PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS SKRIPSI OLEH SITI MUYASSAROH NIM

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS SKRIPSI OLEH SITI MUYASSAROH NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015

2 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS SKRIPSI Diajuka kepada Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh Siti Muyassaroh NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015

3 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS SKRIPSI Oleh Siti Muyassaroh NIM Telah Diperiksa da Disetujui utuk Diuji Taggal 17 Desember 2014 Pembimbig I, Pembimbig II, Ari Kusumastuti, S.Si., M.Pd NIP Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd NIP Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Dr. Abdussakir, M.Pd NIP

4 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS SKRIPSI Oleh Siti Muyassaroh NIM Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima Sebagai Salah Satu Persyarata utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal 08 Jauari 2015 Peguji Utama : Mohammad Jamhuri, M.Si... Ketua Peguji : Dr. Usma Pagalay, M.Si... Sekretaris Peguji : Ari Kusumastuti, S.Si., M.Pd... Aggota Peguji : Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd... Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Dr. Abdussakir, M.Pd NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yag bertada taga di bawah ii: Nama : Siti Muyassaroh NIM : Jurusa Fakultas Judul : Matematika : Sais da Tekologi : Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack dega Metode Garis meyataka dega sebearya bahwa skripsi yag saya tulis ii bear-bear merupaka hasil karya sediri, buka merupaka pegambil-aliha data, tulisa atau pikira orag lai yag saya akui sebagai hasil tulisa atau pikira saya sediri, kecuali dega mecatumka sumber cuplika pada daftar pustaka. Apabila di kemudia hari terbukti atau dapat dibuktika skripsi ii hasil jiplaka, maka saya bersedia meerima saksi atas perbuata tersebut. Malag, 05 Jauari 2015 Yag membuat peryataa, Siti Muyassaroh NIM

6 MOTO "خيرالناسانفعهمللناس " Mausia yag baik adalah mausia yag mampu memberi mafaat bagi mausia yag lai (HR. Ahmad da Thabrai)

7 PERSEMBAHAN Karya ii peulis persembahka utuk: Orag tua tercita: Bapak Musyadad da Ibu Siti Khaifah Saudara tersayag: Siti Musyarofah

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah, segala puji da syukur peulis pajatka Kehadirat Allah Swt. yag telah melimpahka segala ikmat, rahmat da hidayah-nya kepada peulis sehigga peulis mampu meyelesaika studi di Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag sekaligus meyelesaika peulisa skripsi dega judul Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack dega Metode Garis. Shalawat serta salam seatiasa tercurahka kepada Nabi Muhammad Saw. keluarga, serta para sahabat beliau. Peulis meyadari bahwa peulisa skripsi ii tidak aka selesai tapa batua, bimbiga serta do a dari berbagai pihak. Utuk itu peulis meyampaika terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 2. Dr. drh. Hj. Bayyiatul Muchtaromah, M.Si, selaku deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 4. Ari Kusumastuti, S.Si., M.Pd da Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd, selaku dose pembimbig skripsi yag telah memberika bimbiga dega baik sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii. viii

9 5. Seluruh dose Jurusa Matematika yag telah memberika ilmu yag dapat dijadika bekal di masa depa. 6. Kedua orag tua peulis, Bapak Musyadad da Ibu Siti Khaifah, yag seatiasa medukug dega segeap cita kasih yag tulus. Berkat do a da ridho mereka, Allah memberika berbagai kemudaha kepada peulis. 7. Seluruh keluarga besar peulis, khususya saudara peulis Siti Musyarofah yag seatiasa memberi motivasi da ispirasi kepada peulis utuk mejadi mausia yag lebih baik setiap hariya. 8. Tema-tema Jurusa Matematika agkata 2010, khususya sahabat Pricess (Alfi Nur, Afifah Aii, Naila Nafilah, Harum Kuriasari, Syarifatuz Zakiya, Fitria Nur aii), serta tema-tema terapa (Thoufia Kuriyati, Rofiatu Jamila, Afidah Karimatul Laili, Luluk Iaatul Afifah, Biti Tsamrotul Fitria). 9. Sahabat Arfaza23 (Ratih Setya Adhii, Fariza Aulia, Ais Mufidah, Echa Yuiar Miarti, Febri Widiyatul Ilmiyah), keluarga besar Lapasa MAN Regel, Popes Yasika Plumpag serta keluaga besar TPQ Nasyi ul Huda. 10. Semua pihak yag tidak mugki peulis sebutka satu persatu yag turut membatu dalam peyelesaia peulisa skripsi ii. Semoga Allah membalas kebaika mereka dega yag lebih baik. Akhir kata semoga skripsi ii memberika mafaat bagi para pembaca, khususya bagi peulis secara pribadi. Aamii. Wassalamu alaikum Wr. Wb. Malag, Jauari 2015 ix Peulis

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv ABSTRAK... xv ABSTRACT... xvi... xvii ملخص BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Rumusa Masalah Tujua Peelitia Mafaat Peelitia Batasa Masalah Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 6 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack Metode Beda Higga Persamaa Fokker-Plack Metode Garis Metode Ruga-Kutta Galat Kajia Peelitia Terdahulu Kajia Agama BAB III PEMBAHASAN 3.1 Peerapa Metode Garis pada Peyelesaia Persamaa x

11 Fokker-Plack Perbadiga Solusi Aalitik da Numerik Metode Garis pada Persamaa Fokker-Plack Iterpretasi Hasil Tijaua Agama terhadap Hasil Pembahasa BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN RIWAYAT HIDUP xi

12 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Gambar 2.2 Jariga Titik Hitug dalam Bidag x t Gambar 3.1 Ilustrasi Diskritisasi Variabel x xii

13 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Kodisi Awal da Batas Tabel 3.2 Solusi Persamaa Fokker-Plack (3.2) dega Metode Garis Tabel 3.3 Perbadiga Gambar Solusi Aalitik da Solusi Numerik dega Metode Garis Tabel 3.4 Perbadiga Solusi Eksak da Solusi Numerik dega Metode Garis xiii

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampira 1. Program Matlab Grafik Solusi Aalitik Persamaa Fokker- Plack Lampira 2. Program Matlab Peyelesaia Numerik dega Metode Garis Lampira 3. Program Matlab Perbadiga Solusi Numerik Metode Garis da Aalitik serta Perhituga Error Lampira 4. Output Solusi Numerik v(x, t) dega Metode Garis Lampira 5. Output Solusi Eksak v(x, t) xiv

15 ABSTRAK Muyassaroh, Siti Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Fokker- Plack dega Metode Garis. Skripsi. Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi. Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pembimbig: (I) Ari Kusumastuti, S.Si., M.Pd. (II) Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd. Kata kuci: persamaa Fokker-Plack, metode garis, metode Ruga-Kutta. Persamaa Fokker-Plack merupaka persamaa diferesial parsial yag meggambarka fugsi distribusi partikel dalam suatu sistem yag berisi bayak partikel yag salig bertumbuka. Diguaka metode garis utuk meyelesaika solusi umerik pada persamaa Fokker-Plack. Metode ii merepresetasika betuk persamaa diferesial parsial ke dalam betuk sistem persamaa diferesial biasa yag ekuivale pada betuk persamaa diferesial parsialya. Lagkah pertama yag dilakuka utuk meyelesaika persamaa Fokker-Plack dega metode garis yaitu meggati turua ruag dega metode beda higga pusat, sehigga diperoleh betuk sistem persamaa diferesial biasa. Lagkah kedua yaitu meyelesaika sistem persamaa diferesial biasa yag telah diperoleh pada lagkah pertama dega metode peyelesaia yag berlaku pada persamaa diferesial biasa yaitu metode Ruga-Kutta orde empat. Hasil solusi umerik dega metode garis kemudia dibadigka dega solusi eksak meghasilka galat yag sagat kecil atau medekati ol, sehigga dapat disimpulka bahwa metode garis merupaka metode yag baik utuk meyelesaika persamaa Fokker-Plack. xv

