TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
|
|
|
- Suryadi Hermawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
2 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Kecekungan Fungsi 4 Asimtot 5 Sketsa Kurva 6 Masalah Pengoptimuman (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
3 Nilai Maksimum dan Minimum Beberapa Aplikasi Turunan Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi Formasi, lokasi, dan warna pelangi Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
4 Nilai Maksimum dan Minimum Nilai Ekstrim Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
5 Nilai Maksimum dan Minimum Nilai Maksimum dan Minimum Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak) Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal D f. f memiliki maksimum mutlak (global) di c D f jika f (c) f (x) untuk setiap x D f f (c) disebut nilai maksimum f pada D f. f memiliki minimum mutlak di c D f jika f (c) f (x) untuk setiap x D f f (c) disebut nilai minimum f pada D f. Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
6 Nilai Maksimum dan Minimum Ilustrasi Nilai Ekstrim (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
7 Nilai Maksimum dan Minimum Contoh (Ekstrim Mutlak) 1 f (x) = x memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karena f (0) = 0 f (x), x D f. 2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 f (x), x D f. Nilai minimum mutlaknya adalah 1. 3 f (x) = x 3 tidak memiliki ekstrim mutlak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
8 Nilai Maksimum dan Minimum (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
9 Nilai Maksimum dan Minimum Syarat Cukup Nilai Ekstrim Teorema (Nilai Ekstrim) Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b]. Jika f kontinu pada [a, b], maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak. Jika f tidak kontinu pada [a, b], maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
10 Nilai Maksimum dan Minimum Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
11 Nilai Maksimum dan Minimum Maksimum, Minimum Lokal Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal) Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di c D f jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga f (c) f (x) untuk setiap x (a, b) D f. Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di c D f jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga f (c) f (x) untuk setiap x (a, b) D f. Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
12 Nilai Maksimum dan Minimum Ilustrasi Ekstrim Lokal (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
13 Nilai Maksimum dan Minimum Contoh (Ekstrim Lokal) 1 f (x) = x memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena pada interval buka I yang memuat 0, f (0) f (x), x I. 2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena pada interval terbuka I yang memuat 2nπ, f (2nπ) f (x), x I. Nilai minimum lokalnya adalah cos((2n + 1) π) = 1. 3 f (x) = x 3 tidak memiliki ekstrim lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
14 Nilai Maksimum dan Minimum Bilangan Kritis Definisi (Bilangan Kritis) Titik c D f sehingga f (c) = 0 disebut titik stasioner. Titik c D f sehingga f (c) tidak ada disebut titik singular. Titik c D f yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner, dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsi f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
15 Nilai Maksimum dan Minimum Contoh Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut 1 f (x) = x (1 x). x 2, 1 x < 0 2 f (x) = x 2 2x, 0 x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
16 Nilai Maksimum dan Minimum Soal (Bilangan Kritis) Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut: 1 f (x) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + 1 (jawab: tidak ada bil. kritis) 2 g (x) = 2x 5 (x = 5/2) 3 h (x) = x 1/3 x 2/3 (x = 2) 4 f (x) = 3 x 2 x (x = 0, 1/2, 1) 5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n + 1) π, n : bil. bulat) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
17 Nilai Maksimum dan Minimum Teorema (Teorema Fermat) Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f. Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f. Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal. Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan nilai ekstrim lokal. Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titik stasioner, atau titik singular. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
18 Nilai Maksimum dan Minimum Contoh 1 f (x) = x 2 f (0) nilai minimum lokal, f (x) = 2x f (0) = 0 0 adalah bilangan kritis. 2 f (x) = x f (0) nilai minimum lokal, f (0) tidak ada 0 adalah bilangan kritis. 3 f (x) = x 3 f (0) = 0 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0) bukanlah ekstrim lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
19 Nilai Maksimum dan Minimum Di mana Ekstrim Mutlak Terjadi? (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
