PENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL MIKA ALVIONITA S, RIRI LESTARI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, Alvionita0905@gmail.com Abstrak. Dalam makalah ini akan dibahas opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial. Metode trinomial memiliki perubahan harga saham yang dipengaruhi oleh koefisien naik turun yang relatif sama dengan suku bunga. Permasalahan yang timbul dalam metode ini adalah persamaan linier yang digunakan overdetermined. Persamaan yang overdetermined diselesaikan dengan menggunakan invers semu pseudoinverse. Kata Kunci: Overdetermined, invers semu pseudoinvers. Pendahuluan Dalam melakukan investasi terdapat bermacam-macam aset yang dapat diperjualbelikan seperti uang, obligasi, saham, suku bunga dan lainnya. Seiring perkembangan zaman, pemilik aset ingin memiliki produk derivatif yang dapat meminimalkan kerugian dan memaksimalkan keuntungan dari aset yang diperjualbelikan. Produk derivatif tersebut yaitu opsi. Penentuan harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial ini mempunyai tiga kemunginan nilai perubahan harga saham. Metode trinomial yang digunakan dalam penentuan harga opsi call Eropa memiliki masalah karena persamaan linier yang digunakan overdetermined yaitu sistem persamaan dengan jumlah persamaan yang lebih banyak daripada jumlah variabel yang dicari. Persamaan linier yang overdetermined dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks A m n yang disebut invers semu pseudoinverse, dinotasikan A +. Definisi.. [5 Misalkan matriks A merupakan matriks yang berukuran m n. Matriks A dikatakan matriks invers tergeneralisasi jika terdapat matriks X yang memenuhi syarat-syarat berikut. i AXA = A. ii XAX = X. iii XA t = XA. iv AX t = AX. 3

2 32 Mika Alvionita, Riri Lestari Diketahui P = [ P P 2, P = [ S S 2, Q = [ Q Q 2, Q = P AQ = [ B [ T T 2, dimana B adalah suatu matriks nonsingular berukuran r r. Untuk menentukan matriks invers semu A + dapat dicari dengan memanfaatkan teorema berikut. [ Teorema.2. [5 Misalkan A adalah matriks berukuran m n dan P AQ = B 0, dimana B adalah matriks nonsingular berukuran r r. Misalkan X adalah 0 0 matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai Q XP = [ Z U V W. Maka a X adalah invers tergeneralisasi dari A jika dan hanya jika Z = B. b X adalah invers tergeneralisasi refleksif dari A jika dan hanya jika Z = B dan W = V BU. c X adalah invers tergeneralisasi lemah kanan dari A jika dan hanya jika Z = B, U = B P P + 2, dan W = V P P + 2. d X adalah invers tergeneralisasi lemah kiri dari A jika dan hanya jika Z = B, V = Q + 2 Q B, dan W = Q + 2 Q U. e X adalah invers semu dari A jika dan hanya jika Z = B, U = B P P + 2, V = Q+ 2 Q B, dan W = Q + 2 Q B P P + 2. P dan Q adalah matriks hasil operasi elementer baris dan kolom matriks A m n, sedangkan r adalah rank matriks A m n. Pada metode ini diasumsikan pergerakan naik-turunnya harga saham S dalam periode tertentu memiliki tiga kemungkinan pergerakan saja. Di dalam pasar saham berlaku suku bunga bank pada periodenya yaitu sebesar r. Dengan pergerakan naik-turunnya harga saham S, terdapat koefisien perubahan pergerakan tersebut yaitu a, a 2, dan a 3 dimana hubungan antara koefisien perubahan pergerakan naikturunnya harga saham adalah a > a 2 > a 3 [2. 