16 ABSTRACT Muyassaroh, Siti Solutio Of Fokker-Plack Partial Differetial Equatio Usig Lie Method. Thesis. Departmet of Mathematics, Faculty of Sciece ad Techology. State Islamic Uiversity of Maulaa Malik Ibrahim Malag. Advisors: (I) Ari Kusumastuti, S.Si., M.Pd. (II) Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd. Keywords : Fokker-Plack equatio, lie method, Ruge-Kutta method Fokker-Plack equatio is partially differetial equatio that describe distributio fuctio of particles o system cotai may particles that collide each other. The method of lies is used to solve umerical solutio of Fokker- Plack equatio. This method represets form of partially differetial equatio ito the form of ordiary differetial equatio that equivalet to the form of its partially differetial equatio. The first step to solve Fokker-Plack equatio usig lie method of lies is replacig spatial derivative with ceter fiite differece, i order to obtai system of ordiary differetial equatio. The secod step is solvig the system of ordiary differetial equatio that have bee obtaied i the first step usig the method of lies usig the solvig method that used at ordiary differetial equatio, that is Ruga-Kutta method of fourth order. The umerical solutio obtaied by usig the method of lies is compared to the exact solutio ad produce error that very small or ted to zero, therefore it ca be cocluded that the method of lies is good method for solvig Fokker-Plack equatio. xvi

17 ملخص سييت. ميس ره ٢.حتلل ۱۰ ٥ الرياضيات. شعبة اجلا معي. مالك إبراهيم ماالنج. سوجاروا املاجسرت املعادالت املشرف: التفاضللة اجلزئلة كلية العلوم والتكنولوجيا. أري كوسومستويت )۰( فك ر-بالنج بطريقة اخلط. البحث جامعة اإلسالمية احلكومية )٢( املاجسرت موالنا الدكتوراحلج اميام الرئلسلة: الكلمة فك ر-فالنج معادلة طريقة اخلط طريقة رونجكوتا نظام معادلة بالنج فوكر- حتتوي على العديد من املعادلة هي اجلزيئات التفاضلية تصطدم اليت تصف اجلزئية بعضها بعضا. وتستخدم توزيع وظيفة طريقة اخلط اجلزيئات حلل يف احلل العددي ملعادلة فوكر- بالنج. وميثل هذا األسلوب شكل املعادالت التفاضلية اجلزئية يف شكل نظام من املعادالت اختذت التفاضلية العادية إلمتام معادلة فوكر- احملدوداملتوسطي. من أجل وتعادل بالنج احلصول على يف شكل اخلط بطريقة شكل نظام معادالت التفاضلية اجلزئية. اخلطوة هو استبدال من املعادالت الفضاء مشتق األوىل اليت بطريقةالفرق التفاضلية العادية. اخلطوة الثانيةهي حتليل نظام املعادالت التفاضلية العادية اليت مت احلصول عليها يف اخلطوة األوىل بطريقةالىت ينطبق على طريقة اخلط معادالت يتم بعد ذلك التفاضلية العادية مع مقارنتها طريقة رونج-كوتاعلى الرتبةالرابعة. نتائج أو جدا خطأ صغري ينتج احلل الدقيق لذلك ميكن القول بأن طريقة اخلطوط هو وسيلة ممتازة حلل معادلة فوكر- بالنج. مع احلل العددي قريبة من الصفر. xvii

18 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Persamaa Fokker-Plack merupaka persamaa yag meggambarka fugsi distribusi partikel dalam suatu sistem yag berisi bayak partikel yag salig bertumbuka. Persamaa ii berisi kompoe difusi partikel da iteraksi atar partikel (Palupi, 2010:A1). Dalam literatur matematika persamaa Fokker- Plack biasa disebut dega persamaa Kolmogorov maju. Betuk umum persamaa Fokker-Plack adalah: v t x, t = x A x, t v x, t + 1 (B x, t v x, t ) 2 x2 a(x, t) disebut sebagai koefisie apug (drift coefficiet) da b(x, t) disebut sebagai koefisie diffusi (Zauderer, 1998:10). Persamaa Fokker-Plack termasuk persamaa diferesial parsial karea megadug turua parsial, yaitu turua dega dua variabel bebas x da t. Terdapat beberapa metode utuk meyelesaika masalah pada persamaa diferesial parsial. Salah satu metode yag bisa diguaka yaitu metode garis. Ide dasar metode garis adalah megubah betuk persamaa diferesial parsial ke dalam betuk persamaa diferesial biasa (Hamdi dkk, 2009:5). Meurut Sadiku (1997), metode garis diaggap sebagai metode beda higga khusus tetapi lebih efektif sehubuga dega keakurata da waktu perhituga dibadigka dega metode beda higga biasa. Metode garis telah bayak diterapka pada beberapa permasalaha persamaa diferesial parsial. Peelitia terdahulu yag membahas metode garis 1 2

19 2 atara lai yaitu M. N. O. Sadiku da C. N. Obiozor (1997) yag meerapka metode garis pada persamaa Laplace. Lagkah pertama yag dilakuka adalah mediskritisasi variabel x da meggati turua kedua yag bergatug pada x dega metode beda higga. Kemudia lagkah kedua meyelesaika persamaa yag dihasilka pada lagkah pertama dega ivers trasformasi megguaka betuk matriks da ilai eige. Peelitia lai dilakuka oleh A. Ozdes da E. N. Aksa (2006) membahas solusi umerik persamaa Korteweg-de Vries dega metode garis. Lagkah pertama yag dilakuka yaitu meggati turua parsial yag bergatug pada variabel ruag, yaitu u x da 3 u dega metode beda x 3 higga sehigga meghasilka sistem persamaa diferesial biasa yag bergatug pada t. Kemudia lagkah kedua meyelesaika persamaa diferesial biasa dega metode Euler. Sadiku (1997) meeragka bahwa metode garis memiliki beberapa keuggula yaitu, metode ii sagat efisie dalam perhituga karea meghasilka solusi yag akurat dega sedikit waktu yag ditempuh. Selai itu metode ii juga mudah dalam meetuka kestabilaya dega memisahka atara variabel ruag da waktu. Islam memeritahka mausia utuk membagu segala pemikiraya berdasarka aqidah Islam, buka lepas dari aqidah itu. Hal ii dapat dipahami dari ayat berikut: Bacalah dega (meyebut) ama Tuhamu yag Meciptaka. (QS. al- Alaq/96:1).

20 3 Ayat di atas merupaka ayat pertama yag dituruka oleh Allah utuk megispirasika mausia agar seatiasa belajar, salah satuya yaitu membaca feomea di alam raya ii. Namu dalam proses membaca tersebut, haruslah dega berdasarka ima kepada Allah, karea iqra haruslah dega bismi rabbika. Dega membaca, mausia aka memperoleh pegetahua da pemahama tetag segala sesuatu. Selai memperoleh pemahama, membaca juga mampu meigkatka ketaqwaa mausia terhadap Sag Pecipta. Bayak sekali feomea di alam raya yag telah dijelaska oleh al-qura. Meurut peulis, persamaa Fokker-Plack merupaka salah satu feomea yag harus dipelajari agar diperoleh pemahama baru dalam meyelesaika solusiya. Dega melihat beberapa urgesi tersebut, maka peelitia ii difokuska pada peerapa metode garis utuk meyelesaika persamaa diferesial parsial Fokker-Plack. Sehigga tema peelitia yag diagkat adalah Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack dega Metode Garis. 1.2 Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag tersebut, maka rumusa masalah yag diambil adalah: 1. Bagaimaa peerapa metode garis utuk meyelesaika persamaa diferesial parsial Fokker-Plack? 2. Bagaimaa perbadiga solusi aalitik da solusi umerik persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega metode garis? 3. Bagaimaa iterpretasi hasil peyelesaia persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega metode garis?

