PENERAPAN PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN PADA MASALAH PERIKLANAN OCTAVINA TRISTIANI

Transkripsi

1 PENERAPAN PRINSIP MAKSIMUM PONRYAIN PADA MASALAH PERIKLANAN OCAVINA RISIANI DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOOR BOOR 9

2 ABSRAC OCAVINA RISIANI. Application of Pontryagin s maximum principle in adertising problem. Superised by ONI BAKHIAR and ALI KUSNANO. Adertising is a kind of commercial communication and non-personal promotion about ideas, goods or serices paid by one or more sponsors. o make an adertising, a company must pay some additional cost. hus, it generates new problems, because in general a company will attempt to maximize the present alue of profit with some constraints. o maximize the present alue, the company should make a right adertising policy. his paper discusses adertising capital models with two types of adertising, namely adertising directed toward existing customers and that toward new customers. Adertising toward existing customers aims to preent existing customers from forgetting the product and switch to other brands. On the other hand, adertising toward new customers aims to proide more information about the underlying product in order to conince new customers to start to consume the products. he constraint in this model is the goodwill or image of the company itself, which can be controlled by allocation cost to perform adertising directed toward existing and new customers. he problem is formulated in optimum control framework and undertaken by applying Pontryagin s maximum principle. In this work, the stability analyses of the solution is proided, accompanied by its numerical solution, and deried from a set of ordinary differential equations. If allocation cost to make adertising toward existing customers is zero, then goodwill will be low so that the yields obtained cannot coer the adertising cost. herefore, to obtain the maximum present alue of profit, only adertising toward new customers is applied, when the goodwill is low. Whereas, if there are some positie allocation cost to make adertising toward new customers, then the goodwill will be high, so that both types of adertising can be applied. Keywords: Optimum control, Pontryagin s maximum principle.

3 ABSRAK OCAVINA RISIANI. Penerapan prinsip maksimum Pontryagin pada masalah periklanan. Dibawah bimbingan ONI BAKHIAR dan ALI KUSNANO. Iklan merupakan komunikasi komersial dan promosi non-personal tentang gagasan, barang atau jasa yang dibayar oleh satu sponsor atau pihak tertentu. Untuk membuat sebuah iklan, perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan. Hal ini membuat permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya sebuah perusahaan akan berorientasi bagaimana memaksimumkan keuntungan dengan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu kebijakan perusahaan yang tepat sehingga dapat memaksimumkan keuntungan. Karya tulis ini membahas model periklanan kapital dengan dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang garis besar sebuah produk sehingga meyakinkan pelanggan baru agar mengkonsumsi produknya. Kendala yang terdapat dalam model ini adalah citra perusahaan itu sendiri, kendala tersebut bisa dikontrol dengan besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan baru maupun besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama. Permasalahan yang ditampilkan akan diformulasikan dalam bentuk kontrol optimum dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan dari titik tetap. Jika biaya yang dialokasikan dalam membuat periklanan yang ditujukan untuk pelanggan lama sama dengan nol, maka citra perusahaan akan rendah sehingga imbal hasil yang diperoleh tidak dapat menutupi biaya yang dikeluarkan perusahaan dalam membuat iklan. Oleh karena itu untuk memperoleh keuntungan maksimum ketika citra perusahaan rendah, hanya iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru saja yang akan dibuat. Sedangkan jika biaya yang dialokasikan dalam membuat periklanan yang ditujukan untuk pelanggan lama bernilai positif maka citra perusahaan akan tinggi, sehingga baik iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama maupun pelanggan baru dapat dibuat. Kata kunci : Kontrol optimum, Prinsip maksimum Pontryagin.

4 PENERAPAN PRINSIP MAKSIMUM PONRYAIN PADA MASALAH PERIKLANAN OCAVINA RISIANI Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOOR 9

5 Judul Skripsi : Penerapan prinsip maksimum Pontryagin pada masalah periklanan Nama : Octaina ristiani NIM : Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. oni Bakhtiar, M. Sc. Drs. Ali Kusnanto, M. Si. NIP : NIP : Mengetahui: Ketua Departemen, Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP : anggal Lulus :

6 RIWAYA HIDUP Penulis dilahirkan di Purwokerto pada tanggal 3 Oktober 987 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN Cipinang Besar Utara Pagi Jakarta lulus pada tahun 999, SLP Negeri 98 Jakarta lulus pada tahun, SMU Negeri Jakarta lulus pada tahun 5, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut pertanian Bogor melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). ahun pertama penulis memasuki ingkat Persiapan Bersama (PB) dan pada tahun 6, penulis mengikuti program Mayor-Minor dengan Mayor Matematika dan Minor Statistika Industri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan umatika sebagai bendahara Departemen SOSINKOM IPB 6/7. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan oleh umatika antara lain Dekdok Matematika Ria tahun 7, dan Panitia ry Out SPMB.

7 KAA PENANAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SW atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:. Keluarga tercinta atas semua semangat dan dukungannya. Buat Mama (terima kasih atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan serta kasih sayangnya), Papa (terima kasih atas doa dan dukungannya), Ayyu dan Ria (terima kasih untuk semua doa, semangat, serta dukungannya).. Dr. oni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motiasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, saran, motiasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 5. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 6. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Pa Yono, Mas Heri. 7. Seseorang yang pernah menjadi inspirasi untuk membuktikan bahwa saya akan selalu belajar menjadi lebih baik dan lebih dewasa lagi, dan mampu berdiri di atas kaki sendiri (saya ucapkan terimakasih untuk semua hal yang pernah diberikan dan diajarkan pada saya). 8. Ketiga pembahas: Oby, Erlyn dan Yudi (terima kasih telah mau saya repotkan dalam seminar). 9. eman-teman Math 4: ita, Iputh, Ryu, Ve, Ilie, Luri, Vita, Hikmah, Rita, Mocco, Fachri, Ardy, Yusep, Die, Jane, Idha, Eyyi, Niken, Oby, Hap, Achy, mba Vino, Agem, mba iti, Ety, Erlyn, Djawa, Danu, Yudi, Dendy, Sapto, Warno, Bima, Eko, Ayeep, Qnun, ia, Agnes, Ricken, Ocoy, Lisda, Nyomi, Ayu, Acuy, Nola, Hesti, Awi, Sima, Rima, Mira, Pipit, Lela, Lina, Yuni, Zil, Dewi, Bayu, Boy, Rendy, Nofita, Wiwi, Herry, Septian, Ridwan, kak Mukhtar, dan Yonan.. Adik-adik Math 43, 44, dan 45: (terimakasih atas doa, semangat dan dukungannya).. eman-teman PF: Poye, Dunky, Ryu, asya, Hikmeh, Vita, Via, Echa, Dii, ii, We, Dea, ami, Sadek, Sars, Dela, Peye, Vita 43, Pewe, dan lainnya.. Himaloechoe: ita, Vera, Rian, Rita, Fachri, Ardy, dan Yusep. 3. he okilz: iani, Aztri, Dhea, Prilisa, Reni. 4. eman-teman A7: Mami, rie, ice, Adry, Ferry, Nuri dan lainnya. 5. eman-teman SMAN : Uus, Leans, ami, Nila, Noi, Bayu, afar, Qb, Sulis, ice, Niken, Nunu-chan, Lia, Danu, Baskara, Faizal dan lainnya. 6. Anak markaz: Binyo, Pril, Mirzah, Nadew, Iting, Jane, ice, Indry, ias, Noni, dan Rahma. 7. My Blacky, Whity, Mussy, Kipsy (terimakasih selalu setia menemani dalam menyelesaikan skripsi ini). Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Desember 9 Octaina ristiani

