AN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Transkripsi

1 AN ANALISIS ANANGAN ENAWAAN ISKON ENGAN BANYAK ELANGGAN AN TITIK IMAS TUNGGAL Oleh: Endang Nurjaml G05970 EATEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU ENGETAHUAN ALAM INSTITUT ETANIAN BOGO BOGO 005

2 ABSTAK ENANG NUJAMIL. Analss ancangan enawaran skon dengan Banyak elanggan dan Ttk Imas Tunggal. bawah bmbngan SI NUIATI dan FAIA HANUM. enawaran dskon yang dlakukan seorang enjual untuk seta embelan barang yang melebh ukuran tertentu meruakan uaya untuk menngkatkan jumlah esanan ara elanggannya. Namun uaya yang dlakukan enjual tersebut bukan berart tana kendala, karena besarnya dskon dan ukuran mnmal barang yang dtawarkan menjad faktor utama dalam menentukan kebjakannya. Bag ara elanggan, ukuran esanan menjad faktor yang harus dertmbangkan karena berkatan erat dengan baya nventor (enymanan. Terlalu sedkt ukuran esanan, baya nventor kecl teta baya esanan menjad besar akbat serng melakukan emesanan dan tdak mendaatkan kernganan baya dar dskon. Jka ukuran esanan terlalu besar, elanggan mendaatkan dskon dan baya esanan kecl akbat jarangnya emesanan teta baya nventor menjad besar. ar kedua sudut andang tu, solus efektf adalah dengan cara mencar nla yang otmum sehngga kedua belah hak salng memeroleh keuntungan.

3 ANALISIS ANANGAN ENAWAAN ISKON ENGAN BANYAK ELANGGAN AN TITIK IMAS TUNGGAL Skrs Sebaga salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sans ada Fakultas Matematka dan Ilmu engetahuan Alam Insttut ertanan Bogor Oleh: Endang Nurjaml G05970 EATEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU ENGETAHUAN ALAM INSTITUT ETANIAN BOGO BOGO 005

4 Judul Nama NIM : ANALISIS ANANGAN ENAWAAN ISKON ENGAN BANYAK ELANGGAN AN TITIK IMAS TUNGGAL : Endang Nurjaml : G05970 Menyetuju, embmbng I embmbng II r. Ir. Sr Nurdat, M.Sc. NI ra. Farda Hanum, M.S. NI Mengetahu, ekan Fakultas Matematka dan Ilmu engetahuan Alam r. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NI Tanggal Lulus:

5 Bulan bersnar ada malam har, sementara matahar bersnar ada sang har, namun orang yang hatnya dlut cnta dan kash sayang bersnar sang dan malam. (Mutara Zen Kuersembahkan karya tuls n bag orang-orang yang bersnar sang dan malam

6 AKATA Alhamdulllah, segala uj enuls anjatkan hanya bag Allah SWT, atas qudrah dan radah-nya sehngga karya lmah n daat dselesakan. Shalawat serta salam enuls samakan keada Nab Muhammad sebaga uswah dan rahmat bag seluruh alam. Amma ba du, Banyak faktor yang harus dhada enuls dalam menyelesakan stud d eartemen Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu engetahuan Alam, Insttut ertanan Bogor n sehngga derlukan eranjangan masa stud sama dua semester. Adalah Ibu r. Ir. Sr Nurdat, M.Sc. dan Ibu ra. Farda Hanum, M. S. yang berseda menjad embmbng skrs saat enuls butuhkan agar daat memanfaatkan masa eranjangan stud tersebut. Oleh karena tu enuls ucakan terma kash atas segala kebakan dan ketulusannya. Ucaan terma kash juga enuls samakan keada Baak r. Ir. Hasm, EA. dan Baak r. Ir. Muhammad Nur Ad, M.S. atas waktu yang belau luangkan untuk memberkan saran dan nashat keada enuls. samng tu, enghargaan enuls samakan keada Hkmawan Abdul Hasan, Ahmad, Yana, Lukman, Andr, dan Luthf atas bantuannya dalam enyelenggaraan semnar tugas akhr enuls. Terma kash juga enuls ungkakan keada Abah, Um, Teh Ah, A Hendra, Lel, end, Lals, ras, Ast, dan Fauzy atas doa dan kash sayangnya. Terma kash juga enuls samakan keada semua hak yang tdak bsa enuls sebutkan satu er satu atas segala dukungan dan bantuannya. Akhr kata, semoga karya lmah n menjad syahdan (saks amal soleh bak bag enuls sendr mauun bag orang-orang yang terlbat d dalamnya dan daat bermanfaat bag saa un yang memunya mnat dan ketertarkan terhada karya lmah n. Amn. Bogor, Setember 005 Endang Nurjaml

7 IWAYAT HIU enuls dlahrkan ada tanggal Jun 976 sebaga anak kedua dar lma bersaudara dar Baak uduh Abdurrahman dan Ibu Anon Sumyat. Tahun 995 lulus dar SMA Neger anjur dan dua tahun berkutnya dterma masuk IB melalu jalur UMTN (Ujan Masuk erguruan Tngg Neger d Jurusan Matematka (sekarang, eartemen Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu engetahuan Alam. Semasa kulah enuls ernah aktf d M (ewan erwaklan Mahasswa FMIA sebaga Ketua Koms Hubungan Eksternal dan Internal Mahasswa erode dan d Hmro Gumatka (Hmunan rofes Gugus Mahasswa Matematka sebaga Ketua Haran erode Tahun ernah menjad Ketua Hmat (Hmunan Mahasswa anjur cabang Bogor. Selan aktf d organsas mahasswa enuls juga ernah menjad assten mata kulah Agama ada semester gena erode dan , assten mata kulah engantar Matematka dan Kalkulus I sejak 998 sama 000.

8 AFTA ISI Halaman AFTA TABEL... v AFTA GAMBA... v AFTA LAMIAN... v I. ENAHULUAN. Latar Belakang.... Tujuan... II. LANASAN TEOI. Economc Order uantty (EO.... Kemonotan dan Kecekungan Fungs... III. EUMUSAN MASALAH. Model Baya Inventor elanggan.... Model Fungs Keuntungan enjual... 6 IV. ENGOTIMUMAN ANANGAN ENAWAAN ISKON. Kasus. Tngkat dskon yang dtetakan Kasus. Ttk mas yang dtetakan... 8 V. SIMULAN AN SAAN... 9 AFTA USTAKA... 9 LAMIAN... 0 v

9 AFTA TABEL Halaman ata lma elanggan... 7 erbandngan keuntungan sebelum dan sesudah enawaran dskon... 7 Ukuran esanan dan total baya nventor elanggan... 8 erbandngan keuntungan sebelum dan sesudah enawaran dskon Ukuran esanan dan total baya nventor elanggan... 8 AFTA GAMBA Halaman Varas tngkat ersedaan... Fungs baya enjual... 5 Kontrbus elanggan terhada keuntungan enjual ( dtetakan... 6 Sketsa kurva... 6 AFTA LAMIAN Halaman enjabaran ersamaan (... enjabaran ersamaan (5... enjabaran ersamaan (6... enjabaran ersamaan ( Bukt rooss... 6 Sketsa Gambar Sketsa Gambar Bukt rooss... 9 Bukt F meruakan fungs konkaf encaran Ttk Imas ada Kasus... 8 encaran Ttk Imas ada Kasus... 0 v

10 BAB I ENAHULUAN. Latar Belakang alam duna usaha, banyak cara yang dlakukan enjual untuk menngkatkan endaatan atau keuntungannya. Bag enjual yang memroduks barang sendr, keuntungan bsa deroleh dengan cara menngkatkan knerja manufaktur yang lebh efektf sehngga menghaslkan roduk yang lebh banyak. Selan tu, keuntungan juga bsa deroleh dengan cara mengurang jumlah engeakan dengan memerbanyak ukuran engeakan yang lebh besar, serta dengan cara mengurang baya transortas, msalnya dengan memuat lebh banyak jumlah esanan yang dkrmkan. Uaya berkutnya yang daat dharakan enjual untuk menngkatkan keuntungannya adalah dengan menngkatkan ukuran esanan ara embel atau elanggannya. Untuk encaaan hal tu, tdak jarang enjual menawarkan harga khusus atau dskon harga bag yang membel atau memesan barang dalam ukuran yang lebh besar. Secara umum, terdaat dua te dskon harga yang dtawarkan enjual, yatu dskon untuk semua unt barang yang dbel atau desan dan dskon untuk seta tambahan esanan dalam ukuran tertentu. ada te yang kedua, basanya dtawarkan terhada ara elanggan yang memlk ermntaan seta unt waktunya dalam ukuran yang cuku besar, sehngga dharakan daat menngkatkan jumlah esanannya. Uaya yang dtawarkan enjual n tdak begtu saja daat dterma oleh ara elanggannya, karena bag ara elanggan sendr ukuran esanan berkatan erat dengan masalah baya nventor atau enymanan. Semakn banyak esanan yang desan ara elanggan, semakn besar baya nventor yang harus dkeluarkan. Akbatnya, ara elanggan beruaya untuk melndung baya nventornya. Berkenaan dengan uaya enjual yang ngn menngkatkan keuntungannya dengan menawarkan dskon tersebut dan ara elanggan yang beruaya untuk melndung baya nventornya, ada hal yang menark untuk dkaj, yatu bagamana s enjual daat merancang enawaran dskon tersebut dengan melbatkan sudut andang ara elanggannya. Km dan Hwang (988 mencoba membuat model ermasalahan d atas. Kedua enuls n mula-mula memformulas fungs baya elanggan dan fungs keuntungan enjual serta membuat rosedur dalam engamblan keutusan keduanya, kemudan membangun algortme untuk mendaatkan nla otmum bag enjual mauun elanggan untuk tga kasus berkut n: a. Jka tngkat dskon dtetakan, bagamana mencar ttk mas yang otmum. b. Jka ttk mas dtetakan, bagamana mencar tngkat dskon yang otmum. c. Jka tngkat dskon dan ttk mas tdak dketahu, bagamana mencar nla yang otmum untuk keduanya.. Tujuan Tulsan n bertujuan memelajar dan membahas artkel karya Km dan Hwang (988 d atas. Oleh karena tu, sebagan besar mater yang dsajkan meruakan hasl karya keduanya dengan okok bahasan dsesuakan dengan yang terdaat ada tulsan tersebut. Berkut adalah okok-okok bahasannya: ada Bab II dberkan landasan teor yang mencaku enjelasan beberaa stlah dan teorema yang dergunakan dalam tulsan n. Bab III membahas formulas masalah yang dlengka dengan bukt-bukt rooss yang ada. Bab IV, membahas tentang konse engotmuman dskon yang melut dua ermasalahan ertama d atas, dan melengkanya dengan contoh kasus. ada Bab V dberkan smulan dan saran sebaga usulan tok yang menark untuk dtelt lebh lanjut.

11 BAB II LANASAN TEOI Sebaga engantar untuk memaham tulsan Km dan Hwang (988 d bawah n dberkan landasan teor dan enjelasan beberaa stlah dan notas yang dgunakan:. Economc Order uantty (EO efns [Economc Order uantty atau EO] Inventor atau ersedaan meruakan hal entng dalam sstem roduks dan kegatan emasaran karena terhambatnya ersedaan berart terhambat ula kegatan roduks dan emasaran, sehngga mengakbatkan kerugan bag erusahaan. Akan teta nventor yang berlebhan juga bukan berart suatu keuntungan karena banyak baya erawatan yang harus dkeluarkan dan barang yang dsman bereluang mengalam kerusakan atau ketnggalan jaman. engan demkan derlukan strateg untuk memnmumkan kedua efek negatf d atas. Tujuannya adalah untuk menentukan beraa banyak roduk yang harus desan (droduks dan beraa serng emesanan (roduks harus dlakukan agar baya yang dkeluarkan erusahaan atau elanggan menjad mnmum. ermasalahan n dar ss ermntaan dsebut sebaga economc order quantty roblem (EO atau economc roducton lotsze roblem bla dlhat dar ss roduks; dan serngkal cuku dsebut sebaga model ersedaan. Ada beberaa macam klasfkas dar model ersedaan n jka dtnjau dar sfat ermntaannya, yatu: ermntaan bersfat determnstk, daat bersfat stats dengan laju ermntaan teta seanjang waktu, atau dnams dengan laju ermntaan dketahu dengan ast teta bervaras satu erode ke erode berkutnya. ermntaan bersfat robablstk, yang memlk dua klasfkas serua: kasus stasoner, dengan fungs keadatan eluang ermntaan teta seanjang waktu, dan kasus nonstasoner, dengan fungs keadatan eluang bervaras seanjang waktu. Selan jens ermntaan yang meruakan faktor utama dalam erancangan model ersedaan, faktor-faktor berkut juga daat memengaruh cara erumusan model yang bersangkutan: tenggang waktu engrman (laglead tme, yatu waktu antara engajuan esanan dan enermaannya; daat bersfat determnstk atau robablstk, engsan kembal ersedaan, daat terjad dengan segera atauun dengan sebagan dem sebagan, horson waktu, mendefnskan erode dengan tngkat ersedaan dkendalkan, banyaknya roduk, daat melbatkan lebh dar satu roduk atau komodtas, serta mash banyak lag krtera yang daat daka. Model ersedaan Stats Satu roduk Asums-asums yang dgunakan adalah sebaga berkut: hanya ada satu jens roduk, laju ermntaan roduk adalah teta seanjang waktu, contnuous revew, esanan daat segera dlakukan kaan saja bla waktu telah menunjukkan reorder ont (waktu emesanan kembal, lead tme teta, engsan kembal ersedaan terjad dengan segera, tdak terjad kekurangan roduk esanan. Gambar berkut menglustraskan varas tngkat ersedaan dar model ersedaan n (notas,,,..., n dgunakan untuk menyatakan erusahaan atau elanggan. Tngkat ersedaan - t 0 Waktu (t Gambar Varas tngkat ersedaan. Tngkat ersedaan tertngg terjad ketka barang (roduk sejumlah desan.

12 Msalkan laju ermntaan adalah er unt waktu, sehngga tngkat ersedaan akan berada ada ttk nol setelah unt waktu dar waktu emesanan. dsebut sebaga anjang cycle, yatu tenggang waktu antara dua emesanan. Semakn kecl ukuran esanan, akan menyebabkan semakn serng emesanan harus dlakukan. In bsa berart baya akan lebh besar karena adanya baya esanan yang harus dkeluarkan seta kal melakukan emesanan. Akan teta n juga bsa berart baya akan lebh kecl karena akan menyebabkan rata-rata tngkat ersedaan menurun (lebh sedkt baya yang harus dkeluarkan untuk enymanan. Sebalknya ukuran esanan yang besar akan mengakbatkan rata-rata tngkat ersedaan lebh tngg, dan tenggang waktu antar emesanan lebh anjang. Sehngga derlukan uaya untuk menentukan ukuran esanan yang memnmumkan total baya nventor er unt waktu. (Setawan, 00 efns [Ttk mas atau rce break ont atau break even ont] Ttk mas adalah ttk (level oeras erusahaan sedemkan sehngga total baya roduks dengan total endaatan sama besar, basanya dnyatakan dalam bentuk ukuran unt barang atau unt uang (dollar. (Thacker,978 efns [Ukuran lot] Ukuran lot adalah banyaknya ersedaan barang bak melalu embelanjaan atau hasl roduks dalam jumlah yang cuku untuk mengantsas ermntaan. (Lews, 00 efns [Baya set-u] Baya set-u adalah baya yang dkeluarkan berkenaan dengan ukuran lot. (Km & Hwang, 988. Kemonotan dan Kecekungan Fungs efns 5 [Kemonotonan Fungs]. f adalah nak ada I jka untuk seta asang blangan x dan x dalam I, x < x f x < f ( ( x. f adalah turun ada I jka untuk seta asang blangan x dan x dalam I, x < x f x > f ( ( x. f monoton murn ada I jka a nak ada I atau turun ada I (urcell & Varberg, 999 efns 6 [Kecekungan Fungs] Andakan fungs f terdefns ada selang terbuka I (a, b. Fungs (dan grafk f dkatakan :. konveks atau cekung ke atas jka f nak ada I.. konkaf atau cekung ke bawah jka f turun ada I. (urcell & Varberg, 999 Teorema [Kemonotonan Fungs] Andakan f kontnu ada selang I dan daat ddferensalkan ada seta ttk-dalam dar I.. Jka f ( x > 0 untuk semua ttk-dalam x dar I, maka f nak ada I.. Jka f ( x < 0 untuk semua ttk-dalam x dar I, maka f turun ada I. (urcell & Varberg, 999 Teorema [Kecekungan Fungs] Andakan f terdferensalkan dua kal ada selang terbuka (a, b.. Jka f ( x > 0 untuk semua x dalam (a, b, maka f konveks atau cekung ke atas ada (a, b.. Jka f ( x < 0 untuk semua x dalam (a, b, maka f konkaf atau cekung ke bawah ada (a, b. (urcell & Varberg, 999 Andakan fungs f terdefns ada selang I (terbuka, tertutu, atau tak satuun. katakan bahwa:

13 BAB III EUMUSAN MASALAH alam matematka, model meruakan truan dar suatu ermasalahan sedemkan rua sehngga oeras matemats bsa dterakan adanya. Konstruks model dlakukan dengan cara memasukkan serangkaan asums awal sebaga enyederhanaan, tana terlalu menyederhanakan ermasalahan tu sendr. Berkut adalah asums-asums yang dergunakan dalam emodelan masalah n: elanggan tdak tunggal. enjual menawarkan dskon dengan ttk mas tunggal. alam menentukan ukuran esanan, seta elanggan mengkut model Economc Order uantty (EO stats satu roduk. Banyaknya elanggan dan total ermntaan er unt waktu teta, tdak bergantung ada erancangan dskon. 5 Banyaknya unt barang derlakukan sebaga varabel kontnu. 6 Baya esanan dan baya nventor elanggan dbertahukan keada enjual. Jka salah satu dketahu, yang lan daat dturunkan dengan menggunakan asums ketga. emodelan n dbangun dar dua sudut. ertama dar sudut elanggan yang beruaya memnmumkan baya nventor dan kedua dar sudut enjual yang beruaya memaksmumkan keuntungan.. Model Baya Inventor elanggan Msalkan baya esanan elanggan (,,,..., n baya nventor, dnyatakan sebaga ersentase dar harga barang. fungs harga (baya embelan elanggan tngkat dskon (0 < < ttk mas Msalkan harga er unt barang yang dberkan oleh enjual adalah untuk <, dan ( untuk unt barang d atas, maka total baya embelan yang dkeluarkan elanggan menjad untuk <, dan ( ( untuk. engan demkan, fungs harga untuk elanggan menjad: untuk <, dan untuk, ( (lhat Lamran. Secara umum daat dtuls sebaga berkut:, < ( (, selannya Baya emesanan er cycle sejumlah esanan adalah ; dengan anjang cycle maka baya emesanan er unt waktu sejumlah unt esanan adalah, Karena tngkat ersedaan tertngg adalah (ketka emesanan dlakukan dan tngkat terendah adalah nol (setelah unt waktu dar waktu emesanan, maka rata-rata tngkat ersedaan adalah dan baya enymanan er unt waktu adalah, sehngga total baya nventor er unt waktu sejumlah esanan adalah: E ( baya emesanan baya enymanan ( ( Msalkan E ( dnotaskan dengan E ( untuk < dan E ( untuk. Maka untuk mendaatkan nla economc order quantty atau yang memnmumkan seta E ( tersebut dgunakan konse dferensal, yakn menurunkan E ( terhada, dan menyamakannya dengan nol. engan cara tersebut deroleh yang memnmumkan E ( untuk kedua konds d atas: Ukuran esanan otmum ada konds tana dskon Msalkan yang memnmumkan E ( dnotaskan dengan a. Karena harga untuk <, maka E sehngga deroleh : (, ( de (, d

14 5 d E ( dan > 0, > 0. d Jad E ( meruakan fungs konveks untuk seta > 0. engan demkan deroleh a yang memnmumkan E ( deroleh dar: de ( 0 d 0,, sehngga, atau yang dnotaskan dengan a. ( engan demkan, deroleh: E (. (5 a (lhat Lamran Ukuran esanan otmum ada konds terdaat dskon b (, atau ( E (lhat Lamran, dan ( ( ( b ( (7 (lhat Lamran rooss Msalkan ( c a (8 maka a c b dan E ( a E ( b untuk c, E ( a < E ( b untuk > c. Bukt. (lhat Lamran 5. rooss menyatakan bahwa untuk yang dberkan, esanan otmal * dar elanggan bergantung ada ttk mas, yakn: * b untuk c, (9 a untuk > c. Gambar d bawah n menglustraskan * kurva baya elanggan dan yang bergantung ada oss antara dan c (lhat Lamran 6. b a (6 ( E ( E ( E E E E E ( a E ( b E ( b E ( a a c b a c b (a c (b > c Gambar Fungs baya elanggan.

15 6. Model Fungs Keuntungan enjual Msalkan S adalah baya set-u er esanan oleh elanggan dan adalah baya varabel er unt barang, maka baya yang dkeluarkan enjual er unt waktu dar elanggan dnyatakan dengan S (. engan demkan total keuntungan enjual er unt waktu adalah: n [ S ( ] (0 engan adanya rencana dskon (,, maka suku terakhr ada (0 tdak menjad varabel keutusan, sehngga enjual hanya dhadakan ada masalah memaksmumkan keuntungan yang dnyatakan oleh fungs: n F(, [ S ( ] ( Msalkan F (, adalah kontrbus elanggan terhada keuntungan enjual er unt waktu. ar ersamaan ( deroleh, F (, S. ( Msalkan dberkan nla (,, maka ara elanggan daat dbag ke dalam dua kelomok berkut n: ( G { c < }. * Jka G, maka a dan F F, dengan F S a ( ( G { c }. * Jka G, maka b dan F F, dengan S F ( b b ( S ( ( b elanggan yang termasuk ada G adalah elanggan yang ukuran esanannya tdak dengaruh oleh rencana dskon. Teta elanggan ada G mengubah ukuran esanannya dar a menjad b ketka terdaat enawaran dskon. engan demkan F(, ada ersamaan ( daat dtuls kembal sebaga F (, F (, (5 j Gj Kontrbus elanggan terhada keuntungan enjual dtunjukkan ada Gambar (lhat Lamran 7. j F F F F F F a c b a c b Gambar Kontrbus elanggan terhada keuntungan enjual ( dtetakan. Keuntungan maksmum deroleh ada c atau ada > c. alam hal n, ada kasus > c, berart enjual tdak mengharakan elanggan memanfaatkan dskonnya.

16 BAB IV ENGOTIMUMAN ANANGAN ENAWAAN ISKON ada bab n akan danalss bagamana enjual mengotmumkan rancangan enawaran dskonnya sehngga kedua ermasalahan yang telah drumuskan ada Bab III tu masng-masng mencaa nla otmum, enjual daat memaksmumkan keuntungannya sedangkan elanggan daat memnmumkan baya nventornya. engotmuman rancangan enawaran dskon tersebut danalss untuk dua kasus berkut n: a. menentukan ttk mas yang daat mengotmumkan keuntungan jka tngkat dskon dtetakan. b. menentukan tngkat dskon yang daat mengotmumkan keuntungan jka ttk mas dtetakan.. Kasus. Tngkat dskon dtetakan ada kasus n enjual dhadakan ada masalah bagamana menentukan ttk mas yang otmum sehngga kedua belah hak bak elanggan mauun enjual tu sendr mendaat keuntungan. Msalkan tngkat dskon yang dtentukan dnotaskan dengan, maka c daat dtentukan untuk semua elanggan. alam hal n msalkan terdaat alng banyak n nla c yang berbeda, sebab beberaa elanggan daat memlk c yang sama. Andakan nla-nla c yang berbeda dnotaskan dengan X, 0,,,,..., r n, dan dsusun kembal dalam urutan nak dengan: X 0 0 dan X r max c. Untuk seta selang (X, X ] ada, G dan G dtentukan secara tunggal, yatu elanggan k dengan ck X, k G dan ck X, k G. engan demkan, seta elanggan termasuk ada G untuk (X r,. rooss Nla maksmum dar F(, terjad ada ck untuk beberaa k, atau ada sembarang yang lebh besar dar X r. Bukt F (, monoton nak ada (X k, X k ] untuk k < r sedangkan F konstan (lhat Gambar. ada (X r,, F(, menjad konstan dan sama dengan F(0,0. engan kata lan untuk mendaatkan yang memaksmumkan F(,, evaluas F(, ada c dan ada > X r untuk seta elanggan, kemudan lh nla yang memaksmumkan F. ontoh kasus Msalkan dberkan data lma elanggan beserta data yang relevan ada Tabel. Tabel ata lma elanggan lgg. ( ermntaan er waktu ( Ukuran esanan ( Total Inventor E ( ($ Harga er unt ( $5 Baya teta (S $5 Baya nventor ( 0. Keterangan: lgg. menyatakan elanggan Msalkan enjual menawarkan tngkat dskon ( sebesar 0.. engan merujuk rosedur d atas, deroleh ttk mas yang otmum sebesar 7.8 (lhat Lamran 0. Tabel erbandngan keuntungan sebelum dan sesudah enawaran dskon Tana dskon engan (0., 7.8 Total frekuens emesanan lgg. 6.8 Total keuntungan ($ ada Tabel, dtunjukkan nla otmum enawaran dskon (0., 7.8 dan keuntungan yang dharakan enjual. Total frekuens emesanan elanggan berkurang dar 6.8 menjad kal er unt waktu sebaga akbat dar elanggan yang mengubah ukuran esanannya menjad lebh besar karena adanya enawaran dskon tersebut.

