BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI
|
|
- Veronika Kusumo
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2014 Ni Nyoman Suryani NIM G
4 ABSTRAK NI NYOMAN SURYANI. Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Dalam karya ilmiah ini dipelajari akibat dari waktu tunda dan tingkat pemanenan konstan pada dinamika model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra. Dalam model ini, waktu tunda diberikan pada interaksi antar mangsa dari persamaan mangsa. Selanjutnya mangsa dan pemangsa akan dipanen dengan tingkat pemanenan yang konstan. Dalam model ini terdapat satu, dua, atau tiga titik tetap. Ketika terdapat dua titik tetap positif, satu diantaranya stabil. Perubahan parameter waktu tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda kritis menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap stabil menjadi tidak stabil, disertai adanya kemunculan limit cycle. Kemunculan limit cycle tersebut menandakan bahwa model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda terjadi Bifurkasi Hopf. Kata kunci: mangsa-pemangsa, limit cycle, waktu tunda, tingkat pemanenan konstan, bifurkasi Hopf. ABSTRACT NI NYOMAN SURYANI. Hopf Bifurcation of Prey-Predator Model with Time Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. In this paper the effects of time delay and constant rate of harvesting on the dynamic of the Lotka-Volterra predator-prey model are studied. In this model, time delay is given in prey interaction of the prey equation. Furthermore, prey and predator are then harvested with constant rate of harvesting. In this model, the number of equilibrium points can be one, two, or three equilibrium points. When there exist two positive equilibrium points, one of them is stable. The change of parameters of time delay from small to big from the limit critical value of time delay causes stability switches from stable to unstable with existence of a limit cycle. The presence of limit cycle shows that prey predator model with time delay and constant rate of harvesting could lead to occurrence of Hopf bifurcation. Keywords: prey-predator, limit cycle, time delay, constant rate of harvesting, Hopf bifurcation.
5 BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
6
7 Judul Skripsi : Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda Nama : Ni Nyoman Suryani NIM : G Disetujui oleh Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing I Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada ayah, ibu, kakak, serta keluarga besar atas doa, dukungan, dan kasih sayangnya. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Dr Ir Endar H Nugrahani, MS yang telah banyak memberi saran. Tak lupa juga ucapan terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika IPB atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama perkuliahan, serta teman-teman KMHD IPB 47, Brahmacarya Bogor, Matematika 46 dan 47 yang telah banyak membantu dalam proses penyusunan tugas akhir ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juli 2014 Ni Nyoman Suryani
9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 6 Model Matematika 6 Analisis Model Tanpa Waktu Tunda 8 Simulasi Numerik Model Tanpa Waktu Tunda 9 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1 9 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2 10 Analisis Model dengan Waktu Tunda 11 Simulasi Numerik Model dengan Waktu Tunda 15 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1 15 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2 16 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3 17 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 4 18 SIMPULAN 19 DAFTAR PUSTAKA 20 RIWAYAT HIDUP 47
10 DAFTAR TABEL 1 Pemilihan nilai tingkat pemanenan konstan 9 2 Pemilihan nilai awal dan waktu tunda model 15 DAFTAR GAMBAR 1 Bidang fase kasus Bidang solusi kasus Bidang fase kasus Bidang solusi kasus Bidang fase kasus Bidang solusi mangsa kasus 1 (a) dan pemangsa kasus 1 (b) 16 7 Bidang fase kasus Bidang solusi mangsa kasus 2 (a) dan pemangsa kasus 2 (b) 16 9 Bidang fase kasus Bidang solusi mangsa kasus 3 (a) dan pemangsa kasus 3 (b) Bidang fase kasus Bidang solusi mangsa kasus 4 (a) dan pemangsa kasus 4 (b) 18 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan kondisi keberadaan titik tetap model (12) 21 2 Penentuan kestabilan titik tetap model (12) 22 3 Kode program simulasi numerik kasus 1 model (12) 23 4 Kode program simulasi numerik kasus 2 model (12) 24 5 Linearisasi model (11) 25 6 Penentuan persamaan karakteristik (14) 26 7 Penentuan akar persamaan karakteristik (18) 28 8 Penentuan waktu tunda kritis (21) 29 9 Penentuan turunan implisit persamaan karakteristik (14) Penjabaran fungsi sign Penjabaran kondisi transversalbilitas Program plot bidang fase kasus 1 (Gambar 6 ) Program plot bidang solusi mangsa kasus 1 (Gambar 7 (a)) Program plot bidang solusi pemangsa kasus 1 (Gambar 7 (b)) Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 8 ) Program plot bidang solusi mangsa kasus 2 (Gambar 9 (a)) Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 9 (b)) Program plot bidang fase kasus 3 (Gambar 10 ) Program plot bidang solusi mangsa kasus 3 (Gambar 11 (a)) Program plot bidang solusi pemangsa kasus 3 (Gambar 11 (b)) Program plot bidang fase kasus 4 (Gambar 11 ) Program plot bidang solusi mangsa kasus 4 (Gambar 12 (a)) Program plot bidang solusi pemangsa kasus 4 (Gambar 12 (b)) 46
11 PENDAHULUAN Latar Belakang Peningkatan atau penurunan jumlah populasi makhluk hidup merupakan fenomena yang sering terjadi di alam. Proses tersebut dapat dilihat dari proses rantai makanan yang merupakan lintasan konsumsi makanan dan terdiri atas beberapa spesies organisme. Bagian paling sederhana dari suatu rantai makanan berupa interaksi dua spesies, yaitu interaksi antara spesies mangsa (prey) dan pemangsa (predator). Kehadiran pemangsa tentunya akan memberikan pengaruh terhadap jumlah mangsa, sehingga secara alami proses rantai makanan tersebut mempengaruhi proses keseimbangan jumlah populasi di muka bumi. Sistem interaksi mangsa-pemangsa dapat dimodelkan dalam suatu model matematika. Dengan model mangsa-pemangsa, sebuah fenomena akan lebih mudah dipahami dan dapat digunakan untuk memprediksikan populasi atau spesies pada tahun tertentu. Pada tahun 1926, seorang ilmuan matematika Itali bernama Vito Volterra untuk pertama kalinya menyusun sebuah persamaan diferensial sederhana untuk menjelaskan dinamika populasi dua spesies yang berinteraksi yaitu mangsa dan pemangsa. Model Lotka-Volterra merupakan salah satu dari awal model mangsa-pemangsa dan dengan bentuk model yang cukup sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar pengembangan model yang lebih realistis. Dari waktu ke waktu bentuk model mangsa-pemangsa dimodifikasi sehingga dapat