PEMILIHAN PORTOFOLIO DAN PEMBENTUKAN HARGA ASET KERANGKA KERJA TIGA-PARAMETER ASTRIE LESTARI G

Transkripsi

1 PEMILIHAN PORTOFOLIO DAN PEMBENTUKAN HARGA ASET KERANGKA KERJA TIGA-PARAMETER ASTRIE LESTARI G544 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7

2 PEMILIHAN PORTOFOLIO DAN PEMBENTUKAN HARGA ASET KERANGKA KERJA TIGA-PARAMETER Skrs Sebaga salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sans ada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor Oleh: ASTRIE LESTARI G544 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7

3 ABSTRACT ASTRIE LESTARI. Portfolo Selecton and Asset Prcng Three-arameter Framework. Suervsed by EFFENDI SYAHRIL and DONNY CITRA LESMANA. Catal Asset Prcng Model (CAPM) reresents nstrument to redct equlbrum of exected returns of rsky assets. CAPM s assumed to be normal dstrbuted n ts mean and varance. However, n some condtons, devaton n exected returns occurs. In that case, a develoment from CAPM two-arameter model to CAPM three-arameter model s needed. The thrd moment, that s skewness of a rsky asset, s needed to aly CAPM three-arameter model. Skewness can be used to measure the asymmetrc dstrbuton as an effect of devaton n exected returns. To construct a ortfolo, nvestor can choose exstng securtes that otmze hs or her ortfolo s return. Portfolo wth three arameters, whch are mean, varance, and skewness, ermts the unavalablty of short sellng. If ortfolo s not otmal, then a CAPM threearameter model can be used. Ths artcle reanalyzed market asset rcng model usng three arameters that consst of mean, varance, and skewness of rsky asset return.

4 ABSTRAK ASTRIE LESTARI. Pemlhan Portofolo dan Pembentukan Harga Aset Kerangka Kerja Tga Parameter. Dbmbng oleh EFFENDI SYAHRIL dan DONNY CITRA LESMANA. Catal Asset Prcng Model (CAPM) meruakan alat untuk memredks kesembangan mbal hasl yang dharakan dar suatu aset bersko. CAPM dasumskan menyebar normal untuk rataan dan ragamnya. Namun dalam kenyataannya, serng terjad enymangan terhada mbal hasl yang dharakan. Untuk tu derlukan engembangan model CAPM dua arameter menjad CAPM tga arameter. Momen ketga, yatu kecondongan dar suatu aset bersko dgunakan untuk CAPM tga arameter. Kecondongan meruakan alat untuk mengukur sebaran asmetrs yang terjad akbat enymangan tersebut. Untuk melakukan nvestas, ara nvestor daat memlh sekurtas-sekurtas yang ada sehngga membentuk ortofolo yang otmal. Portofolo dengan tga arameter, yatu rataan, ragam, dan kecondongan memerbolehkan embatasan terhada short sales. Jka ortofolo tdak otmal, maka daat menggunakan model CAPM tga arameter. Dalam tulsan n akan dtelaah ulang embentukan harga asar aset dengan menggunakan tga arameter. Masalah embentukan harga n daat dselesakan dengan menggunakan model CAPM tga arameter yang melbatkan kecondongan dar mbal hasl aset bersko.

5 Judul : Pemlhan Portofolo Dan Pembentukan Harga Aset Kerangka Kerja Tga-Parameter Nama : Astre Lestar NIM : G544 Menyetuju : Pembmbng I, Pembmbng II, Drs. Effend Syahrl, Grad.Dl. Donny Ctra Lesmana, M.Sc. NIP NIP. 97 Mengetahu : Dekan Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP Tanggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Tangerang ada tanggal 5 Setember 985 sebaga anak kedua dar tga bersaudara dar asangan Abdul Shomad dan Nazawyah. Pada tahun 997 enuls menyelesakan enddkan dasar d SD Neger Tangerang XII. D tahun yang sama, enuls melanjutkan enddkan tngkat ertama d SLTP Neger Tangerang. Pada tahun enuls melanjutkan enddkan tngkat menengah d SMU Neger 5 Tangerang. Pada tahun, enuls dterma sebaga mahassw d Insttut Pertanan Bogor melalu jalur Undangan Seleks Masuk Insttut Pertanan Bogor (USMI) d Deartemen Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengkut kegatan erkulahan, enuls aktf d berbaga kegatan mahasswa yatu sebaga staf Deartemen Kadersas Gugus Mahasswa Matematka (GUMATIKA) erode /4, Ketua Deartemen Sosal Kemasyarakatan GUMATIKA erode 4/5, staf Deartemen Pengembangan Sumber Daya Mahasswa (PSDM) GUMATIKA bdang Kadersas erode 5/6, dan staf Deartemen Pengembangan Sumber Daya Mahasswa (PSDM) Badan Eksekutf Mahasswa (BEM) FMIPA erode 5/6. Penuls juga aktf sebaga anta d berbaga kegatan antara lan sebaga staf Acara Masa Perkenalan Deartemen (MPD) Matematka 4, koordnator Acara Masa Perkenalan Deartemen (MPD) Matematka 4, koordnator Dana Usaha (DANUS) Matematka Ra 5, koordnator Acara Ma Sort Tournament (MISOTO) 6, dan Ketua Let s Make Money (LeMM) 6.

7 DAFTAR ISI PENDAHULUAN Latar Belakang... Tujuan... Metode... Sstematka... LANDASAN TEORI Percobaan Acak dan Ruang Contoh... Peubah Acak dan Fungs Keekatan Peluang... Nla Haraan, Ragam, Standar Devas, dan Koragam... Fungs Pembangkt Momen, Momen, dan Kecondongan... Fungs Karakterstk dan Sebaran Shercal... Matrks Defnt Postf, Ttk Mnmum Global, dan Fungs Konkaf... Metode Lagrange... 4 Portofolo Markowtz... 4 Catal Asset Prcng Model (CAPM)... 4 Arbtrage Prcng Theory (APT)... 5 PEMBAHASAN Sebaran Imbal Hasl Aset... 5 Pendugaan Parameter Sebaran... 7 Pemlhan Portofolo... 7 Hmunan Efsen... 9 Pembentukan Harga Aset Modal (CAP)... Tradeoff Hasl Aset... Tanda Prem Kecondongan... KESIMPULAN... DAFTAR PUSTAKA...