21 4. Bagaimaa kaita atara peyelesaia persamaa diferesial parsial Fokker- Plack dega metode garis terhadap kajia agama? Tujua Peelitia Tujua peelitia ii adalah: 1. Megetahui peerapa metode garis utuk meyelesaika persamaa diferesial parsial Fokker-Plack. 2. Megetahui perbadiga solusi aalitik da umerik persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega metode garis. 3. Megetahui iterpretasi hasil peyelesaia persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega metode garis. 4. Megetahui kaita atara peyelesaia persamaa diferesial parsial Fokker- Plack dega metode garis terhadap kajia agama. 1.4 Mafaat Peelitia Mafaat peelitia ii adalah utuk megemukaka suatu metode lai sebagai alteratif utuk meyelesaika solusi umerik persamaa diferesial parsial Fokker-Plack yaitu dega megguaka metode garis (method of lies). 1.5 Batasa Masalah Adapu dalam peelitia ii diguaka persamaa diferesial parsial Fokker-Plack sebagai berikut: v t x, t xe3t 2 v x 2 x, t v x x, t = 2xe2t e 2t

22 5 dega kodisi awal da kodisi batas yag diberika masig-masig yaitu v x, 0 = x, utuk x (0,1) da ilai batas v 0, t = 0, v 1, t = e 2t. Daerah solusi dibatasi pada 0 x 1 da 0 t 1. Solusi eksak atau aalitik persamaa di atas yaitu: v x, t = xe 2t Persamaa di atas diambil dari jural Applied Mathematical Scieces vol. 7, omor 35 Tahu 2013 karya Ema Ali Hussai da Zaiab Mohammed Alwa. Dalam peelitia ii, masalah kestabila tidak dibahas. 1.6 Metode Peelitia Peelitia ii megguaka metode kepustakaa yaitu pegumpula referesi dega membaca buku literatur yag berkaita dega masalah peelitia. Adapu lagkah-lagkah peelitia yag dilakuka adalah: 1. Megaalisis metode garis da meerapka metode garis pada persamaa diferesial parsial Fokker-Plack. Lagkah-lagkah yag dilakuka adalah: a. Meggati turua variabel yag bergatug pada x utuk memperoleh sistem persamaa diferesial biasa dega metode beda higga pusat. b. Meghitug solusi dari sistem persamaa diferesial biasa dega metode Ruga-Kutta orde empat. 2. Megaalisis perbadiga solusi eksak terhadap solusi umerik pada peyelesaia persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega metode garis utuk megetahui galatya. 3. Iterpretasi hasil peyelesaia.

23 4. Membahas kaita kajia agama dega pembahasa tetag peyelesaia persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega metode garis Sistematika Peulisa Sistematika peulisa yag diguaka terdiri dari empat bab. Masigmasig bab dibagi ke dalam beberapa subbab dega rumusa sebagai berikut: Bab I Pedahulua Pedahulua meliputi latar belakag, rumusa masalah, tujua peelitia, mafaat peelitia, batasa masalah, metode peelitia da sistematika peulisa. Bab II Kajia Pustaka Bab ii terdiri atas teori-teori yag medukug bagia pembahasa serta yag berhubuga dega peelitia. Teori-teori tersebut atara lai persamaa diferesial parsial Fokker-Plack, metode beda higga persamaa Fokker-Plack, metode Garis, metode Rug-Kutta, galat, kajia peelitia terdahulu da kajia Agama. Bab III Pembahasa Bab ii berisi tetag pembahasa megeai lagkah-lagkah meyelesaika persamaa diferesial parsial Fokker-Plack dega megguaka metode garis sebagaimaa yag telah dijelaska dalam metode peelitia. Bab IV Peutup Bab ii berisi tetag kesimpula dari pembahasa da sara utuk pembaca da peeliti selajutya.

24 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Persamaa Diferesial Parsial Fokker-Plack Persamaa Fokker-Plack merupaka persamaa yag meggambarka fugsi distribusi partikel dalam suatu sistem yag berisi bayak partikel yag salig bertumbuka (Palupi, 2010:A1). Persamaa ii pertama kali dikealka oleh Fokker da Plack. Beberapa peerapa persamaa Fokker-Plack atara lai pada geraka tidak meetu partikel kecil yag diredam dalam suatu caira, fluktuasi itesitas siar laser, da distribusi kecepata partikel caira dalam alira turbule. Secara umum persamaa Fokker-Plack dapat diaplikasika pada sistem keseimbaga maupu ketakseimbaga (Frak, 2004:1). Betuk umum persamaa Fokker-Plack adalah: t v x, t = A x, t x B x, t v x, t (2.1) 2 x2 dimaa v x, t meggambarka fugsi distribusi partikel, A x, t da B x, t masig-masig disebut koefisie apug (drift coefficiet) da koefisie diffusi (diffusio coefficiet). Persamaa Fokker-Plack termasuk persamaa diferesial parsial (PDP) karea persamaa ii meggambarka laju perubaha terhadap dua variabel bebas yaitu waktu da jarak (ruag). Awal terbetukya persamaa oliier Fokker-Plack merupaka akibat terjadiya tumbuka atara partikel, sehigga megalami perubaha arah gerak secara acak (Browia Motio). Partikel yag disebut sebagai partikel Browia tersebut megalami proses difusi. Geraka partikel bersifat acak da geraka partikel tidak dipegaruhi oleh geraka partikel sebelumya (Palupi, 2010:A1). 7

25 Zauderer (2006) meyataka bahwa awal terbetukya persamaa Fokker- Plack diperoleh dari asumsi partikel yag berpidah dari posisi awalya pada 8 sumbu-x yag bergerak ke segala arah dega besar pergeseraya yaitu δ. x i adalah variabel acak dega asumsi ilai +δ utuk partikel yag bergerak ke kaa da δ utuk partikel yag bergerak ke kiri. Probabilitas jarak berupa +δ dimisalka sebagai p da probabilitas jarak δ dimisalka sebagai q. Jadi probabilitas total kedua geraka yaitu p + q = 1. Adaika partikel Browia dalam iterval waktu yag sigkat τ bergeser sejauh δ maka total pergesera setelah melakuka lagkah diyataka dega X = x 1 + x x. Lokasi perpidaha partikel diyataka dalam harga harapa (ekspektasi) yag ditulis dega E X = X = (p q)δ, sedagka besar perpidaha partikel (total jarak) diyataka dalam ilai variasi yag ditulis dega V X = 4pqδ 2. Nilai tersebut berlaku ketika partikel bergeser pada setiap lagkah. Pada kasus bayak lagkah (multistep) maka berlaku E X = X = (p q)δ da V X = 4pqδ 2. Bayakya lagkah dapat dihitug yaitu = t sehigga E X τ = X = (p q)δ t da V X = τ 4pqδ2 t. τ Diambil δ da τ sagat kecil ifiitif medekati ol, sehigga ilai δ2 τ memiliki ilai tertetu da ilai (p q) medekati suatu kelipata δ 2. Apabila X merupaka suatu fugsi waktu maka probabilitas utuk p da q mejadi p = 1 (a + bδ) da q = 1 (a bδ) dimaa a merupaka suatu fugsi 2 2 yag ilaiya 0 < a 1 sedagka b merupaka kostata yag dipilih sedemikia higga 0 p, q 1. Jadi diperoleh ilai p + q = a. Karea peluag partikel ii terdiri dari dua bagia, yaitu peluag bergeser ke kaa da ke kiri

