SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL"

Herman Hermanto
7 tahun lalu
Tontonan:

1 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL JEFFRY KUSUMA 1, KHAERUDDIN 2, SYAMSUDDIN TOAHA 3, NAIMAH ARIS 4, ALMAN Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Hasauddi jeffry.kusuma@gmail.com, khaeruddi@gmail.com, syamsuddit@yahoo.com, ewima@gmailcom, math.uhas@yahoo.com Abstract Persamaa Adveksi Difusi 2D yag biasa juga dikeal dega persamaa trasportasi dega berbagai syarat awal da syarat batas dibahas dega pedekata umerik. Kestabila da kekovergea metode dituruka utuk domai teratur serta solusi persamaa Adveksi Difusi 2D dega berbagai syarat awal serta syarat batas Dirichlet higga Newma dega domai teratur higga domai yag tidak teratur berusaha dikembagka dega pedekata Du-Fort Frakel serta berbagai metode lai yag disesuaika dega syarat batas da batasa yag ada. Kata Kuci : Adveksi Difusi, Du-Fort Frakel, Kestabila, Kekovergea, Domai Tidak Teratur, Daau Uhas 1. Pedahulua Peyebara poluta pada peraira dagkal, pedagkala waduk, pedagkal sugai beserta tidak dapat dibatah lagi sagat mempegaruhi kehidupa masyarakat pesisir seperti kebayaka masyarakat yag ada di Idoesia sehigga persoala trasportasi di peraira dagkal merupaka feomea yag mearik utuk dikaji. Salah satu kajia yag bayak dilakuka para ahli adalah dega megguaka metode beda higga. Bayak peelitia telah dilakuka utuk megaalisis kestabila metode yag dipakai medapatka peyelesaia umerik persamaa Adveksi Difusi 2D da meguji kekovergea solusi umerik utuk domai yag teratur seperti Noye [1], Alma [2]. Belakaga ii, Alma, Kusuma, J da Amiruddi [3] medapatka solusi umerik persoala adveksi difusi 2D dega domai yag teratur dalam mempelajari peyebara poluta pada peraira dagkal. Sayag sekali kebayaka persoala peyebara poluta yata berhubuga dega permasalaha persoala yag berada disekelilig kita berhubuga dega domai yag tidak teratur, sehigga hasil yag telah diperoleh, belum dapat diterapka secara lagsug. Hal ii mugki disebabka oleh komplesitas syarat batas yag dihadapi ataupu keterbatasa literature yag ada seperti pada Cher [4], da Dormad [5]. Walaupu demikia, metode beda higga tetap meyediaka solusi umerik yag akurat da dapat dipakai utuk medapatka solusi umerik yag 39

2 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya diigika agar dapat diterapka lagsug. Didalam tulisa ii, metode Dufort Frakel da berbagai Metode Fiite Differece laiya digabug utuk diguaka, disimulasika da diterapka utuk medapatka solusi umerik persamaa difusi adveksi 2D sesuai dega keadaa pada batasa. 2. Persamaa Pembagu Sebagaimaa dalam Noye [1] da Kusuma [6], persamaa pembagu yag berhubuga dega trasportasi kosetrasi poluta berupa persamaa Adveksi Difusi 2D yaki C + V C t x + V C x y = D 2 C y x + D 2 C x 2 y, (1) y 2 dimaa C meyataka kosetrasi poluta yag teragkut dalam arah sumbu x da y. Kostata V x da V y disii meyataka kecepata alira yag searah sumbu x da y berturut turut. Juga D x da D y juga merupaka kostata yag meyataka koefisie difusi yag searah sumbu x da sumbu y berturut turut. Adapu syarat awal da syarat batas yag meyertai persamaa pembagu aka dimulai dari domai yag teratur sebagai verifikasi solusi umerik, higga ke domai yag tidak teratur. 3. Metode Beda Higga Pedekata skema beda higga yag diguaka utuk meyelesaika persamaa Adveksi Diffusi 2D seperti yag digambarka dalam persamaa (1) diguaka metode beda higga Du-Fort Frakel berikut : atau +1 C i,j Ci,j 1 2 t + V C i+1,j x C i 1,j 2 x + V C i,j +1 C i,j 1 y 2 y = D C +1 i+1,j C i,j Ci,j 1 +Ci 1,j x + D C +1 i,j +1 C i,j Ci,j 1 +Ci,j 1 x 2 y, (2) y 2 C +1 i,j = 1 2B x 2B y 1+2B x +2B y C 1 i,j + A x +2B x 1+2B x +2B y C i+1,j + A x +2B x 1+2B x +2B y C i 1,j + A y +2B y C 1+2B x +2B i,j +1 + A y +2B y y 1+2B x +2B y C i,j 1, (3) dimaa A x = V x t x, A y = V y t, B y x = D x t, B x 2 y = D y t. (4) y 2 Sebagaimaa terlihat diatas, metode Du-Fort Frakel melibatka dua lapis pedekata yag melibatka waktu. Utuk lapisa pertama dapat diguaka metode beda higga Forward Time Ceter Differece berikut : +1 C i,j Ci,j t + V C i+1,j C i 1,j x 2 x + V C i,j +1 C i,j 1 y 2 y = D x C i+1,j 2C i,j +Ci 1,j x 2 + D y C i,j +1 2C i,j +Ci,j 1 y 2, (5) 40