menggambarkan dengan teliti keadaan yang sebenarnya (Edelstein-Keshet 1988). Dalam konteks interaksi mangsa-pemangsa, beberapa studi mengatakan bahwa perlakuan kepada populasi lebih lanjut dapat mempertimbangkan proses tingkat pemanenan dan waktu tunda. Model mangsa pemangsa dengan pemanenan sering kali mengaitkan populasi dengan masalah ekonomi. Pengaruh dari tingkat pemanenan konstan telah dipelajari oleh Holmberg dan hasilnya menunjukkan bahwa kuota tangkapan dapat menyebabkan osilasi serta kekacauan dan meningkatkan risiko eksploitasi (Toaha dan Hassan 2008). Dalam masalah biologi, sering digunakan model matematika dengan waktu tunda yang sering disebut dengan persamaan diferensial tundaan (delayed differential equation). Pada suatu ekosistem, perubahan populasi tidak selalu monoton (mendekati maupun menjauhi) kapasitas batas. Hal ini disebabkan individu tidak dapat melahirkan terus menerus sepanjang hidupnya. Ada beberapa individu yang belum mampu berkembang biak (individu belum dewasa). Gejala ini merupakan suatu fenomena dimana suatu individu memerlukan tenggang (tundaan) waktu (time delay) untuk berkembang biak. Penyebab lain adalah karena area dan fasilitas hidup terbatas. Pada saat populasi melebihi kapasitas batas, angka kematian cenderung lebih besar daripada angka kelahiran, maka terjadilah penurunan populasi. Demikian drastisnya penurunan ini, sehingga menyebabkan populasi turun sampai di bawah kapasitas batas. Pada saat ini secara berangsur-angsur cenderung angka kematian turun dan angka kelahiran naik. Untuk membentuk model matematika dari contoh permasalahan seperti ini, digunakanlah model matematika dengan waktu tunda. Waktu tunda penting dalam pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi
12 2 pada keadaan sebelumnya. Hal ini penting untuk dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi pada waktu t tetapi juga bergantung pada waktu sebelumnya atau pada waktu. Berdasarkan permasalahan tersebut, dalam karya ilmiah ini akan dibahas atau dikaji lebih jauh tentang model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan waktu tunda. Dari model ini akan dianalisis kestabilan serta dinamika populasi mangsa pemangsa terhadap waktu. Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk : 1. Merekonstruksi model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda dan tingkat pemanenan konstan. 2. Mempelajari pengaruh waktu tunda pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan. 3. Menganalisis perubahan kestabilan titik tetap dari model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda. 4. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda. TINJAUAN PUSTAKA Suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut:, (1) dengan ( ) ( ). Jika sistem persamaan diferensial (1) tidak memuat variabel waktu t secara eksplisit maka disebut persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:. (2) Titik disebut titik tetap jika. Titik tetap disebut juga titik keseimbangan atau titik kritis. Menurut Verhulst (1990), jika merupakan titik tetap sebuah SPD dan x(t) adalah solusi SPD dengan nilai awal dengan x 0, titik dikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang radius ρ > 0 terdapat r > 0 sedemikian sehingga jika posisi awal x 0 memenuhi maka solusi x(t) memenuhi, untuk setiap t > 0. Persamaan diferensial tundaan adalah salah satu bentuk persamaan diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa waktu tundaan yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan dengan nilai dari fungsi waktu
13 3 sebelumnya. Bentuk umum persamaan diferensial tundaan untuk, yaitu: dengan dan. merepresentasikan lintasan solusi waktu lampau. Pada persamaan (3), f adalah operator fungsional yang memiliki input waktu dan fungsi kontinu dengan dan menghasilkan nilai real sebagai output (Kuang 1993). Dengan adanya persamaan tundaan yang berbentuk taklinear, perlu dilakukan sebuah pelinearan agar dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua persamaan dan dua peubah seperti berikut: (3) Andaikan adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka dan. Misalkan, dan, maka didapatkan:. Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah maka didapatkan sistem sebagai berikut:, dengan merupakan galat yang cukup kecil. Selanjutnya diperoleh:. Dengan melakukan ekspansi Taylor dua peubah maka didapatkan sistem sebagai berikut: Dalam bentuk matriks dapat dituliskan. ( ) ( ) ( ). Matriks yaitu:
14 4 ( ) disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap. Dengan, maka dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan linear: ( ) ( ) ( ), (4) Bentuk (4) disebut model terlinearkan dari model taklinear (Strogatz 1994). Misalkan matriks A berukuran, maka suatu vektor taknol x di disebut vektor eigen dari A. Jika untuk suatu skalar, yang disebut nilai eigen dari A, berlaku:. (5) Vektor x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran, maka persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut:, (6) dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (6) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika. (7) Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik dari matriks A (Tu 1994). Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks A. Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu dengan yang diperoleh dari. Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut: 1. Stabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif ( untuk semua i). b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol (Re( ) utuk semua i). 2. Takstabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah positif ( untuk semua i). b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau sama dengan nol (Re( ) utuk semua i). 3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif ( untuk i dan j sembarang). Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil (Tu 1994).
15 5 Sedangkan menurut Strogatz (1994) titik tetap dengan nilai eigen kompleks yang dinotasikan sebagai berikut: dengan asumsi, bersifat spiral stabil jika dan bersifat spiral tak stabil jika. Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi, yaitu bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa, saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen imajiner murni. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Berdasarkan persamaan karakteristik untuk menentukan kestabilan suatu titik tetap dapat menggunakan Routh-Hurwitz Criterion 1. Misalkan adalah bilangan asli dan jika dengan persamaan polinomial karakteristik:,. (8) Nilai eigen dari persamaan (8) akan mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika determinan matriks untuk dengan: [ ] adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu nilai i (untuk i=2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:.