26 9 serta masig-masig pergeraka partikel bersifat bebas maka peurua rumus didekati berdasarka teori probabilitas dega megguaka distribusi biomial. Fugsi distribusi probabilitas partikel di titik x pada waktu t + τ terdefiisi sebagai berikut: v x, t + τ = 1 p q v x, t + pv x δ, t + qv(x + δ, t) (2.2) Diguaka deret Taylor utuk meguraika setiap ilai v. Deret Taylor utuk distribusi probabilitas partikel (v) saat t + τ yaitu v x, t + τ = v x, t + τv t (x, t). Deret Taylor utuk distribusi probabilitas partikel (v) pada posisi x + δ yaitu v x + δ, t = v x, t + δv x x, t δ2 v xx x, t, sedagka deret Taylor utuk distribusi probabilitas partikel (v) pada posisi x δ yaitu v x δ, t = v x, t δv x x, t δ2 v xx (x, t). Deret Taylor terhadap variabel x dipotog sampai turua kedua karea pada persamaa kolmogorov maju atau Fokker-Plack haya mempertimbagka kecepata da percepata yag diyataka dalam turua pertama da kedua variabel x. Setelah diperoleh deret Taylor pada masig-masig distribusi probabilitas partikel, maka disubstitusika ke persamaa (2.2) diperoleh v x, t + τv t x, t = 1 p q v x, t + p v x, t δv x x, t δ2 v xx (x, t) + q v x, t + δv x x, t δ2 v xx (x, t) Suku-suku sejeis dikelompokka mejadi satu τv t x, t = p q + p + q v x, t + [ p + q]δv x x, t + p + q 1 2 δ2 v xx (x, t) τ dipidah ruas ke kaa, diperoleh v t x, t = a + a v x, t [p q] δ v τ x x, t + p + q 1 δ 2 v 2 τ xx(x, t)

27 Diambil δ da τ sagat kecil, dega p q δ = E(X). Karea X merupaka betuk fugsi maka diasumsika: 10 Utuk p + q = a maka lim p q δ = A(x, t) τ 0 τ Jadi persamaa sebelumya mejadi: lim a δ2 = B(x, t) τ 0 τ atau dapat ditulis sebagai berikut: v t x, t = A x, t v x x, t B(x, t)v xx(x, t) v t x, t = A x, t x v x, t B x, t v x, t 2 x2 Persamaa iilah yag disebut persamaa oliier Fokker-Plack (Zauderer, 2006:10). Orde dari PDP adalah pagkat tertiggi dari turua parsial yag mucul pada persamaa tersebut. Jika dilihat dari persamaa (2.1), maka persamaa Fokker-Plack merupaka PDP orde satu terhadap variabel bebas t da orde dua terhadap variabel bebas x. Meurut Sasogko (2010), PDP diklasifikasika berdasarka kodisikodisi berikut : 1. Apabila koefisie pada persamaa adalah kostata atau fugsi yag terdiri dari variabel bebas saja, maka persamaa tersebut disebut liier. 2. Apabila koefisie pada persamaa adalah fugsi dari variabel tak bebas da atau merupaka turua dega orde yag lebih redah daripada persamaa diferesialya v, v x t, maka persamaa tersebut disebut kuasiliier.

28 3. Apabila koefisie pada persamaa adalah fugsi dega orde turua yag 11 sama dega orde persamaa diferesialya persamaa tersebut disebut persamaa oliier. 2 v, 2 v, 2 v x 2 t 2 x t, maka Berdasarka klasifikasi di atas, maka persamaa (2.1) termasuk dalam persamaa oliier karea koefisie pada persamaa berupa fugsi. Selai klasifikasi di atas, Zauderer (2006) juga megklasifikasika PDP orde dua dega melihat ilai diskrimia D dimaa D = B 2 x, t 4A x, t C x, t. Jika D > 0 maka PDP dikataka bertipe hiperbolik. Jika D = 0 maka PDP memiliki tipe parabolik da jika D < 0 maka dikataka bertipe elliptik. Dilihat dari peryataa tersebut, maka persamaa (2.1) memiliki tipe parabolik karea ilai D = 0. Dalam ragka melegkapi masalah pada PDP, maka diperluka beberapa kodisi tambaha. Jumlah kodisi tambaha tersebut ditetuka oleh turua orde tertiggi pada setiap variabel bebasya. Dega melihat turua orde tertiggi masig-masig variabel bebas pada persamaa (2.1) maka diberika satu kodisi tambaha pada t da dua kodisi tambaha pada x. t disebut dega variabel ilai awal sehigga membutuhka satu kodisi awal. x disebut variabel ilai batas sehigga membutuhka dua kodisi batas (Hamdi, dkk, 2009:2). Kodisi batas dibagi mejadi tiga kelompok yaitu: 1. Kodisi batas yag berupa ilai dari suatu fugsi yag tidak diketahui disebut dega kodisi Dirichlet. 2. Kodisi batas yag berupa turua dari v disebut dega kodisi Neuma. 3. Kodisi batas yag ilaiya liier terhadap v da juga megadug turua dari v disebut kodisi Robi (campura Dirichlet da Neuma) (Humi da Miller, 1992:42-43).

29 Metode Beda Higga Persamaa Fokker-Plack Peyelesaia persamaa diferesial parsial dega kodisi awal da batas dapat diselesaika dega metode beda higga dega cara membuat jariga titik hituga pada daerah tijaua. Sebagai cotoh peyelesaia persamaa ellips pada daerah S yag dibatasi oleh kurva C seperti tampak pada Gambar 2.1. Daerah tijaua S dibagi mejadi sejumlah pias (titik hituga P) dega jarak atara pias adalah Δx da Δy. Kodisi dimaa variabel tidak bebas (v) harus memeuhi di sekelilig kurva C disebut dega kodisi batas. Peyelesaia persamaa diferesial merupaka perkiraa dari ilai v pada titik-titik hituga P 11, P 12,, P ij, Perkiraa dilakuka dega meggati turua dari persamaa diferesial parsial dega megguaka perkiraa beda higga (Triatmodjo, 2002:200). Gambar 2.1. Peyelesaia Persamaa Diferesial Parsial Persamaa Fokker-Plack yag megadug variabel x da t, perkiraa beda higga dilakuka dega membuat jariga titik hituga pada bidag x-t (Gambar 2.2), yag dibagi dalam sejumlah pias dega iterval ruag da waktu adalah Δx da Δt.

