PELABELAN PADA GRAPH ( ), DENGAN

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PELABELAN PADA GRAPH ( ), DENGAN"

Herman Tanuwidjaja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 PELABELAN PADA GRAPH, DENGAN Yuliarti 1) Purwanto 2) FMIPA Universitas Neeri Malan yulia.anwar91@yahoo.com ABSTRAK: Pelabelan raph adalah pemetaan yan memetakan elemen elemen raph (titik atau sisi) ke suatu bilanan, biasanya bilanan bulat positif atau bilanan bulat non neatif (Wallis, 200) Misal adalah raph denan banyak titik n dan banyak sisi m. Suatu pelabelan- pada raph adalah funsi satu-satu * + yan menhasilkan pelabelan * + pada sisi-sisi dari yan didefinisikan oleh untuk setiap sisi pada. Nilai dari pelabelan- dilambankan denan. Nilai maksimum untuk pelabelan- f dari G didefinisikan oleh * +, sedankan nilai minimum untuk pelabelan- f dari G didefinisikan oleh * +. Pada artikek ini ditunjukkan pelabelan, serta menhitun batas atas dari, dan batas bawah dari pelabelan tersebut pada raph,. Graph adalah suatu raph yan memuat raph yan panjannya p denan t-sisi lintasan (ekor) yan terhubun ke satu titik. Kata Kunci: raph, pelabelan, pelabelan, raph,. Bidan teori raph memiliki beberapa topik untuk dikaji, salah satunya adalah pelabelan. Secara umum pelabelan raph didefinisikan sebaai suatu pemberian nilai pada titik atau sisi dari raph atau keduanya sehina memenuhi kondisi tertentu. Beberapa pelabelan raph dikaji dan berkemban sejak tahun 1960-an. Pertamakali dikenalkan oleh Sadláck pada tahun 1964, kemudian oleh Stewart pada taun 1966, dan terakhir oleh Kotzi dan Rosa pada tahun 196. Aplikasi pelabelan raph dapat dijumpai pada berbaai bidan diantaranya, dekomposisi raph, kliptorafi kristalorafi x-ray, dan teori kodin. Dalam journal On Labelin of Kite Graph (Indriati, 2011) menyebutkan bahwa Chartrand et al. (2005) mendefinisikan pelabelan- dari suatu raph denan banyak titik dan banyak sisi adalah funsi satu-satu * + yan menhasilkan pelabelan * + pada sisi-sisi dari yan didefinisikan oleh untuk setiap sisi pada. Nilai dari pelabelan- dilambankan denan. Nilai maksimum untuk pelabelan- dari didefinisikan denan * +, sedankan nilai minimum untuk pelabelan- f dari didefinisikan denan * +. Dalam journal On Labelin of Graph (Indriati, 2011) disebutkan bahwa Chartrand et al.(2005) telah menamati pelabelan dari beberapa raph yan terkenal seperti raph path, raph stars dan raph sikel. Mereka jua menentukan nilai dan dari raph tersebut. Untuk raph path, untuk dan. Untuk 1) Yuliarti adalah mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Neeri Malan. 2) Purwanto adalah mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Neeri Malan.

2 raph sikel, untuk setiap bilanan bulat anjil dan untuk bilanan bulat enap, serta. Untuk raph star,. / dan ( ) ( ). jua menyebutkan bahwa Roswitha et al.(200) telah menentukan nilai dari dan pelabelan dari raph petersen 3-reular. Indriati et al.(2009a, 2009b, 2010) jua sudah menerjakannya pada raph double stars, raph firecrackers, raph n-sun, raph wheels, raph fan, raph helm, dan raph flower untuk. Indriati (2011) telah menentukan nilai dari dan pelabelan dari raph. Dalam artikel ini penulis mununjukkan hasil pelabelan- pada raph,, menhitun batas atas dari pelabelan pada raph, untuk,, dan menhitun batas bawah dari pelabelan- untuk dan pada raph yan belum pernah diteliti sebelumnya. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada artikel ini akan dibahas tentan pelabelan- pada raph,, serta menhitun batas atas pelabelan pada raph, untuk,, dan batas bawah pelabelan- untuk dan pada raph. Graph, adalah suatu raph yan memuat raph yan panjannya denan t-sisi lintasan (ekor) yan terhubun ke satu titik seperti pada Gambar 1. v v (p )(n ) v 4 v (p )(n ) v v u u u t Gambar 1 Graph 2