8 iii DAFAR ISI Halaman DAFAR AMBAR... x DAFAR LAMPIRAN... x I II PENDAHULUAN. Latar Belakang.... ujuan... LANDASAN EORI. Kemonotonan dan Kecekungan fungsi... Definisi (Kemonotonan Fungsi)... Definisi (Kecekungan Fungsi)... eorema (Kemonotonan Fungsi)... eorema (Kemonotonan Fungsi).... Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum... Kalkulus Variasi... Persamaan Euler... 3 Lema... 3 eorema Kontrol Optimum... 4 Prinsip Maksimum Pontryagin... 5 eorema 4 (Pontryagin)... 5 Current-Value Hamilton... 6 Syarat Legendre-Clebsch... 6 Syarat Batas dan Syarat ransersalitas Kestabilan itik etap... 8 Sistem Dinamik... 8 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri... 8 Sistem Persamaan Diferensial Linear... 8 itik etap... 8 itik etap Stabil... 8 itik etap akstabil... 9 Pelinearan... 9 Nilai Eigen dan Vektor Eigen... 9 Analisis Kestabilan itik etap... 9 Diagram Fase....4 eorema Amplop... III MODEL UMUM PERIKLANAN 3. Model Umum Asumsi... 3 IV SOLUSI DAN ANALISIS MODEL 4. Prinsip Maksimum Konstuksi Matriks Jacobi Analisis Laju Penurunan Pelanggan Lama δ ( A)... 6 i. Fungsi δ ( A) adalah Fungsi Eksponensial... 6

9 ix ii. Fungsi δ ( A) adalah Fungsi Pangkat Analisis Model Periklanan... 7 i. Analisis untuk A>... 9 ii. Analisis untuk A= Analisis Numerik itik etap... V KESIMPULAN... 5 DAFAR PUSAKA... 6 LAMPIRAN... 7

10 x DAFAR AMBAR Halaman Simpul stabil... Simpul takstabil... 3 itik sadel... 4 Spiral stabil... 5 Center... 6 Spiral takstabil... 7 Diagram fase... 8 rafik hubungan dan R() rafik hubungan N dan η ( N)... 3 rafik hubungan A dan δ ( A)... 3 rafik hubungan N dan Q dengan a = 3 dan = rafik hubungan A dan Q dengan =, = 3, dan = rafik hubungan A dan dengan =, = 3, dan Q = rafik hubungan Q dan terhadap t itik kesetimbangan sebagai fungsi dari tingkat suku bunga r Bidang solusi untuk dan Q pada A> Diagram fase untuk dan Q pada A> Bidang solusi untuk dan Q pada A= Diagram fase untuk dan Q pada A=... 5 DAFAR LAMPIRAN Halaman Bukti eorema Penurunan Persamaan Penurunan Persamaan rafik hubungan shadow price Q dan citra perusahaan terhadap waktu t dengan Mathematica Penentuan nilai eigen pada daerah A> dengan Mathematica Penurunan Persamaan Penentuan nilai eigen pada daerah A= dengan Mathematica Kura titik kesetimbangan sebagai fungsi dari tingkat suku bunga r menggunakan Software Mathematica ambar bidang solusi dan diagram fase menggunakan Software Mathematica Menentukan titik tetap dan nilai eigen menggunakan Software Mathematica

11 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Menurut AMA (American Marketing Association), pemasaran merupakan proses perancangan dan pelaksanaan konsepsi, penentuan harga, promosi, dan distribusi gagasan barang atau jasa untuk menciptakan pertukaran yang memuaskan konsumen. Salah satu cabang dari pemasaran adalah periklanan. Setiap hari baik dalam media cetak maupun media elektronik dijumpai berbagai macam bentuk periklanan. Periklanan sendiri merupakan komunikasi komersial dan promosi non-personal tentang gagasan, barang atau jasa yang dibayar oleh satu sponsor atau pihak tertentu. Iklan bertujuan untuk memberitahu pasar tentang suatu produk dan membangun citra (goodwill) sebuah perusahaan. Iklan sangat berguna bagi perusahaan dan konsumen. Bagi perusahaan iklan berguna sebagai sarana promosi untuk produknya baik untuk memperkenalkan suatu produk baru maupun menginformasikan perubahan harga yang terjadi kepada para pelanggan, sedangkan bagi pelanggan iklan dapat meningkatkan kesejahteraan dengan jalan memperbaiki alokasi barang yang akan dikonsumsi. Untuk membuat sebuah iklan, perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan. Hal ini membuat permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya sebuah perusahaan akan berorientasi bagaimana memaksimumkan keuntungan dengan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu kebijakan perusahaan yang tepat sehingga dapat memaksimumkan keuntungan. Model periklanan dinamik (dynamic adertising model) merupakan aplikasi dari prinsip maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. Studi literatur pertama tentang model periklanan dinamik diberikan oleh Sethi (977a) dan lima belas tahun kemudian diperbaharui oleh Feichtinger, Hartl, dan Sethi (994). Dua model dari periklanan dinamik adalah model periklanan kapital (adertising capital model) yang dibahas oleh Nerloe dan Arrow (96) dan model respons penjualan iklan (sales-adertising response model ) yang dibahas oleh Vidale dan Wolfe (957). Model periklanan kapital memandang iklan sebagai sebuah inestasi pada citra perusahaan, sedangkan model respons penjualan iklan menekankan hubungan antara iklan dan perubahan dalam olume penjualan. Karya tulis ini membahas model periklanan kapital dengan dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang garis besar sebuah produk sehingga meyakinkan pelanggan baru agar mengkonsumsi produknya. Permasalahan yang ditampilkan akan diformulasikan dalam bentuk kontrol optimum. Calon solusi optimal diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin yang menggunakan current-alue Hamilton sehingga memudahkan penyelesaiannya. Agar calon solusi optimal itu dapat menjadi solusi optimal, diperlukan syarat Legendre-Clebsch untuk memeriksa apakah syarat perlu juga merupakan syarat cukup. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan dari titik tetap. Dari keadaan tersebut dapat ditetapkan sebuah kebijakan sebagai bentuk aplikasi dari solusi permasalahan maksimisasi keuntungan. ujuan ujuan penulisan karya ilmiah ini adalah :. Menentukan model periklanan yang akan digunakan untuk memaksimumkan keuntungan perusahaan dengan mempelajari model kebijakan periklanan optimal.. Menetapkan citra perusahaan yang optimal dengan mencari syarat perlu dan syarat cukupnya. 3. Menentukan kesetimbangan model jangka panjang dengan menganalisis kestabilan titik tetap.