30 13 Gambar 2.2. Jariga Titik Hituga Dalam Bidag x t Turura parsial dalam persamaa diferesial parsial pada setiap titik grid didekati dari ilai-ilai tetagga dega megguaka deret Taylor. Dibetuk skema beda higga utuk turua parsial fugsi v yag terdiri dari dua variabel bebas x da t. Berikut merupaka deret Taylor: v x + x, t = v x, t + xv x x, t + x2 2! v xx x, t + + x( 1) ( 1)! v x 1 x, t + O( x ) (2.3) v x x, t = v x, t xv x x, t + x2 2! v xx x, t + x( 1) ( 1)! v x 1 x, t + O( x ) (2.4) v x, t + t = v x, t + tv t x 0, t + t2 2! v tt x, t + + t( 1) ( 1)! v t 1 x, t + O( x ) (2.5) v x, t t = v x, t tv t x 0, t + t2 2! v tt x, t + t( 1) ( 1)! v t 1 x, t + O( x ) (2.6)

31 14 dimaa O( x ) merupaka galat. Utuk memperoleh turua parsial pertama pada variabel x dega skema beda higga pusat, maka persamaa di atas dipotog sampai turua kedua kemudia persamaa (2.3) dikuragi persamaa (2.4) maka aka diperoleh: v x x i, t = v x i + x, t v x i x, t 2 x (2.7) Karea x kosta sehigga x i+1 = x i + x, persamaa di atas mejadi: v x x i, t = v x i+1, t v x i 1, t 2 x (2.8) Apabila otasi v x i, t dituliska sebagai v i, maka berikut merupaka skema beda higga pusat utuk turua parsial fugsi v pada x: v x x i, t v i+1 v i 1 2 x (2.9) Persamaa (2.9) disebut skema beda higga pusat utuk x. Skema beda higga utuk turua parsial fugsi v pada t dilakuka dega cara yag sama yaitu meguragka persamaa (2.5) dega persamaa (2.6) sehigga didapatka persamaa sebagai berikut yag merupaka turua pertama skema beda higga pusat utuk t: v t x i, t v i +1 v i 1 2 t (2.10) Selajutya aka dibetuk skema beda higga pusat utuk turua kedua fugsi v pada x dega memotog deret Taylor di atas sampai turua ketiga kemudia mejumlahka keduaya sehigga aka diperoleh: v xx x i, t v i+1 2v i + v i 1 (2.11) x 2 Demikia juga utuk turua parsial kedua fugsi v pada t dilakuka dega cara yag serupa dega lagkah sebelumya yaitu dega mejumlahka deret

32 15 Taylor v x, t + t dega v x, t t yag dipotog sampai turua ketiga maka diperoleh: v tt x i, t v i +1 2v 1 i + v i (2.12) t 2 Zauderer (2006) meyebutka bahwa aproksimasi solusi pasti koverge ke solusi aalitikya, jika kosistesi dari persamaa beda da kestabila dari skema yag diberika terpeuhi. Kriteria kosistesi dega sediriya aka terpeuhi jika t 0 da x Metode Garis Metode garis merupaka salah satu dari metode umerik yag palig efisie utuk meyelesaika persamaa diferesial parsial. Metode ii bayak diaplikasika pada beberapa masalah di bidag fisika teori. Metode garis pertama kali dikealka oleh matematikawa asal Jerma berama Erich Rothe pada tahu 1930 (Pregla, 2008:15). Ide dasar metode garis adalah meggati turua ruag (ilai batas) pada persamaa diferesial parsial dega pedekata aljabar. Setelah lagkah ii dilakuka, maka turua ruag tidak lagi diyataka secara eksplisit dalam variabel bebas ruag. Dega demikia, haya ada variabel ilai awal saja artiya dega adaya satu variabel bebas yag tersisa maka diperoleh sistem persamaa diferesial biasa (PDB) yag medekati persamaa diferesial parsial yag asli. Kemudia selajutya adalah merumuska pedekata sistem persamaa diferesial biasa. Setelah ii dilakuka maka bisa diterapka beberapa pedekata utuk ilai awal persamaa diferesial biasa gua meghitug solusi umerik dari persamaa diferesial parsial (Hamdi, dkk, 2009:5).

33 Ilustrasi metode garis di atas dapat dipahami dega melihat beberapa cotoh berikut. Aka diselesaika solusi persamaa berikut dega metode garis. 16 u u + v t x = 0 (2.13) Lagkah pertama yaitu meggati turua variabel ruag dega pedekata beda higga, yaitu u x = u i u i 1 x (2.14) dimaa i adalah ideks yag meujukka posisi sepajag garis x da x adalah iterval x sepajag garis, yag diasumsika kosta. Jadi ilai akhir sebelah kiri dari x adalah i = 1, da ilai akhir sebelah kaa dari x adalah i = M atau dapat dikataka bahwa garis x memiliki M titik. Sehigga pedekata dega metode garis pada persamaa (2.13) adalah du i dx = v u i u i 1, 1 i M (2.15) x Pada persamaa (2.15) ditulis sebagai betuk persamaa diferesial biasa karea haya terdapat satu variabel bebas, yaitu t. Persamaa (2.15) merepresetasika sistem yag terdiri dari M PDB. Utuk meghitug solusi PDP, maka dihitug solusi pada sistem PDB yag terbetuk. Diberika ilai awal da ilai batas persamaa (2.13) sebagai berikut: u x, t = 0 = f(x) u x = 0, t = g(t) Selama persamaa (2.15) memiliki M ilai awal, maka dibutuhka M kodisi awal juga, sehigga ilai awal mejadi u x i, t = 0 = f x i, 1 i M Sedagka peerapa pada ilai batas pada titik i = 1 yaitu

34 17 Jadi solusi dari sistem PDB adalah u x 1, t = g(t) u 1 t, u 2 t,, u M 1 t, u M t yag merupaka pedekata terhadap u(x, t) pada titik i = 1, 2,, M. Cotoh lai yaitu diberika persamaa difusi berikut: u t = D 2 u (2.16) x 2 dega kodisi awal yag diberika pada t = 0 adalah u = 1 da kodisi batas u = u pada x = 0 da u = u pada x = 1 utuk setiap t. Misalka D = 1,0 x x maka persamaa di atas mejadi u t = 1 2 u (2.17) x 2 Lagkah pertama pada metode garis adalah meggati turua ruag dega megguaka metode beda higga pusat 2 u i x 2 = u i 1 Substitusi ke persamaa (2.17) sehigga diperoleh u i t = u i 1 2u i + u i+1 (2.18) x 2 2u i + u i+1 (2.19) x 2 Karea tersisa satu variabel bebas maka betuk parsial tersebut berubah mejadi biasa du i dt = u i 1 2u i + u i+1 (2.20) x 2 Saat t = 0 atau = 0 semua harga u = 1 atau u x, 0 = 1. Pada kodisi batas pertama yaitu saat x = 0 atau i = 0 maka u x = u

35 18 du 0 x = u 1 u 1 2 x u 0 = u 1 u1 2 x u 1 = 2 xu 0 + u 1 (2.21) Substitusika persamaa (2.21) ke persamaa (2.20) sehigga diperoleh du 0 dt = 2 x x u 0 + u 1 (2.22) Jika diambil x = 0,1 maka ketika x = 1 atau i = 10 persamaa (2.20) mejadi dega kodisi batas kedua du 10 dt = u 9 2u 10 + u 11 (2.23) x 2 u x = u du 10 = u 11 u9 x 2 x u 10 = u 11 u9 2 x u 11 = 2 xu 10 + u 9 (2.24) Substitusika persamaa (2.24) ke persamaa (2.23) diperoleh du 10 dt = 2 x x u 10 + u 9 (2.25) Dari persamaa (2.25) da (2.22) disimpulka bahwa terdapat suatu simetri pada saat x = 1 atau i = 5 maka 2 u 5 t = u 6 u 4 2 x 0 = u 6 u 4 2 x Sehigga pada saat i = 5 persamaa (2.22) mejadi u 6 = u 4 (2.26)

