BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi

Transkripsi

1 BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi A. Elastisitas Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. 1.1 Elastisitas Permintaan Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga. Rumus elastisitas permintaan dq η d d = dp. P, Q d Ket : Qd fungsi permintaan, P Harga

2 Permintaan suatu barang dikatakan bersifat: Elastis jika η d > 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang lebih besar daripada perubahan harganya Inelastis jika η d < 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang lebih kecil daripada perubahan harganya Uniter jika η d = 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang sama dengan perubahan harganya Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang Q = 25 3 P 2

3 Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5. Jawab : dq d η d = dp. P P = ( - 6 P ) 2 Q d 25 3P (5) = - 6 (5) (5) = 3 η d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan turun sebanyak 3 %. 1.2 Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga

4 Rumus Elastisitas Penawaran Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA dq η s s = dp. P Q s Ket : Qs fungsi penawaran, P Harga Penawaran suatu barang dikatakan bersifat: Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan Q = P 2

5 Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10 Jawab : η dq s s = dp. P = ( 14 P ) 2 Q s P P (10) = (7)(10) Pada P = 10 η s = (14)(10) 2 2,8 ( elastis ) η s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 %, maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %. 1.3 Elastisitas Produksi Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.

6 Rumus Elastisitas Produksi dp η p = dx. P x Ket : P jumlah produk yang dihasilkan (output) x jumlah faktor produksi yang digunakan (input) Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X 2 X 3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3 dp x Jawab : η p = dx. P = X ( 12 X 3 X 2 ) 2 3 6X X Pada X = 3 η p =

7 ( ) 2 3 6(3) (3) = 1 3 Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA η p = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3, jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %. B. Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal 1. Biaya Marjinal Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan, jika jumlah produksi ditambah 1 unit. Rumus biaya marjinal MC = TC I MC minimum jika MC I = 0 dc = dq dan

8 Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 3 Q Q + 4 Biaya Marjinal (MC) = TC = 3 Q 2 6 Q + 4 Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum? Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut? Jawab = MC minimum pada MC = 0 MC = 6 Q 6 = 0 6 Q = 6 Q = 1 MC minimum MC minimum = 3 Q 2 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 6 ( 1 ) + 4 = 6 Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit. 2. Penerimaan Marjinal Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit

9 Rumus penerimaan marjinal MR = TR I dr dq dan TR maks. Jika MR = 0 = Contoh : fungsi permintaan suatu barang P = 16 2 Q Berapakah besarnya penerimaan maksimum? Jawab : Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 2 Q) (Q) = 16 Q 2 Q 2 Penerimaan Marjinal (MR) = TR = 16 4 Q TR akan maksimum jika MR = Q = 0 4 Q = 16 Q = 4 TR Maks. = 16 Q 2 Q 2 = 16 (4) 2 (4) 2 = 32 Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00

10 C. Utilitas Marjinal Utilitas marginal (MU) utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal : MU = U = du / dq Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya. Contoh : U = f(q) = 90Q 5Q 2 MU = U = 90 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) 5(9) 2 = = 405

11 D. Produk Marjinal Produk marginal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, Maka produk marginal : MP = P = dp/ dx Contoh: Produksi total P = f(x) = 9x 2 x 3 produk marjinalnya adalah MP = P = 18x 3x 2 Sehingga Pmaksimum pada P = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P = (MP) = 0 yaitu pada x = 3

12 E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial. Fungsi keuntungan (π ) π = TR TC π akan optimum jika π I = 0 π < 0 π maksimum = keuntungan maksimum π > 0 π minimum = kerugian maksimum Contoh : jika fungsi penerimaan TR = - 2 Q Q Dan fungsi biaya total TC = Q 3 59 Q Q

13 maksimum? Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Berapakah tingkat keuntungan Jawab : π = TR TC =(- 2 Q Q) (Q 3 59 Q Q ) π = - Q Q Q Agar keuntungan maks. π = 0 π = - 3 Q Q 315 = 0 - Q Q 105 = 0 ( - Q + 3 ) ( Q 35 ) = 0 Q 1 = 3 dan Q 2 = 35 π = - 6 Q pada Q = 3 π = - 6 Q = - 6 ( 3 ) = 96 > 0 berarti pada Q = 3 maksimum., maka kerugian akan pada Q = 35 π = - 6 Q = - 6 ( 35 ) = - 96 < 0

14 berarti pada Q = 35, maka keuntungan akan maksimum π = - Q Q Q = (- 35) (35) (35) π = jadi keuntungan maksimum sebesar Rp ,00 pada jumlah penjualan sebanyak 35 unit.

15 Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk Diferensiasi fungsi majemuk diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas. A. Diferensial Parsial Diferensial Parsial diferensiasi secara bagian demi bagian Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Contoh : y = f ( x, z)

16 Diferensiasi Total: Contoh: B. Derivatif dari Derivatif Parsial Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi = = z y z x f b x y z x f a y x x ), ( ) ), ( ) '...? dz z y dx x y dy + =

17

18

19 C. Nilai Ekstrim Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA

20

21 D. Optimasi Bersyarat Apabila fungsi ingin dioptimumkan tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode : 4.1 Pengganda Lagrange

22 Contoh: Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA

23 4.2 Kondisi Kuhn-Tucker Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA

24 Referensi :