OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL

Transkripsi

1 OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010

2 OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains SANDRA RIZAL DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010

3 ii PERSETUJUAN Judul : OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA Kategori : SKRIPSI Nama : SANDRA RIZAL Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA Departemen Fakultas : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juni 2010 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si. Prof. Dr. Herman Mawengkang NIP NIP Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP:

4 iii PERNYATAAN OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2010 SANDRA RIZAL

5 iv PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas limpahan rahmat dan karunia-nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada : 1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku pembimbing II yang telah memberikan banyak bimbingan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tugas akhir ini. 2. Bapak Drs. H. Haluddin Panjaitan dan Bapak Drs, Ramli Barus, M.Si selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. 4. Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU. 5. Semua Dosen dan Pegawai pada Departemen Matematika FMIPA USU. 6. Ayahanda tercinta Abdurrahman dan Ibunda Hamdiah yang sangat saya kasihi dan sayangi atas doa dan dukungan moril maupun materil yang diberikan selama ini. 7. Saudara kandung Faisal, Andi, Rina, Putri, Faiza yang selalu memberikan motivasi, saran dan bantuannya. 8. Rekan-rekan kuliah matematika serta semua stambuk 2006 yang tidak terlupakan dukungan dan bantuannya. 9. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis, semoga segala kebaikan dalam bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan dari Yang Maha Kuasa. Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca. Hormat saya, Penulis

6 v ABSTRAK Tujuan dari tulisan ini adalah untuk mengubah persoalan bentuk optimasi terkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala, serta penentuan penerapannya dibidang ekonomi dimodelkan dalam bentuk optimasi. Untuk memudahkan optimasi berkendala atau bersyarat digunakan fungsi lagrange. Langkah-langkah menentukan nilai optimum menggunakan multiplier lagrange yaitu dengan membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange λ dengan fungsi kendalanya.

7 vi CONDITIONAL OPTIMIZATION WITH THE EQUATION CONSTRAINT USING MULTIPLIER LAGRANGE AND ALSO Its APPLYING ABST`RACT The aim of this paper is to alter the problem form the optimization burdened to become the problem optimization without constraint, and also its applying determination is economic area modeled in the form of optimization. To facilitate the optimization have constraint to or used by conditional of function Lagrange. Stage Steps determine the optimum value use the multiplier Lagrange that is with forming a new function representing quantifying from function which will be optimum added by result of times rill of coefficient Lagrange λ with the its constraint function.

8 vii DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar ii iii iv v vi vii viii ix Bab 1 Pendahuluan Latar Belakang Perumusan Masalah Batasan Masalah Tinjauan Pustaka Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metode Penelitian 7 Bab 2 Landasan Teori Optimasi Optimasi Tak Bersyarat Optimasi Bersyarat Metode Pengali Lagrange Matrik Hessian Matrik Definit Positif Maksimum dan Minimum Fungsi Utilitas Marginal Produk Marginal 24 Bab 3 Pembahasan Optimasi Dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multiplier Lagrange Utilitas Marjinal Parsial Serta Keseimbangan Konsumsi Produk Marjinal Parsial Dan Keseimbangan Produksi. 33 Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan Saran 36 Daftar Pustaka 37

9 viii DAFTAR TABEL Tabel Halaman 1. Tabel 2.1. Nilai matrik Hessian untuk masing masing titik ekstrim 16

10 ix DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 1. Gambar. 2.1 grafik dari Gambar 2.2. Grafik Gambar 2.3. Grafik nilai maksimum dan minimum Gambar 2.4. Bentuk kurva utilitas Gambar 2.5 Bentuk kurva fungsi U = f(q) = 90Q 5Q 2 dan 23 MU = U = 90 10Q 6. Gambar. 2.7 Kurva fungsi P = f(x) = 9x 2 x 3 dan MP = P = 18x 3x 2 25