12 BAB II LANDASAN EORI Beberapa landasan teori yang akan dibahas pada bab ini meliputi kemonotonan dan kecekungan fungsi, kalkulus ariasi dan kontrol optimum, konsep kestabilan titik tetap, serta teorema amplop yang disarikan dari berbagai sumber pustaka.. Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi Definisi (Kemonotonan Fungsi) Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dikatakan bahwa i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x dan x dalam I x < x f( x) < f( x). ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x dan x dalam I x < x f( x) > f( x). iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I. [Purcell & Varberg, 999] Definisi (Kecekungan Fungsi) Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I = (,) ab. Fungsi f dikatakan i. Cekung ke atas jika f ' naik pada I. ii. Cekung ke bawah jika f ' turun pada I. [Purcell & Varberg, 999] eorema (Kemonotonan Fungsi) Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik-dalam dari I. i. Jika f '( x ) > untuk semua titik-dalam x dari I, maka f naik pada I. ii. Jika f '( x ) < untuk semua titik-dalam x dari I, maka f turun pada I. [Purcell & Varberg, 999] eorema (Kecekungan Fungsi) Andaikan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka (,) ab. i. Jika f "( x ) > untuk semua x dalam (,) ab, maka f cekung ke atas pada (,) ab. ii. Jika f "( x ) < untuk semua x dalam (,) ab, maka f cekung ke bawah pada (,) ab. [Purcell & Varberg, 999]. Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Kalkulus Variasi Kalkulus ariasi adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengoptimuman fungsional. Fungsional sendiri didefinisikan sebagai suatu aturan yang mengaitkan setiap fungsi dengan suatu bilangan real. Fungsional yang umum dipakai dalam kalkulus ariasi adalah: b J ( x) = f ( x, x&, t) dt. a (.) Argumen dari fungsional merupakan sebuah fungsi. Untuk memperoleh fungsional J() x yang maksimum, diperlukan nilai x() t yang memberikan nilai ekstrim pada fungsional J(). x Fungsi x() t yang memberikan nilai ekstrim, diperoleh dengan konsep increment. Increment atau kenaikan dari argumen fungsional disebut ariasi. Variasi dari fungsional J() x adalah J() x = J( x+ δ x) J() x. Diasumsikan δ x = h sebarang fungsi, maka dengan menggunakan perluasan deret aylor diperoleh J( x+ h) = f ( x+ h, x & + h &, t ) dt & x x& = f ( xxtdt,, ) + ( hf + hf) dt + ( h f ) xx + hhf & xx + h& & fxx && dt+ O h = J ( x) + δ J( h) + δ J( h) + O h sehingga J( h) = J( x+ h) J( x) J ( h) δ J( h) O h = δ + +

13 3 dengan δ J() h merupakan ariasi pertama, δ J ( h) merupakan ariasi kedua, dan O h untuk h. Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu agar J( x ) maksimum, sedangkan ariasi kedua berperan sebagai syarat cukup. [u, 993] Persamaan Euler Misalkan Cab [,] adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisikan pada sebuah i interal tertutup [ ab, ] dan C [ a, b ] adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisikan dan mempunyai turunan ke i yang kontinu ( i n). Jika a =, b =, dan i = maka i C [ a, b] = C [, ]. Sehingga bentuk fungsional menjadi J ( x) = f ( x, x&, t) dt, (.) dengan titik ujung A[, x ()] dan B[, x( )] adalah tetap di mana f ( xxt, &, ) C [, ], dx x() t C [, ], x& dan x adalah fungsi dt bernilai skalar. Masalah yang muncul adalah memilih fungsi x() t dalam C [, ] yang memiliki titik awal di A dan titik akhir di B yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional J( x ). Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah δ J( x) =. Misalkan δ J ( x) = gthtdt ( ) ( ), dengan g() t C[, ] dan ht () sebarang fungsi yang memenuhi h() = = h( ). [u, 993] Lema Misalkan g() t sebarang fungsi kontinu pada [, ] dan S merupakan himpunan dari sebarang fungsi ht () yang kontinu dan terdiferensialkan pada [, ] sehingga h() = h( ) = dengan ditentukan. Jika gthtdt= () () untuk semua ht () S, maka g() t = untuk semua t [, ]. Bukti: Andaikan t [, ] sehingga gt (). Misalkan gt ( ) >. Karena g() t kontinu maka [,] ab [, ], sehingga gt () > berlaku untuk semua t [ a, b]. Berikutnya misalkan ht () = ( ta)( bt) untuk t [ a, b] dan ht () =, t [,] a b. Maka ht () memenuhi syarat pada lema, yaitu h() = = h( ). b Dengan demikian gthtdt () (), yang a berakibat gthtdt () (), karena nilai gtht () () >. Jadi haruslah gt () =. [u, 993] eorema 3 Misalkan J ( x) = f ( x, x&, t) dt terdefinisi pada [, ], dan memenuhi syarat batas x() = x dan x( ) = x. Syarat perlu agar J ( x ) mempunyai nilai ekstrim adalah x() t memenuhi persamaan berikut : d fx fx& =. dt Bukti: Syarat perlu agar J ( x) maksimum adalah δ J( x) =, yaitu δ J = [ f (,, ) (,, ) ] x x x& t h+ fx & x x& t h& dt = dengan f ( xxt, &, ) f x =, x f ( xxt, &, ) f x& =. x& (.3) Fungsi ht () merupakan fungsi kontinu dan terturunkan yang bersifat h() = = h( t). Dengan menggunakan integral parsial maka : d hf & [ ] x& dt = hfx & f x& hdt dt d = [ f ]. x& hdt dt Jadi persamaan (.3) dapat dituliskan kembali dengan

