OPTIMASI: DIFERENSIAL PARSIAL MATEMATIKA T E L K O M U N I V E R S I T Y

Transkripsi

1 OPTIMASI: DIFERENSIAL PARSIAL MATEMATIKA T E L K O M U N I V E R S I T Y

2 DIFERENSIAL PARSIAL Fungsi yang mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap x, dengan kata lain y = dy/dx.

3 DIFERENSIAL PARSIAL Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya. Y=f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu turunan y terhadap x atau y/ x dan turunan y terhadap z atau y/ z.

4 DIFERENSIAL PARSIAL 1. Y = f(x,z) Y a) fx (x,z) = y/ x b) fz (x,z) = y/ z dy = ( y/ x)dx + ( y/ z)dz 2. P = f(q,r,s) a) fq (q,r,s) = p/ q b) fr (q,r,s) = p/ r c) fs (q,r,s) = p/ s dp = ( p/ q)dq + ( p/ r)dr + ( p/ r)dr

5 DIFERENSIAL PARSIAL y/ x dan y/ z serta p/ q, p/ r, dan p/ s dinamakan derivatif parsial. ( y/ x)dx dan ( y/ z)dz serta ( p/ q)dq, ( p/ r)dr, dan ( p/ s)ds dinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total. 1. y = 3x 2-8xz-6z 2 x 2. y = 10z 4x 2 12xz + 8 x

6 DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL M A T E M A T I K A E K O N O M I - I N S T I T U T M A N A J E M E N T E L K O M

7 DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL Fungsi dapat diturunkan dengan lebih dari satu variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali. Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi.

8 DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.

9 CONTOH y = x 3 + 5z 2 4x 2 z 6xz 2 + 8z 7 1. y = 3x 2-8xz-6z 2 x 2. y = 10z 4x 2 12xz + 8 z

10 NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif. Untuk y = f(x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika: y = 0 dan y = 0 x z Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim.

11 NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum atau titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yakni: Maksimum bila 2 y < 0 dan 2 y < 0 x 2 z 2 Minimum bila 2 y > 0 dan 2 y > 0 x 2 x 2

12 CONTOH 1. Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum atau titik minimum: y = -x x - z z Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi p = 3q 2-18q + r 2-8r + 50

13 OPTIMISASI BERSYARAT - PENGGANDA LAGRANGE - KONDISI KUHN TUCKER M A T E M A T I K A E K O N O M I - I N S T I T U T M A N A J E M E N T E L K O M

14 OPTIMISASI BERSYARAT Dalam kenyataan seringkali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi. Fungsi yang dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint).

15 PENGGANDA LAGRANGE Salah satu metode untuk perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain. Cara: Membentuk fungsi baru, disebut fungsi Lagrange Fungsi Lagrange Penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda Lagrange λ dengan fungsi kendalanya.

16 PENGGANDA LAGRANGE Misalkan hendak di optimumkan z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g (x,y). Maka fungsi Lagrange nya: F(x,y,λ) = f(x,y) + λ g(x,y) Nilai ekstrim F (x,y, λ) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol. Fx(x,y,λ) = fx + λgx Fy(x,y,λ) = fy + λgy Necessary condition

17 PENGGANDA LAGRANGE Pengganda Lagrange λ : variabel tak tentu yang hanya bersifat sebagai pembantu. Untuk mengetahui jenis nilai ekstrim, maksimum atau minimum, masih harus disidik melalui derivatif parsial keduanya, yang merupakan syarat yang mencukupkan atau sufficient condition. Nilai ekstrim nya adalah: Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0 Maksimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0

18 CONTOH SOAL 1. Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x 2 + y 2 = 8. Jelaskan jenis nilai ekstrimnya. 2. Optimumkan z = xy dengan syarat x+2y=10.

19 KONDISI KUHN-TUCKER Merupakan metode pengembangan lebih lanjut dari model optimisasi bersyarat. Mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah fungsi yang berbentuk pertidaksamaan. bentuk permasalahannya bisa berupa: Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(z,y) 0 Minimummkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(z,y) 0

20 KONDISI KUHN-TUCKER Prosedur penyelesaian: Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi (persyaratan) Kuhn-Tucker. Metode Kuhn-Tucker secara langsung.

21 KONDISI KUHN-TUCKER Prosedur metoda Kuhn-Tucker melalui metoda Lagrange yang dimodifikasikan dilakukan sebagai berikut: (1). Anggap kendala pertidaksamaannya sebagai sebuah persamaan Selesaikan masalahnya dengan metode Lagrange yang biasa hingga diperoleh nilai optimum yang dicari. Khusus dalam hal ini fungsi Lagrangenya harus dibentuk dengan cara: F(x,y,λ) = f(x,y) λg(x,y); jadi, tidak boleh: F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

22 PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER MELALUI METODA LAGRANGE YANG DIMODIFIKASI (2). Lakukan pengujian terhadap nilai λ. Jika λ > 0 berarti nilai optimum yang diperoleh (berdasarkan kendala yang telah dimodifikasi) tadi juga merupakan nilai optimum berkenaan fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Jika λ 0 berarti berarti optimisasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan sendirinya akan memenuhi kendalanya. Dalam hal λ 0 kendala yang bersangkutan dikatakan bersifat tidak mengikat (non-binding), oleh karenanya dapat diabaikan; Dalam hal λ > 0 kendalanya disebut mengikat (binding).

23 PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG Rumuskan permasalahannya, misalnya maksimumkan f(x,y) terhadap g(x,y) 0, atau minimumkan f(x,y). terhadap g(x,y) 0 Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker (a) f(x,y) - λ g(x,y) = 0 x x (b) f(x,y) - λ g(x,y) = 0 y y (c) λ g(x,y) = 0 di mana g(x,y) 0 atau g(x,y) 0

24 PROSEDUR METODA KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG Ujilah (2c) masing-masing untuk λ=0 dan g(x,y) = 0 guna menentukan mana di antaranya yang memenuhi persamaan-persamaan (2a) dan (2b) serta pertidaksamaan kendala g(x,y). Nilai-nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y

25 CONTOH 1. Maksimumkan f(x,y) = 10xy 2.5x 2 y 2 terhadap kendala x+y Maksimumkan f(x,y) = (20x)/(x+5) + 10y/(y+10) x y terhadap x+y Minimumkan f(x,y) = x 2 xy + 2y 2 terhadap x+y 8.

26