17 8 Tabel Ukuran esanan dan total baya nventor elanggan lgg. Ukuran esanan Total baya ( Tana dskon engan ( *, * Tana dskon engan ( *, * ada Tabel, seta elanggan mereson enawaran dskon secara otmal. elanggan,, dan 5 memanfaatkan enawaran dskon tersebut dan mendaatkan keuntungan, sementara elanggan dan tdak melakukannya.. Kasus. Ttk mas dtetakan alam kasus n, enjual dhadakan ada masalah bagamana mendaatkan tngkat dskon yang otmum untuk nla yang telah dtetakan (. rooss ( c meruakan fungs monoton nak terhada. ( Untuk elanggan yang memenuh a < < a, maka berlaku Bukt c, ada ( a ( a (6 ( (lhat Lamran 8 rooss bermlkas bahwa bla berkurang, maka c juga berkurang. alam roses n, beberaa erubahan ada G k terjad bla c untuk beberaa dan kemudan menjad lebh kecl dar. Andakan terdaat sebanyak t nla yang berbeda yang deroleh dar ersamaan (6 dan dsusun dengan urutan nak menjad Y, 0,,,..., t n, dengan Y 0 0 dan Y t. Msalkan I [Y,Y, 0,,,..., t. ada seta I, G k dtentukan secara unk serta tdak mengalam erubahan jka I. engan demkan, elanggan j dengan j >Y, maka j G, dan jka j Y, maka j G. Untuk elanggan yang memlk tak fsbel ( 0 atau maka elanggan tersebut masuk ke dalam kelomok G jka a, dan ke dalam kelomok G jka a. aat dtunjukkan bahwa d F d negatf (lhat Lamran 9, maka F(, yang terdefns ada I adalah konkaf, sehngga F( * ontoh Kasus, max max F(, I Msalkan dberkan data yang sama seert ada Tabel. Msalkan enjual menetakan ttk mas ( sebesar 50 unt. engan merujuk rosedur d atas, deroleh tngkat dskon yang otmum sebesar (lhat Lamran. Tabel erbandngan keuntungan sebelum dan sesudah enawaran dskon Tana dskon engan (0.065, 50 Total frekuens emesanan lgg Total keuntungan ($ ada Tabel, dtunjukkan nla otmal enawaran dskon (0.065, 50 dan keuntungan yang dharakan enjual. Total frekuens emesanan berkurang dar 6.8 menjad 7.8 kal er unt waktu sebaga akbat dar elanggan yang mengubah ukuran esanannya menjad lebh besar karena adanya enawaran dskon tersebut. ada Tabel 5, seta elanggan mereson enawaran dskon secara otmal. elanggan,,, dan 5 memanfaatkan enawaran dskon tersebut dan mendaatkan keuntungan, sementara elanggan tdak melakukannya. Tabel 5 Ukuran esanan dan total baya nventor elanggan lgg. Ukuran esanan Total baya ( Tana dskon engan ( *, * Tana dskon engan ( *, *

18 BAB V SIMULAN AN SAAN 5. Smulan ar contoh kasus yang dujkan daat dsmulkan bahwa keuntungan enjual menngkat tana membebankan baya keada ara elanggannya. ada fakta tersebut baya nventor yang dkeluarkan beberaa elanggan menjad lebh kecl dbandng dengan konds sebelum adanya enawaran dskon. engan kata lan enjual dan elanggan salng berbag keuntungan. 5. Saran Sebaga saran untuk eneltan lebh lanjut, beberaa hal d bawah n daat djadkan bahan ertmbangan: Kasus tngkat dskon dan ttk mas tdak dtetakan. Sstem dskon dengan ttk mas tdak tunggal. Jumlah unt barang derlakukan sebaga varabel dskret. AFTA USTAKA Km KH, Hwang H An ncremental dscount rcng schedule wth multle customers and sngle rce break. Euroean Journal of Oeratonal esearch 5:7-79. Lews J. 00. Economc Order uantty. [terhubung berkala]. htt:fozzy.wvsc.edu~lewshandoutseoq.html [ Maret 005]. urcell J, Varberg Kalkulus dan Geometr Analts. Susla IN et al, enerjemah. Jld. Ed. Ke-. Arlangga. Jakarta. Setawan MI. 00. Analss Baya Inventor dan Transortas ada Network Terkendala [Skrs]. Bogor. Insttut ertanan Bogor. Thacker J Accountng rncles. Englewood lff, N.J: rentce Hall Inc.

19 L A M I A N

20 Lamran. enjabaran ersamaan ( Total baya yang dkeluarkan elanggan untuk adalah ( (, sehngga harga barang er unt sama dengan total baya dbag ukuran esanan,. engan demkan deroleh: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( (,. Lamran enjabaran ersamaan (5 ketahu untuk <, E (, maka E ( a a a. ar ersamaan (5 dketahu ( a, sehngga deroleh: a E (. Jad, E ( a.