3 Batas Atas Nilai Minimum dari Pelabelan Teorema 1 menentukan batas atas nilai minimum pelabelan dari raph untuk dan setiap bilanan bulat serta menunjukkan baaimana funsi untuk menyusun pelabelan untuk semua titik. Sedankan Teorema 2 menentukan batas atas nilai minimum pelabelan dari raph untuk. Teorema 1. Misalkan adalah raph. Maka untuk setiap bilanan bulat, batas atas nilai minimum dari pelabelan pada raph adalah. Bukti : Misalkan Graph adalah raph yan mempunyai raph denan panjan, dan path denan. Titik-titik dari adalah * + dan titik dari path denan (ekor) adalah * + denan adjecent ke. Misalkan adalah pelabelan dari. Untuk titik dari diberi label sebaai berikut : { Denan pelabelan diatas, didapatkan : * (, -) ( ) + (, - ) * (, - ) (, - ) (, - ) (, - ) (, - ) (, - ) + (, - ) Sehina didapatkan batas atas nilai minimum pelabelan γ adalah Untuk titik dari path denan sisi (ekor) dilabeli denan { Denan pelabelan diatas, didapatkan Sehina batas atas nilai minimum pelabelan γ (ekor) adalah Oleh karena itu, kita peroleh batas atas nilai minimum pelabelan γ h sebaai berikut:. Gambar 2 menunjukkan pelabelan-γ dan mempunyai batas atas nilai minimum pelabelan-γ, 8, denan pelabelan titik dituliskan didekat masin masin titik. 3

4 6 8 9 Gambar 2 Graph Sesudah Diberi Pelabelan Teorema 2. Misalkan adalah raph. Maka untuk setiap bilanan bulat, batas atas nilai minimum dari pelabelan pada raph adalah 9. Bukti : Misalkan Graph adalah raph yan mempunyai raph denan panjan, dan path denan. Titik-titik dari 3 adalah * + dan titik dari path denan (ekor) adalah * + denan adjecent ke. Misalkan adalah pelabelan dari. Untuk titik dari diberi label sebaai berikut : { Denan pelabelan diatas, didapatkan : 8 Untuk titik dari path denan sisi (ekor) dilabeli denan { Denan pelabelan diatas, didapatkan * (, -) + Oleh karena itu, kita peroleh batas atas nilai minimum pelabelan γ sebaai berikut: 9. 4

5 Batas Bawah Nilai Maksimum dari Pelabelan Pada baian ini akan dibahas beberapa teorema. Pada Teorema pertama yaitu Teorema 3 akan ditentukan batas bawah nilai maksimum pelabelan pada raph untuk sedankan Teorema 4 akan ditentukan batas bawah nilai maksimum pelabelan pada raph untuk. Teorema 3. Misalkan adalah raph. Maka batas bawah nilai maksimum pelabelan-γ adalah. Bukti : Misalkan raph adalah raph yan mempunyai denan panjan 6, dan path denan. Lima titik dari adalah * + dan titik dari path denan (ekor) adalah * + denan adjacent ke. Misalkan adalah pelabelan dari. Graph ini mempunyai ukuran 6. Bukti dari teorema ini akan dibai menjadi 2 kasus, yaitu saat anjil dan saat enap. Untuk anjil Titik titik dari dilabeli denan : { Denan pelabelan diatas didapatkan ( 4 ) ( 4 ) Untuk titik dari path denan { Denan pelabelan diatas didapatkan sisi (ekor) dilabeli denan ( 4 ) ( ) Oleh karena itu, kita peroleh batas atas nilai minimum pelabelan γ sebaai berikut:... (1) 5