20 Nilai Maksimum dan Minimum Menentukan Ekstrim Mutlak Metode Selang Tutup Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b]. Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara: Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada [a, b] (titik ujung, titik stasioner, titik singular) Evaluasi f pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
21 Nilai Maksimum dan Minimum Soal (Ekstrim Mutlak) Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada selang yang diberikan. 1 f (x) = x 3 3x + 1, [0, 3] (jawab: f (1) = 1 min, f (3) = 19 maks) 2 f (x) = x, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks) x x ; 2 x < 1 3 f (x) = x 2 ; 1 x 1 x ; 1 < x 3 (f ( 2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min) 4 f ((x) = sin x + cos x, [0, π/3] f (0) = 1 min, f (π/4) = ) 2 maks (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
22 Nilai Maksimum dan Minimum Identifikasi Nilai Ekstrim Soal (Identifikasi Nilai Ekstrim) Berdasarkan grafik fungsi f berikut, tentukanlah: i) titik ujung, ii) titik stasioner, iii) titik singular, iv) nilai maksimum/minimum mutlak, v) nilai maksimum/minimum lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
23 Teorema Nilai Rataan (TNR) Teorema (Teorema Nilai Rataan) Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada interval tertutup [a, b], ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b), maka ada sedikitnya satu bilangan c (a, b) sehingga f (c) = f (b) f (a) b a (1) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
24 Teorema Nilai Rataan (TNR) Contoh (TNR) Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x 3 + x 1 pada selang [0, 2]. Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
25 Teorema Nilai Rataan (TNR) Soal (Teorema Nilai Rataan 1) 1 Diberikan f (x) = x 1/3. Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada ( interval [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). jawab: c = ) Diketahui fungsi f dengan f (x) = x. Periksa apakah fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada interval i) [0, 4], ii) [ 1, 4]. Jika memenuhi, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). 3 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam. 4 Jika f (0) = 5 dan f (x) 3 untuk x [0, 2], seberapa kecilkah nilai f (2) yang mungkin? (jawab: 11) 5 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px 2 + qx + r, p = 0, maka ada bilangan c [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari interval [a, b]. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
26 Turunan dan Bentuk Grafik Fungsi Naik dan Turun Kemonotonan Fungsi Definisi Andaikan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). f naik pada I, x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), x 1, x 2 I f turun pada I, x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), x 1, x 2 I (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
27 Turunan dan Bentuk Grafik Turunan I dan Fungsi Naik/Turun Kemonotonan Fungsi Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun) Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiap titik-dalam dari I. Jika f (x) > 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f naik pada I. Jika f (x) < 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f turun pada I. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
28 Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun) 1 Tentukan interval-interval di mana f naik/turun bagi fungsi: i) f (x) = x 3 ii) f (x) = x 2/3 iii) f (x) = x 1/3 (x 4) 2 Gunakan Teorema Nilai Rataan untuk membuktikan teorema tentang turunan I dan fungsi naik/turun. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
29 Turunan dan Bentuk Grafik Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal Kemonotonan Fungsi Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal) Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f, dan f terturunkan pada setiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerak melewati c dari kiri ke kanan: 1 Jika f berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal. 2 Jika f berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. 3 Jika f tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
30 Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
31 Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Contoh Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan f (x) = x 1/3 (x 4). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
32 Turunan dan Bentuk Grafik Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal Kemonotonan Fungsi Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal) Andaikan fungsi f kontinu pada interval terbuka yang memuat c. 1 Jika f (c) = 0 dan f (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal. 2 Jika f (c) = 0 dan f (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. 3 Jika f (c) = 0 dan f (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
33 Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
34 Turunan dan Bentuk Grafik Ilustrasi Kecekungan Fungsi Kecekungan Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
