ANALYSIS SENSITIVITAS PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN

Transkripsi

1 Aaly Setvta pada Program Iteger Campura Fagzduhu Bu ulolo ANAYSIS SENSIIVIAS PADA PROGRAM INEGER CAMPRAN Fagzduhu Bu ulolo Departmet Mathemat, verta Sumatera tara, Meda 2055 Idoea Abtra: Metode Smple merupaa te utu memecaha peroala program lear yag mempuya umlah varable eputua da pembata yag bear, dmaa peyeleaaya merupaa proedur alabar yag berat teratve. Selautya dlaua lagah-lagah proedur Gomory Cuttg agar memeuh varable eputua yag deheda teger. Ja tda, uatu edala Gomory baru dbuat lag dar tabel yag dhala da metode dual mple dguaa lag utu megata etdalayaa. Aal etvta yag dlaua utu megetahu perubaha parameter da pegaruh perubaha terhadap oee-oee varable eputua yag otu dar ug tuua etelah dperoleh peyeleaa optmal. Peetua bearya perubaha oee ug tuua c dar la c mead (c + q) dapat dperoleh dalam bata-bata yag dtetapa oleh emua varable oba. Bata ata atau bata baah la q guaa ormula C NBV = C BV. B -. NBV C NBV utu varable oba pada peyeleaa optmal Metode Smple da Metode Gomory. Kata uc: Smplex Method, Gomory Cuttg Plae, Iteger Program.. Pedahulua Dalam beberapa apla pemrograma lear terdapat ebutuha tda haya utu megoptmala ug tertetu dega odod tertetu, aa tetap uga megevalua pegaruh od maalah yag terdapat dalam olu optmal. Malya, hal pembela baha metah dar umber la yag meyebaba oee ug tuua c berubah. e utu meyeleaa maalah terebut mau edalam ategor aal etvta da pemrograma parametr yag tergatug pada apaah perubaha dalam oee terebut drt atau otu. Dega megguaa metode mple utu meyeleaa peroala program lear yag merupaa proedur alabat yag berat terat, yag bergera elagah dem elagah, dmula dar uatu tt etrem pada daerah eable (ruag olu) meuu e tt etrem yag optmum. Apabla pada uatu tera ddapat peroala program lear yag udah optmum (berdaara od optmala), tetap belum eabel (ada pembata oegatve yag tda terpeuh), maa peroala terebut haru deleaa dega megguaa metode dual mple. Metode dual mple agat petg utu dguaa dalam aal etvta. Pemrograma lear teger (teger lear programmg/ip) pada tya berata dega program-program lear dmaa beberapa atau emua varable meml la-la teger (bulat( atau drt. Sebuah IP dataa berat campura atau mur bergatug pada apaah beberapa atau emua varabel terebut dbata pada la-la teger. Walaupu beberapa algortma telah dembaga utu IP, tda atupu metode epeuhya adal dar udut perhtuga, terutama emetara umlah varabel teger megat. Pola program lear terdapat metode mle ebaga metode bau utu meyeleaa problem, amu pada program teger tda terdapat uatu metode bau. Aal etvta adalah aal yag dlaua utu megetahu abat/pegaruh dar perubaha yag terad pada parameter-parameter adalah olu optmal yag telah dcapa. Perubaha yag dmaud pada aal etvta adalah perubaha oee ug tuua utu varabel ba yag mempegaruh olu optmal. Pada program lear dega metode mple dapat dperoleh ormula utu megetahu retag perubaha ehgga peyeleaa baru tetap dpertahaa. 