6 Untuk enap Titik titik dari dilabeli denan : { Denan pelabelan diatas didapatkan ( 4 ) ( 4 ) Untuk titik dari path denan { Denan pelabelan diatas didapatkan sisi (ekor) dilabeli denan. / Oleh karena itu, kita peroleh batas bawah nilai maksimum pelabelan γ sebaai berikut:...(2) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) terbukti bahwa batas bawah nilai maksimum dari raph adalah. Teorema 4. Misalkan adalah raph. Maka batas bawah nilai maksimum pelabelan-γ raph adalah 8. Bukti : Misalkan raph adalah raph yan mempunyai denan panjan 8, dan path denan. Tujuh titik dari 4 adalah * + dan titik dari path denan (ekor) adalah * + denan adjacent ke. Misalkan adalah pelabelan dari. Graph ini mempunyai ukuran 8. Bukti dari teorema ini akan dibai menjadi 2 kasus, yaitu saat anjil dan saat enap. Untuk anjil Titik titik dari 4 dilabeli denan : 6

7 { Denan pelabelan diatas didapatkan ( 4 ) ( 4 ) ( ) 8 6 Untuk titik dari path denan sisi (ekor) dilabeli denan { Denan pelabelan diatas didapatkan Oleh karena itu, kita peroleh batas atas nilai minimum pelabelan γ i raph sebaai berikut: 8... (1) Untuk enap Titik titik dari 4 dilabeli denan : 6 6 { Denan pelabelan diatas didapatkan ( 4 ) ( 4 ) 8 8

8 Untuk titik dari path denan sisi (ekor) dilabeli denan { Denan pelabelan diatas didapatkan. / Oleh karena itu, kita peroleh batas bawah nilai maksimum pelabelan γ sebaai berikut: ( 4 ) 8...(2) Dari persamaan (1) dan (2) terbukti bahwa batas bawah nilai maksimum pada raph adalah 8. Gambar 3 menunjukkan pelabelan raph yan mempunyai batas bawah nilai maksimum pelabelan, 98, denan pelabelan titik dituliskan didekat masin masin titik Gambar 3 Graph Sesudah Diberi Pelabelan- PENUTUP Kesimpulan Dalam artikel ini diperoleh hasil bahwa : Pelabelan pada raph, batas atas nilai minimum pelabelan adalah, Pada raph, batas atas nilai minimum pelabelan adalah 9, Pada raph, batas bawah nilai maksimum pelabelan adalah, Pada raph, batas bawah nilai maksimum pelabelan adalah 8. 8

9 Saran Karena keterbatasan penulis, artikel ini masih memerlukan banyak masukan dan penembanan. Dalam artikel ini penulis telah menemukan batas atas nilai minimum pelabelan pada raph, denan. Didua batas atas nilai minimum tersebut jua merupakan nilai munimum pelabelan pada raph, denan. Untuk itu perlu dilakukan penelitian lebih lanjut. Selain itu penulis telah jua menemukan batas bawah nilai maksimum pelabelan pada raph, untuk itu perlu dicari batas bawah nilai tersebut untuk, denan. Sehina disarankan bai pembaca untuk lebih bisa menkajinya. DAFTAR RUJUKAN Gallian, J.A., Dinamic Survey of Graph Labellin. Electron. J. Combin, (Online), 18: 1-51, ( diakses 30 Austus Indriati, D. 2011, On of Graph, Journal Matematika & Sains, (Online), 16(3): , ( diakses 1 Austus Wallis, W.D A Biiner s Guide to Graph Theory (Second Edition). USA: Birkhäuser Boston, (Online), ( diakses 30 Austus

dokumen-dokumen yang mirip

Kekuatan Tak Reguler Sisi Total pada dan Graf Gigantic Kite

SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2017 Kekuatan Tak Reguler Sisi Total pada Graf dan Graf Gigantic Kite A-8 Wakhid Fitri Albar 1, Deddy Rahmadi 2, Yeni Susanti 3 Departemen Matematika, Universitas