16 6 Cara yang digunakan untuk mengetahui kemungkinan adanya akar real positif dari sebuah persamaan polinom berderajat n adalah dengan menggunakan aturan tanda Descartes yang dinyatakan sebagai berikut, misalkan merupakan polinomial derajat n dengan koefisien real dan adalah bilangan bulat yang memenuhi. Maka banyaknya akar real positif dari sama dengan banyaknya variasi tanda dari koefisien polinomialnya ( Wang 2004 ). Dalam persamaan diferensial dengan waktu tunda ( digunakan beberapa teorema dalam menentukan jenis kestabilan titik keseimbangan sebagai berikut Teorema 1 (Kar 2003) Syarat dan kondisi perlu untuk titik keseimbangan menjadi stabil asimtotik untuk semua adalah sebagai berikut 1. Bagian real untuk setiap akar-akar dari adalah negatif 2. Untuk setiap real dan,, dimana. Teorema 2 (Kar 2003) Jika nilai eigen dari sebuah persamaan karakteristik bernilai positif dan teorema 1 terpenuhi dan persamaan karakteristik dalam bentuk polinom berderajat n mempunyai akar real positif, maka titik keseimbangan adalah stabil asimtotik untuk. Setelah menemukan nilai waktu tunda kritis dan akar karakteristik yang terdapat pada garis imajiner, kemudian akan diselidiki kondisi transversalbilitas. Menurut Kar (2003), kondisi transversalbilitas adalah kondisi yang dapat menyebabkan perubahan sifat kestabilan dari titik tetap ketika waktu tunda berubah. Untuk itu perlu diketahui bahwa akar karakterisik akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif ketika waktu tunda membesar melebihi waktu tunda kritis. Kriteria untuk kondisi transversalbilitas adalah dan. (9) HASIL DAN PEMBAHASAN Model Matematika Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu, dimulai dari adanya kelahiran, perkembangan, hingga kematian. Pada tahun 1838 Verhulst memperkenalkan suatu model pertumbuhan yang sering disebut model pertumbuhan logistik, untuk menggambarkan pertumbuhan suatu populasi. Persamaan logistik adalah persamaan yang menggambarkan pertumbuhan populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung lingkungan terbatas. Dalam kenyataannya sepanjang waktu pertumbuhan keadaan
17 7 daya dukung lingkungan dapat berubah, akibatnya pertumbuhan populasi akan mengalami penundaan. Penundaan tersebut menyebabkan penurunan populasi tetapi kemudian terjadi peningkatan sehingga terjadi osilasi pada pertumbuhan populasi. Persamaan Logistik tidak dapat mendeskripsikan pertumbuhan populasi pada kasus keterlambatan (waktu tunda). Oleh karena itu dikembangkan suatu model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda. Model logistik dengan perlambatan dikenal sebagai persamaan perlambatan Hutchinson. Berikut adalah model populasi predator prey dengan perlambatan yang diperkenalkan oleh May (1974), ( ),. (10) Dalam model (10), jika dimisalkan adalah populasi mangsa pada waktu dan adalah populasi pemangsa pada waktu, maka dapat dilihat laju pertumbuhan mangsa tumbuh secara logistik. laju pertumbuhan populasi mangsa dipengaruhi oleh kematian alami yang berkurang sebesar karena adanya interaksi atau persaingan dengan individu sebelumnya ( ) serta berkurang sebesar karena pemangsaan oleh populasi pemangsa. Laju pertumbuhan populasi pemangsa akan terus berkurang secara eksponensial sebesar apabila tidak ada kehadiran populasi mangsa dan akan bertambah sebesar ketika pemangsa menyerang mangsa. Selanjutnya model (10) dikembangkan dengan mempertimbangkan asumsi tingkat pemanenan konstan. (11) di mana adalah konstanta positif dengan : r : laju pertumbuhan intrinsik mangsa, K : daya dukung lingkungan b : faktor logistik, c : laju kematian pemangsa, α : koefisien yang menunjukkan penurunan mangsa karena kehadiran satu individu pemangsa, β : koefisien yang menunjukkan penambahan pemangsa karena kehadiran satu individu mangsa, τ : waktu tunda, H x : tingkat pemanenan terhadap populasi mangsa, H y : tingkat pemanenan terhadap populasi pemangsa. Pada model (11) kedua populasi diberikan asumsi pemanenan konstan karena kedua populasi dianggap memiliki nilai komersil. Pemanenan konstan
18 8 merupakan pemanenan dengan hasil atau jumlah yang tetap pada populasi mangsa dan pemangsa setiap periode waktu panen. Analisis Model Tanpa Waktu Tunda Berikut ini adalah sistem persamaan model (11) yang akan dianalisis tanpa menggunakan waktu tunda yaitu.,, (12) Model (12) menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa terjadi secara normal dan tidak adanya masa penundaan. Laju pertumbuhan mangsa berkurang karena interaksi atau persaingan yang terjadi antara individu mangsa pada masa yang sama. Hal pertama yang harus dilakukan dalam menganalisis persamaan (12) adalah mencari titik tetap dengan membuat dan, sehingga didapatkan sebuah hubungan. Dari persamaan, bisa didapatkan dengan bernilai positif agar mendapatkan titik tetap yang berada di kuadran positif. Oleh karena itu, harus diasumsikan bahwa. Jika bernilai positif, maka dari persamaan perlu diasumsikan bahwa Model (12) akan memiliki dua buah titik tetap pada saat, atau ekuivalen dengan ( ), untuk. Titik tetap yang akan diperoleh adalah dan Titik tetap bersifat stabil asimtotik, sedangkan kestabilan titik tetap adalah tidak stabil, bersifat titik sadel. Selanjutnya untuk memeriksa kestabilan titik tetap ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan linearisasi sistem (12) di sekitar titik tetap. Matriks Jacobi pada titik tetap tersebut adalah
19 9 ( *. Persamaan karakteristik yang diperoleh dari matriks Jacobi adalah, dengan,,, Kestabilan titik tetap akan bersifat stabil asimtotik ketika dan > 0.. Simulasi Numerik Model Tanpa Waktu Tunda Dinamika populasi mangsa-pemangsa dapat digambarkan melalui kurva dalam bidang fase dan bidang solusi yang menggambarkan populasi mangsa dan pemangsa pada kurun waktu tertentu. Simulasi numerik dilakukan dengan cara mensubtitusikan nilai yang ditentukan berdasarkan analisis kondisi persamaan model populasi mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa waktu tunda. Simulasi numerik dilakukan untuk menunjukkan hasil analisis model (12) dan hanya akan ditunjukkan dengan dua kasus. Dalam simulasi ini, nilai-nilai parameter yang digunakan harus terlebih dahulu memenuhi batas keberadaan titik tetap. Nilai parameter yang bernilai tetap untuk setiap simulasi yang digunakan, yaitu. Nilai parameter yang akan berubah pada kedua kasus tersebut adalah nilai parameter tingkat pemanenan konstan. Pemilihan nilai parameter tingkat pemanenan konstan ditujukkan untuk memperlihatkan bahwa titik tetap akan bersifat stabil. Tabel 1 Pemilihan nilai tingkat pemanenan konstan Kasus Kestabilan Spiral stabil Titik sadel Spiral stabil Titik sadel Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1 Pada kasus pertama, nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang digunakan telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap positif yang diperoleh pada
20 10 kasus ini ada dua, yaitu dan. Nilai eigen titik tetap pertama adalah, sehingga kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh pada titik tetap kedua adalah dan, sehingga kestabilan titik tetap bersifat titik sadel. Gambar 1 Bidang fase kasus 1 Gambar 2 Bidang solusi kasus 1 Pada Gambar 1, diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dimana kedua populasi secara spiral menuju titik tetap serta diperlihatkan bahwa jenis kestabilan titik tetapnya spiral stabil. Gambar 2 memperlihatkan bahwa interaksi antara mangsa dan pemangsa mengalami osilasi di awal periode waktu kemudian keduanya menuju nilai yang stabil. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2 Pada kasus kedua, nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang digunakan telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap positif yang diperoleh pada kasus ini ada dua, yaitu dan. Nilai eigen titik tetap pertama adalah sehingga kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh pada titik tetap kedua adalah dan, sehingga kestabilan titik tetap bersifat titik sadel. Gambar 3 Bidang fase kasus 2 Gambar 4 Bidang solusi kasus 2
21 11 Pada Gambar 3, diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang menunjukkan kedua populasi secara spiral menuju titik tetap serta diperlihatkan bahwa jenis kestabilan adalah spiral stabil. Penurunan nilai parameter dan ini ternyata tidak menyebabkan perubahan kestabilan kedua titik tetap. Titik tetap akan selalu bersifat spiral stabil sedangkan titik tetap akan selalu bersifat titik sadel apabila kedua nilai parameter pemanenan diubah dan menuju nilai nol. Sama halnya dengan Gambar 2, Gambar 4 memperlihatkan bahwa interaksi antara mangsa dan pemangsa mengalami osilasi di awal periode waktu dengan simpangan yang semakin kecil kemudian keduanya menuju nilai yang stabil. Analisis Model dengan Waktu Tunda Hasil analisis dan simulasi model (12) menunjukkan bahwa titik tetap bersifat stabil. Pemberian waktu tunda akan menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dari stabil menjadi tidak stabil. Dalam menganalisa kestabilan titik tetap dengan waktu tunda perlu terlebih dahulu dilakukan linearisasi sistem persamaan (11) dengan transformasi dan. Setelah dilakukan linearisasi diperoleh,. (13) Persamaan karakteristik dari persamaan (13) adalah sebagai berikut dengan,, (14),,. Dalam keadaan ketika waktu tunda tidak ada atau karakteristik (14) menjadi, maka persamaan Menurut kriteria Routh-Hurwitz, nilai eigen dari persamaan karakteristik akan bernilai real dan negatif atau kompleks dengan bagian real negatif jika dan hanya jika dan (15)
22 12 Oleh sebab itu, dengan tanpa adanya waktu tunda maka titik tetap akan bersifat stabil asimtotik jika dan hanya jika memenuhi kondisi (15). Selanjutnya untuk menentukan sifat kestabilan ketika adanya waktu tunda atau adalah dengan memisalkan akar karakteristik. Kestabilan titik tetap ditentukan oleh bagian real solusi persamaan karakteristik (14). Misalkan adalah akar persamaan karakteristik (14), titik keseimbangan akan stabil jika. Jika terdapat suatu nilai tundaan kritis yang dapat menyebabkan sehingga merupakan akar imajiner murni persamaan (14), maka titik tetap mengalami perubahan sifat kestabilan. Dengan mensubtitusi, ke persamaan (14) maka diperoleh Dengan mengganti suku eksponensial ke bentuk trigonometri, bentuk persamaan tersebut berubah menjadi. Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama dengan nol, sehingga didapatkan atau ekuivalen dengan.,,. (16) Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing ruas persamaan (16) menjadi, Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat, maka diperoleh polinomial derajat empat. (17) Dari persamaan (17) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa bentuk trigonometri menghilang dan waktu tunda juga tidak muncul. Kemudian,.