2. Bata Ama dalam ear Program Iteger Campura Peyeleaa program lear teger campura aat ddaara pada pelaaaa pada program lear yag megguaa loatg pot arthmetc. eradag hal membera peyeleaapeyeleaa yag alah, baha utu maalahmaalah dama oee da emua ompoe peyeleaa adalah teger ecl. Dperlhata betapa mudahya dega megguaa artmeta lgara da terval, ebelum da etelah proe program lear yag tmbul dalam ebuah eraga dalam meam baha tda ada peyeleaa yag hlag, etdaya utu program-program teger campura dmaa emua varabel dapat dbata dega bata-bata uura yag eua. Dalam program teger campura oleh Woley ecara huu dguaa utu mecar bata-bata yag lebh redah dalam obet. Aa tetap, adalah memuga etelah memproe hal perraa memperoleh bata-bata yag tepat utu ug obet terebut megguaa pembulata terarah utu memata eaurata matemat dar etap lagah dar proe terebut. 78

2 Jural Stem e Idutr Volume 6, No. 4 Otober 2005 Betu tadar M c x () Kedala Ax = b, x > 0 Betu dualya : Max b y Kedala A y < c..(2) Searag dadaa baha y adalah ebuah pedeata peyeleaa dar maalah dual da r > A y c adalah ebuah bata ata yag tepat utu redual A y c. Maa c > A y - r, ehgga c x > (A y r) x = y Ax r x = y b r x Ja dadaa bata ata yag tepat adalah : x < x Da dtula r ± = max (± r, 0) c x > y b r x > y b r x.(3) 3. Pembulata Iteger Campura Pemotoga pembulata teger campura da Gomory Cuttg Plae yag dbuat dapat dhala melalu pembulata teger (Marchad & Woley). Pembulata teger campura adalah ebuah te utu membuat potoga-potoga - potoga yag ddaara pada lemma berut : emma : Adaata > 0, a R, R da ddeea q : = = 0,, β : = (2q ) + 2q( q) a =, : = b : = a - a q( a a) + a q( a + a) Maa 0 z Z a z - b z + β (4) But : Dtuua dega z ebaga ub vector dar z yag dmbola dega. tu embarag part dar {l,., } e dalam umlah dua hmpua, : : Z adalah ebuah perala tegral. Searag blaga : = / da = / adalah pegal tegral yag ama atau berhubuga dega, oleh area tu ],[. Jad memeuh etdaamaa - ( - 2q)( ) + 2q( q ) (5) Dega megguaa peramaa (5) da etdaamaa egtga u-u, maa dapat dperoleh : a Z - Y ( a a) Z ( a ) ( - 2q)( ) + 2q( q) ( a a) ( ) z = b z + b z + β Dmaa b = 2 2q a a da ( ) Ja dmala = b = a 2qa Z { < q( )} da = { : } /, maa dapat dperoleh b = b da b = b 4. Peyeleaa Dua Program Iteger Campura Sebuah program teger mempuya betu : M z x Kedala Ax > (6) 0 < x < h X teger, =,.., Dual ere adalah : Max z (7) Kedala (Ax >, 0< x < h) cx >z Dmaa D = D x. X D x R - Sebuah peyeleaa dar dual (7) dapat dperoleh dega pecabaga brach ad boud berut. Pada etap dau otah pada poho, pertdaamaa peggat yag dturua bertetaga dega pemotoga cabag dalam hal pada otah. Peggat aa mead omba ta lear dar beberapa otra da ug obet yag mug. Sebuah laua alah yag darta dar peggat. Pada etap otah dar poho ad boud, hmpua otra orgal duata dega pemotoga cabag dar betu x < v atau x > v +, varable rele telah dtetapa epaag path ampa aar otah. Relaa otu dar problem dbetu dega megguaa pegtegrala utu x, x. Problem relaa dapat dtul : M z x Kedala Ax >, Bx> b 0 < x < h Dmaa Bx > b memuat pemotoga cabag yag dplh. 5. Aal Setvta pada Program Iteger Campura eorema daulta megataa baha a hmpua dar varable ba eable, maa varable ba aa optmal a da haya a peyeleaa dual yag beraguta adalah dual eable. Hal dapat dguaa utu meyeleaa aal etvta yag berata dega perubaha pada 79

3 Aaly Setvta pada Program Iteger Campura Fagzduhu Bu ulolo oee ug tuua pada varable ba yag otu. Jad perubaha tda aa megaggu blta dar varable ba, ehgga peyeleaa ba aat tetap optmal yatu c BV. B -. eorema : tu etap, < <, C -c B B - A () c B A () But : etapa, < <. Adaa vector olom aal b dalam teorema-3 data adalah A () da otata aal z 0 ama dega c. Kemuda, b yag dhala aa berupa A () da zo yag dhala aa berupa x. Selautya teorema-3 yag dguaa pada maalah pemrograma lear dar mmze z dega z = -z 0 + c x + c 2 x 2 +.+c x dega edala AX = A (), X > 0, bermpla dega c c B A (). Halya adalah c c B A c B B - A 6. Perubaha dalam Fug Obet Adaa baha maalah pemrograma lear memmuma z X z 0 berada pada AX = b, X> 0, telah deleaa dega table ahr yag dbera oleh : A B C Z o Adaa baha X adalah olu laya daar yag berhubuga dega X = [x,x 2,.x ] ddeea oleh : x b, x = 0, x adalah varabel ba dalam peramaa e - pada ahr adalah varabel o ba pada tabel ahr Dadaa baha baya aal c dubah yatu oee c x dtambah dega q, ehgga oee baru c + q. Satu- atuya data yag dpegaruh oleh perubaha adalah bar baah dar table ahr olu optmal, ehgga X mah merupaa olu daar yag memuga. Varabel baru yag mau dalam ba dapat dtuua dalam bar ahr oleh c da z 0. Kemuda X mah aa merupaa olu optmal a c > 0. tu meetua c > 0, pertmbaga dua au. Aggaplah terlebh dahulu baha x adalah varable o ba dalam table ahr. Dega megetahu vector C B yag ddea, tda berubah edga perubaha c ehgga dar C c B B - A c B A Maa atu-atuya perubaha C dar c aa berada dalam ompoe e- dega : c + q - c B A () c + q (9) oleh area c > 0, maa c + q> 0, yatu q > - c. elautya, a q adalah pot, maa etdaamaa aa elalu dpeuh, ehgga oee baya dar varabel oba dapat dtambah tapa bataa dega tda mempegaruh olu optmal. Mepu dema, begtu c durag oleh umlah yag lebh dar c, maa lebh baya tera dar metode mple dapat dperlua utu meyeleaa maalah terebut. Searag pertmbaga au dmaa x adalah varable ba. Aggaplah x adalah varable yag dpaha dalam bar e-r dar table ahr. Kemuda c B da c B eduaya haya berbeda dar ompoa e-r, dega ompoe e-r dar C B + q dmaa q ompoe yag berorepode dar c B. Dega megguaa c c B A, Da c c c B cb A + q c = 0 A ( ) ( B utu q. ) q. ( ) A q r r q. ε r Karea = r I da c r = 0, ehgga x adalah varable ba yag dpaha dalam bar e-r. elautya agar emua c > 0, maa q.a r < c tu emua, < <, Ja r = 0, maa haru dml baha q < c I r Karea haru dguaa utu emua r > 0, maa peyeleaa memeuh q < M {c I r I 0, }. Dema uga a = 0, maa q haru memeuh q > c I r dml q > Max {c I r < 0, }. r da dega dema haru 7. Metode Pemecaha Program Iteger Dalam program lear, metode mple ddaar oleh pegeala baha pemecaha optmum terad d tt etrem dar ruag olu. Hal yag petg tya megurag uaha pecara pemecaha optmum dar eumlah pemecaha yag tda terbata mead eumlah yag terbata. Sebalya Iteger ear Programmg (IP) memula dega eumlah tt pemecaha yag terbata. etap at varable yag berbetu teger memperult peracaga ebuah algortma yag eet utu mecar ecara lagug d atara tt teger yag laya dar ruag peyeleaa. erdapat dua metode utu meghala bataa-bataa huu yag aa memaa pemecaha optmum dar maalah program lear yag dloggara utu bergera earah pemecaha teger yag dga yatu metode Brach ad 80

4 Jural Stem e Idutr Volume 6, No. 4 Otober 2005 Boud da metode Bdag Pemotog (Gomory Cuttg Plae). 8. Metode Gomory (Cuttg Plae Algorthm) Suatu proedur temat utu memperoleh olu teger optmum terhadap pure teger programmg pertama al demuaa oleh R.E. Gomory pada tahu 958. emuda proedur dperlua utu meaga au yag lebh ult, yatu mxed teger programmg. Pembetua edala Gomory adalah begtu petg ehgga memerlua perhata huu. Secara htor, metode bdag pemotog adalah metode pertama yag dpereala dalam lterature OR. Oleh area tu, maa yag daa dalam tula adalah bagamaa meemua peyeleaa optmal yag teger dega megguaa metode algortma bdag pemotog. Perca algortma raoal pertama membaha maalah P yag dloggara dpecaha yatu dega megabaa od teger, tda ada lag yag perlu dlaua. Sebalya bataa euder yag aa memaa pemecaha bergera ea rah pemecaha teger dembaga ebaga berut. Aggaplah table- merupaa tabel optmal terahr utu program lear detahu. Varable x, (I =, 2, m) meal varable ba da varable ( =,.) adalah varable oba. Varable-varabel telah datur dema utu emudaha. Pertmbaga peramaa e-i dmaa varable daar x I dmaa varable daar x meml la oteger. x = β = Aggaplah β = [ β ] = = β [ β ] da = = y [ ] = = β oteger (bar umber) (baga pecaha dar β ) (2) [ ε ] (baga pecaha dar ) (3) y Dmaa N = [] adalah teger terbear edema rupa ehgga N <. Dmpula baha 0 < < da 0 < < ; yatu adalah pecaha yag pot ecara etat da y adalah pecaha oegatve. Jad bar umber meghala = x = l = l [ β ] + [ ] (4) Agar emua varable x da adalah teger, maa aa dar peramaa (4) harulah teger yag pada glraya meyrata baha r haru pula teger. Dega detahu > 0 da > 0 utu emua da dapat dmpula baha Abat Karea = = = > 0 = < < harulah (5) teger berdaara pegembagaya, atu od utu memeuh at teger mead = = 0 (6) Bataa terahr dtul dalam betu : S = = (pemotoga raoal) (7) Dmaa S adalah varable lac oegatve yag berdaara deeya harulah ebuah teger. Peramaa bataa medeea pemotog raoal utu = 0 da S = - yag tda laya. I berart baha bataa baru terebut tda dpeuh oleh pemecaha yag dbera. Metode dual mple dapat dperguaa utu etdalayaa adalah yag etara dega memotog bdag pemecaha ea rah pemecaha teger yag optmal. Ja pemecaha baru (etelah meerapa dual mple) adalah teger, maa proe tera berahr. Ja tda ebuah pemotog raoal baru aa dembaga dar tabel yag dhala da metode dual mple dperguaa eal lag utu etdalayaa. Proedur dulag ampa pemecaha teger dcapa. etap a alah atu tera algortma dual mple terebut meuua baha tda ada pemecaha yag laya, maa maalah terebut tda meml pemecaha teger yag laya. abel. Peyeleaa optmal metode mple Daar x x x m W W Pemecaha Z c c c β x 0 0 β x 0 0 β x m 0 0 m m m β 8

5 Aaly Setvta pada Program Iteger Campura Fagzduhu Bu ulolo 9. Aal Setvta erhadap Koee Fug Obet Varabel Ba. tu memaham prp-prp daar dalam mealaa aal etvta aa delaa melalu uatu au dega ebuah cotoh tetag Stateg Baura Keuaga. Ma. 8x +6,5x 2 +20x 3 +7x 4 Kedala 2x +2x 2 +25x 3 +25x 4 <2500 x +x 2 +x 3 +2x 4 <50 50x + 00x 3 < x <0000 x + x 2 > 50 x 3 + x 4 > 25-8x +45x 2-20x 3 +86x 4 < 3000 x,x 2, x 3 x 4 > 0, da x 4 teger Dega megguaa metode mple peyeleaa optmalya dperoleh etelah melaua perhtuga pada tera 6 yag dapat dlhat pada tabel 2 dega lagah aal dover pada betu tadar. Kedala 5 da 6 yag pembataa > dala dega (-), betu aoya dperlhata pada tabel-2. Dega memperhata embal tabel-2 baha varable-varabel aalya tda membera peyeleaa aal yag eable (x 9 da x 0 berharga egatve) tetap oee peramaa z udah memeuh od optmalta, maa peroala terebut haru deleaa dega megguaa metode dual mple. Pada tera pertama x 9 (=-50) ebaga leavg varable, edaga eterg varable dplh berdaara rao terecl atara bar z dega bar x 9 yatu m 8 6,5, = 6, 5 Dega dema x 2 terplh ebaga eterg varable. Dar tabel-3 meuua baha Z C > 0, maa tera elea da peyeleaa optmal telah dcapa dega la x = 50, x 3 = 5, x 4 = 40,698, x 5 = 757,558, x 6 = 8,605, x 8 = 5930,233, x 0 = 20,698, x 2 = x 7 = x 9 = x = 0 da la ug obet ma z = 9, Peyeleaa Dega Gomory Cuttg Plae Peyeleaa optmal yag dperoleh pada tabel-3 d ata memperlhata baha belum memeuh peryarata aal terhadap varable eputua x 4 yag haru teger. Dalam hal varable eputua x 4 yag haru dplh utu memperoleh pecapaa peyeleaa teger optmum. Jad peramaa x 4 pada tabel-3 terplh utu meurua peramaa pembata baru. x = β = x 4 + 0,5 x 2 + 0,002x 7 + 0,023 x 9 + 0,02 x = 40,698 x 4 + 0,5 x 2 + 0,002 x 7 + 0,023 x 9 + 0,02 x = ,698 Peramaa pembata baruya adalah : S = (8) = S 0,5x2 0,002x7 0,023x9 0,02x = 0,698 82

6 Jural Stem e Idutr Volume 6, No. 4 Otober 2005 Peramaa (8) dmaua e dalam tabel- 3, ehgga dperoleh tabel baru yatu tabel-4. bar S pada tabel-4, dalam hal pembata baru tda memeuh peyeleaa emula ehgga utu megata etdalayaa dapat dguaa metode dual mple, yag pada daarya ama dega memotog rua peyeleaa hgga dperoleh peyeleaa teger optmum. Dega metode dual mple dperoleh tabel-5, yag meuua baha peyeleaa teger optmum telah dcapa dega x = 48,604, x 2 =,396, x 3 = 5,698 = 40 da ma z = 9,86.. Meetua terval Koee c Fug uua Selautya aal etvta dlaua pada peyeleaa optmal yag dperoleh pada tabel-5 utu megetahu abat atau pegaruh dar perubaha yag terad pada oee ug tuua utu varable ba otu terhadap peyeleaa optmal yag telah dcapa. tu memahamya pembahaa bertt tola pada peyeleaa tabel-5. Dapat detahu baha perubaha la c dar c mead (c + Δ) tda megubah harga B - da b. Karea tu, rua aa utu tabel BV, yatu B - b, tda aa berubah ehgga BV tetap laya. Megubah la c oee ug tuua varable ba artya megubah c BV ehgga beberapa oee pada bar z dar varable o ba pada tabel optmal aa berubah. Mala yag drubah adalah oe c yatu dar 8 mead (8 + Δ), maa c BV yag baru adalah: 83

7 Aaly Setvta pada Program Iteger Campura Fagzduhu Bu ulolo a. c BV. B -. c = [ 0 0 (0,234 0,004Δ) 0 (2,39-,046Δ) 0 (0,204-0,024Δ) 2Δ] ] -0 = 0,234 0,004 Δ Karea c > 0, maa -0,004 Δ > - 0,234 Δ < 58,5 b. c 9 BV. B c 9 = [ 0 0 (0,234 0,004 Δ) 0 (2,39-,046Δ) 0 (0,204-0,024Δ) 2Δ] [ ] 0 = 2,39 -,046 Δ Karea c 9 > 0, maa -,046 Δ > -2,39 Δ 2,286 c. c BV. B -. - c = [0 0 (0,234 0,004 Δ) 0 (2,39-,046Δ) 0 (0,204-0,024Δ) 2Δ] [ ] 0 = 0,204 0,024 Δ Karea c > 0, maa -0,024 Δ > -0,204 Δ < 8,5 d. c BV. B -. c = [ 0 0 (0,234-0,004Δ) 0 (2,39-,046Δ) 0 (0,204-0,02Δ) 2Δ] [ ] 0 = 2 Δ Karea c > 0, maa 2 Δ > 0 Dar harga Δ d ata, terval yag memeuh eempat pertdaamaa adalah 0 < Δ < 2,286. Artya c turu ebear 0 atau a hgga 2,286, maa dapat dmpula baha peyeleaa aat tetap optmal a la c berada pada terval 8 < c < 0,286. Nla z tetap optmal, amu tetu aa aa bearya berubah dega peetua la c yag aa dplh. Dega cara yag ama apabla dlaua perobaha pada oee c 2 yatu dar 6,5 mead (6,5 + Δ), da perubaha pada oee c 3 yatu dar 20 mead (20 + Δ), maa dperoleh la c 2 berada pada terval -2 < c 3 < 6,5 da la c 3 berada pada terval 5,428 < c 3 < Kempula Pedeata yag dlaua dalam te cuttg plae adalah dega membuat pembata tambaha ag memotog ruag eable dar program lear relaa ehgga dapat megelma peyeleaa yag tda teger. Keberhala te cuttg plae agat terbata, bergatug pada trutur peroala yag dhadap. Pembataa atau pemotoga ruag peyeleaa haru berada dalam et ove. Aal etvta yag dlaua utu megetahu abat atau pegaruh dar perubaha yag terad pada oee varable ba (BV) c terhadap peyeleaa optmal yag telah dcapa aa tetap mempuya peyeleaa optmal. Peetua bearya perubaha la oeee ug tuua c dar la c mead (c + q) dapat dperoleh dalam bata-bata yag dtetapa oleh emua varabel oba. Bata ata atau baah la q dtetua dega ormula c bv BV. B -. NBV - c NBV utu varable oba pada peyeleaa optmal Metode Smple da Metode Gomory. DAFAR PSAKA Athoy V. Vacco, Itroducto to Setvty ad Stablty Aaly Nolear Programmg, Mathematc Scece Ad Egeerg. Volume 65, Ne Yor, 983. Da, R. J., A reee Search Algorthm or Mxed Iteger Programmg Problem, Computer Joural, 8 (965), pp Datzg, G. B. ear Programmg ad Exteo, Prceto verty Pre, Prceto, N.Y., 963. Daade M. W. da Hooer J.N, Ierece Baed Setvty Aaly or Mxed Iteger/ear Programmg, Ne Yor, Jul Aug, Garel, R.S., ad G.. Nemhauer, Iteger Programmg, Joh Wley ad So, Ne Yor, 972. Gomory, R. E., A Algorth or Iteger Soluto to ear Program, R. Grave ad P. Wole, Recet Mathematcal Programmg, McGra-Hll Boo Co, Ne Yor, 963. Hamdy A. aha, Operato Reearch Itroducto, hrd Edto, Macmlla Publhg Co, Ic, Ne Yor, 982 Katorovch, egrad State verty Publher (936), ralated a Mathematcal Method the Orgazato ad Plag o Producto Maagemet Scece, 6 (960), Km. S., ad Cho, S, A Shado Prce Iteger Programmg or Maagemet Deco, Europea Joural o Operatoal Reearch, 37 (988), Koopma,. C., Cocept o Optmalty ad her e, Mathematcal Programmg, (976), euberger, D. G, ear ad Nolear Programmg, Secod Edto, Eddo Weley Publhg Compay, Staord verty, Calora, 984. Paul R. he, A Itroducto to ear Programmg ad Game heory, Departemet o Mathematc Boto College, 979. Phlp, D.. A. Ravdra ad J. Solberg, Operato Reearch : Prcple ad Practe, Ne Yor, 976. Rad, S.S, Optmzato, heory ad Applcato, Ne Delh, Wley Eater mted,