2. Opsi pada Satu Periode Pada bagian ini akan ditentukan nilai opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode pertama. Misalkan harga saham S pada saat t = 0 adalah S 0 dan koefisien perubahan harga saham adalah a, a 2, dan a 3 dengan a > a 2 > a 3. Maka pada saat periode t =, harga saham akan berubah menjadi S dengan perubahan sebesar a S 0, a 2 S 0, dan a 3 S 0 dalam setiap pergerakan harga saham memiliki peluang sebesar p i i =, 2, 3, dimana p i = sehingga harga saham pada periode t =

3 Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial 33 dapat dituliskan dengan S = + a S 0, dengan peluang p, S = S 2 = + a 2 S 0, dengan peluang p 2, S 3 = + a 3 S 0, dengan peluang p Selanjutnya, misalkan C 0 adalah nilai opsi call pada saat t = 0 dan C adalah nilai opsi call pada t = yaitu pada akhir periode pertama.karena harga saham pada periode satu S memiliki tiga kemungkinan nilai, maka nilai opsi call pada saat t = juga memiliki tiga kemungkinan nilai. Sehingga nilai opsi call diakhir periode pertama adalah C = max { + a S 0 K, 0}, dengan peluang p, C = C 2 = max { + a 2 S 0 K, 0}, dengan peluang p 2, 2.2 C 3 = max { + a 3 S 0 K, 0}, dengan peluang p 3. Persamaan 2.2 juga merupakan fungsi pay off fungsi keuntungan dari opsi call bagi pembeli opsi call merupakan kewajiban bagi penerbit opsi untuk menyediakan dana sebesar C, C 2, dan C 3 diakhir periode t =. Oleh karena itu, penerbit opsi membentuk portofolio replikasi. Portofolio replikasi yang dibentuk terdiri dari saham γ dan tabungan β. Portofolio pada awal periode yaitu pada t = 0 adalah X 0. Nilai portofolio ini pada akhir periode pertama diharapkan sama dengan C. Portofolio ini disusun dalam bentuk γ lembar saham yaitu γs 0 dan dalam bentuk tabungan sebesar β yaitu X 0 = S 0 γ + β. Karena portofolio dibentuk dari penjualan opsi call pada awal periode t = 0 maka diperoleh hubungan X 0 = C 0. Pada akhir periode pertama t =, nilai porofolio akan menjadi X dan terdiri dari bentuk saham sebesar S γ dan dalam bentuk tabungan sebesar + rβ. Jadi, bentuk portofolio diakhir periode t =, yaitu X = S γ + + rβ. 2.3 Karena portofolio pada akhir periode diharapkan cukup untuk memenuhi kewajiban penerbit opsi kepada pembeli opsi maka diperoleh hubungan X = C. 2.4 Dari Persamaan 2.3, maka akan ditentukan nilai γ dan β agar Persamaan 2.4 terpenuhi. Nilai S akan berubah menjadi tiga kemungkinan nilai, sehingga nilai C juga mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu C, C 2, dan C 3. C = + a S 0 γ + + rβ, dengan peluang p, C = C 2 = + a 2 S 0 γ + + rβ, dengan peluang p 2, 2.5 C 3 = + a 3 S 0 γ + + rβ, dengan peluang p 3. Pada Persamaan 2.5, nilai γ dan β tidak diketahui. Untuk menentukan nilai γ dan β, persamaan 2.5 diubah menjadi matriks dengan pemisalan a = b, a 2 = c dan a 3 = a, sehingga diperoleh: [ γ = β S 0 + b + r S 0 + c + r S 0 + a + r C C C 3

4 34 Mika Alvionita, Riri Lestari Pada persamaan 2.6 terdapat matriks yang harus ditentukan inversnya. Karena jumlah baris dan kolom berbeda maka invers matriks ditentukan dengan invers semu pseudoinverse sesuai dengan Teorema.2. Dengan memanfaatkan Teorema.2 maka invers semu dari matriks tersebut yaitu 0 A + m n = S 0 + c + r = +r [ 0 0 2c + a b 2 S 0 c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc c + a 2b 2 S 0 c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc c 2a + b 2 2 c 2a+b c 2 ca+a 2 ab+b 2 bc 2 a bb c c 2 ca+a 2 ab+b 2 bc c 2 ca + a 2 ab + b 2 bcs 0 2 c2 bc + c 2b + a + a 2 ab + rc 2 ca + a 2 ab + b 2 bc 2 bc ca 2c + a2 + b + b 2 + a + rc 2 ca + a 2 ab + b 2 bc c 2a + b + c 2 ca ab + b rc 2 ca + a 2 ab + b 2 bc S 0 b c a b b c S 0 b c c a b c Setelah diperoleh nilai γ dan β maka nilai opsi pada awal periode pertama t = 0 bisa ditentukan, yaitu C 0 = [ S 0 [ γ β { C 2rb ra rc ab bc + a 2 + c 2 C 0 = 2 + rc 2 ca + a 2 ab + b 2 bc + C 22rc ra rb + b 2 + a 2 bc ac + rc 2 ca + a 2 ab + b 2 bc + C 32ra rb rc + c 2 + b 2 ac ab + rc 2 ca + a 2 ab + b 2 bc } 2.7 Pada penentuan harga opsi menggunakan metode trinomial diasumsikan Eρ i r = 0 sehingga diperoleh hubungan a p + a 2 p 2 + a 3 p 3 = r dan diketahui pula p + p 2 + p 3 =. Persamaan 2.5 dan Persamaan 2.6 diatas dapat dibentuk dalam bentuk matriks dan akan dicari nilai probabilitas untuk perubahan harga saham dengan menggunakan invers semu. Misalkan nilai a = b, a 2 = c, dan a 3 = a, maka p p 2 = p 3 [ b c a [ r 2.8

5 Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial 35 Dengan memanfaatkan Teorema.2 maka invers semu Persamaan 2.8 untuk nilai probabilitas tersebut yaitu c c a 0 A + b c b c m n = b a b 0 0 b c b c /2c a b + c /2 c 2 + ac ab + b 2 b + c b c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc b 2b + a + c ab bc + a 2 + c 2 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc A + m n = b 2c + a b 2 bc ac + a 2 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc c + 2a b 2 c 2 ac + a 2 + b 2 c 2 + ac b 2 + ab ab bc 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc Setelah diperoleh invers semu dari Persamaan 2.8 maka nilai probabilitasnya, yaitu 2rb ra rc ab bc + a 2 + c 2 p 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc p 2 = 2rc ra rb + b 2 + a 2 bc ac p 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc ra rb rc + c 2 + b 2 ac ab 2 c 2 ac + a 2 + b 2 ab bc Nilai p, p 2, dan p 3 merupakan probabilitas semu. Disebut sebagai probabilitas semu karena probabilitas yang didapatkan dari hubungan antara Eρ i r = 0 sehingga nilai probabilitas ini berada diantara 0 sampai. Dari harga opsi call pada Persamaan 2.6 dan probabilitas semu pada persamaan 2.9 maka { C 2rb ra rc ab bc + a 2 + c 2 } C 0 = 2 c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc + r { C 22rc ra rb + b 2 + a 2 } bc ac + 2 c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc + r { C 2ra rb rc + c 2 + b 2 } ac ab + = = 2 + r c 2 ca + a 2 ab + b 2 bc + r 3 C i p i i= + r i!j! i j! i=0 j=0 + a 2 j + a 3 i j S 0 K p i p j 2 p i j 3 max { 0, + a i berlaku untuk i + j. 2.0 Persamaan 2.0 diatas merupakan rumus harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode pertama. Kemudian akan ditentukan hubungan antara a i i =, 2, 3 dan r. Dalam menentukan hubungan a i dan r menggunakan penurunan dari asumsi Eρ i r = 0. Dari penurunan