21 Lamran enjabaran ersamaan (6 Msalkan yang memnmumkan E ( dnotaskan dengan b. Karena ( ( untuk, maka ( ( ( ( E ( ( ( ( ( ( E, sehngga deroleh ( de ( ( (. d > 0 d E ( ( > 0, > 0. Jad E ( meruakan fungs konveks untuk d seta > 0. engan demkan deroleh b yang memnmumkan E ( : de ( 0 d ( ( 0 ( ( ( ( (. ( ( ( ( ar ersamaan ( dketahu a, sehngga b a. ( Lamran enjabaran ersamaan (7 ar Lamran dketahu ( ( ( E, maka ( ( b ( b ( E, dengan ( b b (, sehngga deroleh: ( ( ( ( E ( b ( ( ( (

22 ( E( b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, sehngga ( ( ( ( E. ( b ( ( Lamran 5 Bukt rooss ertama akan dtunjukkan bahwa a b. dan ( ( ( a b ( ( ( ( ( ( ( (. Karena,,,, dan bernla ostf, 0 < <, maka < (. Nla ( ostf, sehngga < ( (. Jad a < b. Jka 0 (tana dskon, maka a b. engan demkan a b Msalkan E ( a a menyatakan fungs dar E ( a dengan a dan E ( b b menyatakan fungs dar E ( b dengan b. Akan dtunjukkan bahwa E ( a a E ( a dan E ( b b E ( b. o Akan dtunjukkan E ( a a E ( a : ar Lamran dketahu bahwa ( ( ( ( E (, maka E ( a a a ( ( a a a ( ( a ( ( a ( ( a a. ar Lamran dketahu E ( a a a, sehngga E ( a a E ( a a a

23 o Akan dtunjukkan E ( b b E ( b : engan cara yang sama deroleh E ( ( ( ( E, sehngga ( b b b ( ( b b b ( ( b ( ( b ( ( b b. ar Lamran dketahu E ( b b b, sehngga E ( b b E ( b Karena a memnmumkan E untuk seta dan b memnmumkan E untuk seta, maka: E ( a E ( b E ( b b, dan E ( b a E ( a a E ( a sehngga E ( b a E ( a E ( b b b b Akan dtunjukkan E ( b monoton nak terhada ar Lamran dketahu ( ( ( E. ( b ar Teorema dketahu fungs f nak ada I jka f ( x > 0 untuk semua ttk dalam x dar I, sehngga deroleh: de ( d > 0 > 0 ( ( ( b de ( d b > > 0 0, artnya E ( b monoton nak terhada engan demkan terdaat c dengan ada saat c atau dtuls dengan E ( E ( jka < c maka E ( a > E ( b jka > c maka E ( a < E ( b Nla c deroleh dengan cara sebaga berkut: ( E ( E a b ( E ( E b c c a a yang memenuh E ( a E ( b c a b c. Akbatnya ( c ( c (- ( ( c ( c engan menguadratkan kedua ruas ersamaan ( dan mengatur c sedemkan rua sehngga deroleh: b

24 5 ( ( ( ( ( c c ( c ( ( ( c c ( ( c ( ( c ( c c c c ( c c c c c c 0 c c c ( ( c ( 0 ersamaan d atas daat dsederhanakan menjad: Xc Yc Z 0 ( dengan X (, > 0 Y ( { }, ( {( }, 0 > 0 > 0 Z { }. Msalkan 0 dan dan ada jka Y XZ 0. Y XZ > 0 0 adalah solus dar ( dengan ( { } 0, ( { } Y ± Y XZ. Nla X 0

25 { } ( ( { } ( ( ( Y XZ 0 ( ( ( ( 6 ( ( { } { } 0 ( ( ( ( ( ( ( ( >. > 0 > 0 engan demkan ersamaan ( memunya solus, yatu: Y Y XZ dan X 0 Y Y XZ. X 0 0 o Y XZ > 0 sehngga <. o 0 Y Y XZ X 0 Y X Y XZ X. Karena Y < 0, X > 0 dan Y Y XZ 0 Y XZ > 0, maka > 0 dan > 0, sehngga 0 X X >. o Msalkan ruas kanan ersamaan ( dtuls sebaga k ( c Msalkan ruas kr ersamaan ( dtuls sebaga k ( c ( k ( ( c ( ( (v Sketsa kedua kurva tersebut derlhatkan ada Gambar. k ersamaan ( meruakan ersamaan k ers. ( ers. (v gars lurus dengan varabel bebas c dan varabel takbebas k yang memunya kemrngan negatf yatu. k 0 0 c c ersamaan (v meruakan ersamaan arabola dengan varabel bebas c yang terbuka ke arah kanan. Ttk otong kurva ( dengan sumbu k deroleh dar Gambar Sketsa kurva. c 0 k.

26 7 Ttk otong kurva (v dengan sumbu k deroleh dar c 0 k (. erhatkan bahwa ( k k (, akbatnya k k >. Karena k dan k ostf maka k > k. ersamaan ( monoton turun, sedangkan ersamaan (v monoton nak sehngga erotongan kedua kurva tersebut terjad d sebelah kanan sumbu k. In berart 0 0. > 0 0 Jad solus dar ersamaan ( adalah mnmum dar {, }, yatu: 0 X c ( Y Y XZ (. c c engan mensubttuskan kembal X (, Y { }, dan ( Z } ke dalam ersamaan { ( Y Y XZ (X, deroleh: ( ( ( ( ( (. Karena, maka ersamaan d atas daat dsederhanakan menjad: a c a ( ( ( ( a a a c a ( ( ( ( a a a

27 8 ( ( ( a a a a c ( ( ( ( ( a a a a c ( ( ( ( a a a a c ( ( ( ( a a a a c ( ( ( ( a a a a c ( ( ( ( ( a a a a a c ( ( ( a a a a a a c ( a a a a a c ( ( ( ( a a a c ( ( ( a a a c ( ( a a a c ( ( ( a a c

28 9 c c c c c ( ( ( a a ( ( ( a a ( ( ( a ( ( ( a ( ( a ( ( c a, atau dtuls dengan a c {( }( a engan demkan terbukt jka dan E ( a E ( b untuk c, c b c {( }( a E ( a < E ( b untuk > c., maka Lamran 6 Sketsa Gambar E ( ar asums dketahu bahwa dan E ( bernla ostf, sehngga kurva tdak berotongan d antara kedua sumbu tersebut. endferensalan ertama memberkan de (. d a ar embahasan sebelumnya dketahu bahwa nla mnmum E ( terjad ada, sehngga fungs nak ada > a dan turun ada < a. endferensalan kedua memberkan d E ( d > 0, sehngga deroleh fungs cekung ke atas. ada 0 terdaat asmtot, yatu lm E ( 0 E ( ( ( (

29 0 engan cara yang sama deroleh de ( ( (. d b ar embahasan sebelumnya dketahu bahwa nla mnmum E ( terjad ada (, sehngga fungs nak ada > b dan turun ada < b. ( > 0 d E ( ( > 0, sehngga deroleh fungs cekung ke atas. d ada 0 terdaat asmtot, yatu lm E ( 0 engan dberkannya rooss yang menyatakan a c b dan E ( a E ( b untuk c, E ( a < E ( b untuk > c, maka kedua fungs tersebut daat dlustraskan ada Gambar. Lamran 7 Sketsa Gambar F S a Fungs n meruakan fungs konstan terhada. ar asums dketahu F > 0. ( S, b > 0 F ( b engan mensubsttuskan b a ada fungs d atas deroleh: ( F df d ( ( S a ( endferensalan ertama memberkan: a ( a ( ( S ( a (

30 ( a a a S ( ( ( ( ( a a a a S ( ( ( ( ( ( ( a a a a a a S ( ( ( ( ( ( a a a a S ( ( ( ( a a a S ( ( ( ( ( ( a a a S ( ( ( ( ( 0 0 ( > > a a S d df. ( ( ( 0 ( > a a S d df engan demkan F monoton nak terhada. endferensalan kedua memberkan: ( ( ( ( ( ( ( ( ( a a a a a S d F d ( ( ( (

31 d F d ( a ( ( ( a ( ( ( ( ( a S a ( ( a ( ( ( ( a ( ( a ( ( a a S ( ( ( a ( a ( ( ( a ( a S ( ( ( a ( ( a ( ( a ( ( ( a ( a S ( a ( a ( ( ( a a a ( ( ( a ( a ( ( ( a a ( ( ( S ( ( S a ( a > 0 < 0 engan demkan fungs cekung ke bawah. ada saat c F S c F S ( c c S F c F. c c > 0 ( ( engan demkan ada saat c <, maka F > F, dan c, maka F F ar semua observas d atas deroleh gambar seert yang dlustraskan ada Gambar. < 0

32 Lamran 8 Bukt rooss ertama, akan dtunjukkan bahwa d c d > 0. ar ersamaan (9 dketahu a c ]( [( ( ( d d a c. Selanjutnya akan dbuktkan bahwa 0 > d d c. Karena a,, dan bernla ostf, maka erlu dbuktkan bahwa ( 0 >. Lebh lanjut, ( ( ( (. ( Karena 0 >, maka erlu dbuktkan ( 0 > ; untuk 0 < <. Jka < 0 ; untuk 0 < <, maka 0 < ( ( < ( < ( ( < <. Untuk 0 < <, maka 0 < sehngga (. Jad ( < > 0 >

33 ( 0 > ; untuk 0 < < engan demkan terbukt 0 > d d c. Jad c monoton nak terhada. ar rooss dketahu a c, sehngga a meruakan batas bawah dar c. Karena c monoton nak terhada dan a c ada, maka deroleh batas atas sehngga a c a. ar rems ( dketahu a < < a sehngga dengan demkan meruakan c atau c. ar ersamaan (8 dketahu c a ( sehngga daat deroleh nla untuk : c, }( {( a ( ( a ( ( ( a a ( ( a ( a engan menguadratkan kedua ruas deroleh, ( ( ( ( a a ( ( a ( ( ( ( a a ( ( a a 0 ( ( ( ( a a ( ( ( a 0 ( a ( ( ( ( a a ( ( ( ( a a ( ( a a ( ( ( a a, yang dnotaskan dengan

34 5 Lamran 9 Bukt F meruakan fungs konkaf ar ersamaan ( dan (6 dketahu: F ( S (.ersama- an n daat dsederhanakan menjad: a ( F ( S (, dengan U U a ( Selanjutnya untuk memudahkan enjabaran d F d du terlebh dahulu erlu dketahu. d du d a ( ( U a ( ( ( U ( ( a a U ( ( a U U ( engan demkan, deroleh turunan ertama dar terhada, yatu: df ( S U U d df d df d U ( S U U df d U U U U ( S ( U ( S U ( Turunan kedua menghaslkan: ( a U ( ( a ( ( S U U ( U ( 6 U ( F ( S ( U ( ( d F U U a d U d F ( a d U U U ( ( S ( U ( U U ( 6 U ( ( a

35 6 d F d F d d U ( ( a ( ( S ( U ( U U ( a ( U ( ( S ( U ( U U ( ( U a ( U A > 0 F d Untuk menunjukkan < 0 erlu dtunjukkan bahwa A bernla negatf. d U( ( S ( U ( U A, U ( U ( atau lebh lanjut djabarkan menjad: U A U ( ( U U ( ( S ( U ( U ( B U. ( U ( ( S ( U ( U U ( Karena U ( bernla ostf, maka untuk membuktkan A negatf erlu dtunjukkan bahwa B bernla negatf. ( U ( ( S ( U ( U B U B U B U U B U ( ( S ( ( S U B U ( ( ( ( a U ( U ( a U U ( ( S a U U ( U ( ( ( ( a ( U ( S U. ( X U ( ( S ( ( a ( U ( B U ( Karena U,, dan ( bernla ostf, maka erlu dtunjukkan bahwa X bernla negatf. ( ( S { ( ( U ( } a X U

36 7 ( ( a X ( ( ( ( a S ( a ( ( a ( ( S ( ( a ( a ( a 8 ( ( S ( a 6 a ( 8 ( ( S ( 6 X X 8 X 8 a a ( 8 ( X X a ( 6 a 8 S ( 6 a 8 ( a a 8 8 ( 8 S ( a a a a a X ( a a S( 6 a a( a S ( 6 a ( S ( 6 ( S 8 6 a Y 8 Y 8 Y a a a a( a 6S ( Sa S ( a( 6S ( ( a Sa ( S ( ( 6S ( ( S ( S Y Y Y a a ( 6S ( ( ( S Y a a ar ersamaan dketahu bahwa F (, S. Secara mlst fungs keuntungan enjual n bernla ostf. Jka, maka dengan mensubttus dar ersamaan ( deroleh: S F ( > 0 S ( > 0 S S > 0 > 0 S > 0, sehngga Y ( 6 ( ( ( < 0 a S a S. > 0. > 0 engan demkan d F d < 0. Jad terbukt F meruakan fungs konkaf

37 8 Lamran 0 encaran Ttk Imas ada Kasus Langkah Mencar c untuk seta elanggan ( ar ersamaan (8 dketahu c a. engan 0. maka deroleh c untuk seta elanggan sebaga berkut: elanggan 5 c Langkah Mengurutkan c dar yang terkecl (nol sama yang terbesar, kemudan membuat selang d antara nla yang terdekat ar nla-nla c yang dketahu, deroleh urutan nak sebaga berkut: 0, 0.5, 5.5, 7.8, 99.65, dan engan demkan deroleh selang-selang berkut n: (0, 0.5], (0.5, 5.5], (5.5, 7.8], (7.8, 99.65], dan (99.65, 5.07]. Langkah Menentukan kelomok elanggan ada seta selang (X, X ], kemudan menghtung b dan F Untuk seta selang (X, X ] ada, G dan G dtentukan secara tunggal, yatu elanggan k dengan ck X, k G dan ck X, k G. ( (, dan b, dengan E ( ( ( S, untuk elanggan G, dan a F S (, untuk elanggan G b b F ada sea selang (X, X ] monoton nak terhada. Oleh karena tu nla tertngg F terdaat ada X. ada selang (0, 0.5] deroleh data sebaga berkut: lgg. erbandngan Kelomok b F ck dengan X G G G G G Total keuntungan 6.68 ada selang (0.5, 5.5] deroleh data sebaga berkut: lgg. erbandngan Kelomok b F ck dengan X 0.5 < 5.5 G G G

38 9 lgg. erbandngan Kelomok b F ck dengan X G G Total keuntungan 6.5 ada selang (5.5, 7.8] deroleh data sebaga berkut: lgg. erbandngan Kelomok b F ck dengan X 0.5 < 7.8 G G G < 7.8 G G Total keuntungan 65. ada selang (7.8, 99.65] deroleh data sebaga berkut: lgg. erbandngan Kelomok b F ck dengan X 0.5 < G G < G < G G Total keuntungan 69.8 ada selang (99.65, 5.07]. deroleh data sebaga berkut: lgg. erbandngan Kelomok b F ck dengan X 0.5 < 5.07 G < 5.07 G < 5.07 G < 5.07 G G Total keuntungan 58.7 Langkah Mencar total keuntungan terbesar ar kelma total keuntungan d atas deroleh nla yang alng besar, yatu: 65.. engan demkan deroleh ttk mas yang otmal ( * sebesar 7.8. erbandngan frekuens emesanan ( sebelum dan sesudah enawaran dskon. elanggan Sebelum enawaran dskon Total Sesudah enawaran dskon

39 0 Lamran encaran Tngkat skon ada Kasus Langkah Mencar untuk semua elanggan ar ersamaan (6 dketahu ( a ( a, sehngga deroleh: ( elanggan Langkah Mengurutkan nla dar nol sama satu, kemudan membuat selang d antara nla yang terdekat ar yang dketahu, deroleh urutan nak berkut: {0, 0.07, 0.057, 0.058, 0.06, 0.7, }. engan demkan deroleh selang-selang berkut n: (0, 0.07], (0.07, 0.057], (0.057, 0.058], (0.058, 0.06], (0.06, 0.7], dan (0.7,. Langkah Menentukan kelomok elanggan ada seta selang I, kemudan menghtung b dan F Untuk elanggan j dengan j > Y, maka j G, dan jka j Y, maka j G ada seta selang I, F meruakan fungs konkaf terhada. Oleh karena tu encaran nla tertngg F menggunakan bantuan Mcrosoft Excel dengan mengambl tga angka desmal. Berkut adalah enentuan kelomok ara elanggan untuk seta selang I, ada selang I (0, 0.07] deroleh: lgg. erbandngan Kelomok dengan Y 0.7 > 0 G > 0 G 0.06 > 0 G > 0 G > 0 G ada I ( ] deroleh: lgg. erbandngan Kelomok dengan Y 0.7 > 0.7 G > 0.7 G 0.06 > 0.7 G > 0.7 G G ada selang I (0.057, 0.058] deroleh: lgg. erbandngan Kelomok dengan Y 0.7 > G > G 0.06 > G G G ada selang I (0.058, 0.06], deroleh: lgg. erbandngan Kelomok dengan Y 0.7 > G G 0.06 > G G G ada selang I (0.06, 0.7] deroleh: lgg. erbandngan Kelomok dengan Y 0.7 > 0.06 G G G G G ada selang I (0.7, deroleh: lgg. erbandngan Kelomok dengan Y G G G G G

40 Langkah Mencar total keuntungan terbesar ada selang I (0, 0.07], semua elanggan tdak memanfaatkan dskonnya. Jad total keuntungan enjual mash teta. ada selang lannya daat dlhat d belakang halaman n. ar datar total keuntungan ada seta selang tersebut deroleh nla tertngg, yatu: 555. ada erbedaan frekuens emesanan ( sebelum dan sesudah enawaran dskon: elanggan Sebelum enawaran dskon Sesudah enawaran dskon Total

41 encaran total keuntungan terbesar ada selang (0.07, 0.057] Y 5 F F F F F 5 Σ F Nla ΣF semakn besar Nla ΣF semakn kecl Nla ΣF terbesar 66.7 encaran total keuntungan terbesar ada selang (0.057, 0.058] Y 5 F F F F F 5 Σ F Nla ΣF terbesar 77.89

42 encaran total keuntungan terbesar ada selang (0.058, 0.06] Y 5 F F F F F 5 Σ F Nla ΣF terbesar encaran total keuntungan terbesar ada selang (0.06,0.7] Y 5 F F F F F 5 Σ F Nla ΣF semakn kecl Nla ΣF semakn kecl Nla ΣF terbesar 555.

43 encaran total keuntungan terbesar ada selang (0.7. Y 5 F F F F F 5 Σ F Nla ΣF semakn kecl Nla ΣF semakn kecl Nla ΣF terbesar 9.76