23 13 persamaan (17) merupakan polinomial berderajat genap, bila didefinisikan sebagai akar dari persamaan (17) maka akan diperoleh { } (18) Menurut aturan tanda Descrates, persamaan (17) akan memiliki paling tidak satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (18) dapat diketahui jika dan, (19) menyebabkan persamaan polinom (17) tidak memiliki variasi perubahan tanda koefisien sehingga persamaan (18) tidak memiliki akar real positif. Dalam hal ini akan ditinjau jika,, dan, (20) akan ada dua solusi positif dari persamaan (18). Dengan demikian persamaan (17) memiliki akar imajiner murni. Sehingga dengan mensubtitusi ke persamaan (16) maka akan diperoleh nilai tunda kritis { ( ) ( ) } (21) Setelah menemukan nilai kritis tundaan yang memuat akar karakteristik yang terdapat pada garis imajiner maka dimungkinkan terjadi bifurkasi pada titik tersebut, kemudian akan diselidiki kondisi transversalbilitas dengan membuktikan bahwa akar karakteristik akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif ketika waktu tunda membesar melebihi waktu tunda Bifurkasi terjadi apabila persamaan (14) memenuhi kondisi transversalbilitas (9). Jika merupakan fungsi dalam,, dapat dicari dengan menggunakan turunan implisit dari persamaan karakteristik (14) sebagai berikut ( ( )) sehingga, ( ) Dari persamaan (14) diketahui bahwa, maka didapatkan ( ) Dengan demikian,
24 14 { } { ( ) } { ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) ( )} { } Dari persamaan (17), telah diketahui bahwa maka diperoleh, { } { } { }. (22) Persamaan (22) dan (18) tersebut menunjukkan bahwa { } { } sehingga Lalu { },. { } { } akibatnya { },. Oleh karena itu, kondisi transversalbilitas terpenuhi dan karenanya terjadi bifurkasi di,. Teorema 3 (Kar 2003) Misalkan didefinisikan pada persamaan (21), jika persamaan (14) dan (20) terpenuhi maka titik tetap adalah stabil ketika
25 15 [, dan tidak stabil ketika [, untuk beberapa bilangan bulat positif m. Oleh karena itu terdapat bifurkasi di titik tetap ketika Simulasi Numerik Model dengan Waktu Tunda Simulasi numerik model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan waktu tunda dilakukan untuk menunjukkan bahwa terdapat pengaruh waktu tunda pada kestabilan titik tetap model. Proses komputasi ini menggunakan sistem aljabar komputer Mathematica 9. Nilai-nilai parameter yang akan digunakan harus terlebih dahulu memenuhi batas keberadaan titik tetap dan sama seperti yang digunakan pada simulasi model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan dan tanpa waktu tunda. Nilai parameter yang bernilai tetap untuk setiap simulasi yaitu. Nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang akan digunakan juga akan bernilai tetap yaitu dan. Selain parameter yang telah disebutkan, perlu dilakukan pemilihan nilai awal dan parameter waktu tunda yang ditujukkan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan titik tetap. Pada simulasi ini akan disediakan empat kasus untuk menunjukkan keberadaan bifurkasi Hopf. Tabel 2 Pemilihan nilai awal dan waktu tunda model Kasus Kestabilan Spiral stabil Spiral stabil Spiral tidak stabil Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1 Kasus pertama menggunakan nilai parameter, serta nilai awal yang telah diberikan pada Tabel 2. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu. Nilai eigen yang diperoleh adalah, sehingga kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil. Gambar 5 Bidang fase kasus 1 kasus 1
26 16 (a) Gambar 6 Bidang solusi mangsa kasus 1 (a) dan pemangsa kasus 1 (b) Gambar 5 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang menunjukkan kedua populasi stabil menuju titik tetap dan diperlihatkan bahwa jenis kestabilan titik tetapnya adalah spiral stabil. Gambar 6 (a) dan 6 (b) memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi mangsa dan pemangsa memiliki dinamika pertumbuhan yang tidak stabil. Setelah itu, populasi mangsa dan pemangsa mengalami kestabilan pada titik (56.84,6.046) dan (59.48,3.252). Hal ini menunjukkan bahwa jumlah populasi mangsa terlebih dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan kestabilan jumlah populasi pemangsa. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2 Kasus kedua menggunakan nilai parameter, serta nilai awal yang telah diberikan pada Tabel 2. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu. (b) Gambar 7 Bidang fase kasus 2 kkkkasus 2 (a) (b) Gambar 8 Bidang solusi mangsa kasus 2 (a) dan pemangsa kasus 2 (b)
27 17 Gambar 7 menunjukkan kurva bergerak secara spiral menuju titik tetap. Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dilihat dalam bidang solusi Gambar 8 (a) dan 8 (b). Di awal pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa terjadi ketidakstabilan jumlah, lalu semakin lama akan menuju kestabilan pada titik (371, 6.063) dan (388.9, 3.25). Hal ini menunjukkan bahwa jumlah populasi mangsa terlebih dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan kestabilan jumlah populasi pemangsa. Perbedaan bidang solusi kasus pertama dan kedua terlihat jelas pada Gambar 6 dan Gambar 8, yaitu dengan memberikan waktu tunda akan menyebabkan kedua populasi membutuhkan waktu yang lebih lama untuk mencapai kestabilan. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3 Kasus ketiga menggunakan nilai parameter, serta nilai awal yang telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu. Gambar 9 Bidang fase kasus 3 (a) (a) Gambar 10 Bidang solusi mangsa kasus 3 (a) dan pemangsa kasus 3 (b) Gambar 9 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap. Gambar bidang fase memperlihatkan bahwa penaikan nilai menjadi menyebabkan perubahan jenis kestabilan menjadi tidak stabil. Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dilihat dalam bidang solusi gambar 10 (a) dan 10 (b). Di awal pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa terjadi osilasi dengan simpangan yang kecil, namun semakin lama nilai simpangannya semakin besar sehingga menyebabkan kedua populasi tidak stabil. (b)