35 Kecekungan Fungsi Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Definisi (Kecekungan) Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada interval I jika grafik f terletak di atas garis singgung pada interval I, cekung ke bawah pada interval I jika grafik f terletak di bawah garis singgung pada interval I. Cara lain melihat kecekungan: cekung ke atas pada interval terbuka I jika f naik pada I, cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f turun pada I. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
36 Turunan dan Bentuk Grafik Uji Turunan II Bagi Kecekungan Kecekungan Fungsi Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan) Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I. Jika f (x) > 0 untuk setiap x I, maka f naik pada I dan f cekung ke atas pada I, Jika f (x) < 0 untuk setiap x I, maka f turun pada I dan f cekung ke bawah pada I. Definisi (Titik Belok) Titik P (c, f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan f mengalami perubahan kecekungan di P. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
37 Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Teorema (Titik Belok) Jika titik (c, f (c)) merupakan titik belok, maka f (c) = 0 ataukah f (c) tidak ada Menentukan Titik Belok Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x), hitung f (x), cari bilangan c sehingga f (c) = 0 atau f (c) tidak ada, selidiki perubahan tanda f (x) di c. Titik (c, f (c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f (x) di c. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
38 Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Contoh 1 Diberikan fungsi f dengan f (x) = x 4 4x Tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f. 2 Perlihatkan bahwa jika f (x) = x 4, maka f (0) = 0, tetapi (0, 0) bukan titik belok dari grafik f. 3 Perlihatkan bahwa fungsi g dengan g (x) = x x mempunyai titik belok pada (0, 0) tetapi g (0) tidak ada. 4 Andaikan fungsi f dan g keduanya cekung ke atas pada R. Berikan syarat bagi f, agar fungsi komposit h (x) = f (g (x)) cekung ke atas. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
39 Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Soal Jika ada, tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f, 1 f (x) = (x 1) 3 2 f (x) = x 1/ f (x) = x/ (1 + x) 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
40 Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
41 Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Soal Berdasarkan grafik f berikut, tentukanlah 1 interval f naik/turun dan ekstrim lokal, 2 interval f cekung ke atas/bawah dan titik belok. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
42 Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok Untuk fungsi f dengan y = f (x) : Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) ordinat y Bilangan kritis f : x = b absis x Titik belok f : (c, f (c)) koordinat (x, y) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
43 Jenis Asimtot Asimtot 1 Asimtot tegak 2 Asimtot datar 3 Asimtot miring (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
44 Asimtot Definisi (Asimtot Tegak) Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika lim x a ±f (x) = ± (2) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
45 Asimtot Definisi (Asimtot Datar) Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika lim f (x) = L (3) x ± (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
46 Asimtot Definisi (Asimtot Miring) Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika lim [f (x) (mx + b)] = 0 (4) x ± (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
47 Asimtot Teorema Misalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka asalkan x r terdefinisi. lim x ± 1 x r = 0 (5) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
48 Asimtot Penentuan Asimtot Fungsi Rasional Diberikan fungsi rasional r (x) = p 1 (x) p 2 (x) = c nx n + c n 1 x n c 0 k m x m + k m 1 x m k 0 1 Garis x = a dengan p 2 (a) = 0 dan p 1 (a) = 0 merupakan asimtot tegak. 2 Kasus n < m garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar. 3 Kasus n = m garis y = c n /k m merupakan asimtot datar. 4 Kasus n = m + 1 r (x) = (mx + b) + sisa. Garis y = mx + b merupakan asimtot miring. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
49 Asimtot Soal (Asimtot) Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi (1 3) berikut: 1 f (x) = 2x + 3 x 1 2 f (x) = 2x3 x x 2 x 6 4x2 1 3 f (x) = x 2 4 Carilah rumus bagi fungsi f yang memiliki asimtot tegak x = 1 dan x = 2, serta asimtot datar y = 3. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
50 Sketsa Kurva Sketsa Kurva Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x) 1 Identifikasi daerah asal D f, titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi. 2 Identifikasi asimtot fungsi. 3 Tentukan f (x) Identifikasi bilangan kritis. Identifikasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal. 4 Tentukan f (x) Identifikasi interval kecekungan fungsi, titik belok. 5 Gambar sketsa grafik f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
51 Sketsa Kurva Contoh Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f (x + 1)2 dengan f (x) = 1 + x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