36 19 du 5 dt = 2 x 2 u 4 u 5 (2.27) Jadi sistem persamaa diferesial biasa yag terbetuk yaitu: du 0 dt = 2 x x u 0 + u 1 (2.28) du 1 dt = u 0 2u 1 + u 2 (2.29) x 2 du 2 dt = u 1 2u 2 + u 3 (2.30) x 2 du 3 dt = u 2 2u 3 + u 4 (2.31) x 2 du 4 dt = u 3 2u 4 + u 5 (2.32) x 2 du 5 dt = 2 x 2 u 4 u 5 (2.33) Skema ii dikeal sebagai metode garis karea solusi pada setiap jariga titik x i ditetuka pada sepajag garis x = x i dega t > 0 pada bidag x t dega ilai awal yag diberika saat t = 0 (Zauderer, 2006: ). Setelah diperoleh suatu sistem persamaa diferesial biasa, maka aka dega mudah dicari solusi umerikya megguaka metode peyelesaia pada persamaa diferesial biasa seperti metode Euler, metode Ruga-Kutta da lai-lai. 2.4 Metode Ruga-Kutta Peyelesaia PDB dega metode deret Taylor tidak praktis, karea metode tersebut membutuhka perhituga turua f(x, y). Di sampig itu, tidak semua fugsi mudah dihitug turuaya terutama bagi fugsi yag betukya rumit. Semaki tiggi orde metode deret Taylor, maka semaki tiggi turua fugsi yag harus dihitug. Selai itu utuk medapatka hasil yag lebih teliti

37 20 diperluka x atau yag kecil, padahal pegguaa x yag kecil meyebabka waktu hituga yag lebih pajag. Oleh karea itu metode Ruga-Kutta merupaka alteratif dari metode deret Taylor yag memberika ketelitia hasil yag lebih besar da tidak memerluka turua fugsi (Triatmodjo, 2002:182). Betuk umum metode Ruga-Kutta y r+1 = y r + è(x r, y r, ) (2.34) dega è(x r, y r, ) adalah fugsi pertambaha yag meggambarka kemiriga pada iterval. Fugsi pertambaha tersebut dapat ditulis dalam betuk umum dega a adalah kostata da k adalah è = a 1 k 1 + a 2 k a k k 1 = x. f x r, y r k 2 = x. f x r + p 1, y r + q 11 k 1 k 3 = x. f x r + p 2, y r + q 21 k 1 + q 22 k 2 k = x. f x + p 1, y r + q ( 1)1 k 1 + q ( 1)2 k q 1 ( 1) k 1 dega p da q adalah kostata. Nilai k meujukka hubuga beruruta, karea k 1 mucul dalam persamaa utuk meghitug k 2, k 2 juga mucul dalam persamaa utuk meghitug k 3, da seterusya (Chapra da Caale, 2002:701). Hubuga yag beruruta ii membuat metode Ruga-Kutta adalah efisie dalam hituga (Triatmodjo, 2002:184). Ada beberapa tipe metode Ruga-Kutta yag tergatug pada ilai yag diguaka. Utuk = 1 disebut metode Ruga-Kutta orde satu atau disebut juga metode Euler, yag diperoleh dari è = a 1 k 1 = a 1 f x r, y r

38 21 maka persamaa (2.34) mejadi y r+1 = y r + f x r, y r (2.35) Pada metode Ruga-Kutta, setelah ilai ditetapka, kemudia ilai a, p, q dicari dega meyamaka persamaa (2.34) dega suku-suku dari deret Taylor (Triatmodjo, 2002:184). Utuk selajutya bisa ditetuka metode Ruga- Kutta pada orde selajutya. Metode Ruga-Kutta orde dua adalah y r+1 = y r + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ) (2.36) dega k 1 = f x r, y r k 2 = f x r + p 1, y r + q 11 k 1 Metode Ruga-Kutta orde tiga adalah dega: y r+1 = y r k 1+ 4k 2 + k 3 (2.37) k 1 = f x r, y r k 2 = f x r + 1 2, y r k 1 k 3 = f x r +, y r k 1 + 2k 2 Metode Ruga-Kutta orde empat adalah dega y r+1 = y r k 1+ 2k 2 + 2k 3 + k 4 (2.38) k 1 = f x r, y r k 2 = f x r + 1 2, y r k 1

39 22 k 3 = f x r + 1 2, y r k 2 k 4 = f(x r +, y r + k 3 ) Metode Ruga-Kutta orde empat bayak diguaka karea mempuyai ketelitia yag lebih tiggi (Triatmodjo, 2002:192). Misalya aka diselesaika persamaa diferesial biasa berikut dega metode Ruga-Kutta orde empat du 0 0 dt = 200 1,1u Dega metode Ruga-Kutta orde empat, maka dapat dicari ilai u 0 1 yaitu: u 1 0 = u k 1+ 2k 2 + 2k 3 + k 4 t dimaa k 1 = f 0, 1 = 200 1,1(1) + 1 = 200 0,1 = 20 k 2 = f 0,00125; 0,975 = 200 1,1(0,975) + 1 = 14,5 k 3 = f 0,00125, ; 0,98187 = 200 1,1(0,98187) + 1 = 16,012 k 4 = f 0,0025; 0,95997 = 200 1,1 0, = 11,194 Jadi diperoleh solusi u 0 1 = u k 1+ 2k 2 + 2k 3 + k 4 t = ,024 11,194 0,0025 = 1 0,03842 = 0, Galat Peyelesaia secara umerik suatu persamaa matematik haya memberika ilai perkiraa yag medekati ilai sejati yag sesuai dega keyataa. Solusi umerik jelas tidak sama dega solusi sejati (exact), sehigga

40 terdapat selisih atara keduaya yag disebut galat (error). Terdapat tiga macam galat yaitu galat bawaa, galat pembulata da galat pemotoga (Urifah, 2008:57-58). Galat bawaa adalah galat dari ilai data. Galat tersebut bisa terjadi karea kekelirua dalam meyali data, salah membaca skala atau galat karea kuragya pegertia megeai hukum-hukum fisik dari data yag diukur. Galat pembulata terjadi karea tidak diperhitugkaya beberapa agka terakhir dari suatu bilaga. Galat ii terjadi apabila bilaga perkiraa diguaka utuk meggatika bilaga eksak. Galat pemotoga terjadi karea tidak dilakukaya hituga sesuai dega prosedur matematik yag bear. Sebagai cotoh suatu proses takhigga digati dega proses berhigga dalam matematika. Suatu fugsi dapat dipresetasika dalam betuk deret tak higga, misalka: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + Nilai eksak dari e x diperoleh apabila semua suku deret tersebut diperhitugka. Dalam praktek, sulit memperhitugka semua suku pertama sampai tak higga. Apabila haya diperhitugka beberapa suku pertama saja, maka hasilya tidak sama dega ilai eksak (Triatmodjo, 2002:2-3). Strauss (2007) meyebutka bahwa terdapat dua jeis galat dalam sebuah komputasi yag megguaka aproksimasi beda higga yaitu trucatio error (error pemotoga) yaitu error yag terjadi karea pemotoga dari suatu deret tak higga mejadi deret berhigga da roudoff error (error pembulata) yaitu error yag terjadi akibat pembulata suatu bilaga sampai pada beberapa digit tertetu. 23

41 Terdapat dua jeis galat hubuga atara ilai eksak da ilai perkiraa, 24 yaitu: 1. Galat absolut adalah kesalaha perbedaa (selisih) atara ilai eksak da ilai perkiraa (pedekata pada ilai sebearya). Dituliska: x = x e dimaa x adalah ilai sebearya, x adalah pedekata pada ilai sebearya da e adalah galat. Di sii e adalah galat absolut yaitu: e = x x 2. Galat relatif adalah tigkat kesalaha yag dilakuka dega membadigka kesalaha yag terjadi dega ilai eksak. e R = e x dega e R = galat relatif, e = galat absolut da x = ilai eksak. Galat relatif serig diberika dalam betuk perse sebagai berikut: e R = e 100% (Urifah, 2008:59). x 2.6 Kajia Peelitia Terdahulu Metode garis merupaka suatu pedekata utuk pecaria solusi persamaa diferesial parsial yag pada dasarya terdiri dari dua lagkah besar. Pertama meggati variabel turua ruag dega pedekata beda higga. Kemudia setelah diperoleh sistem persamaa diferesial biasa maka lagkah kedua adalah meyelesaika persamaa diferesial biasa dega metode peyelesaia pada persamaa diferesial biasa yag ada, seperti metode Euler, metode Ruga-Kutta da laiya (Hamdi, dkk, 2009:5).