3 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya atau C +1 i,j = 1 2B x 2B y C i,j + 2A x + B x C i+1,j + 2A x + B x C i 1,j + 2A y + B y C i,j A y + B y C i,j 1 (6) Adapu pedekata metode beda higga laiya, seatiasa diguaka da disesuaika dega kotur da batasa domai serta syarat awal yag ada. Metode ii meliputi Forward Time Forward Space, Forward Time Backward Space, Forward Time Ceter Space baik utuk sumbu x maupu utuk sumbu y. 4. Grid Komputasi da Kestabila Grid komputasi da kestabila telah bayak dibahas sebagaiamaa dalam Gilberto [7], disii dimulai dega megasumsi bahwa domai komputasi telah dibuat o dimesioal dega batasa utuk 0 x 1 da juga 0 y 1 yag memuat domai fisik yag meyertai persamaa difusi adveksi. Domai ii kemudia didiskritisasi da diberi kode batasa. Kode ii meliputi kode luar domai fisik, dalam domai fisik, kiri, kaa, atas, bawah, kiri atas, kaa atas, kiri bawah, da kaa bawah domai fisik. Secara teoritis, komputasi aka stabil utuk semua ilai B x + B y utuk A x + A y < 1 atau B x + B y 1 A 2 x + A 2 y 1 utuk A x + A y > 1 dimaa ilai ilai A x, A y, B x, B y diberika oleh persamaa (4). 5. Hasil da Pembahasa Utuk megetahui kebeara hasil komputasi yag dibagu tijau persoala adveksi difusi 2D dega batasa berbetuk persegi 0 x 1 da 0 y 1, dega ilai kostata adveksi v x = v y = 0.1, serta kostata difusi D x = D y = Grid komputasi sumbu x maupu sumbu y dibagi atas 10 grid da grid waktu diambil sebesar Secara explicit, gambar 1 memperlihatka domai yag ditijau da juga kode batasa yag terlibat. Adapu syarat awal yag terlibat semuaya berilai 1 pada keseluruha domai kecuali pada satu titik yag berada di tegah yag diberi ilai 10. Hasil perhituga yag diperoleh di plot dega megguaka plot kotur da plot secara tiga dimesi sebagaimaa dalam gambar 2 di bawah ii. Validasi hasil yag diperoleh kemudia dilajutya dega melibatka batasa yag berbetuk huruf L da kode batasa sebagaimaa dalam gambar 3. Adapu kostata difusi adveksi yag terlibat berilai v x = 0.125, v y = 0, D x = D y = Grid komputasi sumbu x maupu sumbu y dibagi atas 20 grid da grid waktu diambil sebesar 0.1. Hasil perhituga yag diperoleh di plot dega megguaka plot kotur da plot secara tiga dimesi sebagaimaa dalam gambar 4. Adapu syarat awal yag diguaka yaki seluruhya berilai 1 kecuali pada 1 titik grid yag berupa sumber poluta pada posisi grid C(14,5,1) = 10. Kotur plot da Simulasi kosetrasi poluta pada grid waktu 10 diperlihatka pada 41

KNM XVII 11-14 Jui 2014 ITS, Surabaya Gambar 1 Domai Daerah da Kode Batasa Gambar 2 Kotur Sederhaa da Peyebara Kosetrasi gambar 4.