14 4 [ d J = f ] x& fx & hdt = dt maka menurut Lema diperoleh d fx & fx & = dt yang disebut dengan persamaan Euler. Persamaan Euler merupakan bentuk persamaan diferensial orde dua. Solusinya melibatkan dua konstanta sebarang. Konstantakonstanta ini ditentukan secara khusus dengan menggunakan syarat batas. Syarat batas dengan dan kedua titik ujung peubah x() t yang sudah ditetapkan merupakan pengantar ke syarat batas yang lebih umum. Contoh syarat batas yang lebih umum adalah titik awal A[ t =, x() = x] dan titik B[, x( )] sebagai titik akhir dengan dan x( ) keduanya tidak ditentukan. Variasi fungsional J() x untuk syarat batas ini adalah +δ J = f (, t x+ h, x& + h& ) dt f (, t x, x& ) dt = [ f ( t, x+ h, x& + h& ) f ( t, x, x& )] dt + +δ f (, t x + h, x & + h &) dt. (.4) Menurut [u, 993], ariasi fungsional ini menghasilkan syarat perlu d δ J ( x) = [ f ] x& fx& dt dt + [ f x xf & ] =. (.5) x& δ x& t= Bukti: Agar persamaan (.5) berlaku maka persamaan Euler harus terpenuhi dan suku terakhir persamaan (.5) harus memenuhi: [ fx & δ x xf & x& ] t= =. (.6) Persamaan (.6) disebut sebagai kondisi transersalitas (transersality condition). [u, 993] Kontrol Optimum eori kontrol optimum berkembang secara pesat pada akhir tahun 95 oleh Pontryagin (96) yang disebut dengan prinsip maksimum (maximum principle). Pada masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Saat waktu t, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state) tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state ariable) x( t), x( t),..., xn ( t ), n atau dalam bentuk ektor xt () R. Dengan nilai t yang berbeda, ektor x() t menempati posisi yang berbeda di ruang R n sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak n sepanjang suatu kura di R. Dalam tulisan ini, citra (goodwill) perusahaan adalah peubah keadaan (state ariable) x() t yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah kontrol ut () yaitu periklanan yang mempengaruhi proses (dalam hal ini biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru dan pelanggan lama). Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial: x& = f( x( t), u( t), t). (.7) Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu t yaitu xt ( ) = x R. Jika dipilih peubah kontrol ut () R yang terdefinisi untuk t > t, maka diperoleh persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu x t. Karena x diberikan, maka (.7) mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap u yang dilambangkan dengan xu (). t Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol ut () dan responnya state x() t dihubungkan dengan fungsi J ( u) = f [ x( t), u( t), t] dt, (.8) dengan f t fungsi yang diberikan. tidak harus fixed (ditentukan) dan x( ) mempunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan suatu fungsional dengan kendala: x& = f( x( t), u( t), t), sehingga dapat dilihat bahwa dengan mengganti peubah x& dengan u pada fungsional J, maka

15 3 5 permasalahan kalkulus ariasi sama dengan permasalahan kontrol optimum. [u, 993] Syarat Perlu Syarat perlu merupakan akibat logis suatu pernyataan. Syarat perlu dalam kontrol optimum adalah prinsip maksimum Pontryagin. Prinsip Maksimum Pontryagin Misalkan terdapat masalah memilih suatu ektor kontrol ut () = [ u(), t u(),..., t ur ()] t dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian. Kontrol optimum dipilih untuk membawa sistem dinamik x& = f[ x( t), u( t), t], dari keadaan awal [ x, t ] ke keadaan akhir [ x( ), ] sehingga memaksimumkan J ( u) S[ x( ), ] f [ x( t), u( t), t] dt = + dengan x() t ariable keadaan (state ariable) dan Sx [ ( ), ] yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. [u, 993] eorema 4 (Pontryagin) Misalkan u () t sebagai kontrol admissible yang membawa state awal [ x( t ), t ] kepada target state terminal [ x( ), ], dengan x( ) dan secara umum tidak ditentukan. Misalkan x () t merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u () t. Supaya kontrol u () t merupakan kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi ektor p () t dan konstanta p demikian sehingga. p () t dan x () t merupakan solusi dari sistem kanonik H x& ( t) = [ x ( t), u ( t), p ( t), t], p H p& ( t) = [ x ( t), u ( t), p ( t), t], x dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh H [ x, u, p,] t = f x (), t u (),] t t + p. f [ x (), t u (),] t t [ dengan p.. H[ x ( t), u ( t), p ( t), t] H[ x( t), u( t), p( t), t] 3. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti : [Lihat lampiran ] Catatan:. H[ x ( t), u ( t), p ( t), t] H[ x( t), u( t), p( t), t] disebut dengan prinsip maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh H = dan H <. Jika u U dan U u uu himpunan tertutup, maka H u = tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan U.. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah u untuk masalah i max memaksimumkan dan u i min untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah u untuk masalah memaksimumkan dan i min u i max untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum u i adalah kontinu bagian dan loncat dari satu erteks ke erteks lainnya. Hal ini merupakan kasus khusus dari kontrol bang-bang. 3. H[ x ( t), u ( t), p ( t), t] H[ x( t), u( t), p( t), t] juga mencakup syarat cukup. 4. Vektor p disebut juga ektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau ektor adjoin, merupakan shadow price nilai marginal dari ektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan untuk setiap kenaikan atau penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan p& mengindikasikan tingkat kenaikan (appresiasi untuk p & > ) atau penurunan (depresiasi untuk p & < ) dalam nilai dari tiap unit modal. 5. dh H = dt t 6. p& =Hx, H u =, x& = H memberikan p syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan

16 64 t= t= t] δ t= t t= t [ Sx p] δx + [ H+ S t = (.9) Apabila fungsi scrab S =, maka persamaan (.9) menjadi t= t= pt () δxt () + Ht () δt = (.) t= t t= t Khususnya pada waktu awal t dan x( t ) telah ditentukan, sedangkan dan x( ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi p ( ) δ x ( ) + H ( ) δ = (.) [u, 993] Current-Value Hamilton Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integrand f rt sering memuat faktor diskon e. Dengan demikian, fungsi integrand f secara umum dapat dituliskan menjadi f ( tu,, ) = Vtue (,, ) rt. Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai max W = V( t, u, ) e dt rt terhadap kendala & = f (, t, u) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk rt H ( tu,,, p) = Vtue (,, ) + pt ( ) f( tu,, ). Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan prinsip turunan fungsi Hamilton terhadap dan t, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan current-alue Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-alue Hamilton, diperlukan konsep current-alue fungsi adjoin. Misalkan qt () menyatakan current-alue fungsi adjoin, yang didefinisikan dengan qt () = pte () rt, yang berimplikasi p() t = q() t e rt. Sehingga fungsi current-alue Hamilton yang dinotasikan dengan H c, dapat dituliskan menjadi rt H He = V(, t, u) + q() t f (, t, u) c Perhatikan bahwa H c, sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. rt Juga, perhatikan bahwa H Hce. Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap H c harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan H c, maka max H, t [, ] u c Persamaan state yang muncul dalam sistem H kanonik, aslinya adalah t & () =. Karena p H = f (, t, u) = H c, p q maka persamaan state disesuaikan menjadi H t & () = c. q Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah dalam H bentuk pt &() =. Pertama-tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, qt (), kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, rt rt pt () qte () & = & rqte () Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk H Hc rt = e Dengan menyamakan kedua persamaan diatas, persamaan adjoin menjadi H qt &() = c + rqt (). Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas p ( ) =, syarat r batas yang sesuai adalah q ( ) e = dan untuk syarat batas [ H ] t = =, syarat batas yang sesuai adalah rt c =. He t= [u, 993] Syarat Cukup Syarat cukup merupakan syarat yang secara logis mengakibatkan suatu pernyataan. Syarat cukup dalam kontrol optimum adalah syarat Legendre-Clebsch. Syarat Legendre-Clebsch Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai berikut:

17 57 E( x, x&, p, t) = f ( x, x&, t) f ( x, p, t) ( x& p) fp dengan pt (, x ) adalah fungsi kemiringan atau slope dari ekstremum yang melalui titik (, tx. ) Jika f ( xxt, &, ) diperluas dengan formula aylor akan diperoleh bentuk: ( x& p) f (, xxt &,) = f(, xpt,) + ( x& pf ) p + f (,, )! xx && txq dengan q = θ x& + ( θ) p, < θ <. Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu: ( x& p) Exxpt (,,, ) = f (,, )! xx && txq dengan q = θ x& + ( θ) p, < θ <. Supaya x() t mencapai minimum (atau maksimum), cukup dipenuhi syarat Legendre- Clebsch, yaitu E ( ) yang berarti fxx && ( ) atau dalam bentuk yang lebih umum, matriks [ f xx && ] merupakan semi-definit positif (atau negatif). [u, 993] Syarat Batas dan Syarat ransersalitas Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max [ ()] [ ( ), ] J u t S x f [ x (), t u (),] t t dt = + ut () u (.) erhadap kendala n xt () = f( xt (), ut (),), t xt ( ) = x, xt () R (.3) Maka syarat transersalitas atau syarat batas diberikan oleh [ S x p ] δ x + [ H + S t] δ t = (.4) t= t= a. Masalah Unit Waktu erbatas Syarat batas untuk masalah unit waktu terbatas secara umum terbagi menjadi dua yaitu syarat batas untuk masalah waktu terminal (akhir) tetap dan syarat batas untuk masalah waktu terminal bebas. i. Waktu erminal etap Dengan waktu terminal tetap, maka δ =, dan persamaan (.4) menjadi [ Sx p] δ x t = = (.5) erdapat 3 kasus untuk masalah ini yaitu : Kasus : State terminal akhir tetap, x( ) = x. Untuk kasus ini jelas bahwa δ x ( ) = dan persamaan (.4) tidak memberikan informasi apa-apa. Malah informasi tersebut tidak diperlukan karena konstanta integrasi akan diberikan oleh x( ) = x dan oleh x( t) = x. Kasus : State terminal bebas. Untuk kasus ini, jelas bahwa δ x ( ) sehingga diperoleh p ( ) = Sx. Apabila tanpa S[ x( ), ], yaitu S[ x( ), ] =, maka syarat batas adalah p( ) =. Kasus 3 : State terminal berada pada manifold M [ x( ), ] =. Apabila state terminal berada pada manifold M [ x( ), ] = dengan M merupakan ektor, maka syarat batas menjadi [ Rx p] δ x t = = (.6) dengan R[ x ( ), ] S[ x ( ), ] + µ M[ x ( ), ] (.7) dengan merupakan pengali Lagrange. Jadi syarat batas atau syarat transersalitas menjadi p ( ) = Rx. ii. Waktu erminal Bebas Syarat batas menjadi [ R x p ] δ x + [ H + S t] δ t = t= t= (.8) erdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu: Kasus : State terminal x( ) = x tetap Jelas bahwa δ x ( ) =, sehingga diperoleh H ( ) + S t t = = (.9) Apabila tanpa fungsi scrap, maka H( ) =. Kasus : State terminal x( ) bebas, yaitu δ x ( ). Maka syarat batas menjadi p ( ) = Sx[ x ( ), ] dan H ( ) + S t t= = (.) Apabila fungsi scrap tidak ada, maka p ( ) = = H ( ). Kasus 3 : State terminal bebas, tapi memenuhi M [ x( ), ] =.

18 6 Maka syarat batas menjadi p ( ) = R, H ( ) + R =, M [ x ( ), ] =. x t t= (.) b. Masalah Unit Waktu ak erbatas Pada kasus dimana x( ) tak negatif [ xi ( ) ] dengan i dan besar (dalam hal ini ), syarat batas yang harus dipenuhi adalah: * * xi ( ), pi ( ) dan * * pi ( ) xi ( ) = dengan fungsi scrap didefinisikan dengan: n Sx ( ) ci min( xi,) di mana { S ci, xi< = x, xi sehingga syarat batas pi( ) = Sx disederhanakan menjadi: pi( ), xi( ) dan pi( ) xi( ) = Syarat batas tersebut dikenal dengan istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat batas ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah ekonomi, terdapat juga beberapa kesulitan dalam penggunaannya. Syarat Arrow-Kurz untuk waktu takhingga * [ p( ) x ( ) = ] ini dapat digunakan untuk * kasus tertentu dengan syarat batas p x. Untuk t yang berukuran besar akan berlaku: * * pt () x() t pt ()[ xt () x()] t * pt ( )[ xt ( )] pt ( )[ x( t)] * lim ptxt () () lim ptx () () t x t Sehingga syarat batas yang dapat digunakan: * lim ptx ( ) ( t) = t lim ptxt ( ) ( ) > t Sistem Dinamik.3 Kestabilan itik etap [u, 993] 8 Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut : dx x f( x) dt = & = ; x = [ x, x,..., x ] n dengan f ( x ) merupakan fungsi dari x. [Kreyszig, 993] Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde sebagai berikut: dx = x& = f( x, y) dt (.) dy = y& = g( x, y) dt f dan g fungsi kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju perubahan x& dan y& dinyatakan dengan fungsi x dan y sendiri serta tidak berubah terhadap waktu, maka sistem (.) merupakan sistem persamaan diferensial mandiri. [Verhulst, 99] Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) Suatu persamaan diferensial linear orde dinyatakan sebagai x& + atx () = gt () dengan at () dan g() t adalah fungsi dari waktu t. Bila at () adalah suatu matriks berukuran n n dengan koefisien konstan dan g() t dinyatakan sebagai ektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut dx x Ax b, x() x dt = & = + = (.3) [Farlow, 994] itik etap dx Diberikan SPD x f( x) dt = & =, n x R. itik * x disebut titik tetap jika * f( x ) =. itik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. [Kreyszig, 993] itik etap Stabil * Misalkan x adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x() t adalah kondisi yang memenuhi kondisi awal x() = x dengan * * x. itik x dikatakan titik tetap stabil jika x

19 7 untuk sebarang radius ε >, terdapat r > sehingga jika posisi awal x memenuhi * x x < r, maka solusi x() t memenuhi * ( ) xt x < ε untuk t >. [Verhulst, 99] itik etap idak Stabil * Misalkan x adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x() t adalah solusi yang memenuhi * kondisi awal x() = x dengan x x. itik * x dikatakan titik tetap tidak stabil jika untuk sebarang radius ε >, terdapat r> sehingga * jika posisi awal x memenuhi x x < r, * maka solusi x() t memenuhi xt ( ) x > ε untuk paling sedikit satu t >. [Verhulst, 99] Pelinearan Untuk suatu SPD taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut n x& = f( x), x R. (.4) Dengan menggunakan ekspansi aylor untuk suatu titik tetap x *, maka persamaan (.4) dapat ditulis sebagai berikut x& = Ax +ϕ( x). (.5) Persamaan tersebut merupakan SPD tak linear dengan A adalah matriks Jacobi, * A= Df( x ) = Df( x ) x= x * f f L x x n = M O M fn fn L x x n a L an = M O M an L a nn dan ϕ () x suku berorde tinggi yang bersifat lim ϕ( x) =. Selanjutnya Ax pada persamaan x (.5) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (.4) yang didapatkan dalam bentuk 9 x& = Ax (.6) [u, 994] Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks n n, maka suatu ektor taknol x di dalam R n disebut ektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A berlaku Ax= λx. (.7) Vektor x disebut ektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n, maka persamaan (.7) dapat dituliskan sebagai berikut ( A λi) x= (.8) dengan I matriks identitas. Persamaan (.7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika det( A λi) = (.9) persamaan (.9) disebut persamaan karakteristik. [Anton, 995] Analisis Kestabilan itik etap Misalkan terdapat SPDL x& = Ax dengan a b A = c d memiliki persamaan karakteristik det ( A λi) = λ τλ+ δ = dengan τ = tr( A) = a + d dan δ = det A = ad bc maka diperoleh nilai eigen dari A adalah λ, = ( τ ± τ 4 δ ). (.3) Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh pada persamaan (.3), sehingga terdapat tiga kasus yang bergantung pada nilai ( τ 4 δ ), yaitu Kasus I ( τ 4 δ) > Nilai eigen yang diperoleh real dan berbeda ( λ λ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut λt λt x() t = ce + ce (.3) dengan λ, λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Vektor dan adalah ektorektor eigen yang bersesuaian dengan nilainilai eigen tersebut. Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai tiga sifat, yaitu

20 8 i. Jika nilai eigen negatif ( λ < dan λ < ) dengan τ < dan δ >, maka dari persamaan (.3) diperoleh lim xt ( ) =, sehingga titik tetapnya t bersifat simpul stabil ambar 3 itik sadel. ambar Simpul stabil. ii. Jika nilai eigen positif ( λ > dan λ > ) dengan τ > dan δ >, maka dari persamaan (.3) diperoleh lim xt ( ) =, sehingga titik tetapnya t bersifat simpul takstabil. ambar Simpul takstabil. iii. Jika nilai eigen λ < dan λ > atau sebaliknya, dengan τ < dan δ < maka persamaan (.3) diperoleh lim xt ( ) = t untuk λ < dan lim xt ( ) = untuk t λ > atau sebaliknya, x() t akan menuju nol sepanjang ektor dan menuju takhingga sepanjang ektor atau sebaliknya sehingga membentuk asimtot pada bidang dan. itik tetap ini adalah titik sadel. Kasus II ( τ 4 δ) = Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen real ganda ( λ = λ = λ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut λ () t λt x t = ce + c( t+ ) e (.3) Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu i Jika nilai eigen negatif ( λ < dan λ < ) maka dari persamaan (.3) diperoleh lim xt ( ) =, sehingga titik t tetapnya bersifat stabil. ii Jika nilai eigen positif ( λ > dan λ > ) maka dari persamaan (.3) diperoleh lim xt ( ) =, sehingga titik t tetapnya bersifat takstabil. Kasus III ( τ 4 δ) < Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang diperoleh adalah λ, = ± i. Sistem yang memiliki nilai eigen tersebut dapat dilambangkan dengan x& = atau dalam bentuk skalar x& = x+ y (.33) y = x+ y Dalam bentuk koordinat polar (, r θ ), x= rcos( θ) dan y= rsin( θ), sehingga y diperoleh r = x + y dan tan( θ ) =. x Selanjutnya dengan menurunkan r terhadap waktu t, diperoleh rr& = xx& + yy& jika setiap ruas dikalikan maka diperoleh rr& = xx + yy (.34)