8 KATA PENGANTAR Puj dan syukur kehadrat Allah SWT atas rahmat dan karuna-nya sehngga enuls daat menyelesakan tugas akhr yang berjudul Pemlhan Portofolo dan Pembentukan Harga Aset Kerangka Kerja Tga-Parameter. Shalawat serta salam tercurah keada junjungan kta nab besar Muhammad SAW yang telah memberkan sur tauladan keada umatnya hngga akhr jaman. Tugas akhr n dsusun sebaga salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sans ada rogram stud Matematka. Penuls mengucakan terma kash keada :. Baak Drs. Effend Syahrl, Grad.Dl. selaku Pembmbng I yang telah meluangkan waktu untuk memberkan bmbngan dan engarahan sehngga enuls daat menyelesakan karya lmah n.. Baak Donny Ctra Lesmana, M.Sc. selaku Pembmbng II atas bmbngan dan saran yang telah dberkan.. Ibu Ir. Retno Budart, M.S. selaku Penguj yang telah memberkan saran dan masukannya. 4. Baak dan Mama yang terus memberkan kash sayang, doa, dan semangatnya. 5. Ka Nurul Taqwyah dan De Nzar Fkr yang telah memberkan semangat. 6. Hrasawa, S.S. yang telah memberkan kash sayang, doa dan semangat. 7. Dosen-dosen atas lmu yang telah dberkan keada enuls, serta egawa Deartemen Matematka: Bu Sus, Bu Ade, Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Mars, terma kash atas bantuan selama d Deartemen Matematka. 8. Muft, Mta, Dmas, Ayu, Jaja, Iwt, Ifn atas bantuan dan semangatnya. 9. Icha, Vna, Ame, Mka, dan Indah atas ersahabatan selama emat tahun n.. Teman-teman Matematka 4 : Aam, Ll, Manto, Mayang, Kaf, Els, Yuda, Azs, Prma, Ar, Nch, Sr, Ul, Bedu (Abdllah), Komeng (Yud), Jayu, Rusl, Ber, Marln, Om (Rama), Dw, Anton, Waldah, Al, Abay, Metha, Uve, Hern, Gatchul (Gatha), Febran, Ucu, Nsa, Dem, Putra. Terma kash atas kebersamaannya selama n.. Semua mahasswa/ matematka angkatan 9, 4, dan 4 atas dukungannya.. Dev, Mba Dd, Mba Sus, dan seluruh enghun wsma Blobo yang telah memberkan semangat.. Semua hak yang kut membantu dan enuls tdak daat menyebutkan satu ersatu. Penulsan tugas akhr n mash terdaat kekurangan. Oleh karena tu, krtk dan saran dar semua hak akan sangat membantu dem kesemurnaan enulsan n. Semoga karya lmah n daat bermanfaat bag hak yang membaca. Bogor, Setember 7 Astre Lestar

9 PENDAHULUAN Latar Belakang Model Penetaan Harga Aset Modal (CAPM) meruakan sebuah alat untuk memredks kesembangan mbal hasl yang dharakan dar suatu aset bersko. Argumentas CAPM n berlandaskan ada efsens rataan-ragam, yatu jka ada sekurtas yang melanggar hubungan antara mbal hasl yang dharakan dengan beta (rsko sstemats), maka banyak nvestor akan mengubah ortofolonya sehngga akan menctakan tekanan menyeluruh terhada harga sama membentuk kesembangan yang mengembalkan hubungan antara mbal hasl yang dharakan dengan beta. CAPM memerlakukan seluruh aset yang derdagangkan sebaga aset yang bersko. CAPM mensyaratkan tdak boleh terjad arbtrase, yatu kesalahan harga dar suatu sekurtas dengan cara tertentu sehngga keuntungan bsa ddaatkan tana rsko. Hal n melbatkan aktvtas membel atau menjual sekurtas yang sama untuk mendaatkan keuntungan dar erbedaan harga yang terjad. Salah satu rns teor asar modal yang alng mendasar bahwa nvestor adalah rasonal sehngga menadakan eluang arbtrase. Jka harga aktual sekurtas memungknkan terjadnya arbtrase, haslnya akan memberkan tekanan yang kuat agar kembal ke oss kesembangan. Karena tu, asar sekurtas akan mencaa konds tana eluang arbtrase. Teor Pembentukan Harga Arbtrase (APT) yang dkemukakan oleh Ross (976) memberkan alternatf yang menark dan mudah untuk rataan-ragam dar Catal Asset Prcng Model (CAPM) yang dturunkan oleh Share-Lntner. D ss lan, teor tersebut membutuhkan embatasan ada enawaran aset-aset. Pembatasan tu membutuhkan nlanla aset dalam roors yang khas satu sama lan untuk menjamn bahwa rsko stmewa (dosyncratc) dhauskan dar ortofolo asar. Makalah n menganalss ortofolo asar dalam enentuan harga tga faktor dengan salah satu faktor bereran entng dalam embentukan harga semua aset dalam ekonom. Model n juga memberkan ukuran rsko dan memerbesar rataan-ragam untuk emlhan ortofolo. Ragam dgunakan sebaga ukuran rsko tunggal untuk semua nvestor. Proses mbal hasl ada ragam ortofolo memunya dua komonen berbeda dalam rsko ortofolo, yatu komonen ragam shercal dan komonen ragam nonshercal. Komonen ragam shercal memunya bentuk kuadratk dalam ortofolo. Sedangkan ragam nonshercal daat menentukan kecondongan yang lebh tngg ada mbal hasl ortofolo. Tujuan Tujuan dar karya tuls n adalah menelaah ulang embentukan harga asar aset dengan tga arameter, yatu rataan, ragam, dan kecondongan. Metode Metode yang dgunakan dalam karya tuls n adalah enelaahan ustaka yang melut embentukan harga asar dengan tga arameter, yatu rataan, ragam, dan kecondongan. Jurnal utama karya tuls n merujuk ada Smaan, Y. 99. Portfolo Selecton and Asset Prcng - Three- Parameter Framework. New York. Bahanbahan yang menunjang enulsan karya tuls n deroleh dar buku-buku dan jurnal yang terkat dengan tulsan dalam daftar ustaka. Sstematka Penulsan Tulsan n terdr atas emat bab. Pada bab satu n telah djelaskan latar belakang masalah, tujuan, dan metode yang dgunakan. Dalam bab dua dberkan landasan teor berua defns dar stlah matemats yang dgunakan dalam embahasan sebaga alat analss masalah. Dalam bab tga dberkan formulas masalah embentukan harga asar dengan tga arameter yang meruakan okok embahasan karya tuls n. Pada bab emat dberkan kesmulan dar karya tuls n.

10 LANDASAN TEORI Dalam bagan n, akan djelaskan mengena defns dar stlah matemats yang dgunakan dalam bagan selanjutnya. Percobaan Acak dan Ruang Contoh Defns (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah suatu ercobaan yang daat dulang dalam konds yang sama, namun hasl ada ercobaan berkutnya tdak daat dtebak dengan teat, teta daat dketahu semua kemungknan hasl yang muncul. [Hogg dan Crag, 995] Defns (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah hmunan yang beranggotakan semua hasl yang mungkn muncul dar suatu ercobaan acak dan basa dnotaskan dengan Ω. [Hogg dan Crag, 995] Peubah Acak dan Fungs Keekatan Peluang Defns (Peubah Acak) Msalkan Ω adalah ruang contoh dar suatu ercobaan acak. Fungs X yang terdefns ada Ω yang memetakan seta unsur ω Ω ke satu dan hanya satu blangan real X( ω ) x dsebut eubah acak. Ruang dar X adalah hmunan bagan blangan real A { x: x X( ω), ω Ω }. [Hogg dan Crag, 995] Defns 4 (Peubah Acak Kontnu) Peubah acak X dkatakan kontnu jka ada fungs f X ( x ) sehngga fungs sebaran F x P X x daat dnyatakan sebaga X ( ) ( ) F x f u du, X ( ) ( ) x R f : R, adalah fungs yang terntegralkan. Fungs f dsebut fungs keekatan eluang dar X. [Grmmett dan Strzaker, 99], dengan [ ] X P( X A) f ( x) dx dsebut fungs A keekatan eluang dar eubah acak X. [Grmmett dan Strzaker, 99] Nla Haraan, Ragam, Standar Devas, dan Koragam Defns 6 (Nla Haraan) Msalkan X adalah eubah acak kontnu dengan fungs keekatan eluang f x ( x ). Nla haraan dar X adalah [ ] ( ) E X xf x dx, asalkan ntegral d atas konvergen mutlak. [Grmmett dan Strzaker, 99] Defns 7 (Ragam) Ragam dar eubah acak X adalah nla haraan dar kuadrat selsh antara X dengan nla haraannya. Secara matemats daat dnyatakan sebaga berkut: Var( X ) E ( X - E[ X ]) EX [ ] ( EX [ ]) [Hogg dan Crag, 995] Defns 8 (Standar Devas) Jka X adalah eubah acak, σ x dsebut dengan standar devas dar X yang ddefnskan sebaga σ Var( X ) x ( ( )) E X E X [Ghahraman, 5] Defns 9 (Koragam) Msalkan X dan Y dua eubah acak dengan EX ( ) µ E Y µ, maka dan ( ) ( µ )( µ ) cov( XY, ) E X Y E( XY ) µ µ dsebut koragam acak X dan Y. [Hogg dan Crag, 995] Defns 5 (Fungs Keekatan Peluang) Msalkan X adalah eubah acak. Fungs f : [, ) sedemkan sehngga untuk seta hmunan A,

11 Fungs Pembangkt Momen, Momen, dan Kecondongan Defns (Fungs Pembangkt Momen) Jka X adalah eubah acak dskret, t meruakan konstanta maka fungs embangkt momen ddefnskan sebaga berkut ( ) tx tx M X () t E e e f x dx dengan h< t < h. [Hogg dan Crag, 995] Defns (Momen) Momen ke- k dar eubah acak X ddefnskan sebaga berkut: m E( X k ),,,,... k k [Hogg dan Crag, 995] Defns (Momen Pusat) Momen usat ke- k dar eubah acak X ddefnskan: k m E ( X m ), k,,,... k m momen ke- nla haraan dar eubah acak X. [Hogg dan Crag, 995] Defns (Kecondongan) Kecondongan berdasarkan engamatan, adalah enyebaran asmetrs d sektar nla rata-rata. Haslnya memberkan rata-rata dan medan yang berbeda. Msalkan X eubah σ acak dengan nla haraan µ dan ragam sedemkan sehngga momen usat ke- E ( X µ ) berotongan dengan gars vertkal µ. Nla erbandngan dar ( ) E X µ σ dar skewness. basa dsebut sebaga ukuran [Hogg dan Crag, 995] Fungs Karakterstk dan Sebaran Shercal Defns 4 (Fungs Karakterstk) Msalkan adalah blangan majner dan t, maka tx Φ () t E( e ) dsebut fungs karakterstk. Fungs karakterstk memunya hubungan dengan fungs embangkt momen yatu Φ ( t) M ( t). Momen daat dhaslkan dengan menggunakan fungs karakterstk berkut: r r d Φ ( t) Mr r t, r,,..., n dt [Rose dan Smth, ] Defns 5 (Sebaran Shercal) Suatu vektor ε% dar eubah acak dkatakan mengkut hubungan sebaran shercal dengan arameter dan W (dnotaskan % ε S (, W) ), jka terdaat vektor konstanta dan matrks defnt ostf W sedemkan sehngga fungs karakterstk dar ε% dberkan oleh Φ % ε ( t) ex( t ) g ( t'wt) dengan, t ' ( t,..., t N ) dan g ( t ) meruakan fungs sedemkan sehngga Φ % ε ( t) adalah fungs karakterstk yang sebenarnya. [Yusf Smaan, 99] Matrks Defnt Postf, Ttk Mnmum Global, dan Fungs Konkaf Defns 6 ( Matrks Defnt Postf) Msalkan A matrks berukuran n n dan msalkan QA ( y) y Ay adalah bentuk kuadratk yang beradanan dengan A. Jka n QA ( y) y Ay >, untuk semua y maka A dan Q A dsebut defnt ostf. [Peressn et.al, 988] Defns 7 (Ttk Mnmum Global) Msalkan f ( x ) fungs bernla real yang terdefns ada suatu selang I. Jka f ( x* ) f ( x), untuk seta x d I maka ttk x * meruakan ttk mnmum global untuk f ada I. [Peressn et.al, 988] Defns 8 (Fungs Konkaf) Fungs f dkatakan fungs konkaf ada selang I jka dan hanya jka f ( λx+ ( λ) x) λ f ( x) + ( λ) f ( x) untuk seta x, x I dan untuk seta λ.

12 4 Jka yang berlaku f λx + λ x > λ f x + λ f x ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) untuk x x dan < λ < maka f dkatakan fungs konkaf semurna (strctly concave). [Peressn et.al, 988] Metode Lagrange Defns 9 (Metode Lagrange) Untuk memaksmumkan atau memnmumkan f ( x, x ) terhada kendala gx (, x ), selesakan sstem ersamaan berkut maks f ( x, x ) ( x, x) dengan kendala gx (, x ). Dar masalah tersebut, maka deroleh fungs Lagrange sebaga berkut: L ( x, λ) f( x) + λg( x). Syarat erlu untuk eksstens ttk ekstrm * X X akan terenuh jka turunan arsal dar fungs Lagrange sama dengan nol, sehngga menghaslkan : l f g + λ (a) x x x l f g + λ (b) x x x l gx (, x). λ Dar Persamaan (a) dan (b) akan dhaslkan * * x, x. λ yang beradanan ttk ekstrm ( ) dengan fungs gx (, x ) dsebut engal Lagrange. [Rao, 978] Portofolo Markowtz Imbal hasl yang dharakan dar suatu ortofolo adalah enjumlahan dar mbal hasl yang dharakan dar ta sekurtas embentuk ortofolo dkalkan dengan bobot masng-masng sekurtas dalam ortofolo. E ( r ) adalah nla haraan mbal hasl ortofolo dan w meruakan bobot-bobot sekurtas dalam ortofolo atau daat dtuls sebaga n ( ) E( r) E r w. Karena dalam embentuk ortofolo hanya dlhat sekurtas yang bersko saja, maka jumlah bobot dalam suatu ortofolo adalah satu, atau secara matemats dtuls n w. Ragam ortofolo atau smangan dkuadratkan, σ, mencermnkan rsko dar ortofolo. w adalah bobot-bobot sekurtas dalam ortofolo. Secara matemats ragam dar suatu ortofolo dtulskan sebaga berkut: σ ww σ ww n nσnn + wwσ w wσ n n ( n ) n σ σ Dengan menulskan, dengan σ adalah ragam sekurtas ke- maka σ wσ wnσn + wwσ wwσ w wσ n n n n ( n ) n n n n w + ww j j, < j j σ σ σ Karena σ j σ j dengan σ j adalah koragam sekurtas dan j untuk j dan ww w w maka j j n n n + j j j σ w σ w w σ, < j Portofolo Markowtz n dgunakan untuk memlh w sehngga σ mnmum atau daat dtulskan mn σ { } w dengan kendala w n [Mara Nastasja van Keeken, ] Catal Asset Prcng Model (CAPM) Catal Asset Prcng Model (CAPM) adalah suatu model yang memredks masalah kesembangan dar nla mbal hasl ada aset bersko. Model n memberkan redks yang teat tentang bagamana hubungan antara rsko dan mbal hasl yang dharakan. Terdaat beberaa asums dalam CAPM, salah satunya adalah nvestas dbatas hanya ada aset keuangan yang derdagangkan secara umum seert saham dan oblgas, keseakatan njaman dan emberan njaman yang bebas rsko. Model rumus CAPM adalah sebaga berkut: E( r) r β [ E( r ) r ] f m f

13 5 dengan: E( r) r : rem rsko atas sekurtas f ndvdual. E( r ) r : rem rsko atas ortofolo β m f asar. : rsko sstemats. [Bode, Kane, dan Marcus, ] Arbtrage Prcng Theory (APT) Arbtrage Prcng Theory (APT) memredks Gars Pasar Sekurtas (SML) yang mengatkan mbal hasl yang dharakan dengan rsko. APT yang dkemukakan oleh Ross (976) ddasarkan ada tga rooss, yatu: () mbal hasl sekurtas daat djelaskan dengan sebuah model faktor; () terdaat cuku banyak sekurtas untuk menghlangkan rsko stmewa (dosyncratc) dengan dversfkas; () asar sekurtas yang berfungs dengan bak tdak memungknkan terjadnya eluang arbtrase secara terus-menerus. APT akan berlaku ketka hasl sekurtas menyebar asmetrs. Model rumus APT adalah sebaga berkut: r E( r) + βf + e dengan: r : mbal hasl dar aset bersko. E ( r ) : mbal hasl yang dharakan dar β F e aset bersko. : rsko sstemats. : faktor makroekonom. : rsko stmewa erusahaan. [Bode, Kane, dan Marcus, ] PEMBAHASAN Sebaran Imbal Hasl Aset Menurut Bode, Kane, dan Marcus,, enlaan saham ddasarkan ada eksektas arus kas masa dean, sedangkan harga kesembangan terjad ada eksektas mbal hasl yang wajar sehngga daat memnmumkan rsko. Ragam mbal hasl dar eksektas muncul dar kesalahan erkraan berkatan dengan faktor-faktor ekonom yang memengaruh arus kas. Damak dar kesalahan erkraan membuat mbal hasl akan mendekat sebaran normal. Imbal hasl yang menyebar normal memunya dua cr entng. Pertama, sebaran normal adalah smetrs yang dgambarkan oleh dua arameter, rataan dan ragam. Cr n berakbat bahwa rsko dar mbal hasl nvestas yang terdstrbus secara normal dgambarkan secara enuh oleh ragamnya. Kedua, rata-rata tertmbang dar varabelvarabel yang terdstrbus normal juga akan terdstrbus secara normal. Oleh karena tu, jka mbal hasl saham ndvdu menyebar normal maka mbal hasl dar ortofolo aaun akan menyebar normal juga dan ragam akan menunjukkan rskonya. Karena alasan n, asums normaltas danjurkan. Pada sebaran normal, nla ekstrm serng muncul terutama untuk nla ekstrm negatf yang ada terlalu besar. Untuk menggambarkan nla ekstrm negatf n dlakukan dengan cara menghtung sebaran asmetrs, yatu dengan menghtung rataan ragam angkat tga yang basa dsebut momen ketga dar sebaran. Dalam statstk, nla momen dsebut kecondongan (skewness), dan kecondongan tu meruakan ukuran asmetrs. Komonen ragam shercal mencaku kedua cr entng dar mbal hasl yang menyebar normal. Selan tu, komonen sebaran shercal daat dgunakan untuk mengkonstruks model asmetrs dar hasl sekurtas. Dalam model n, emlhan rataan ragam ortofolo basanya tdak otmal untuk nvestor enolak rsko (rsk-averse), sehngga CAPM Share-Lntner tdak berlaku. Karena APT menggunakan asums sebaran asmetrs maka APT berlaku dalam model emlhan rataan ragam ortofolo tersebut. Perhatkan model dar mbal hasl sekurtas berkut n: z% µ + b + % ε,,,..., N () dengan z% adalah mbal hasl sekurtas, µ nla haraan dar mbal hasl sekurtas, b senstvtas sekurtas terhada faktor makroekonom, komonen makroekonom, dan ε% adalah engaruh dar erstwa sesfk erusahaan yang tdak dantsas. meruakan vektor acak dar % ε ( % ε,..., % εn ) yang mengkut sebaran shercal gabungan

14 6 dengan matrks karakterstk W, % ε, W. Selan tu, juga ξ S ( ) meruakan eubah acak dengan sebaran nonshercal. Jka ε% tdak berkorelas, maka Persamaan () dsebut model faktor tunggal (sngle-factor model). Menurut Smaan dengan mengut Ross (978), Persamaan () meruakan hasl dar tga dana yang dsahkan jka dan hanya jka terdaat eubah acak u%, vektor acak % δ, vektor c, dan dua dana X dan X sedemkan sehngga % ε j cu j% + % δ j, dengan () E ( % δ j ) untuk j,..., n; () E % δ j ty % + tu % untuk semua skalar t dan t ; () δx % δx % untuk e'x e'x dengan e (,..., )'. Persamaan () memungknkan sekurtas ndvdual menunjukkan kecondongan dan tdak berlakunya emsahan dua dana, yatu nla haraan dan rsko sesfk dar erusahaan. Dua teorema berkut mengekslotas beberaa sfat sebaran dar vektor acak Z yang memuat µ, V, dan b. Teorema. Fungs karakterstk dar vektor acak Z yang memenuh Persamaan () dberkan oleh Z ( ) ex( ) ( ) ( ) Φ t t'µ Φ % t Φ % t'b () dengan Φ % ( t) dan Φ ( δ) ε y ε y % meruakan fungs karakterstk dar vektor shercal ε% dan gangguan nonshercal. Bukt. Karena Z y S ( µ + b, W) dan berdasarkan defns sebaran shercal, maka: y ( ) ex{ ( y) } g( ) Φ % t t' µ+b% t'wt. Z % % adalah Fungs karakterstk dar ( z,...,, zn ) ΦZ, ( t, δ ) E ex{ t'z + δ } E E( ex { t'z + δ } ) E ex{ t'z + δ } ft dt E ex{ δ } ex{ t'z } ft dt E ex{ δ } Φ Z ex{ δ %} ex{ t' ( µ b% )} ( t'wt) E y + y g E ex{ δ } ex{ t'µ + t'b } g( t'wt) { δ %} { t'µ } { t'b% } ( t'wt) E ex y ex ex y g { δ % %} ( ) ex y+ t'µ + t'by g t'wt fy % dy { } ( ) { δ % %} ex t'µ g t'wt ex y+ t'b y fy % dy { } ( ) { ( δ ) %} ex t'µ g t'wt ex + t'b y fy % dy { t'µ } g( t'wt) Φ ( δ t'b) Φ % ε ( t) { t'µ } Φ ( δ ex{ t } t'b) Φ % ε ( t) { t'µ } Φ ( t) ex{ t ( ) } { } ( ) ( ) ex + ex + ex ex t'µ Φ t Φ t % ε Jad, ΦZ( t) ΦZ, ( t, δ ) ΦZ, ( t,) ex{ t'µ } Φ % ε ( t) Φ ( + t'b) ex{ t'µ } Φ % ε ( t) Φ ( t'b) terbukt Teorema. Jka E( y % ) dan Var ( ε% ) berhngga, maka tga momen yang ertama berturut-turut dberkan sebaga berkut: E Z µ () ( ) ( ) + ' σ Var Z kw bb V (4) dengan k suatu konstanta ostf Sjkl E( z% j µ j )( z% k µ k )( z% l µ l ) (5) bbbe j k l ( ) Bukt. Gunakan E ( Z ) µ ada Persamaan (). Momen kedua dan ketga akan deroleh menggunakan fungs karakterstk dar Z yang dberkan sebaga berkut: Z ( ) log Z( ) log ex{ t'µ } Φ ( t) Φ ( t'b) ψ t Φ t ( % ε )

15 7 % ε ( ) % ( ) ( ) ( ) t'µ + log Φ t + log Φ y t'b t'µ + ψ t + ψ t'b ( Z) V Var d ψ Z ( t) ( dt)( dt) ' d ψ Z ( t) ( dt )( dt) ' ( ) % ε r t t d r ψz ( t) r ( dt ) d ψz ( t) ( dt)( dt) ' t d ψ Z ( t) ( dt)( dt) d ψz ( t) ( )( )' ' t t t ( " ( )) + bb' ψ t'b dt dt d ψz ( t) ( dt)( dt )' t ( y" ( ) ) + bb' ψ % S jkl r d d r ψ Z ( t) r ( dt) t ψ ( t) Z dt dt dt j k l t ( t) d ψ % ε + b b bψ dt dt dt j k l t ( t) d ψ % ε + b b bψ dt dt dt j k l j k l t ( ) bbbe t ( t'b) j k l ''' t j k l ''' ( ) terbukt Pendugaan Parameter Sebaran Berdasarkan dua teorema d atas, sebaran bersama Z bergantung ada vektor rataan µ, vektor nonshercal b, dan matrks karakterstk W dsamng kebergantungannya ada k dan arameter sebaran, namun emsahan dana dan hmunan efsen hanya bergantung ada µ, V dan b. Vektor rataan dan matrks koragam memberkan enduga momen bag µ dan V. Kecondongan Z bergantung ada b dan roorsonal terhada kecondongan. Smaan (986) mengusulkan menggunakan momen ketga marjnal dar Z untuk memberkan enduga b ada konds E y berkut: T ( Z t Zt) T b% t / E ( ) Tujuan menduga hmunan efsen adalah menentukan sebaran dar untuk memeroleh kecondongan teta (seert sebaran eksonensal). Karena engurutan dar ortofolo efsen tdak bergantung ada sebaran, emlhan ortofolo daat sebarang. Pendekatan alternatf untuk menentukan sebaran bergantung ada bentuk arameter yang menentukan kecondongan dan momen keemat dar (seert sebaran gamma) dan menggunakan momen keemat dar Z untuk menghaslkan enduga momen dan enduga momen E. Sebaran dar gangguan shercal dan sebaran memungknkan enurunan enduga kemungknan maksmum (Maksmum Lkelhood Estmator) untuk semua atau beberaa arameter. Smaan (99) menggunakan camuran metode momen dan metode enduga kemungknan maksmum untuk menduga arameter dan arameter lannya ( µ, b, dan W ). Metode momen dgunakan untuk menentukan enduga µ, b, dan W sebaga fungs dar arameter, kemudan arameter dlh untuk memaksmumkan fungs kemungknan tersebut. Pemlhan Portofolo Dalam melakukan nvestas terseda banyak lhan jens sekurtas bag nvestor. Semua jens sekurtas menjanjkan mbal hasl bag emlknya terutama sekurtas bersko. Semakn tngg rsko suatu sekurtas basanya makn tngg mbal hasl yang djanjkan erusahaan sekurtas. Bag nvestor hal n cuku membngungkan, karena nvestor harus memlh sekurtas yang menguntungkan dar sekurtas yang terseda. Dua arameter yang entng dalam membuat keutusan adalah mbal hasl dan rsko. Masalah yang dhada nvestor n decahkan oleh Harry Markowtz dalam Journal of Fnance ada tahun 95 yang berjudul Portfolo Selecton. Markowtz memerkenalkan suatu endekatan modern untuk menyeleks ortofolo dengan melhat tngkat mbal hasl dan rsko suatu sekurtas /.

16 8 ddasarkan ada analss fundamental. Jad dengan adanya emlhan ortofolo Markowtz, nvestor daat mengabakan nformas tentang erusahaan sekurtas, kebjakannya, dan angsa asar ortofolo, dan hanya melhat ada beberaa erhtungan statstk. Beberaa formulas daat mereduks masalah emlhan ortofolo ke dalam suatu masalah emrograman kuadratk yang bergantung ada arameter sebaran enduga dar mbal hasl aset yang damat. Masalah tersebut daat dkonvers melalu teoremateorema berkut n. Teorema. Sebaran dar mbal hasl ada sebarang ortofolo X, E U( Z'X ), adalah fungs dar X'µ, X'b, dan X'WX. Bukt. Msalkan B b'x. Berdasarkan Teorema, V W + σ y bb'. Untuk menurunkan dana yang merentang hmunan efsen, yatu hmunan ortofolo yang memaksmumkan mbal hasl yang dharakan dan memnmumkan rsko, daat dbandngkan dengan dana yang merentang hmunan efsen rataan-ragam, cuku dbuktkan bahwa fungs karakterstk dar X'Z bergantung ada X hanya melalu arameter X'µ, X'b, dan X'WX. Z'X ( δ) Z ( δ ) ex( δ( X'µ )) Φ ( δx'b) Φ % ε ( δx) Φ Φ X ( δx'µ ) g( δ X'WX) Φ ( δx'b) ex h( X'µ, X'b, X'WX ) (6) terbukt Akbat.. Utltas yang dharakan dar sebarang mbal hasl ortofolo dtentukan oleh rataan, ragam, dan kecondongannya. Akbat. n deroleh dengan melakukan engamatan terhada sebaran dar mbal hasl ortofolo. Utltas yang dharakan mungkn akan bergantung ada arameter sebaran dar sebaran nonshercal, teta tu akan teta dtentukan oleh X'µ, X'VX, dan X'b untuk semua X karena kontrol sebaran ortofolo dar nvestor berakhr dengan mengendalkan X'µ, X'VX, dan X'b. Teorema 4. Msalkan X'µ E dan X'b B. Utltas yang dharakan E U( ) X'Z adalah suatu fungs tak nak dar komonen ragam shercal. Bukt teorema daat dlhat ada Teorema 4 d Hanoch dan Levy (969) Akbat 4.. Untuk sebarang fungs utltas konkaf terdaat asangan ( E, B ) sedemkan sehngga masalah ortofolo ekuvalen dengan masalah emrograman kuadratk berkut: mn X'WX x dengan kendala: X'µ E, X'b B, X'e (7) Bukt. Msalkan U sebarang fungs utltas konkaf dan X* meruakan solus dar masalah ortofolo untuk U. Ddefnskan asangan ( E, B ) dengan E µ'x* dan B b'x* serta µ meruakan mbal hasl yang dharakan, b vektor nonshercal, dan e engaruh sesfk erusahaan. Dar defns X* ddaatkan ( ) E U( ) E U Z'X* Z'X. Karena E U( ) X'Z monoton tak nak dalam X'WX untuk suatu X'µ dan X'b sehngga deroleh bentuk X*'XW* X'WX untuk X { X X'µ Ek, X'b B, X'e } dengan k blangan ostf real. Jad X* meruakan solus dar masalah ortofolo. Sehngga X* adalah solus dar masalah emrograman kuadratk (7). terbukt

17 9 Dalam menghada masalah emlhan ortofolo d atas, jka dlakukan short sales dalam embentukan ortofolo bersko maka ortofolo bersko yang hanya terdr atas sebuah aset menjad tdak efsen. Teta jka short sales tdak dlakukan maka sekurtas tunggal mungkn berada ada fronter, yatu grafk ragam terendah yang dcaa untuk nla haraan dar mbal hasl ortofolo tertentu. Hmunan Efsen Dar begtu banyak sekurtas yang terseda, nvestor tdak harus mengevaluas semuanya, cuku mengevaluas hmunan bagan dar ortofolo yang terseda ada hmunan efsen. Yang dmaksud hmunan efsen adalah hmunan ortofolo-ortofolo yang menawarkan maksmum nla haraan dar mbal hasl untuk tngkat rsko yang berbeda dan menawarkan mnmum rsko untuk tngkat nla haraan dar mbal hasl yang berbeda. Hmunan ortofolo seert n dsebut hmunan efsen atau efcent fronter. Fronter berart yang terdean, dalam hal n fronter bers ortofolo dengan ragam mnmum yang daat dcaa ada suatu nla haraan mbal hasl tertentu. Dengan mengolah hmunan data dar nla haraan mbal hasl, ragam, dan koragam ta sekurtas bersko, kta daat menghtung bobot-bobot sekurtas dalam ortofolo yang membuat ragam ortofolo menjad mnmum untuk nla haraan dar mbal hasl yang dtargetkan. Pembatasan short sales bukan menjad satu-satunya kendala untuk memberkan suatu karaktersas hmunan ortofolo efsen. Menurut Smaan dengan mengut Dybvg (985) dan Markowtz (959, 987) menunjukkan bahwa hmunan efsen rataanragam terdr atas segmen-segmen yang arabolk atau segmen-segmen gars horzontal dan kekakuan dalam hmunan efsen. Short sales dlakukan untuk memberkan emsahan tga dana yang merentang hmunan efsen sebaga suatu fungs arameter sebaran bersama. Teorema berkut n menurunkan hmunan efsen dalam ruang ortofolo bak untuk keentngannya sendr dan untuk engembangan analss embentukan harga aset modal (CAP) ada bagan selanjutnya. Teorema 5. Ketka mbal hasl sekurtas mengkut sebaran nonshercal sebagamana dberkan oleh Persamaan (), hmunan efsen drentang oleh tga dana berkut: - - V µ a - e'v µ', V e a - e'v e', a dengan V Var ( ) - V b e'v b' - dan Z. Jka ada suatu aset bebas rsko dengan tngkat mbal hasl R F maka hmunan efsen drentang oleh aset bebas rsko: ( µ-rfe) ( ) - V a - e'v µ - R e ' dan a. F Bukt. () Berdasarkan Akbat 4. untuk sebarang fungs utltas terdaat E dan B sedemkan sehngga ortofolo otmal menyelesakan Persamaan (7). Karena B X'b dan W V bb' σ y %, fungs objektf dalam Persamaan (7) daat dtulskan sebaga berkut: - σ y X'WX X'VX B % Penulsan fungs objektf dalam bentuk kuadratk d V memberkan keuntungan dalam enurunan dana efsen dalam bentuk yang daat dbandngkan terhada dana efsen rataan-ragam. Lagrangan dan syarat turunan ertamanya adalah L X'VX B σ + δ ( E X'µ ) + δ( X'e) + δ( B X'b) X'VX X'b σ + δ E X'µ + δ X'e + δ B X'b ( ) ( ) ( ) ( ) dl VX ( X'b) σ b δµ δe δb dx VX Bσ b δµ δe δb (8) VX δ µ δ e δ + Bσ y % b (9) ( ) ( % ) VX δ µ + δ e + δ + Bσ b y δ + δ + δ δ - + δ - + δ - V VX V µ V e V b X V µ V e V b

18 λ Msalkan δ - e'v µ, λ δ - e'v e, δ - dan λ. Maka solus dar masalah X e'v b V µ V e V b adalah X λ + λ + λ e'v µ e'v e e'v b dan λ + λ + λ. Karena W matrks koragam, maka W defnt ostf. Dengan demkan X adalah ttk mnmum global dar bentuk kuadratk X'WX. () Andakan terdaat aset tana rsko dengan mbal hasl R F. Msalkan x menyatakan nvestas dalam sekurtas n. Persamaan (7) berbentuk sebaga berkut: mn x dengan kendala: X'µ + xrf E, X'b B, X'e + x ( X'VX B σ y % ) Lagrangan dan syarat turunan ertamanya adalah L X'VX B σ + δ( E X'µ xrf ) + δ( X'e x) + δ( B X'b) X'VX ( X'b) σ + δe δx'µ δ xr + δ δ X'e δ x + δ B δ X'b F dl VX X'b σ b δµ δe δb dx VX B σ δ µ δ e δ b % (*) y b dl δrf δ () dx δ δ R F Substtuskan Persamaan () ke (*). Maka akan deroleh ( R ) VX B µ e b σ b δ δ F δ R F y ( ) ( ) VX δ µ e δ + σ % B b () ( R ) ( F y % ) VX δ µ e + δ + Bσ b VX δ( µ R F e) + δb δ( R F ) + δ - - δ( R F ) + δ V VX V µ e V b X V µ e V b λ Msalkan δ - e'v µ R F e λ δ. Maka akan deroleh - e'v b ( F ) ( ) ( ) - - V µ-r e V b X λ + λ - - e'v µ - RFe e'v b x λ λ. dan dan terbukt Hmunan efsen rataan-ragam terletak ada suatu gars lurus dalam ruang ortofolo, sedangkan hmunan efsen dalam masalah n terletak ada suatu bdang dalam ruang ortofolo. Sebaga catatan a adalah ortofolo dengan ragam mnmum global dan mbal hasl ada a memberkan mbal hasl korelas maksmum dengan faktor kecondongan. Hal n juga meruakan ortofolo yang daat memaksmumkan dan memnmumkan kecondongan X'b untuk suatu ragam X'VX yang dberkan. Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) Model dar embentukan harga aset modal yang basa dsebut CAPM n meruakan suatu alat untuk memredks kesembangan mbal hasl yang dharakan dar suatu aset bersko. CAPM memredks nla haraan mbal hasl berdasarkan asums bahwa seluruh nvestor menggunakan daftar nut yang sama kemudan dmasukkan ke dalam model Markowtz. Ketka seluruh nvestor daat memnjam dan member njaman dana ada tngkat bebas rsko, maka seluruh nvestor akan memunya ttk ortofolo yang otmal. Ketka njaman dbatas, maka suku bunga njaman lebh tngg darada suku bunga emberan njaman sehngga ortofolo asar tdak lag meruakan ortofolo otmal dan efsen bag seluruh nvestor. Jka ortofolo asar tdak lag efsen secara rataan-ragam, maka hubungan antara mbal hasl dan beta dar CAPM tdak lag membentuk kesembangan asar. Oleh karena tu, derlukan engembangan model CAPM tga momen yang melbatkan

19 kecondongan dar suatu aset bersko dalam asar ersangan semurna. Berkut n akan dberkan asums-asums yang berkenaan dengan erusahaan, nvestor dan asar modal. () Perusahaan: Ada N Perusahaan (,,..., N). Perusahaan menawarkan sejumlah n saham. () Investor: Ada sebanyak M nvestor. Semua nvestor ercaya bahwa sebaran bersama dar mbal hasl (unt-unt tambahan rate of returns) ada ersedaan N menyebar nonshercal sebagamana dsebutkan dalam Persamaan (). Seta nvestor dasumskan untuk mengalokaskan kekayaan awal untuk memaksmumkan nla haraan dar kekayaan utltas. () Pasar: Yang termasuk asar dsn adalah asar aset semurna tana ajak, baya transaks, atau embatasan ada short sales. Dasumskan ada kesembangan asar modal teta yang areto-otmal. Menurut Persamaan (9), ermntaan nvestor ke- k untuk aset rsko memenuh N k k k k vx j j λµ λ λb () j untuk,..., N dan k,..., M k dengan x adalah banyaknya uang yang dnvestaskan oleh nvestor k ada erusahaan. Untuk semua aset asar, ermntaan keseluruhan oleh semua nvestor untuk saham dar erusahaan, M k x k, harus sama dengan nla total dar erusahaan n Π, yatu M k x Π untuk,..., N. () k X ' Π Π N m,..., m,..., Nm ' ( x x ) e' ' e' Π Π adalah ortofolo asar. Portofolo tersebut dan hmunan ragam mnmumnya menggunakan Persamaan (9). Tradeoff Hasl Aset Msalkan N M k λ λ / e' Π untuk j k j,, dan vx cov ( z%, Z'X ) σ. j j jm m m j Persamaan (4) daat dtuls dalam bentuk berkut: σm λ µ λ λb untuk,..., N (5) Jka Persamaan (5) dkalkan dengan x m, untuk seluruh dan msalkan E m µ'x m dan B b'x, maka deroleh m m σ λ λ λ (6.) m Em Bm Msalkan β σm / σm dan γ b / Bm untuk Bm. Ada dua dana X dan X yang memenuh syarat berkut: () β dan γ, () β dan γ. Msalkan µ'x E dan µ'x E. γ berakbat b'x b'x m. Jka Persamaan (5) dkalkan dengan x dan lannya dengan x, untuk semua dan memenuh sfat ortofolo X dan X, maka deroleh λe λ (6.) λ E λ λ B (6.) m Dar Persamaan () dan Persamaan () deroleh N M M M k k k vjπ j λ µ λ λ b j k k k untuk,..., N. (4) Persamaan (4) daat dselesakan untuk menentukan nla erusahaan ( Π,..., Π ) ' Π. Sebaga catatan bahwa N Jka Persamaan (6.) dselesakan melalu (6.) untuk ( λ, λλ, ) dan substtuskan nla tersebut ke dalam Persamaan (5) maka akan ddaatkan ersamaan harga berkut: µ E + β Em E + γ E E (7) Berdasarkan defns, E adalah mbal hasl yang dharakan ada suatu ortofolo dengan senstvtas nol untuk ragam asar dan senstvtas satu untuk kecondongan asar.

20 Dengan demkan, ( Em E) mencermnkan rem yang dtematkan ada rsko ragam ada ortofolo asar. D ss lan, E adalah mbal hasl yang dharakan ada ortofolo dengan senstvtas nol untuk ragam mauun kecondongan ortofolo asar. Maka E E adalah rem dskon yang ( ) dtematkan ada kecondongan asar. Dberkan harga asar ada ragam dan kecondongan ortofolo asar. Imbal hasl yang dharakan ada suatu aset bergantung ada E dan senstvtas aset untuk ragam mauun kecondongan ortofolo asar. Jka ada mbal hasl aset tak bersko, R F, menggantkan E dalam Persamaan Pembentukan Harga (7) maka akan menjad ersamaan berkut: ( ) ( )( ) µ RF β Em RF + β γ E RF. (8) Persamaan (8) berubah menjad CAPM Shar-Lntner jka () E RF atau () β γ,. Syarat ertama denuh jka nvestor asar netral terhada kecondongan dan tdak menematkan rem atauun dskon ada kecondongan ortofolonya. Syarat kedua berlaku ketka seta sekurtas memunya senstvtas yang sama terhada ragam dan kecondongan ada ortofolo asar. Tanda Prem Kecondongan Harga asar nonshercal yang ostf atau negatf menjad suatu ertanyaan emrs dan tdak daat dtentukan sebelumnya. Parameter nonshercal daat menentukan momen ganjl mauun momen gena. Oleh karena tu, kontrbus dar kecondongan ada utltas yang dharakan menysakan kontrbus momen yang lebh tngg ada utltas yang dharakan. Smaan mengut Kraus dan Ltzenberger (976) berendaat bahwa nvestor enolak rsko lebh memlh kecondongan. Hal n membatas lhan nvestor terhada tolerans rsko lnear. Jka mengabakan momen yang lebh tngg untuk nvestor enolak rsko maka senstvtas otensal dar momen yang lebh tngg untuk kecondongan dan kebergantungan utltas yang dharakan ada momen yang lebh tngg tu menysakan emlhan nvestor enolak rsko untuk kecondongan. Hal n daat dtunjukkan dalam contoh berkut. Contoh. Perhatkan fungs utltas kekayaan berkut: U( w) ( A w) 4 untuk < w< A. Catatan bahwa untuk < w< A, U ' >, () (4) U '' <, U >, U <, dan ( n U ) untuk n > 4. Asumskan bahwa faktor kecondongan mengkut sebaran eksonensal yang dgantkan dengan rataan nol dan ragam satu. Untuk sebaran n, 4 E y dan E y 9. Andakan ε N (, W ) dan msalkan kekayaan saat n adalah satu. Msalkan X ortofolo dengan mbal hasl berkut: ( ) ε ε X'Z % r% X'µ + X'b + X' % E+ B + %. Keemat momen ertama dar r% adalah M E, M σ, M B E B, 4 ( ) ( % ) 6 % ε ( % ε ) ( σ ) σ M B E y + B Ey E + E B + 6B B + B 4 4 6B + σ Persamaan yang terakhr menggunakan 4 normaltas dar E ε% ε% untuk menentukan ( ) sebaga ( ( )) Var ( r ) Var ( % ε ) + σ B M Var ε% dan fakta bahwa %. 4 y dtentukan oleh ragam dan kecondongan dar mbal hasl ortofolo. Dengan erluasan Taylor ada U d sektar rataan, deroleh EU ( ( w) ) U( E) + U" ( E) σ () (4) + U ( E) M + U ( E) M A E 6 A E σ ( ) ( ) σ ( ) 4 4 A E B B Utltas yang dharakan dalam contoh n menngkat dalam kecondongan untuk B < A E teta kecondongan menurun untuk B > A E. Kebergantungan dar momen keemat ada kecondongan dan erbedaan sfat nvestor terhada momen ketga dan keemat, dhaslkan dar ska ambgu terhada kecondongan. Selanjutnya kebergantungan dan erbedaan tu tdak daat menanda rem kecondongan sebelumnya dalam asar modal.

21 KESIMPULAN Dengan membatas sebaran bersama mbal hasl aset secara benar, daat dkembangkan suatu kerangka kerja tga momen untuk emlhan ortofolo yang menyerua kesederhanaan dan daya tark ntutf dar model rataan-ragam. Ska nvestor terhada rsko dalam kerangka kerja rataan-ragam dtentukan oleh ska nvestor terhada ragam ortofolonya. Penolakan rsko bergantung ada ragam mauun arameter sebaran ortofolo. Cara model rataan-ragam daat membatas kendala short sales. Ketka short sales tdak dbatas, hmunan efsen ortofolo yang dharakan menjad tdak otmal. CAPM tga momen dkembangkan dengan mbal hasl yang dharakan dan aset bebas rsko. Serua dengan CAPM Share-Lntner, ortofolo asar berusat ada embentukan harga semua aset dalam ekonom. Prem rsko aset ndvdual dtentukan ada ragam dan kecondongan ortofolo asar. Dtunjukkan ula bahwa tanda rem kecondongan tdak daat dtentukan untuk semua nvestor enolak rsko. DAFTAR PUSTAKA Bode, Z, Kane, A, dan Marcus, A J.. Investment. Ed. ke-6. The McGraw-Hll Comanes, Inc. New York. Ghahrahman, Saeed. 5. Fundamental of Probablty. Ed. Ke-. Prentce Hall, Inc. New Jersey. Grmmet, G.R. dan D.R. Strzaker. 99. Probablty and Random Processes. Ed. ke-. Clarendon Press. Oxford. New York. Hogg, R. V. dan A. T. Crag Intoducton to Mathematcal Statstcs. Ed. ke-5. Prentce-Hall, Inc. New Jersey. Keeken, M. N.. Membentuk Portofolo Bersko Yang Otmal Dengan Seleks Portofolo Markowtz. Skrs. Sarjana Sans Deartemen Matematka Fakultas MIPA IPB. Kozk, T. J. dan Larson, A. M.. The N- Momen Insurance CAPM. Allstate Insurance Comany. Peressn, A. L., F. E. Sullvan, J. J. Uhl, Jr The Mathematcs of Nonlnear Programmng. Snger-Verlag. New York. Rao, S. S Otmzaton Theory and- Alcatons. San Dego : San Dego State Unversty. Rose, Coln dan Murray D. Smth.. Mathematcal Statstcs wth Mathematca. Srnger-Verlag, Inc. New York. Smaan, Y. 99. Portfolo Selecton and Asset Prcng - Three-Parameter Framework. New York.