4 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya Gambar 1 Domai Daerah da Kode Batasa Gambar 2 Kotur Sederhaa da Peyebara Kosetrasi gambar 4. Hasil yag diperoleh dalam komputasi memperlihatka proses difusi da adveksi telah berjala dega baik, sebagaimaa terlihat pusat kosetrasi telah bergeser da berada pada posisi grid C(16,5,10). Pada gambar 5, validasi dilajutka dega melibatka batasa domai yag lebih kompleks. Gambar 6 memperlihatka hasil yag diperoleh dega megguaka kostata adveksi da difusi yag sama dega hasil dari gambar 4. Gambar 7 merupaka foto udara daau Uiversitas Hasauddi yag terdapat kampus Tamalarea, km9 Makassar, sebagaimaa diambil dari Googlemap. Daau ii secara fisik berukura pajag 400 m da lebar 300 m. Lokasi area ii merupaka domai iterest dalam peyebara poluta pada peraira dagkal. Gambar 7 juga memperlihatka grid komputasi yag diguaka utuk simulasi solusi persamaa adveksi difusi yag dibagu. Sumbu x di bagi atas 41 grid, sumbu y dibagi atas 33 grid da grid waktu sebesar 0.1 satua waktu. Dega demikia, setiap grid komputasi mewakili ukura fisik sebesar 10 m. Sumber poluta di tempatka pada 2 posisi yaki pada grid C 21,14,1 da C 19,25,1 da masig masig berilai

KNM XVII 11-14 Jui 2014 ITS, Surabaya Gambar 3 Domai Daerah da Kode Batasa Gambar 4

5 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya Gambar 3 Domai Daerah da Kode Batasa Gambar 4 Kotur Sederhaa da Peyebara Kosetrasi Gambar 5 Domai Daerah da Syarat Awal Poluta 43

KNM XVII 11-14 Jui 2014 ITS, Surabaya Gambar 6

6 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya Gambar 6 Kotur Sederhaa da Peyebara Kosetrasi Gambar 7 Foto Udara Daau Uhas da Grid Komputasi Gambar 8 Kotur Simulasi Sederhaa da Simulasi Peyebara Kosetrasi Poluta 44

7 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya 6. Kesimpula Dari hasil komputasi yag diperoleh, dapat ditarik kesimpula bahwa metode Dufort Frakel dapat diguaka dalam medapatka simulasi hasil peyebara poluta sebagaimaa yag diperlihatka dalam hasil komputasi diatas. Daftar Pustaka [1] Noye, J., (1991), Computatioal Techiques for Differetial Equatios, North - Hollad. [2] Alma, (2013), Peyelesaia Numerik Persamaa Adveksi Difusi 2-D Utuk Model Trasportasi Poluta Dega Megguaka Metode Beda Higga Dufort Frakel, Tesis, Jurusa Matematika, FMIPA, Uhas. [3] Alma, Kusuma, J., Amiruddi, (2013) Peyelesaia Numerik Persamaa Adveksi Difusi 2-D Utuk Trasfer Poluta Dega Megguaka Metode Beda Higga Dufort Frakel, Jural Pasca Sarjaa, Uiversitas Hasauddi. [4] Cher, I Lig. (2009), Fiite Differece Method for Solvig Differetial Equatio. Diakses 19 Maret 2013 dari : /wiki/images/6/62/fd.pdf [5] Dormad, J. R. (2006), Numerical Methods for Differetial Equatios, A Computatioal Approach. CRC Press, NY. [6] Kusuma, Jeffry (2010), Persamaa Differesial Parsil, Diktat Kuliah, Jurusa Matematika FMIPA Uhas, Makassar. [7] Gilberto E.Urroz, (2004), Covergece, Stability, ad Cosistecy of Fiite Differece Schemes i the Solutio of Partial Differetial Equatios. Diakses 15 Maret 2013 dari : egieerig/umerical_methods i civil_egieerig/stability Numerical Schemes.pdf. 45

8 KNM XVII Jui 2014 ITS, Surabaya 46

dokumen-dokumen yang mirip

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak