Taksiran Distribusi Aggregate Loss Asuransi Mobil Menggunakan Fast Fourier Transform (FFT) dalam Menentukan Premi Murni

Transkripsi

1 Tasra Dstrbus Aggregate Loss Asuras Mobl Megguaa Fast Fourer Trasorm FFT dalam Meetua Prem Mur Tohap Maurug *, Mas Maaohas, Program tud Matemata, Faultas Matemata da Ilmu Pegetahua Alam, Uverstas am Ratulag Maado *correspodg author emal : rs_to79@yahoocom Abstra Peelta bertuua utu meetua tasra dstrbus aggregate loss Dalam hal, aggregate loss merupaa total eruga dalam perode satu tahu yag dalam oleh pemegag pols yag dtaggug suatu perusahaa asuras Dalam tess, dtetua tasra prem mur da smpaga bau aggregate loss berdasara hasl tasra ugs peluag aggregate loss yag dperoleh Model dstrbus aggregate loss yag dguaa adalah dstrbus compoud reues lam da besar lam Utu data yag dguaa sebaga stud asus, baya lam megut dstrbus Posso dega λ =,9 da besar lam megut dstrbus Logormal dega µ = 4,96 da = 383 Dalam meetua tasra ugs peluag aggregate loss dega model dstrbus compoud tersebut, dguaa metode Ivers dega algortma Fast Fourer Trasorm FFT FFT merupaa suatu algortma yag dapat dguaa utu megversa ugs araterst sehgga dperoleh peluag peubah aca dsrt Fugs araterst selalu ada da uque FFT merupaa metode yag haya berlau utu dstrbus dsrt Oleh area tu, dstrbus besar lam yag otu harus dubah e dalam betu dstrbus dsrt yag dsebut dstrbus artmata Dstrbus artmata dtetua megguaa metode pembulata Roudg method Dar hasl aalss megguaa metode FFT, utu data yag dguaa, dperoleh epetas aggregate loss atau prem mur sebesar Rp8486,- da smpaga bau sebesar Rp78,- Aalss megguaa metode FFT dalam peelta megguaa batua peragat lua Matlab Kata uc: Aggregate loss, compoud dstrbuto, covoluto, ast ourer trasorm Estmated Dstrbuto o Aggregate Loss o Car Isurace usg Fast Fourer Trasorm FFT Determg Premums Pure Abstract Ths research ams to determe the estmate o aggregate loss dstrbuto I ths case, the aggregate loss s a total loss th oe year perod ereced by polcyholders sured by a surace compay The determato o the dstrbuto o the aggregate loss s used to determe the pure premum The model or the aggregate loss s a compoud model o clams requecy ad clams severty dstrbutos For the data used ths thess, the umber o clams ollo a Posso dstrbuto th λ =,9 ad the severty ollos a logormal dstrbuto th µ = 4,96 ad = 383 I determg the estmate o aggregate loss probablty ucto, a verso method th Fast Fourer Trasorm FFT s used FFT s a algorthm that ca be used or vertg characterstc uctos to obta probablty ucto o a dscrete radom varable The characterstc ucto alays ests ad uque FFT ca oly be appled to a dscrete dstrbuto ce the dstrbuto o severty s cotuous the t eed to be trasormed to a dscrete orm called arthmetc dstrbuto Arthmetc dstrbuto s determed by usg roudg method Usg FFT, appled to the data used as the case study, t s oud that the pure premum amouted to Rp84,86 ad the stadard devato s Rp,78, Matlab 7 s used to carry out the programmg the research Keyord: Aggregate loss, compoud dstrbuto, covoluto, ast ourer trasorm Pedahulua Pada perusahaa asuras, hususya asuras umum terdapat dua hal petg yag harus dperhata dalam megelola perusahaa asuras tersebut, ya bagamaa meetua prem yag tepat dbebaa terhadap tertaggug sured da besar cadaga reserves perusahaa dalam meaga lam Dalam measr edua hal tersebut utu perode tertetu, perusahaa