6 36 Mika Alvionita, Riri Lestari asumsi Eρ i r = 0 dan p + p 2 + p 3 = maka akan diperoleh hubungan antara p dan p 2 sebagai berikut: p 2 = r a 3 + a 3 a p > 0, a 2 a 3 a 2 a 3 a 2 a 3 < 0 r a 3 + a 3 a p 0, 0 a 3 r <. a 3 a Kemudian, ditentukan hubungan p 3 dan p Jadi, hubungan a i dan r yaitu p = r a 2 + a 2 a 3 p 3 > 0, a + a 2 a a 2 a a 2 < 0 r a 2 + a 2 a 3 p 3 0, 0 a 2 r <. a 2 a 3 a 3 < 0 r a 2 < a. 3. Opsi pada Dua Periode Pada bagian sebelumnya telah diperoleh harga opsi call tipe Eropa dengan menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada periode pertama. Selanjutnya akan ditentukan harga opsi call tipe Eropa yang jatuh tempo pada akhir periode kedua. Misalkan harga saham S pada saat t = 0 adalah S 0 dan koefisien perubahan harga saham adalah a, a 2, dan a 3 dengan a > a 2 > a 3. Dengan melakukan tahapan yang sama sesuai dengan opsi satu periode maka akan diperoleh nilai opsi call yang jatuh tempo pada periode kedua, yaitu C 2 = + a 2 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p 2 C 2 2 = + a + a 2 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p p 2 C 2 3 = + a + a 3 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p p 3 C 2 2 = + a + a 2 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p p 2 C 2 = C 2 22 = + a 2 2 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p 2 2 C 2 23 = + a 2 + a 3 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p 2 p 3 C 2 3 = + a + a 3 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p p 3 C 2 32 = + a 2 + a 3 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p 2 p 3 C 2 33 = + a 3 2 S 0 γ + + r 2 β, dengan peluang p 2 3 Kemudian akan ditentukan nilai C 0 dengan memperhatikan hubungan C 0, C, dan C 2. Hubungan antara C i dan C 2 ij dapat dibentuk harga opsi call pada akhir periode kedua yaitu: C = + r C 2 p + C 2 2 p 2 + C 2 3 p 3. C 2 = + r C 22 p + C 2 22 p 2 + C 2 23 p C 3 = + r C 23 p + C 2 32 p 2 + C 2 33 p 3.

7 Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial 37 Jadi, harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial pada dua periode dengan memandang γ dan β memiliki fungsi yang sama di setiap periodenya, sebagai berikut: C 0 = 2 { max 0, + a 2 S 0 K } p 2 + r + max {0, + a + a 2 S 0 K} p p 2 + max {0, + a + a 3 S 0 K} p p 3 + max {0, + a 2 + a S 0 K} p 2 p + max { 0, + a 2 2 S 0 K } p max {0, + a2 + a 3 S 0 K} p 2 p 3 + max {0, + a 3 + a S 0 K} p 3 p + max {0, + a 3 + a 2 S 0 K} p 3 p 2 + max { 0, + a 3 2 S 0 K } p C 0 = 2! + r i!j!2 i j! i=0 j=0 p i p j 2 p2 i j 3 max{0, + a i + a 2 j + a 3 2 i j S 0 K} berlaku untuk i + j 2. Persamaan diatas merupakan rumus harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode kedua Opsi pada n Periode Misalkan S n adalah harga saham pada periode ke-n dengan a, a 2, dan a 3 koefisien perubahan harga saham. Hubungan antara S n dan S n dinyatakan oleh S n W, W 2,, W n, a i = a i S n W, W 2,, W n dengan S n W, W 2,, W n, a i adalah perubahan harga saham yang dipengaruhi oleh koefisien perubahan harga saham sebesar a i, dengan i =, 2, 3. Harga opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode ke-n dengan strike price K adalah C n W, W 2,, W n = max {S n W, W 2,, W n K, 0} Portofolio replikasi yang dibentuk oleh penerbit opsi call pada awal periode pertama cukup untuk memenuhi kewajiban penerbit opsi kepada pembeli opsi pada akhir periode ke-n sehingga diperoleh hubungan X n W, W 2,, W n = C n W, W 2,, W n sedangkan hubungan antara nilai portofolio X n dan X n dinyatakan oleh C n W, W 2,, W n, a i = dimana i =, 2, 3. n C n p + C n p 2 + C n p 3 + r

8 38 Mika Alvionita, Riri Lestari Secara rekursif harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode ke-n diperoleh sebagai berikut. n n n C 0 = n! p i + r i!j!n i j! p j 2 pn i j 3 max { 0, + a i i=0 j=0 + a 2 j + a 3 n i j S 0 K } 4. berlaku untuk i + j n. 5. Harga Opsi Call yang Jatuh Tempo pada Akhir Periode ke-n Saham ABC diperdagangkan di bursa dengan harga R p 7.000, 00 perlembar. Ade membeli satu opsi call untuk satu lembar saham ABC dan jatuh tempo dalam satu bulan kedepan. Harga exercise opsi call tersebut sebesar R p 8.000, 00 serta suku bunga sebesar 7%. Koefisien perubahan pergerakan naik-turunnya berikut. n C 0 n C 0 n C 0 R p.042, R p 5.798, 00 5 R p 6.992, 00 2 R p.980, R p 6.43, R p 6.995, 00 3 R p 2.870, R p 6.389, R p 6.99, 00 4 R p 3.688, R p 6.564, R p 6.997, 00 5 R p 4.499, R p 6.689, R p 6.998, 00 6 R p 5.28, R p 6.779, R p 6.999, 00 7 R p 6.006, R p 6.842, R p 6.999, 00 8 R p 6.70, R p 6.887, R p 6.999, 00 9 R p 7.35, R p 6.920, R p 6.999, 00 0 R p 7.960, R p 6.943, R p 7.000, 00 5 R p 0.50, R p 6.959, R p 7.000, R p 2.360, R p 6.97, R p 7.000, R p , R p 6.979, R p 0, R p 4.637, R p 6.985, R p 0, R p 0 R p 6.989, R p 0, 00 Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa harga opsi call yang jatuh tempo pada saat periode ke-75 sampai periode ke-n dari saham ABC adalah R p 0, 00 karena harga opsi call diakhir periode telah melebihi strike price. Oleh sebab itu harga opsi call tidak digunakan. 6. Kesimpulan dan Saran Harga opsi call tipe Eropa dengan menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode ke-n dapat dirumuskan dengan n n n C 0 = n! p i + r i!j!n i j! p j 2 pn i j 3 max { 0, + a i i=0 j=0 + a 2 j + a 3 n i j S 0 K } berlaku untuk i + j n.

9 Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial 39 Pada penulisan jurnal ini, harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial dengan tiga kemungkinan perubahan harga saham yang merupakan fokus pembahasan. Setiap perubahan harga saham dipengaruhi oleh koefisien naik turunnya harga saham. Koefisien naik turun harga saham relatif sama dengan suku bunga. Selanjutnya untuk penelitian berikutnya dapat dibahas penentuan harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial dengan koefisien naik-turun harga saham berbeda dengan suku bunga. 7. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Bapak Dr. Admi Nazra dan Ibu Radhiatul Husna, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [ Korn O. dan Koziol C Bond Portfolio Optrimization A Risk-Return Approach, The Journal of Fixed Income [2 Kwok, Yue-Kuen Mathematical Models of Financial Derivatives. Second Edition. Springer, Singapore [3 Ross, M.S Introduction To Mathematical Finance: Option and Other Topics. Cambridge University Press, Cambridge [4 Schoot, J.R Matrix Analysis for Statistics. A Wiley Interscience Publication, New York [5 Thomas, L.B dan P.L. Odell. 97. Generalized Inverse Matrices. John Wiley dan Sons. Inc, United States of America