28 18 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 4 Kasus keempat menggunakan nilai parameter, serta nilai awal yang telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu penaikan nilai. Gambar 11 Bidang fase kasus 4 (a) Gambar 12 Bidang solusi mangsa kasus 4 (a) dan pemangsa kasus 4 (b) Kemunculan limit cycle pada Gambar 11 menunjukkan bahwa pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Gambar 11 juga menunjukkan bahwa sistem kehilangan kestabilannya, yang berarti kedua populasi tidak menuju ataupun menjauhi titik tetap. Gambar 12 menunjukkan bahwa kedua populasi akan terus berosilasi dengan nilai simpangan yang sangat besar selama peroide waktu t. Oleh karena itu, merupakan titik kritis dari waktu tunda. Pada saat kestabilan akan selalu bersifat stabil tetapi apabila maka titik tetap akan kehilangan sifat kestabilannya dan menyebabkan munculnya limit cycle. Pada saat tetapi kurang dari titik kritis yang kedua, kestabilan menjadi tidak stabil dan terdapat periode bifurkasi. Dengan mengikuti Teorema 3, akan didapatkan titik kritis waktu tunda sebagai berikut,,,,,,. (b)
29 19 SIMPULAN Model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa waktu tunda menghasilkan dua buah titik tetap positif yaitu dan. Kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil dan titik tetap bersifat sadel, sehingga tidak akan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Dengan adanya pemberian waktu tunda tak nol serta penyesuaian nilai parameter lainnya, maka akan diperoleh suatu nilai waktu tunda saat terjadi bifurkasi Hopf. Perubahan parameter waktu tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda kritis menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap stabil menjadi tidak stabil, disertai adanya kemunculan limit cycle. Hal tersebut menandakan bahwa pada model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda terjadi bifurkasi Hopf.
30 20 DAFTAR PUSTAKA Edelstein-Keshet L Mathematica Models in Biology. New York (US): Random House. Kar TK Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38: Kuang Y Delay Differential Equation with Application in Population Dynamics. Boston: Academic Press. May RM Stability and Complexity of Model Ecosystems. New Jersey (US): Princeton University Press. Strogatz SH Nonlinear Dynamic and Chaos with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley Publishing Company. Toaha S, Hassan MA Stability Analysis of Predator-Prey Population Model with Time Delay and Constant Rate of Harvesting. Punjab University of Mathematics. 40: Tu PNV Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag. Verhulst F Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. New York (US): Springer-Verlag. Wang X A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs. The American Mathematical Monthly. 111:
31 21 Lampiran 1 Penentuan kondisi keberadaan titik tetap model (12) Model persamaan (12) : Titik tetap persamaan (12) ditentukan dengan membuat persamaan menjadi dan, sehingga didapatkan sebuah hubungan berikut Dari persamaan diperoleh: Agar maka dan Dari persamaan diperoleh: Nilai jika Model (12) akan memiliki dua buah titik tetap yang positif apabila memenuhi kondisi seperti diatas dan untuk
32 22 Lampiran 2 Penentuan kestabilan titik tetap model (12) Misalkan Dengan melakukan pelinearan model (12) didapat matriks Jacobi seperti berikut = = ( ) = ( ) Misalkan = ( ) ( * Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik sehingga diperoleh: Menurut aturan Routh-Hurwitz, titik tetap dan. akan bersifat stabil jika
33 23 Lampiran 3 Kode program simulasi numerik kasus 1 model (12) Misalkan dan Kode untuk mencari titik tetap [ ] [ ] Kode untuk matriks Jacobi [ ] [ ] Kode untuk mengevaluasi titik tetap pada matriks Jacobi [ ] [ ] [ ] Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap Kode untuk mengevaluasi titik tetap pada matriks Jacobi [ ] [ ] [ ] Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap Kode untuk gambar bidang fase kasus 1 (Gambar 1) { [ ] } [ ] [ ] [ ] Kode untuk gambar bidang solusi kasus 1 (Gambar 2) ([ ] [ ] [[ ]] [ ] [ ]) ([ ] [ ] [[ ]] [ ] [ ] [ ])
34 24 Lampiran 4 Kode program simulasi numerik kasus 2 model (12) Kode untuk mencari titik tetap [ ] [ ] Kode untuk matriks Jacobi [ ] [ ] Kode untuk mengevaluasi titik tetap pada matriks Jacobi [ ] [ ] [ ] Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap Kode untuk mengevaluasi titik tetap pada matriks Jacobi [ ] [ ] [ ] Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap Kode untuk gambar bidang fase kasus 2 (Gambar3) { [ ] } [ ] [ ] [ ] Kode untuk gambar bidang solusi kasus 2 (Gambar 4) ([ ] [ ] [[ ]] [ ] [ ]) ([ ] [ ] [[ ]] [ ] [ ] [ ])
35 25 Lampiran 5 Linearisasi model (11) Sistem persamaan model (11) : Sistem persamaan (11) akan dilinearisasi dengan transformasi dan. Subtitusi dan ke persamaan (11) sehingga didapatkan persamaan Dengan mengabaikan perkalian antar variabel dan antar konstanta, maka didapatkan persamaan berikut: Atau ekuivalen dengan Dengan mengabaikan perkalian antar variabel dan antar konstanta, maka didapatkan persamaan berikut: Atau ekuivalen dengan
36 26 Lampiran 6 Penentuan persamaan karakteristik (14) Misalkan ( ) ( ( ( * Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik sehingga diperoleh: ( ( ) ( )
37 27 Dengan,,,.
38 28 Lampiran 7 Penentuan akar persamaan karakteristik (18) Persamaan karakteristik (14) Misalkan akar persamaan karakteristik (14), maka persamaan (14) menjadi Dengan mengganti suku eksponensial menjadi trigonometri maka persamaannya menjadi. Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama dengan nol, sehingga didapatkan, atau ekuivalen dengan, Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing ruas persamaan menjadi., Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat, + =. maka diperoleh polinomial derajat empat. Lalu didapatkan { }
39 29 Lampiran 8 Penentuan waktu tunda kritis (21) Dari persamaan (16) didapatkan Subtitusi Misalkan ke persamaan (16) untuk mendapatkan nilai τ Dengan menggunakan kaidah sistem persamaan linear, maka untuk mendapatkan dan adalah dengan cara berikut maka Serta Maka
40 30 Untuk mendapatkan nilai, maka dilakukan cara manipulasi aljabar seperti berikut { } { }
41 31 Lampiran 9 Penentuan turunan implisit persamaan karakteristik (14) Persamaan karakteristik (14) Persamaan (14) didiferensialkan terhadap menjadi ( ) ( ) ( * Dari persamaan diperoleh, Sehingga. ( * ( *
42 32 Lampiran 10 Penjabaran fungsi sign { ( ) } { ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) ( )} Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign Bagian ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Bagian ( )
43 33 Sehingga { } Dari persamaan (17), telah diketahui bahwa maka diperoleh { } { } { }. Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja karena penyebutnya dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu bernilai positif { }
44 34 Lampiran 11 Penjabaran kondisi transversalbilitas { } { } { ( ( )* } sehingga { },. Lalu { } { } { ( ( )* } akibatnya { },.
45 Lampiran 12 Program plot bidang fase kasus 1 (Gambar 5) 35
46 36 Lampiran 13 Program plot bidang solusi mangsa kasus 1 (Gambar 6 (a))
47 37 Lampiran 14 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 1 (Gambar 6 (b)) Lampiran 15 Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 7)
48 38 Lampiran 15 Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 7)
49 39 Lampiran 16 Program plot bidang solusi mangsa kasus 2 (Gambar 8 (a)) Lampiran 17 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 8 (b))
50 40 Lampiran 17 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 8(b))
51 Lampiran 18 Program plot bidang fase kasus 3 (Gambar 9 ) 41
52 42 Lampiran 19 Program plot bidang solusi mangsa kasus 3 (Gambar 10 (a))
53 Lampiran 20 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 3 (Gambar 10 (b)) 43
54 44 Lampiran 21 Program plot bidang fase kasus 4 (Gambar 11 )
55 Lampiran 22 Program plot bidang solusi mangsa kasus 4 (Gambar 12 (a)) 45
56 46 Lampiran 23 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 4 (Gambar 12 (b))
57 47 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 29 Oktober Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Putu Seneng dan Ni Made Warsika. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Danau Batur pada tahun 2004, Sekolah Menengah Pertama di SMP Nusantara 1 Tangerang pada tahun 2007, Sekolah Menengah Atas di SMAN 5 Tangerang pada tahun 2010, dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama perkuliahan penulis aktif di beberapa organisasi kampus maupun luar kampus, yaitu Kesatuan Mahasiswa Hindu Dharma (KMHD) IPB, Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika), dan Brahmacarya Bogor. Pada tahun , penulis aktif sebagai anggota KMHD IPB dan Brahmacarya Bogor. Pada tahun , penulis aktif sebagai Bendahara II KMHD IPB. Pada tahun , penulis aktif sebagai Bendahara Umum KMHD IPB dan Staf Divisi Math Event Gumatika. Selain itu penulis juga aktif dalam kepanitiaan acara nasional sebagai Bendahara Umum dalam IPB Mathematics Challenge pada tahun Penulis juga aktif mengikuti lomba tingkat mahasiswa. Beberapa prestasi yang pernah diraih oleh penulis antara lain Juara 1 volley putri SPIRIT FMIPA IPB pada tahun 2012 dan Juara 1 volley putri SPIRIT FMIPA IPB pada tahun 2013.
BIFURKASI HOPF PADA MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA DAN TINGKAT PEMANENAN KONSTAN LOLA OKTASARI
BIFURKASI HOPF PADA MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA DAN TINGKAT PEMANENAN KONSTAN LOLA OKTASARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN PEMANENAN KONSTAN LILIS SAODAH
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN PEMANENAN KONSTAN LILIS SAODAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN ADANYA PEMANENAN POPULASI EKA PUJIYANTI
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN ADANYA PEMANENAN POPULASI EKA PUJIYANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciPERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN
PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA ADE NELVIA
ANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA ADE NELVIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Lebih terperinciMODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM
MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK RIDWAN IDHAM. Model
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN PEMANENAN OPTIMAL PADA PEMANGSA
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 21 Oktober 2017 Surabaya Universitas Airlangga KESTABILAN MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN PEMANENAN OPTIMAL PADA PEMANGSA Muhammad Ikbal 1) Syamsuddin
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, dan Kus Prihantoso Krisnawan,M.
1 Abstrak ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, Kus Prihantoso Krisnawan,M.Si 3 1 Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas
Lebih terperinciT 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf
T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciPEMANENAN OPTIMAL PADA MODEL REAKSI DINAMIK SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR. Yuliani, Marwan Sam
Jurnal Dinamika, September 2015, halaman 25-38 ISSN 2087-7889 Vol. 06. No. 2 PEMANENAN OPTIMAL PADA MODEL REAKSI DINAMIK SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR Yuliani, Marwan Sam Program StudiMatematika,
Lebih terperinciMODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK
SEMIRATA MIPAnet 2017 24-26 Agustus 2017 UNSRAT, Manado MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK HASAN S. PANIGORO 1, EMLI RAHMI 2 1 Universitas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: A adalah matriks koefisien konstan
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR Oleh: Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. I Gusti Ngurah Rai Usadha, M.Si Subchan, Ph.D Drs. Kamiran, M.Si Noveria
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA MANGSA-PEMANGSA DENGAN SEBAGIAN MANGSA SAKIT
Vol 10 No 2, 2013 Jurnal Sains, Teknologi dan Industri MODEL MATEMATIKA MANGSA-PEMANGSA DENGAN SEBAGIAN MANGSA SAKIT Mohammad Soleh 1, Siti Kholipah 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR
Jurnal Euler, ISSN: 2087-9393 Januari 2014, Vol.2, No.1, Hal.1-12 ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR Hasan S. Panigoro 1 Diterima:
Lebih terperinciT 3 Model Dinamika Sel Tumor Dengan Terapi Pengobatan Menggunakan Virus Oncolytic
T 3 Model Dinamika Sel Tumor Dengan Terapi Pengobatan Menggunakan Virus Oncolytic Oleh : Ali Kusnanto, Hikmah Rahmah, Endar H. Nugrahani Departemen Matematika FMIPA-IPB Email : alikusnanto@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciAgus Suryanto dan Isnani Darti
Pengaruh Waktu Tunda pada Model Pertumbuhan Logistik Agus Suryanto dan Isnani Darti Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Brawijaya suryanto@ub.ac.id www.asuryanto.lecture.ub.ac.id Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciDINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA TUNGGAL DISKRET LAILATUL QODARIAH
DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA TUNGGAL DISKRET LAILATUL QODARIAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
TUGAS AKHIR ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR ( S TA B I L I T Y A N A LY S I S O F A P R E D AT O R - P R E Y M O D E L W I T H I N F E C T
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA
KESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA STABILITY OF BIOECONOMICS MODELS PREY PREDATOR SYSTEM FISHERIES RESOURCES WITH HARVESTING
Lebih terperinciSimulasi Kestabilan Model Predator Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Simulasi Kestabilan Model Predator Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan 1 Ai Yeni, 2 Gani Gunawan, 3 Icih Sukarsih 1,2,3 Prodi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciSOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH
SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciMODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI Supandi, Saifan Sidiq Abdullah Fakultas PMIPATI Universitas PGRI Semarang hspandi@gmail..com Abstrak Persaingan kehidupan di alam dapat dikategorikan
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET
Vol. 5, No., Juni 009: 54-60 BIFUKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKET ubono Setiawan Mahasiswa S Jurusan Matematika Universitas Gadah Mada Email : rubono_4869@yahoo.co.id Abstrak Di
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING II DAN WAKTU TUNDA
KESTABILAN MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING II DAN WAKTU TUNDA STABILITY OF PREDATOR PREY MODEL WITH HOLLING TYPE II FUNCTIONAL RESPONSE AND TIME DELAY Budyanita Asrun, Syamsuddin
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA
KESTABILAN MODEL BIOEKONOMI SISTEM MANGSA PEMANGSA SUMBER DAYA PERIKANAN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PEMANGSA Rustam Jurusan Matematika Universitas Sembilanbelas November Kolaka Email: rustam.math6@gmail.com/rustam.math@usn.ac.id
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear)
3 II. LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Biasa Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai = + ; =, R (1) dengan
Lebih terperinciSEMINAR HASIL TUGAS AKHIR Jurusan Matematika FMIPA ITS
SEMINAR HASIL TUGAS AKHIR Jurusan Matematika FMIPA ITS Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah 1209 100 703 Dosen Pembimbing: Dr Erna Apriliani,
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK SKEMA EULER UNTUK MODEL PREDATOR-PREY DENGAN EFEK ALLEE KUADRATIK
ANALISIS DINAMIK SKEMA EULER UNTUK MODEL PREDATOR-PREY DENGAN EFEK ALLEE KUADRATIK (DYNAMICAL ANALYSIS OF EULER SCHEME FOR PREDATOR- PREY WITH QUADRATIC ALLEE EFFECT) Vivi Aida Fitria 1, S.Nurul Afiyah2
Lebih terperinciSimulasi Model Mangsa Pemangsa Di Wilayah yang Dilindungi untuk Kasus Pemangsa Tergantung Sebagian pada Mangsa
Simulasi Model Mangsa Pemangsa Di Wilayah yang Dilindungi untuk asus Pemangsa Tergantung Sebagian pada Mangsa Ipah Junaedi 1, a), Diny Zulkarnaen 2, b) 3, c), dan Siti Julaeha 1, 2, 3 Jurusan Matematika,
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciDINAMIKA ORDE PERTAMA SISTEM NONLINIER TERKOPEL DENGAN RELASI PREDASI, MUTUAL, DAN SIKLIK (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi)
1 DINAMIKA ORDE PERTAMA SISTEM NONLINIER TERKOPEL DENGAN RELASI PREDASI, MUTUAL, DAN SIKLIK (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi) Oleh: MADA SANJAYA WS G74103018 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS
Lebih terperinciDINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED)
DINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED) Amir Tjolleng 1), Hanny A. H. Komalig 1), Jantje D. Prang
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK MODEL POPULASI MANGSA PEMANGSA DENGAN WILAYAH RESERVASI DAN PEMANENAN PEMANGSA Aidil Awal 1*), Syamsuddin Toaha 2), Khaeruddin 2)
ANALISIS DINAMIK MODEL POPULASI MANGSA PEMANGSA DENGAN WILAYAH RESERVASI DAN PEMANENAN PEMANGSA Aidil Awal 1*) Syamsuddin Toaha 2) Khaeruddin 2) Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciSTABILITAS GLOBAL MODEL HOLLING-TANNER TIPE II LAZUARDI RAMADHAN
STABILITAS GLOBAL MODEL HOLLING-TANNER TIPE II LAZUARDI RAMADHAN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 013 ABSTRAK LAZUARDI RAMADHAN. Stabilitas
Lebih terperinciPENGARUH SCAVENGER (Pemakan Bangkai) TERHADAP KESTABILAN POPULASI MANGSA PEMANGSA PADA MODEL LOTKA VOLTERRA ELI WAHYUNI
PENGARUH SCAVENGER (Pemakan Bangkai) TERHADAP KESTABILAN POPULASI MANGSA PEMANGSA PADA MODEL LOTKA VOLTERRA ELI WAHYUNI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
Lebih terperinciMODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM
MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011 ABSTRAK RIDWAN IDHAM. Model
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN TESIS diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Pendidikan Disusun
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. hidup lainnya. Interaksi yang terjadi antara individu dalam satu spesies atau
1 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Setiap mahluk hidup dituntut untuk senantiasa berinteraksi dengan mahluk hidup lainnya. Interaksi yang terjadi antara individu dalam satu spesies atau interaksi antara
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciModel Matematika Jumlah Perokok dengan Nonlinear Incidence Rate dan Penerapan Denda
Model Matematika Jumlah Perokok dengan Nonlinear Incidence Rate dan Penerapan Denda Mohammad Soleh 1, Ifnur Haniva 2 1,2 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl.
Lebih terperinciKESTABILAN MODEL SATU MANGSA DUA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING III DAN PEMANENAN
KESTABILAN MODEL SATU MANGSA DUA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING III DAN PEMANENAN STABILITY OF ONE PREY TWO PREDATOR MODEL WITH HOLLING TYPE III FUNCTIONAL RESPONSE AND HARVESTING Didiharyono,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciLocal Stability of Predator Prey Models With Harvesting On The Prey. Abstract
Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika 99 Local Stability of Predator Prey Models With Harvesting On The Prey Oleh : Saiful Marom Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pekalongan Abstract In this paper considered
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODIFIKASI MODEL PREDATOR-PREY LESLIE GOWER DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA MODIFIKASI MODEL PREDATOR-PREY LESLIE GOWER DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciANALISA KESEIMBANGAN INTERAKSI POPULASI TERUMBU KARANG, SIPUT DRUPELLA DAN PREDATORNYA MELALUI PHASE PORTRAIT
JIMT Vol. 11 No. 1 Juni 2014 (Hal. 82 93) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 2450 766X ANALISA KESEIMBANGAN INTERAKSI POPULASI TERUMBU KARANG, SIPUT DRUPELLA DAN PREDATORNYA MELALUI PHASE PORTRAIT
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE JUMADI
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE JUMADI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa
Lebih terperinciANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN MODEL MOBIL PENGIKUT PENI FITRIA RAHARJANTI
ANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN MODEL MOBIL PENGIKUT PENI FITRIA RAHARJANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015 PERNYATAAN
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN MODEL PADA PENYEBARAN HIV-AIDS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 2 (2015), hal 101 110 PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN MODEL PADA PENYEBARAN HIV-AIDS Dwi Haryanto, Nilamsari Kusumastuti,
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN PADA MODEL DUA MANGSA- SATU PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING DAN PEMANENAN
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 21 Oktober 2017 Surabaya Universitas Airlangga ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL DUA MANGSA- SATU PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING DAN PEMANENAN Armin 1) Syamsuddin
Lebih terperinciMODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN MIGRASI
MODEL SEIR PENYAKIT CAMPAK DENGAN VAKSINASI DAN MIGRASI Mohammmad Soleh 1, Siti Rahma 2 Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl HR Soebrantas No 155 KM 15 Simpang Baru Panam Pekanbaru muhammadsoleh@uin-suskaacid
Lebih terperinciPenentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE AHMAD SUYUTI LATIF
ANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE AHMAD SUYUTI LATIF SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN. 4.1 Asumsi yang digunakan dalam sistem mangsa-pemangsa. Dimisalkan suatu habitat dimana spesies mangsa dan pemangsa hidup