2 64 Maurug, Maaohas Tasra Dstrbus Agreggate Loss perlu meml data lam eruga perode sebelumya yag daua tertaggug epada perusahaa Berdasara data-data lam tersebut perusahaa dapat meghtug estmas dstrbus total lam utu perode berutya sebaga dasar peetua prem mur Total eruga lah yag dsebut dega aggregate loss [] Peelta bertuua utu meetua tasra dstrbus aggregate loss Dstrbus aggregate loss merupaa dstrbus peluag total besarya eruga meurut pols asuras Dstrbus aggregate loss terdr dar dstrbus reues da dstrbus severty, sehgga dstrbus dsebut uga dstrbus compoud compoud dstrbuto Dalam hal, dstrbus reues yag dmasud adalah dstrbus bayaya lam umbers o clam pada suatu perode tertetu, da dstrbus severty adalah dstrbus besar lam ag mead permasalaha adalah bagamaa measr dstrbus aggregate loss Pada saat, salah satu metode yag dguaa dalam measr dstrbus aggregate loss adalah metode Ivers Tuua dar metode Ivers adalah utu memperoleh dstrbus secara umer dar ugs araterst Metode Ivers terdr dar dua algortma yatu Fast Fourer Trasorm da Drect umercal Iverso amu dalam tess, algortma yag dguaa dalam measr dstrbus aggregate loss adalah Fast Fourer Trasorm FFT FFT merupaa algortma yag dguaa utu megversa ugs araterst utu memperoleh peluag peubah aca dsrt Algortma FFT megasumsa baha model dstrbus baya lam da dstrbus besar lam dvdu sudah detahu, sehgga algortma FFT aa meetua tasra dstrbus aggregate loss dstrbus total lam yag merupaa model collectve rs [], Dalam peelta peuls megguaa data suatu perusahaa asuras mobl pada perode satu tahu sebaga stud asus utu masalah d atas Data asuras mobl tersebut sudah daalss sebelumya [3] Berdasara hasl peeltaya utu data tersebut, dperoleh baha model yag coco utu dstrbus baya lam adalah Posso, 9 da utu dstrbus besar lam adalah Logormal 4, 96,, 383 [3] Peuls aa megguaa model dstrbus utu meetua tasra dstrbus aggregate loss asuras mobl tersebut megguaa metode FFT Dstrbus Compoud uatu elas dstrbus yag lebh besar dapat dbetu melalu proses compoudg dua dstrbus Msala P z adalah ugs pembagt peluag peubah aca prmer prmary dstrbuto da P M z adalah ugs pembagt peluag peubah aca seuder M secodary dstrbuto Maa ugs pembagt peluag compoud dstrbuto dar edua peubah aca tersebut dapat dtulsa sebaga P z P [ PM z], Dstrbus yag terbetu damaa dstrbus compoud Dstrbus compoud dapat dbetu dega cara sebaga berut Msala suatu peubah aca berdstrbus coutg yag meml ugs pembagt peluag z Msala M, M,, peubah aca yag berdstrbus det da salg bebas dega P ugs pembagt peluag P M z Dega megasumsa baha peubah aca M tda bergatug pada, ugs pembagt peluag dar umlah aca = M + M + + M d maa = megabata = adalah P z P [ PM z] Dapat dtuua sebaga berut: P z Pr z Pr Pr z

3 JdC, Vol 5, o, eptember 6 65 P Pr Pr [ P [ P M z] M Pr M z] M z elautya peluag dar = dapat dtuls sebaga berut Pr Pr Pr Pr M Pr M M M Pr Pr Dega memsala g Pr, p Pr da Pr M dperoleh Pr g p * d maa *, =,,, adalah ovolus lpata- dar, dega =,,, yatu peluag dar umlah buah peubah aca yag berdstrbus det da salg bebas dega ugs peluag [] 3 Model Compoud or Aggregate Loss Msala meyataa aggregate loss da memeuh asums-asums d atas Peubah aca meml ugs dstrbus F Pr Pr p p F *, d maa F Pr adalah commo dstrbuto ucto dar da p Pr adalah ovolus lpata e- dar ugs dstrbus Kovolus lpata- dperoleh sebaga berut *,, F,, da F * * F y d F y utu =,, Ja adalah peubah aca otu dega ugs epadata peluag terdes pada blaga ta egat, maa * * F F y y dy utu =, 3, * Utu = persamaa meghasa F F Dega cara meurua persamaa d atas, dperoleh ugs epadata peluagya adalah: F *

4 66 Maurug, Maaohas Tasra Dstrbus Agreggate Loss * * y y dy utu =, 3, Dalam asus peubah aca dsrt dega peluag post pada,,,, maa F * F y y utu =,,, =, 3, y * Fugs epadata peluagya adalah * y y utu =,,, =, 3, y * Dstrbus persamaa dstrbus compoud, da ugs peluag aggregate loss ya adalah [] * p Persamaa adalah ormula utu meghtug besar peluag aggregate loss Ja ormula tersebut dguaa secara lagsug utu meghtug ugs peluag aggregate loss aa tda ese da sagat rumt terutama utu uura selag yag besar Perlu dguaa metode yag la dalam meyelesaaya, yatu Fast Fourer Trasorm 4 Fast Fourer Trasorm FFT adalah suatu algortma yag dapat dguaa utu meghtug vers dar ugs araterst utu memperoleh ugs peluag peubah aca dsrt ecara teor FFT merupaa betu dsrt trasormas Fourer atau ugs araterst Ja ugs araterst memetaa ugs epadata peluag otu terhadap ugs otu la omples, maa FFT memetaa suatu vetor la peluag beruura terhadap vetor la peluag blaga omples beruura FFT merupaa pemetaa atau ugs satu-satu tt terhadap tt Des Msala adalah suatu ugs perod dega perode uura legth ddesa utu semua la blaga bulat ta egat yatu, utu semua la Utu vetor,,,,, dscrete Fourer trasorm adalah pemetaa, =,,,, ddesa oleh,,,,, Pemetaa adalah bet pemetaa satu-satu perod dega perode uura Pemetaa versya adalah,,,, Pemetaa vers memperoleh embal la ugs semula [] Des dcrete Fourer trasorm dapat dperlhata sebaga perala matrs yag sederhaa sebaga berut 4 W dmaa W, emuda vers dar dscrete Fourer trasorm adalah

5 JdC, Vol 5, o, eptember 6 67 W 4 Karea sat dasar perod da, maa dapat dsmpula baha dscrete Fourer trasorm sebaga pemetaa satu-satu dar tt terhadap tt Utu meghtug la, baya perhtuga yag dperlua adalah sebaya atau dsebut uga orde O Fast Fourer trasorm FFT merupaa algortma perhtuga yag cuup cepat dega yag besar Metode dapat megurag perhtuga sampa orde O l ehgga FFT merupaa metode sederhaa perhtuga dscrete Fourer trasorm Pada uura legth = r dscrete Fourer trasorm dapat dtulsa sebaga peumlaha dua dscrete Fourer trasorm masg-masg utu / = r-, dmaa yag pertama megadug tt-tt blaga geap da yag edua tt-tt blaga gal m m m m / / Dmaa m = / = r-, sehgga b a Dega dema a da b adalah umlah trasormas utu / = r- I dapat dlauta terus meerus sampa r al dega mecapa uura selag Dega megguaa persamaa datas ta aa memperoleh trasormas sampa dega selag melalu perhtuga berturutturut dega selag,, 3,, r [] ehgga berdasara observas datas, FFT dapat dguaa a vetor peluag beruura = r Utu mecapa uura selag, dapat dlaua dega peambaha eleme blaga ol zeros paddg e baga aa Utu peyelesaa algortma, dlaua dega megguaa program Matlab Msala da merupaa peubah aca dar ugs epadata peluag da Kemuda ovolus dar ugs da adalah Maa ugs araterst ovolus da dperoleh sebaga berut ] [ ] [ ] [ t t e E e E e E t t t t dmaa da salg bebas [4] 5 Algortma Fast Fourer Trasorm Dalam Meghtug Dstrbus Agregate loss Dalam meetua dstrbus Aggregate loss, FFT dguaa utu megversa ugs araterst eta proses pedsrta dstrbus severty sudah selesa Pada sub bab sebelumya dperoleh model Aggregate loss adalah sebaga berut = + + +

6 68 Maurug, Maaohas Tasra Dstrbus Agreggate Loss Da mempuya ugs peluag Dapat dtetua ugs araterstya t t E[ e ] E E [ E e [ t] * p t P [ t] dmaa P adalah ugs pembagt peluag Oleh area tu dapat dhtug dstrbus aggregate loss dega megguaa algortma FFT dega lagah-lagah sebaga berut: Megubah dstrbus severty dar betu otu e betu dsrt Meetua la h sebaga pegal moetary ut berdasara terval yag mug dar dstrbus severty Msala,,, m meyataa dstrbus clam severty yag dsrt Tambaha ol zero paddg e sebelah aa vetor peluag severty sehgga vetor peluag severty mead,,, Ambl = r, utu r blaga bulat da merupaa bayaya tt yag dga dalam dstrbus yatu aggregate loss 3 Applasa FFT terhadap vetor peluag severty yag sudah dubah dalam betu dsrt utu memperoleh ugs araterst yatu z FFT Haslya uga sebuah vetor beruura = r 4 Trasormasa vetor sebelumya megguaa trasormas ugs pembagt peluag dar dstrbus reues lam da memperoleh z P [ z], dmaa ugs araterstya yatu dscrete Fourer trasorm dstrbus lam aggregate, sebuah vetor beruura = r 5 Aplasa Iverse Fast Fourer Trasorm IFFT utu memperoleh dstrbus aggregate loss yatu I FFT z Hal aa meghasla sebuah vetor beruura = r yag meyataa dstrbus esa lam aggregate utu model severty yag dubah dalam betu dsrt ] Pada lagah-lagah datas dapat dperhata baha prosedur FFT memerlua suatu dsrtsas dstrbus severty Ja baya tt dalam dstrbus severty urag dar = r, eleme vetor dstrbus severty harus dtambaha dega la ol sampa ttya mecapa Ja dstrbus severty meempata peluag la melebh =, peluag yag hlag pada baga aa tal yag melebh dapat memucula suatu esalahaerror dalam hasl ahr area ugs da trasormasya dasumsa perod dega perode, mespu dalam eyataaya tda perod Dsaraa utu memasua semua peluag yag terssa pada tt ahr pada = sehgga peluagya tepat berumlah Hal memboleha sat perod dguaa utu dstrbus severty pada algortma FFT da meam baha hmpua hasl ahr peluag aggregate aa berla post da berumlah amu, sagat petg dperhata, baha yag aa dplh cuup besar sehgga dapat meuua hampr semua peluag aggregate terad oleh tt [] 6 Metodolog Peelta Model dstrbus aggregate loss pada peelta adalah model dstrbus compoud dstrbus baya lam da dstrbus besar lam Dar model dstrbus compoud tersebut dtetua ugs epadata peluag dega megguaa metode FFT Dalam melaua aalss, dguaa sotare MATLAB Data yag dguaa dalam peelta adalah data seuder yatu data baya lam da besar lam asuras mobl dalam perode satu tahu

