ki+n + ( 1 i F + F (i 1 1 =. =1 ( i = ( 1 F ki+n Jadi terbukti bahwa (i 1 = (k 1F + F (i 1 1. Contoh 1 Menentukan bilangan pada selisih ke-3 dari barisan k-fibonacci dengan k = 3 untuk n = 3 dapat diselesaikan dengan menggunakan dua metode yaitu (i Metode langsung Diketahui F 3 3 = dan dapat dilihat secara langsung 5

6 bahwa F 3 33 = 122. (ii Metode yang diberikan pada persamaan (4. F 3 33 = (3 1F ( F ( F 3 33 = 2F F 2 32 = 2( = 122. Jika persamaan (4 diterapkan maka didapat formula berikut: = r ( r (k 1 r F i r untuk r i k > 1. (5 Jika [ ] n ( (n n p n F kq dimisalkan dalam sebuah simbol sebagai p + F kq. Formula ini dapat dinyatakan dalam[ bentuk sebagai berikut: ] r F i = (k 1 + F (i r = r F i = ( r (k 1 r F (i r. Untuk r = i selisih barisan k-fibonacci bergantung pada barisan k-fibonacci yang dinyatakan dalam formula berikut. Akibat 4 Jika r = i maka = i ( i (k 1 i F. Teorema 5 n Bukti. Persamaan (6 diselesaikan dan diperoleh n k = F (i (6 k = + n =1 k = + 1 [ ] k+1 k k 1 6

7 n = + 1 [ ( k + k ( k ] = + 1 (i (F +1 k + = + i (i 1 (F +2 k +1 + F (i 1 +1 k2 + F (i 1 + F (i 1 = F (i (i 1 (F +2 k (F (i 1 k2 = F (i 1 + F (i 1 +1 k = F (i Jadi terbukti bahwa n k = F (i Contoh 2 Menentukan umlah dari selisih ke-2 barisan 3-Fibonacci dengan n = 5 dapat diselesaikan dengan menggunakan dua metode yaitu (i menyelesaikannya dengan metode langsung seperti berikut: 5 F (2 3 = F ( F ( F ( F ( F ( F (2 35 = = 828. (ii menyelesaikannya dengan metode yang diberikan pada persamaan (6 yaitu 5 F (2 3 = F ( F ( = F (1 36 F (1 30 = = 828. Teorema 6 Penumlahan dari n + 1 suku pertama dari barisan selisih k-fibonacci diberikan oleh n i 1 k = ( i 1 (k 1 i 1 (F +1 + ( 1 F k. (7 7

8 Bukti. Persamaan (7 diselesaikan dan diperoleh n n k = F (i 1 +1 = (i 1 (i 1 k = ( i 1 ( i 1 (k 1 i 1 F +1 Jadi terbukti bahwa n k = i 1 ( i 1 (k 1 i 1 (F +1 + ( 1 F k. (k 1 i 1 F k ( i 1 (k 1 i 1 (F +1 + ( 1 F k. Contoh 3 Apabila hasil penumlahan dari barisan selisih ke-2 barisan 3-Fibonacci dengan n = 2 diselesaikan dengan metode langsung didapat hasil sebagai berikut: 2 F (2 3 = F ( F ( F (2 32 = = 22. Jika masalah ini diselesaikan dengan menggunakan metode yang diberikan pada persamaan (7 diperoleh 2 ( F (2 1 3 = (2 1 (F 33 + ( 1 0 F = 2( (3 1 = 22. ( 1 (2 0 (F 32 + ( 1 1 F 31 1 Misalkan S n (i adalah umlah dari suku barisan yang sama diberikan persamaan sebagai berikut: S (i = + + k (8 Dengan melakukan operasi perkalian dengan suatu bilangan k pada persamaan (8 diperoleh ks (i (i (i (i (i = kf + kf + kf k2 + + kf. (9 8

9 Selanutnya dengan menumlahkan persamaan (8 ke persamaan (9 diperoleh ks (i + S(i (i = kf + (i + kf + (i (i + kf k2 + + kf ks (i + S(i (i = kf + k2 + k ks (i (i = kf S (i = 1 (i ((k 1F k Jadi diperoleh rumus untuk penumlahan barisan selisih k-fibonacci yaitu S (i = 1 (i ((k 1F k KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan dari bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan formula selisih barisan diperoleh formula untuk selisih barisan k-fibonacci dan rumus penumlahan barisan k-fibonacci dari barisan selisih k- Fibonacci sebelumnya. Dengan menggunakan formula tersebut menentukan barisan selisih k-fibonacci atau bilangan barisan selisih k-fibonacci dan umlah barisan selisih k-fibonacci menadi lebih mudah dibandingkan menentukannya secara langsung. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. 9

10 DAFTAR PUSTAKA [1] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert Introduction To Real Analysis Fourth Edition John Wiley and Sons New Jersey [2] D. M. Burton Elementary Number Theory Seventh Edition McGraw-Hill Companies New York [3] S. Falcon The k-fibonacci difference sequences Chaos Solitons and Fractals 87 ( [4] S. Falcon dan A. Plaza The k-fibonacci sequence and the Pascal 2-triangle Chaos Solitons and Fractals 33 ( [5] T. Koshy Elementary Number Theory with Applications Second Edition Elsevier Academic Press London [6] K. H. Rosen Discrete Mathematics and Its Applications Seventh Edition McGraw-Hill New York