21 9 dengan mensubtitusi persamaan (.33) ke dalam persamaan (.34), maka akan didapatkan rr& = x( x + y) + y( x + y) rr& = xx + xy yx + yy rr& = xx + yy rr& = x + y ( ) ambar 4 Spiral stabil. Jadi diperoleh solusi rt () = re t (.35) y Jika tan( θ ) = diturunkan terhadap t, maka x akan menghasilkan xy yx sec ( θθ ) & & & = x (.36) x sec ( θθ ) & = xy& yx& Dengan mensubtitusi persamaan (.33) dan x sec ( θ ) = r pada persamaan (.36), akan diperoleh r & θ = x( x+ y) y( x+ y) r & θ = ( x + y ) r & θ =r & θ = Jadi diperoleh solusi θ() t = t+ θ (.37) Solusi di atas mempunyai tiga kasus yang bergantung pada nilai dan seperti pada persamaan (.35) dan (.37), yaitu i. < Jika <, maka rt () pada persamaan (.35) berkurang pada saat t bertambah. Jika > maka θ () t pada persamaan (.37) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehinga arah gerak orbitnya akan bergerak searah jarum jam menuju titik tetap. Jika <, maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam menuju titik tetap. Dalam hal ini titik tetapnya bersifat spiral stabil. ii. = Jika =, maka rt () pada persamaan (.35) tidak berubah sepanjang waktu t. Jika > maka θ () t pada persamaan (.37) akan membesar dan jika < maka θ () t pada persamaan (.37) akan mengecil. Karena rt () tetap, maka gerak orbit membentuk suatu lingkaran dengan titik tetapnya sebagai pusat. itik tetap tersebut disebut center ambar 5 Center. iii. > Jika >, maka rt () pada persamaan (.35) akan semakin besar pada saat t bertambah. Jika > maka θ () t pada persamaan (.37) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehingga arah gerak orbit akan bergerak searah jarum jam menjauhi titik tetap. Jika <, maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. itik tetap yang terjadi bersifat spiral takstabil ambar 6 Spiral takstabil.

22 [Strogatz, 994] Diagram Fase Suatu persamaan diferensial x& = f( x) tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram fase akan menggambarkan perubahan kecepatan x& terhadap x (lihat ambar 7). Jika x & >, maka kura berada diatas sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri ke kanan. Jika x & <, maka kura berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal, x & = yaitu x tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium atau titik tetap. Jika f '( x ) < yaitu f ( x ) adalah fungsi turun, maka ekuilibrium stabil. Jika f '( x ) > yaitu f ( x ) adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil. ambar 7 Diagram fase. [u, 994].4 eorema Amplop Enelope heorem (dalil amplop) adalah suatu dalil yang digunakan untuk memecahkan permasalahan maksimisasi di dalam ekonomi mikro. Suatu masalah maksimisasi sembarang di mana fungsi objektif f bergantung pada beberapa parameter a : M ( a) = max f( x, a) x di mana fungsi M ( a ) merupakan nilai maksimum dari fungsi objektif f sebagai suatu fungsi dari parameter a. Anggap x( a ) adalah nilai dari x yang yang dibatasi oleh parameter a, sehingga M( a) = f( x( a), a). Dalil amplop mengatakan bagaimana M ( a ) berubah ketika parameter a berubah,yaitu : * dm ( a) f ( x, a) = da a * x = x( a) dengan turunan M terhadap a ditentukan oleh turunan parsial dari f (, xa ) terhadap a, dengan nilai x tetap, kemudian mengealuasi pilihan * optimal x. Batas ertikal di sebelah kanan dari turunan parsial menandakan bahwa akan diealuasi pada x * = xa ( ). [Nicholson, 99] BAB III MODEL UMUM PERIKLANAN 3. Model Umum Masalah pokok yang harus diperhatikan pada kegiatan pemasaran adalah periklanan. Dalam kegiatannya, ketika sebuah perusahaan membuat iklan maka yang diharapkan adalah bagaimana memaksimumkan keuntungan yang diperoleh lewat daya beli masyarakat dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu model matematik yang dapat membantu perusahaan dalam membuat sebuah kebijakan untuk memaksimumkan keuntungan. Model yang digunakan adalah model periklanan dinamik (dynamic adertising models). Model periklanan dinamik dimodelkan oleh Sethi (977a) yang lima belas tahun kemudian diperbaharui oleh Feichtinger, Hartl, dan Sethi (994). Model periklanan dinamik merupakan aplikasi dari prinsip maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. Masalah utama dalam model ini adalah bagaimana menentukan biaya iklan optimum agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimum dengan mempertimbangkan citra dan harga sebagai kendala. Dua model dari periklanan dinamik adalah model periklanan kapital (adertising capital model) dan model respons penjualan iklan (sales-adertising response model). Model periklanan kapital, dibahas oleh Nerloe dan

23 Arrow (96), merupakan model yang memandang iklan sebagai sebuah inestasi pada citra (goodwill) perusahaan, sedangkan model respons penjualan iklan, dibahas oleh Vidale dan Wolfe (957), merupakan model yang menekankan hubungan antara iklan dan perubahan olume penjualan. Karya tulis ini akan membahas model periklanan kapital yang dikembangkan dengan dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang garis besar sebuah produk sehingga dapat meyakinkan pelanggan baru agar mengkonsumsi produknya. Variabel yang digunakan meliputi, Q, π, R ( ), CAN (, ), NQ, ( ) A( Q, ), a,, η ( N), dan δ ( A). adalah goodwill atau citra yang dimiliki oleh sebuah perusahaan. Q adalah shadow price atau perkiraan harga dari suatu produk yang akan diiklankan. Keuntungan π merupakan selisih dari total pendapatan suatu perusahaan yang bergantung pada citra R ( ) dan total pengeluaran perusahaan dalam membuat sebuah iklan CAN (, ), dengan CAN (, ) = anq ( ) + AQ (, ) di mana NQ ( ) adalah biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru yang bergantung pada shadow price Q. AQ (, ) adalah biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama yang bergantung pada shadow price Q dan citra perusahaan. Serta a dan adalah ariabel yang menunjukkan banyaknya produk yang diiklankan. Keuntungan π dapat ditulis sebagai : π = R ( ) an A. (3.) Dengan memperhatikan permasalahan ini sebagai permasalahan kontrol optimum yang kontinu sepanjang waktu, maka waktu t yang dipilih ada pada selang [, ) dengan kendala tingkat perubahan citra perusahaan & sama dengan ukuran keefektifan sebuah iklan dalam menarik pelanggan baru η ( N) dikurangi dengan penyusutan citra perusahaan karena penurunan pelanggan lama δ ( A). Pada karya tulis ini yang akan diperhatikan adalah nilai sekarang atau present alue dari suatu arus kas yang terus-menerus (dalam hal ini pendapatan yang bergantung pada citra sebuah perusahaan), maka present alue dari rt keuntungan perusahaan adalah π e, di mana r adalah tingkat suku bunga. Bentuk masalah memaksimumkan keuntungan perusahaan menjadi: max rt [ ( ) ] N, A e R an A dt (3.) dengan kendala: & 3 = η( N) δ( A), (3.3) A, (3.4) N. (3.5) 3. Asumsi Berdasarkan formulasi masalah itu diberikan asumsi-asumsi sebagai berikut:. Pendapatan yang bergantung pada citra perusahaan merupakan fungsi naik dan cekung ke bawah. R ' >, R " < (3.6) RHL ambar 8 rafik hubungan dan R( ). Berarti bahwa semakin baik citra suatu perusahaan maka pendapatan perusahaan akan semakin meningkat.. Keefektifan suatu iklan dalam menarik pelanggan baru merupakan fungsi naik dan cekung ke bawah. η ' >, η " < (3.7) hhn L ambar 9 rafik hubungan N dan η ( N). Berarti bahwa semakin besar biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru maka keefektifan iklan N

24 dalam menarik pelanggan baru semakin meningkat. 3. Laju penurunan pelanggan lama adalah fungsi turun dan cekung ke atas. δ ' <, δ " > (3.8) dhal ambar rafik hubungan A dan δ ( A). Berarti bahwa semakin besar biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama maka laju penurunan pelanggan lama semakin mengecil A BAB IV SOLUSI DAN ANALISIS MODEL 4. Prinsip Maksimum Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah maksimisasi keuntungan dalam karya ilmiah ini adalah prinsip maksimum Pontryagin. Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integran f sering rt memuat faktor diskon e. Dengan demikian, fungsi integran f secara umum dapat dituliskan menjadi rt f = π e dengan π = R( ) ana. Masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan keuntungan max rt e [ R ( ) an ( Q ) A ( Q, )] dt N, A terhadap kendala & = η( N) δ( A), A, N. Nilai A dan N diasumsikan bernilai lebih besar sama dengan nol. Hal ini diinterpretasikan bahwa selalu ada biaya yang dialokasikan untuk membuat iklan atau minimal bernilai nol. Dalam bentuk standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk rt H ( Q, ) = e [ R ( ) anq ( ) AQ (, )] + p[ η( N( Q)) δ( A( Q, )) ]. Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap peubah kontrol dan peubah state, dengan hadirnya faktor diskon e rt akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan current-alue Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-alue Hamilton, diperlukan konsep current-alue fungsi adjoin. Misalkan Qt () menyatakan current-alue fungsi adjoin, didefinisikan dengan Qt () = pte () rt, yang berimplikasi pt () = Qte () rt. Fungsi current-alue Hamilton, dapat dituliskan menjadi rt Hc = He Sehingga H (, ) ( ) ( ) (, ) c Q = R an Q A Q + Q[ η( N( Q)) δ( AQ (, )) ] (4.) dengan Q adalah shadow price yang dipengaruhi oleh citra perusahaan dan merupakan ektor adjoin. Pada masalah ini, didefinisikan A dan N sebagai peubah-peubah kontrol yang akan menyelesaikan (3.), (3.3), (3.4), dan (3.5) di mana adalah ariabel state dari sistem yang berkaitan dengan A dan N. Berdasarkan syarat optimalitas, kontrol periklanan yang ditujukan kepada pelanggan lama, A = AQ (, ), ditentukan oleh Hc * * * * ( A, N,, Q ) = (4.) A diperoleh λδ '( A) =. Nilai A bergantung pada dan Q sehingga

25 4 Hc A A λδ '( A) δ '( A) = = =, Hc λδ "( A) δ "( A) A A (4.3) Hc A A Q δ '( A ) δ '( A) = = =. (4.4) Q Hc Qδ"( A) Qδ"( A) A A Berdasarkan asumsi (3.8) maka persamaan (4.3) A A dan (4.4) menjadi > dan >. Karena Q laju perubahan biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama terhadap citra perusahaan dan laju perubahan biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama terhadap shadow price bernilai positif, berarti apabila biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama meningkat maka citra sebuah perusahaan akan meningkat, begitu pula jika biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama meningkat maka shadow price yang dipengaruhi oleh citra perusahaan juga akan meningkat. Untuk kontrol periklanan yang ditujukan kepada pelanggan baru, N = N( Q), ditentukan oleh Hc * * * * ( A, N,, Q ) = (4.5) N diperoleh a+ Qη '( N) =. Nilai N hanya bergantung pada Q sehingga H c N N Q η '( N) = =. (4.6) Q H c Qη "( N) N N Berdasarkan asumsi (3.7) maka persamaan (4.6) N menjadi >. Karena laju perubahan biaya Q pembuatan iklan untuk pelanggan baru terhadap shadow price bernilai positif, berarti apabila biaya pembuatan iklan untuk pelanggan baru meningkat maka shadow price juga akan meningkat. Dengan menggunakan current-alue Hamilton pada prinsip maksimum Pontryagin, akan ada persamaan state yang memenuhi H * * * * & = c ( A, N,, Q ) Q sehingga & = η( N( Q)) δ( A( Q, )), (4.7) dan persamaan adjoin yang memenuhi H * * * * Q& = c ( A, N,, Q ) + rq sehingga Q & = [ r+ δ ( A( Q, ))] QR'( ). (4.8) Persamaan (4.7) dan (4.8) merupakan bentuk sistem kanonik yang akan dianalisis. Pada karya tulis ini, pembahasan dilakukan pada masalah maksimisasi keuntungan pada unit waktu takterbatas ( t [, )). Dengan menggunakan kontrol A dan N, maka calon solusi optimal (ekstermal Pontryagin) di sepanjang unit waktu takterbatas adalah solusi dari persamaan (4.7) dan (4.8) tapi dengan syarat batas rt () =, lim e Q( t) ( t) =. t Selanjutnya akan dianalisis apakah syarat perlu juga merupakan syarat cukup. Karena syarat perlu juga merupakan syarat cukup akan terpenuhi jika H c adalah fungsi cekung ke bawah, maka akan diperiksa apakah fungsi Hamilton H (, ) ( ) ( ) (, ) c Q = R an Q A Q + Q[ η( N( Q)) δ( A( Q, )) ] merupakan fungsi cekung ke bawah pada untuk semua kemungkinan nilai Q. Proposisi H c adalah fungsi cekung ke bawah jika [ δ '( A)] R"( ) + Q < δ "( A ) Bukti Diketahui bahwa fungsi Hamilton adalah H (, ) ( ) ( ) (, ) c Q = R an Q A Q + Q[ η( N( Q)) δ( A( Q, )) ] urunan pertama H c terhadap adalah Hc A( Q, ) = R'( ) AQ (, ) Qδ'( AQ (, )) Qδ( AQ (, )) Berdasarkan dalil amplop, untuk memaksimumkan fungsi Hamilton, substitusi