7 JdC, Vol 5, o, eptember Hasl da Pembahasa 7 Perhtuga Tasra Dstrbus Aggregate Loss Pada pembahasa aggregate loss dyataa dalam peubah aca, dmaa merupaa peumlaha dar seluruh besar lam atau dapat dtuls sebaga = [] Persamaa dsebut uga model collectve rs Pada sub bab sebelumya telah detahu baha dstrbus dar peubah aca yag meyataa baya lam adalah Posso da dstrbus dar peubah aca yag meyataa besar lam dvdu adalah Logormal, sehgga peubah aca yag meyataa aggregate loss berdstrbus compoud Posso-Logormal Dar hasl algortma dega megguaa Program Matlab, dperoleh baha peluag aggregate loss berla ol sagat besar yatu,99 Hal meyataa baha sagat baya pemegag pols tda megaua lam sehgga peluag perusahaa asuras tda meaggug lam, sagat besar dalam satu perode emetara peluag aggregate loss utu, cuup ecl Berut dtampla output program Matlab dega algortma FFT utu peluag aggregate loss pada tt s=,,644- Tabel Output perhtuga ugs peluag aggregate loss Peluag aggregate loss dtampla haya sebaga area sagat baya halama yag dbutuha utu meampla semua tt Fugs dstrbus dar aggregate loss dapat dperoleh dega megguaa des dar ugs dstrbus yatu F Peluag dar aggregate loss ol sagat besar yatu,99, da utu ugs dstrbus d tttt laya tetuya lebh besar dar,99 ema besar aggregate loss, la ugs dstrbus aa sema medeat

8 7 Maurug, Maaohas Tasra Dstrbus Agreggate Loss Gambar Gra ugs peluag utu aggregate loss yag lebh besar ol Gambar Gra ugs dstrbus aggregate loss 7 Meghtug Prem Mur da mpaga Bau Aggregate Loss etelah megguaa lagah- lagah pada algortma, maa dperoleh tasra ugs peluag aggregate loss sepert yag dtuua pada tabel Berdasara hasl tersebut dapat dtetua la tasra epetas prem mur/pure premum da smpaga bau aggregate loss Prem mur atau epetas aggregate loss adalah E 643 s s s Varas da smpaga bau stadard devato aggregate loss adalah Var E [ E ] mpagabau Var Dega megguaa program Matlab dperoleh la prem mur sebesar Rp8486, varas sebesar Rp 3683 da smpaga bau sebesar Rp78

9 JdC, Vol 5, o, eptember Kesmpula Da ara Berdasara hasl peelta, dapat dambl beberapa esmpula yatu: Peluag aggregate loss berla ol rupah sagat besar yatu, 99 Hal meuua baha cuup baya pemegag pols tda megaua lam la peluag aggregate loss yag dperoleh dega megguaa Fast Fourer Trasorm meghasla la prem mur atau epetas aggregate loss sebesar Rp 8486, varas sebesar Rp3683 da smpaga bau sebesar Rp 78 Dar aalss yag dlaua dalam peelta, pegguaa metode FFT dapat meetua tasra dstrbus aggregate loss da sealgus memperoleh epetas et premum da smpaga bau stadart devato aggregate loss Peghtuga tasra dstrbus aggregate loss melalu metode FFT dega batua Matlab cuup cepat utu uura yag besar Dsaraa baha yag aa dplh adalah tepat, sehgga peluag aggregate loss yag dperoleh tepat berumlah satu Oleh area tu metode bsa mead alterat la yag cuup ba dalam meetua tasra aggregate loss yag dtaggug suatu perusahaa asuras 9 Datar Pustaa [] Prma, R 9 Aalss Aggregate Loss Asuras Mobl Tugas Ahr araa Program tud Matemata FMIPA Isttut Teolog Badug [] Klugma, A, HH Paer, da GEWllmot 4 Loss Models rom Data to Decsos ecod Edto e Jersey: Joh Wley & os [3] arsoo, AR 9 Aalss Data Total Klam utu Meetua Rs Premum pada Asuras Mobl Tugas Ahr araa Program tud Matemata FMIPA Isttut Teolog Badug [4] Ross, 997 A rst Course Probablty, Fth Edto Uversty o Calora, Bareley