TEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI

Transkripsi

1 EKNIK INFORMIK FENI NDRINI

2 Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a... a n a a... a n... a a... a m m mn Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

3 Operasi Matriks. Operasi Kesamaan Dua matriks dan B disebut sama, jika: a) dan B sejenis b) Setiap unsur yang seletak sama.,c,b = B, C, B C

4 . Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur, dimana terdapat hubungan:. ij c ij b ij a ij c ij c,c ij b,b ij a 9 5,C 5,B C B

5 Sifat-sifat penjumlahan: Komutatif : + B = B + ssosiatif : + (B + C) = ( + B) + C. Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ). a ij, maka = a. ij

6 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar. ( + B) = + B. ( + β ) = + β. (β ) = β

7 . Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p, maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur: c a b a ij i j n c a b ij k ik kj b i j a b... i j a b in nj

8 Catatan: Perkalian matriks B dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks = banyaknya baris matriks B. Hasil kali dua matriks B adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya B B Contoh:, B, C xb x x x

9 terdefinisi tdk xb C B, 5 x x

10 Macam-macam matriks. Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 5,B. Matrik satuan/ matriks identitas Matriks bujur sangkar Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 5 5 9

11 Contoh :,I I.I = I. I.I = I. Matriks segitiga Matriks bujursangkar Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

12 Contoh : 7,B Matriks ranpose idak perlu bujursangkar Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

13 Contoh : 7 5,B ~ 7 5 B, ~

14 Sifat-sifat matriks transfose.( B) B.( ). λ( ) λ.(b) B

15 Contoh B (B) B,B (B) B,B

16 5. Matriks simetris Matriks disebut simetris apabila Matriks Bujur sangkar Contoh ~, 7 7 8

17 6. Matriks skew simetris Matriks disebut matriks skew simetri jika Bujur sangkar Contoh ~ 7 7,

18 Matriks Skew simetris ~, maka a ij a ji Untuk I = j maka a ii a a ii ii Jadi diagonal utama matriks skew simetris =

19 7. Matriks Diagonal Matriks bujursangkar Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama 5

20 9. Matriks Nol idak perlu matriks bujur sangkar Semua unsurnya nol. = + =.B =, apakah =?atau B =? atau keduaduanya nol

21 ransformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H () ij Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis ij K () Memperkalikan baris ke i dengan skalar, ditulis () H i () () Memperkalikan kolom ke i dengan, ditulis i K () Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H () ij ()

22 Menambah kolom ke i dengan () K ij () kali kolom ke j,ditulis Kadang untuk operasi () dan () dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan ( ) kali baris ke j, ditulis H ( ) i j () Demikian pula untuk untuk operasi () dan () Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)

23 Contoh: Carilah B tersebut.. elementer sederetan transformasi B yang dihasilkan carilah matrik () K () K H H H (),K () K,,H (),H (-) H ) ( ) (,

24 Jika suatu transformasi elementer adalah: = H - (B) = H (B) ij ij = K - ij (B) = K ij (B) () - / = H (B) = H (B) i i () - i ( ) / = K i (B) = K (B) () - () - ( ) = H (B) = H (B) = K (B) = K (B) ij ij ij ij

25 Carilah,K,K,H :H turut - berturut elementer transformasi sederetan dengan dari,diperoleh 6 B H ) ( H K (/) K () () Contoh

26 Penggunaan OBE Mencari Rank Matriks dalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) Mecari invers matriks OBE - ( :I ) ( I: )

27 Contoh.Cari rank matriks dari ) ( ) ( H H - ) ( () H - () () H - Maka rank matriks =

28 Misalkan det = := ad-bc Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar Untuk order lebih dari, digunakan pengertian minor dan kofaktor. Ilustrasi: Minor komponen Kofaktor komponen adalah adalah

29 Dengan cara yang sama diperoleh Menentukan tanda + atau pada kofaktor, diperhatikan skema berikut : Diperoleh Definisi determinan matriks x : Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks.

30 Secara umum untuk matriks n x n: tau dalam bentuk tau dalam bentuk Contoh : Cara cerdas: pilih kolom kedua Pilih lagi kolom kedua

31 Misalkan matriks n x n dengan kofaktor a ij adalah C ij maka matriks Contoh: disebut matriks kofaktor dari, dan transposenya disebut adjoint, ditulis adj(). Kofaktor :

32 Invers matiks adalah Contoh: diperhatikan kembali matriks sebelumnya, mudah diperoleh det() = 6, jadi

33 Misalkan SPL x = b maka dimana j adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke j matriks dengan vektor b. Contoh: Diperoleh Penyelesaiannya

34 REFERENSI nton, Howard,, Elementary Linear lgebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York. Vanstone, Scott. and van Oorschot, Paul C., 989, n Introduction to Error Correcting Codes with pplications, Kluwer cademic Publishers, Massachusetts, US.