52 Sketsa Kurva Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1) Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut: 1 f (x) = x 3 3x 2 + 5, f (x) = 3x (x 2), f (x) = 6 (x 1) 2 f (x) = x 1/3 (x 4), f 4 (x 1) (x) =, f 4 (x + 2) (x) = 3x 3 2 9x f (x) = x x 2 4, f 6x (x) = 2 (x 3 + 1) 2, f (x) = 12x ( 2x 3 1 ) (x 3 + 1) 3 4 f (x) = x3 1 x 3 + 1, f (x) = 5 xy = x 2 + x f (x) = x + 1 x2 + 1, f (x) = x 1 7 f (x) = sin x x 6x 2 (x 3 + 1) 2, f (x) = 12x (x 2 + 1) 3 2 ( 2x 3 1 ) (x 3 + 1) 3, f (x) = 2x2 + 3x + 1 (x 2 + 1) 5 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
53 Sketsa Kurva Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2) Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut: i) g kontinu pada R {0} ii) g (x) > 0 untuk x R {0} iii) g ( 2) = g (2) = 3 iv) lim [g (x) x] = 0 x g (x) = 2, lim v) lim x 0 + x g (x) = lim x 0 g (x) = (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
54 Sketsa Kurva Soal (Terapan Asimtot dan Sketsa Grafik) Sebuah tangki berisi liter air murni. Air asin yang mengandung 30 gram garam tiap liter air dipompakan ke dalam tangki pada laju 25 liter / menit. (a) Tunjukkan bahwa konsentrasi garam setelah t menit adalah C (t) = 30t (gram / liter). t (b) Buat sketsa grafik fungsi konsentrasi garam. (c) Tentukan konsentrasi garam dalam jangka waktu yang panjang (t ). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
55 Masalah Pengoptimuman Masalah Pengoptimuman Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman atau peminimuman suatu permasalahan. Langkah-langkah pemecahan masalah: pahami permasalahan, formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi, tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
56 Masalah Pengoptimuman Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak Teorema Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c), dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak. Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah pengoptimuman. Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisi pada suatu interval. 1 Jika f (x) > 0 untuk setiap x < c dan f (x) < 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f. 2 Jika f (x) < 0 untuk setiap x < c dan f (x) > 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
57 Masalah Pengoptimuman Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
58 Masalah Pengoptimuman Soal (Disain Kotak Terbuka) Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8 8 cm 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
59 Masalah Pengoptimuman Soal (Disain Kaleng Minuman) Jawab: h = 2r (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
60 Masalah Pengoptimuman Soal (Pembangunan Jalan Tol) Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km). Jawab: C = 5/ 3 km dari O. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
61 Tentang Slide Masalah Pengoptimuman Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDF L A TEX) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi
5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:
PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: 1. f c adalah nilai maksimum f pada S jika f c f x untuk semua x di S;. f c adalah nilai minimum f
5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
5. Aplikasi Turunan 1
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
KED PENGGUNAAN TURUNAN
6 PENGGUNAAN TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 1 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Menerapkan konsep dasar turunan fungsi dalam menentukan karakteristik grafik fungsi dan menggambarkan grafik Materi : 6.1
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I/KALKULUS
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I/KALKULUS Selasa, 3 Maret 004 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0, KECUALI NOMOR 8. Diketahui fungsi f dengan f() =. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1
Jurusan Matematika FMIPA IPB UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Sabtu, 4 Maret 003 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan: (a) (b) x sin x x + 1 ; x (cos (x 1)) :. Diberikan fungsi
TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)
Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin
Matematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN
Kalkulus Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Menggambar Grafik Fungsi : Gambarlah grafik dari fungsi berikut! 4 f ( ) Beberapa informasi yang diperlukan untuk mengambar grafik dari fungsi tersebut adalah sebagai
TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
TEOREMA UJI TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id UJI TURUNAN I-ekstrim relati Andaikan kontinu pada selang (a,b), yang memuat titik kritis c : (i)
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 999 Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0. Misalkan diketahui fungsi f dengan ; 0 f() = ; < 0 Gunakan de nisi turunan untuk memeriksa aakah f 0 (0)
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Hendra Gunawan. 9 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 9 Oktober 013 Sasaran Kuliah Hari Ini 34Masalah 3.4 Maksimum dan Minimum Lanjutan Memecahkan masalah maksimumdan minimum. 3.5 Menggambar Grafik Fungsi
AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...
BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id ungsi genap & ungsi ganjil Fungsi yang berbentuk (-)=() disebut ungsi genap yang graiknya simetri
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga
Hendra Gunawan. 4 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yg Lalu) 1. Tentukan pada selang mana grafik fungsi f(x) = x 3 2x 2 + x + 1 naik atau turun. Tentukan pula pada
Bagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Rencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika diberikan suatu fungsi f dan daerah asal S seperti gambar di samping.
(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa
1. Fungsi Objektif z = ax + by
Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5
TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6
MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
BAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I
186 LAMPIRAN V LKS 1 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Persamaan Garis Singgung Kurva : Menggunakan konsep limit fungsi dan
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
BAB I PENDAHULUAN Latar belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Dua orang Perancis telah berjasa untuk gagasan tentang sistem koordinat. Pieree Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada tahun 169 dia menulis
Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Kalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
SATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. 1. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva. 2. Tentukan pers garis normal (PGN) pada kurva
JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva y 4x % 7x + 5 di titik (, ) x y 4( ) % 7( ) + 5 oke y 5 8x 7 m 8( ) 7 5 y 5(x + ) y 5x 5 y 5x +. Tentukan pers garis
Hendra Gunawan. 11 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 11 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Dengan memperhatikan: daerah asal dan daerahhasilnya, titik titik potong dengan sumbu koordinat, asimtot
MATERI KALKULUS. y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=f'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x)
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Kalkulus Oleh : ardi meridian herdiansyah MATERI KALKULUS KALKULUS 1 MODUL 6 V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI ) 5.1. Pengertian Diketahui y = F(x) suatu
Open Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika bersifat universal dan banyak kaitannya dengan kehidupan nyata. Matematika berperan sebagai ratu ilmu sekaligus sebagai pelayan ilmu-ilmu yang lain. Kajian
Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS
FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso December 14 th, 2011 Yogyakarta Maximum-minimum Misalkan S adalah suatu interval yang merupakan domain dari fungsi f dan S memuat c. Nilai f (c) disebut
BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3
Silabus. Sekolah : : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi. Kegiatan Pembelajaran. Kompetensi Dasar.
Silabus Sekolah : Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI/ Ilmu Sosial Semester : II (Genap) Standar Kompetensi : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi : 35 x 45 Menit Kompetensi
Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =.
1. Jika f ( x ) sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ). a. 2 b. 2 c. d. e. 2. Diketahui f(x) sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x). a. 6 sin² (3 2x) cos (3 2x) b. 3 sin² (3 2x) cos (3 2x) c. 2
BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN
BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN (Pertemuan ke 9 & 10) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini ang dibahas adalah tentang nilai maksimum dan minimum, kemonotonan dan kean kurva, serta maksimum dan minimum
Hendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:
Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)
Definisi. Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk ( ) ( ) x < x f x > f x, x, x I. monoton turun pada interval I jika untuk
Definisi. Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk x < x f x < f x, x, x I ( ) ( ) 1 1 1 monoton turun pada interval I jika untuk x < x f x > f x, x, x I. ( ) ( ) 1 1 1 Fungsi monoton
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI
SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI Peserta didik memilki kemampuan memahami konsep pada topik turunan fungsi aljabar. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual pada topik
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Catatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan
Catatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan Optimisasi Ilmu ekonomi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana melakukan penelitian yang terbaik
Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
LATIHAN TURUNAN. Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai. 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f (0) =.
LATIHAN TURUNAN http://www.banksoalmatematikcom Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai 1. Jika f() = ² ( + π/6 ), maka nilai f (0) =. b. c. ½ ½ Soal Ujian Nasional tahun 007. Turunan pertama dari
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):