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Asumsi yang digunakan dalam sistem mangsa-pemangsa Dimisalkan suatu habitat dimana spesies mangsa dan pemangsa hidup berdampingan. Diasumsikan habitat ini dibagi menjadi dua
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN LOKAL MODEL DINAMIKA PENULARAN TUBERKULOSIS SATU STRAIN DENGAN TERAPI DAN EFEKTIVITAS CHEMOPROPHYLAXIS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal 173 182. ANALISIS KESTABILAN LOKAL MODEL DINAMIKA PENULARAN TUBERKULOSIS SATU STRAIN DENGAN TERAPI DAN EFEKTIVITAS CHEMOPROPHYLAXIS
Lebih terperinciPenerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami
Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti Nida Sri Utami Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMS Lina Aryati Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK
Lebih terperinciPengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah, Erna Apriliani Jurusan
Lebih terperinciBAB I Pendahuluan Latar BelakangMasalah
BAB I Pendahuluan 1.1. Latar BelakangMasalah Model matematika merupakan representasi masalah dalam dunia nyata yang menggunakan bahasa matematika. Bahasa matematika yang digunakan dalam pemodelan meliputi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Wereng batang cokelat (Nilaparvata lugens), biasa disebut hama WBC. Hama ini merupakan hama umum tanaman padi di Indonesia, yaitu sudah lebih dari 80 tahun menjadi
Lebih terperinciANALISA KESTABILAN DAN KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PEMANENAN FITOPLANKTON-ZOOPLANKTON
ANALISA KESTABILAN DAN KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PEMANENAN FITOPLANKTON-ZOOPLANKTON Dosen Pembimbing: 1. Drs. Mohammad Setijo Winarko M. Si 2. Drs. Kamiran M. Si Arum Fitri Anisya 1209100054 JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciAnalisis Kestabilan Model Penurunan Sumber Daya Hutan Akibat Industri
J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 1, Maret 2018, 31-40 Analisis Kestabilan Model Penurunan Sumber Daya Hutan Akibat Industri Indira Anggriani 1, Sri Nurhayati 2, Subchan
Lebih terperinciKESTABILAN POPULASI MODEL LOTKA-VOLTERRA TIGA SPESIES DENGAN TITIK KESETIMBANGAN ABSTRACT
KESTABILAN POPULASI MODEL LOTKA-VOLTERRA TIGA SPESIES DENGAN TITIK KESETIMBANGAN Ritania Monica, Leli Deswita, Rolan Pane Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN INTERFERENSI ANTARPEMANGSA FIKRI AZHARI
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN INTERFERENSI ANTARPEMANGSA FIKRI AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 03 ABSTRAK FIKRI
Lebih terperinciKestabilan Titik Ekuilibrium Model SIS dengan Pertumbuhan Logistik dan Migrasi
Kestabilan Titik Ekuilibrium Model SIS dengan Pertumbuhan Logistik Migrasi Mohammad soleh 1, Parubahan Siregar 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG
Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 235-244 ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG Hidayu Sulisti, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti
Lebih terperinciKESTABILAN TITIK EQUILIBRIUM MODEL SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PENYAKIT FATAL DENGAN MIGRASI
KESTABILAN TITIK EQUILIBRIUM MODEL SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PENYAKIT FATAL DENGAN MIGRASI Mohammad soleh 1, Leni Darlina 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam
Lebih terperinciMATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG
MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciMODEL PREDATOR-PREY DENGAN DUA PREDATOR
JMP : Volume 5 Nomor 1, Juni 201, hal. 4-51 MODEL PREDATOR-PREY DENGAN DUA PREDATOR Danar Agus Nugroho dan Rina Reorita Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman Email
Lebih terperinciANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MICHAELIS- MENTEN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI MANGSA HANDANU DWARADI
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MICHAELIS- MENTEN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI MANGSA HANDANU DWARADI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciPENYELESAIAN MODEL MANGSA PEMANGSA TIGA SPESIES DENGAN METODE HOMOTOPI YULI RAHMAWATI
PENYELESAIAN MODEL MANGSA PEMANGSA TIGA SPESIES DENGAN METODE HOMOTOPI YULI RAHMAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN
Lebih terperinciAPLIKASI METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL PADA SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PENDAHULUAN
APLIKASI METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL PADA SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA E. KHATIZAH 1, P. T. KARIMA 2, D. I. ASTUTI 2 Abstrak Metode transformasi diferensial merupakan salah satu metode pendekatan
Lebih terperinciANALISIS MATEMATIKA MODEL GOMPERTZ, MODEL GYLLENBERG-WEBB DAN MODIFIKASINYA PADA PERTUMBUHAN TUMOR KHAIRIDA ISKANDAR
ANALISIS MATEMATIKA MODEL GOMPERTZ, MODEL GYLLENBERG-WEBB DAN MODIFIKASINYA PADA PERTUMBUHAN TUMOR KHAIRIDA ISKANDAR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciSKEMA NUMERIK PERSAMAAN LESLIE GOWER DENGAN PEMANENAN
Skema Numerik ersamaan Leslie Gower dengan emanenan SKEMA NUMERIK ERSAMAAN LESLIE GOWER DENGAN EMANENAN Trija Fayeldi Jurusan endidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang Email: trija_fayeldi@yahoocom
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciDinamik Model Epidemi SIRS dengan Laju Kematian Beragam
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 10 No 1, April 2014, hal 1-7 Dinamik Model Epidemi SIRS dengan Laju Kematian Beragam Ni matur Rohmah, Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Jurusan Matematika,
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciBIFURKASI PADA MODEL INTERAKASI TUMBUHAN DAN HERBIVORA IRMA SAHARA
i BIFURKASI PADA MODEL INTERAKASI TUMBUHAN DAN HERBIVORA IRMA SAHARA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 ii iii PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR-PREY PADA POPULASI ECENG GONDOK DENGAN ADANYA IKAN GRASS CARP DAN PEMANENAN
ANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR-PREY PADA POPULASI ECENG GONDOK DENGAN ADANYA IKAN GRASS CARP DAN PEMANENAN Skripsi disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS STABILITAS DARI PENULARAN PENYAKIT GONORE
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 47-56. PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS STABILITAS DARI PENULARAN PENYAKIT GONORE Tri Wahyuni, Bayu Prihandono, Nilamsari
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) ABSTRAK
ISBN : 978-979-7763-3- ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) Oleh Ahmadin Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Lebih terperinciPENGARUH MAKANAN TAMBAHAN DALAM MODEL MANGSA PEMANGSA BEDDINGTON DEANGELIS
PENGARUH MAKANAN TAMBAHAN DALAM MODEL MANGSA PEMANGSA BEDDINGTON DEANGELIS Ali Kusnanto 1), Hani Ammariah 2), Elis Khatizah 3) 1)2)3) Departemen Matematika, FMIPA, Institut Pertanian Bogor Kampus IPB Darmaga,
Lebih terperinciANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA
ANALISIS STABILITAS MODEL MATEMATIKA DARI PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MELALUI TRANSPORTASI ANTAR DUA KOTA ANALYSIS OF STABILITY OF SPREADING DISEASE MATHEMATICAL MODEL WITH TRANSPORT-RELATED INFECTION
Lebih terperinciMODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN Desi Oktaviani, Kartono 2, Farikhin 3,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas
Lebih terperinci