42 25 Metode garis sebagai salah satu metode peyelesaia PDP, awalya haya diterapka pada kajia megeai elektromagetik saja oleh R. Pregla. Namu dalam perkembaga selajutya metode garis ii diterapka pada beberapa kajia megeai persamaa diferesial. Beberapa peeliti meerapka metode garis utuk meyelesaika persamaa diferesial biasa maupu persamaa diferesial parsial (Sadiku da Obiozor, 1997:282). A.Ozdes da E. N. Aksa (2006) dalam peelitiaya membahas solusi persamaa Korteweg-de Vries dega megguaka metode garis. Persamaa Korteweg-de Vries merupaka persamaa diferesial parsial oliier orde tiga yag mempuyai betuk umum sebagai berikut: U t + åuu x + ãu xxx = 0, a x b dega å da ã adalah parameter yag berilai positif. Nilai awal yag diberika yaitu U x, 0 = g(x) da ilai batasya yaitu U a, t = 0; U b, t = 0; t > 0. Lagkah pertama yag dilakuka yaitu meggati turua parsial yag bergatug pada variabel ruag, yaitu u da 3 u x x3 dega metode beda higga sehigga meghasilka sistem persamaa diferesial biasa yag bergatug pada t. Kemudia lagkah kedua meyelesaika persamaa diferesial biasa dega metode Euler. Hasil solusi dega metode garis tidak haya dibadigka dega solusi eksak saja tetapi juga dibadigka dega solusi yag diperoleh dega metode lai seperti metode beda higga ekspoesial (EFDM), metode eleme higga Galerki (GFEM) da laiya. Dari hasil peelitia diperoleh kesimpula bahwa metode garis melakuka perhituga dega waktu yag lebih ekoomis da solusi umerik yag diperoleh lebih baik daripada megguaka metode beda higga biasa.

43 Peelitia lai dilakuka oleh M. N. O. Sadiku da C. N. Obiozor (1997) yag memperkealka metode garis sebagai salah satu metode umerik utuk meyelesaiaka masalah persamaa diferesial parsial. Dalam peelitia ii, diberika cotoh peerapa metode garis pada persamaa Laplace. Betuk umum persamaa Laplace yag diguaka adalah 2 V x V y 2 = 0 Hampir sama seperti peelitia sebelumya, lagkah pertama yag dilakuka adalah mediskritisasi variabel x da meggati turua kedua yag bergatug pada x dega metode beda higga. Kemudia lagkah selajutya meyelesaika persamaa yag dihasilka pada lagkah pertama dega ivers trasformasi megguaka betuk matriks da ilai eige. Dega mesubtitusika kodisi batas maka aka diperoleh hasil umerikya. Dalam peelitia ii diperoleh hasil bahwa solusi umerik dega metode garis bisa medekati solusi eksakya. Selai dua peelitia tersebut, masih bayak lagi peelitia yag membahas metode garis Kajia Agama Ilmu pegetahua telah memberika sumbaga yag berarti dalam memahami ayat-ayat al-qura terutama yag berkaita dega feomea alam semesta. Ayat-ayat tersebut haya dapat dipahami makaya dega batua teori-teori da peemua-peemua ilmiah. Dega demikia ilmu pegetahua adalah disipli ilmu yag juga memberi sumbaga kepada ilmu tafsir (Magujaya, dkk, 2007:5).

44 27 Semua peristiwa dalam kehidupa di alam raya ii sebearya sudah terpola dega rapi, tersusu dari beberapa atura-atura yag salig berkaita, ada lagkah-lagkahya, perhitugaya bahka formulaya. Para ilmuwa secara umum tidak membuat suatu formula, tetapi mereka meagkap feomea yag terjadi, kemudia meeliti da merumuskaya dalam suatu betuk tertetu sehigga terbetuk suatu formula baru. Salah satu cotoh feomea di alam yaitu geraka partikel yag bergerak secara acak da salig bertumbuka. Feomea ii dalam ilmu fisika dapat digambarka dalam sebuah persamaa yag disebut persamaa Fokker-Plack. Bayak sekali feomea alam yag dijelaska dalam al-qura. Diataraya yag tersebut dalam al-qura yaitu sebagai berikut: Tidaklah mugki bagi matahari medapatka bula da malampu tidak dapat medahului siag da masig-masig beredar pada garis edarya. (QS. Yaasii/36: 40). Allah mejelaska dalam ayat ii bukti tetag kekuasaa-nya, yaitu matahari da bula yag beredar pada orbitya masig-masig da tidak melampauiya dega hituga yag tepat da tidak meyimpag dari garis edarya. Tidaklah mugki terjadi tabraka atara matahari da bula, da tidak pula malam medahului siag. Semuaya berjala sesuai dega pegatura da ketetapa Allah. Dalam ayat lai, Allah juga mejelaska feomea lagit da bumi sebagai berikut: Dia meciptaka lagit da bumi dega (tujua) yag bear, Dia meutupka malam atas siag da meutupka siag atas malam da meudukka matahari

45 da bula, masig-masig berjala meurut waktu yag ditetuka. igatlah Dialah yag Maha Perkasa lagi Maha Pegampu. (QS. al-zumar/39:5). Sebagaimaa peciptaa matahari da bula, lagit da bumi juga diciptaka dega tujua tertetu dimaa didalamya terdapat pergatia siag da malam yag berjala secara beririga da teratur. Kepastia da ketetua waktu ii merupaka kebijaksaaa Yag Maha Mulia. Hal tersebut adalah bukti atas kekuasaa Allah Yag Maha Perkasa (Al-Jazairi, 2009:170). Dalam ayat lai Allah juga mejelaska tetag ke-esaa-nya dalam mecipta da megatur, dimaa hal itu meujukka bahwa haya Dia yag berhak disembah. Ayat tersebut berbuyi: 28 Sesugguhya Tuha kamu ialah Allah yag meciptaka lagit da bumi dalam eam masa, kemudia Dia bersemayam di atas 'Arsy utuk megatur segala urusa. Tiada seoragpu yag aka memberi syafa'at kecuali sesudah ada izi-nya. (Dzat) yag demikia itulah Allah, Tuha kamu, maka sembahlah Dia. Maka apakah kamu tidak megambil pelajara? (QS. Yuus/10:3). Berdasarka beberapa ayat tersebut, diketahui bahwa alam raya beserta isiya ii tidak berjala tapa atura da tidak pula berputar secara serampaga. Melaika semuaya megikuti takdir (ketetua) Allah da perputaraya sesuai dega hukum Allah. Allah megatur da mejaga alam, meciptaka udagudag da hukum-hukum utuk megatur kehidupa mausia di duia da akhirat. Atura tersebut dibuat agar mausia dapat mejalai kehidupa dega teratur. Dega diciptakaya feomea alam tersebut, Allah megajurka mausia agar seatiasa megguaka akal pikiraya utuk memikirka tetag peciptaa alam semesta ii, tetag keidaha da kebesara peciptaya serta

46 29 segala sesuatu yag ditempatka oleh Allah di dalamya. Pereuga tersebut medorog mereka utuk megataka bahwa tiadalah Allah meciptaka semua ii sia-sia tapa ada hikmah yag bisa dijadika pelajara da tapa ada tujua. Allah meciptaka semua ii agar seatiasa diigat da disyukuri. Allah memuliaka orag-orag yag padai bersyukur da padai megigat-nya di dalam surga, tempat kemuliaa serta meghiaka orag-orag yag igkar dalam eraka. Mereka bertawassul dega keimaa kepada Allah melalui permohoa-permohoa yag baik da mulia, yaitu ampua atas dosadosa mereka da mereka diwafatka beserta orag-orag yag berbakti. Hal ii terdapat dalam surat al-najm ayat 31 berikut: Da haya kepuyaa Allah-lah apa yag ada di lagit da apa yag ada di bumi supaya Dia memberi balasa kepada orag-orag yag berbuat jahat terhadap apa yag telah mereka kerjaka da memberi balasa kepada oragorag yag berbuat baik dega pahala yag lebih baik (syurga). (QS. al- Najm/53:31). Dalam ayat lai juga diteragka balasa bagi orag-orag yag bertaqwa kepada Allah: Balasa mereka di sisi Tuha mereka ialah syurga 'Ad yag megalir di bawahya sugai-sugai; mereka kekal di dalamya selama-lamaya. Allah ridha terhadap mereka da merekapu ridha kepada-nya. yag demikia itu adalah (balasa) bagi orag yag takut kepada Tuhaya. (QS. al- Bayyiah/98:8).

47 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Peerapa Metode Garis pada Peyelesaia Persamaa Fokker-Plack Metode garis merupaka salah satu metode yag diguaka utuk meyelesaika permasalaha solusi pada persamaa diferesial parsial. Metode ii merepresetasika betuk persamaa diferesial parsial ke dalam betuk sistem persamaa diferesial biasa yag ekuivale pada betuk persamaa diferesial parsialya (Hamdi, dkk., 2009:5). Ide dasar metode garis terdiri dari dua lagkah, pertama meggati turua ruag dega megguaka metode beda higga sehigga diperoleh sistem persamaa diferesial biasa. Kemudia meyelesaika sistem persamaa diferesial biasa yag sudah diperoleh dega megguaka metode peyelesaia pada persamaa diferesial biasa, seperti metode Euler, metode Ruga-Kutta da lai-lai. Meurut Sadiku da Obiozor (1997), metode ii diamaka metode garis karea solusi ditetuka pada setiap garis x = x i dimaa daerah solusi dibagi mejadi beberapa garis lurus yag sejajar dega sumbu-y pada batas tertetu. Berikut merupaka betuk umum persamaa diferesial parsial oliier Fokker-Plack. v t x, t = A x, t v x x, t B x, t 2 v x 2 x, t + f(x, t) (3.1) Selajutya aka diselesaika solusi umerik persamaa Fokker-Plack dega megguaka metode garis. Adapu model persamaa yag diguaka yaitu v t x, t xe3t 2 v x 2 x, t v x x, t = 2xe2t e 2t (3.2) 30

48 dega ilai awal yag diberika yaitu v x, 0 = x, utuk x (0,1) da ilai batas v 0, t = 0, v 1, t = e 2t. Daerah solusi dibatasi pada 0 x 1 da 0 t 1 (Hussai & Alwa, 2013:1784). Lagkah pertama yag harus dilakuka pada metode garis adalah meggati turua ruag pada persamaa diferesial parsial dega megguaka metode beda higga pusat. Pedekata beda higga diperoleh dari deret Taylor dimaa domaiya berupa grid. Utuk meyederhaaka peulisa, ditulis dega otasi ideks seperti berikut: v x i, t = v i dimaa i adalah ideks yag meujukka posisi di sepajag grid x sedagka adalah ideks yag meujukka posisi di sepajag grid t. Trasformasi beda pusat utuk turua pertama variabel ruag sebagaimaa dijelaska pada kajia pustaka adalah sebagai berikut: v x x i, t v i+1 v i 1 2 x Sedagka utuk turua kedua variabel ruag sebagai berikut: 31 2 v x 2 x i, t v i+1 2v i + v i 1 x 2 Turua variabel waktu tidak dilakuka trasformasi beda higga. Betuk beda higga di atas disubtitusika pada persamaa (3.2) sehigga diperoleh betuk berikut: v i t = x ie 3t v i+1 2v i + v i 1 x 2 + v i+1 v i 1 2 x + 2x i e 2t e 2t (3.3) Meurut Hamdi dkk (2009), ketika turua variabel ruag sudah digati dega beda higga, maka turua ruag tersebut tidak lagi diyataka secara eksplisit dalam variabel bebas ruag, sehigga tersisa variabel ilai awal saja

49 yaitu variabel t. Dega demikia karea tersisa satu variabel bebas saja maka diperoleh sistem persamaa diferesial biasa (PDB) yag medekati PDP asliya. Maka persamaa diferesial parsial di atas berubah mejadi betuk persamaa diferesial biasa berikut: dv i dt = x ie 3t v i+1 2v i + v i 1 x 2 + v i+1 v i 1 2 x x i e 2t e 2t (3.4) Dega demikia, betuk PDP (3.2) telah diubah ke dalam betuk sistem PDB. Jika dipilih x = 0,25 maka daerah solusi terdiri dari x i, dega i = 0,1,2,3,4 da t = 0,01 atau = 0,1,2,,101, sehigga aka diperoleh sistem persamaa diferesial biasa sebagai berikut: dv 0 dt = x 0e 3t v 1 2v 0 + v 1 v 1 x 2 + v 1 2 x dv 1 dt = x 1e 3t v 2 2v 1 + v 0 x 2 + v 2 v 0 2 x dv 2 dt = x 2e 3t v 3 2v 2 + v 1 x 2 + v 3 v 1 2 x dv 3 dt = x 3e 3t v 4 2v 3 + v 2 x 2 + v 4 v 2 2 x dv 4 dt = x 4e 3t v 5 2v 4 + v 3 x 2 + v 5 v 3 2 x Berikut adalah gambara diskritisasi variabel x: + 2x 0 e 2t e 2t + 2x 1e 2t e 2t + 2x 2e 2t e 2t + 2x 3e 2t e 2t + 2x 4e 2t e 2t Gambar 3.1 Ilustrasi Diskritisasi Variabel x

50 Berdasarka kodisi awal da kodisi batas yag diberika maka aka dihitug ilai v i di sepajag titik x i da pada setiap waktu t. Utuk i = 0 atau x = 0 da i = 4 atau x = 1 solusi v(x, t) megikuti ilai batas yag diberika yaitu v(0, t) = 0 da v 1, t = e 2t. Jadi dapat dikataka bahwa ketika ilai x = 0 maka diperoleh ilai v = 0 da ketika ilai x = 1 maka diperoleh ilai v = e 2t. Berikut merupaka tabel kodisi batas da kodisi awal: Tabel 3.1. Kodisi Awal da Batas x 0 = 0 x 1 = 0,25 x 2 = 0,5 x 3 = 0,75 x 4 = 1 t 0 = 0 0 0,25 0,5 0,75 1 t 1 = 0, ,0202 t 2 = 0, ,0408 t 3 = 0, ,0618 t 100 = , Lagkah kedua setelah diperoleh sistem PDB adalah meyelesaika PDB tersebut dega metode Ruga-Kutta orde empat. Betuk umum metode Ruga- Kutta orde empat yaitu: dega k 1 = t. f t, v i v i +1 = v i k 1+ 2k 2 + 2k 3 + k 4 k 2 = t. f t t, v i k 1 k 2 = t. f t t, v i k 2 k 4 = t. f(t + t, v i + k 3 ) Pada saat t = 0 atau = 0 terdapat tiga persamaa diferesial biasa yaitu sebagai berikut: