Implementasi Algoritma Turan Untuk Menentukan Nilai Aproksimasi Pada Proses Mencari Akar-akar Polinomial

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Implementasi Algoritma Turan Untuk Menentukan Nilai Aproksimasi Pada Proses Mencari Akar-akar Polinomial"

Dewi Hermanto
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Semiar aioal Pacaarjaa VI 26, Surabaya Implemeai Alorima Tura Uuk Meeuka ilai Aprokimai Pada Proe Mecari Akar-akar Poliomial Suprioo Coirul Imro Badu Arry Sajoyo Jurua Maemaika Iiu Tekoloi Sepulu opember (ITS Surabaya Kampu ITS Sukolilo Surabaya 6 keouao@plaa.com Abrak Proe uuk meeuka akar dari peramaa poliomial deraja ya dikembaka ole Herma Weyl membuuka ebua ipua berupa bujur akar. Bujur akar awal erebu aka mealami proe peyempia ampai diperole aprokimai akar-akar dari peramaa poliomial. Pada proe peyempia bujur akar erebu euya membuuka alorima lai dalam al ii diuaka alorima Tura. Alorima Tura adala alorima uuk mecari aprokimai jarak erdeka aara ebua iik dea akar-akar poliomial. Pada proe meeuka ilai aprokimai dibuuka laka-laka ralai poliomial, membeuk poliomial balika, membeuk poliomial moik, ierai Graeffe kemudia mecari ilai makimum. Iver dari ilai makimum adala merupaka ilai Tura. Dari percobaa umerik dapa diimpulka bawa emaki bayak ierai ya dilakuka maka ilai Tura kovere ke au. Kaa kuci: poliomial, ierai Graeffe, alorima Tura. PEDAHULUA Ipu dari alorima Weyl pada proe meeuka akar-akar polioomial deraja ii adala ebua bujur akar, koefiie poliomial, da bayakya ierai. Bujur akar awal erebu aka mealami proe peyempia ampai diperole aprokimai akar-akar poliomial. Dalam proe peyempia bujur akar erebu diuaka alorima Tura. Dalam peeliia ii dikaji alorima Tura da baaimaa implemeaiya uuk mecari ilai aprokimai. Proe kerja alorima Tura membuuka ipua berupa koefiie poliomial, deraja poliomial, ebua bilaa ebaai fakor ralai, da bayakya ierai. Ierai ya diuaka alorima Tura adala ierai Graeffe. ilai aprokimai ya diperole dari alorima Tura diuaka uuk proe peyempia bujur akar pada alorima Weyl. 2. Peramaa Poliomial Jika adala bilaa bula ak eaif da p, p,..., p R adala koaa, maka peramaa P ( p + p + p p, p diebu poliomial real dea p diebu leadi coefficie. Jika p, maka P ( diebu poliomial moik. Bilaa z C diebu akar dari P ( jika P (z. Teorema 2. (Teorema Daar Aljabar [4] Jika P ( p + p + p p, p adala poliomial real berderaja >, maka erdapa ebua bilaa komplek edemikia eia P ( z. Teorema 2.2: Jika P ( p + p + p p, p adala poliomial real berderaja, da mialka z, adala akar dari P, maka erdapa poliomial P berderaja edemikia eia P ( z P. Teorema 2.3: Seiap poliomial P p + p p dea deraja erii da p, p, K, p R di maa p dapa diulika ebaai perkalia dari fakor-fakor liear, dalam beuk P ( z ( z2...( z P P ( z i dea z i adala akar-akar dari P uuk i, 2, 3,,. 3. Alorima Tura Alorima Tura adala alorima uuk memperole aprokimai jarak aara ebara bilaa C C ya di berika, dea akar dari P ya erdeka dea C. Alorima Tura ii diuaka dalam alorima Weyl dalam proe peyempia bujur akar. Pada baia ii aka dieraka ea defiii, propoii da eorema ya merupaka koep daar dari alorima Tura, z 2-42 ISB ITS

2 Semiar aioal Pacaarjaa VI 26, Surabaya jua aka diberika laka laka dari alorima Tura. Defiii 3. (Roo Radii da Radiu Akar [7] : Diberika poliomial P ya memiliki bua akar da ebara iik C C. Roo Radii dari pada C adala bua jarak dari iik C ke eiap bua akar dari P dea ifa r (C r 2 (C r (C da r (C diebu radiu (jarak P pada iik C. akar ke- dari Propoii 3.2 Jika z,z 2,,z adala akar-akar dari P, T ( adala poliomial poliomial ralai dari P ejau C da B ( adala poliomial balika dari P maka :. z i C adala akar dari T ( P ( + C 2. adala akar-akar dari B ( z i P uuk i,2,, Propoii 3.3 Jika r (C adala jarak akar ke- dari P pada iik C da r adala jarak akar ke- dari T ( P ( + C pada iik maka berlaku: r dari a. r (C dari P ama dea T P ( C b. + r ( dari P ama dea r ( + - ( dari poliom balika B ( P c. dari P ama dea r ( dari B ( r ( C T Defiii 3.4 (Ierai Graeffe Diberika poliomial moik P ( p + p + p p. Ierai Graeffe didefiiika ecara rekurif ebaai ( v+, v,, 2, P (- p v (.p v Propoii 3.5 Diberika poliomial real lakuka ierai Graeffe P da ( v P (- p v- ( p v- (, v, 2,,. Pada ierai ke- diperole poliomial P ( 2 ( z i dea z i adala akar-akar dari P ( Teorema 3.6 (Ideia ewo [5] Jika P + p p adala poliomial moik dea akar-akar z j uuk j,2,, k Defiiika S k z, maka aka berlaku ideia j j ewo beriku : S k + p - S k p S k-, (k > S k + p - S k- + +p -k+ S -kp -k, ( k Teorema 3.7 [] Uuk ebara bilaa komplek ( ξ,...,ξ dea ma ξ,..., berlaku peridakamaa Teorema ma ξ + + ξ,..., Jika P p + p p dea z, z 2,..., z adala akar- akar dari P. Jika S j j > 5 z dea,..., da adala bilaa ali. Maka berlaku peridakamaa r 5 S ma,..., Alorima Tura membuuka ia ipu yaiu: koefiie dari P (, ebara bilaa real C da ebara bilaa ali (lo 2 adala jumla ierai makimum ierai Graeffe. Laka-laka dari Alorima Tura adala ebaai beriku: Laka : Lakuka ralai poliomial T P ( + C q + q q ' kemudia beuk poliomial balika dari T ( yaiu B T q + q q Laka 2 : Beuk poliomial moik B M q da lakuka ierai Graeffe ISB ITS 2-43

3 Semiar aioal Pacaarjaa VI 26, Surabaya G i,..., ( ( i ( i ( lo 2 eia pada ierai ke- diperole dimaa i G G Laka 3: Hiu ( i, +, + +,, +, + + L L, (,2,, adala akar-akar dari i,,2, dimaa i (,2,, adala akar-akar dari G, dea meyeleaika ideia ewo beriku: S,, S + S 2 2 2, 2, S +, S 2 + S3 3 3, M (3., S + 2, S , S (- + S o, SPL (3. dapa diulika diulika dalam oai marik beriku:,, 2 2 2, 2,, 3 3 3, M O M M M, 2, L,, dea marik koefiie merupaka marik eiia bawa Toepliz. SPL (3. dapa dieleaika meuaka alorima ubiui maju uuk medapaka ilai S,S 2,,S Laka 4: Seela diperole S (,2, iu ilai S r ma,..., ebaai oupu dari alorima Tura 4. HASIL DA PEMBAHASA Pembuaa proram alorima Weyl diuaka ofware MATLAB 7. ya dilakuka pada kompuer dea iem operai Widow-Xp dea proeor Peium 2,4 GB da RAM 256 MB. Pada laka ke- alorima Tura dilakuka uau ralai poliomial P pada iik C eia mejadi poliomial T P ( + C, karea iu diperluka ebua alorima uuk memperole koefiie dari T ( erebu. Proedur dari alorima Tralai diujukka ole alorima dibawa ii. Ipu : Poliomial P (berupa koefiiekoefiie poliomial {p, p, p 2,, p }, iik C R FOR i TO DO k i ; FOR i TO DO q i ; FOR j i TO DO q i q i + k (j-i+ P j C (j-i FOR l TO -i DO k l k l + k (l- Oupu : q, q, q Pada laka ke-2 Alorima Tura, dilakuka ierai Graeffe ebayak kali pada ebua poliomial moik M (. Proedur dari alorima Graeffe dea ierai diujuka ole alorima dibawa ii. Ipu : Poliomial P (berupa koefiiekoefiie Poliomial {p,p,p 2,,p }, bayak ierai Graeffe. FOR l TO DO FOR i TO DO {membua koefiie S( eela dilakuka au ierai Graeffe i, ; FOR j TO DO k 2i-j; IF k AD k > k i, i + (, j.k. ED IF {mealika eiap koefiie S( dea (- } i. ( i. ; ; Secara keelurua proedur dari Alorima Tura diujukka ole alorima beriku ISB ITS

4 Semiar aioal Pacaarjaa VI 26, Surabaya P (berupa koefiiekoefiie poliomial {p,p,p 2,,p }, iik C R, bilaa ali (lo 2 adala ierai makimum Alorima Graeffe lo 2 ; {meeuka koefiie poliomial ralai T ( P (C+ } Ipu : poliomial q ralai (P (,C {meeuka koefiie poliomial balika B T } FOR i TO + DO ( i q( + 2 i; {membua poliomial moik} FOR i TO - DO ( i ( i / ( ; ; {melakuka ierai Graeffe ebayak kali} Graeffe, {membua marik eiia bawa Toepliz} FOR i TO - DO FOR j TO - DO IF i > j THE k i j; A(i,j ( k; ED IF {membua marik koaa dari SPL} FOR i TO - DO B(i i ( i; {meyeleaika SPL dea meode ubiui maju} S ubuui maju (A,B {mecari aprokimai jarak erdeka akar dari P dea bilaa komplek C} FOR TO - DO r ( (ab ( S( /( (/( ; Solui (mak(r (- Oupu : olui {oupu dari Alorima Tura} Percobaa dilakuka uuk melia pearu dari: Fakor ralai Bayakya ierai. eradap ilai aprokimai ya didapaka. Poliomial ya aka di uji P 5 ( , dea fakor ralai C,2,3,4,5 da bayak ierai 2,4,8,2,6 dea 2 lo P 5 ( Tabel 4. Tabel 4.2 C ilai aprokimai C ilai aprokimai Dari Tabel 4. meujukka bawa emaki bear fakor ralai dea, maka ilai aprokimai aka meuju 5 dimaa 2. Dari Tabel 4.2 meujukka bawa ilai emaki bear ierai ya dilakuka maka ilai aprokimai aka kovere ke au dea C2. 5. PEUTUP Dari ail pembaaa dalam peeliia ii, dapa diambil keimpula bawa ilai aprokimai ya didapaka dipearui ole bearya fakor ralai da bayakya ierai ya dilakuka, jika diperaika lebi laju maka pada ierai lebi bear ilai aprokimai aka kovere ke au. ilai aprokimai ii dapa diuaka pada alorima Weyl uuk mecari akar-akar poliomial. REFERESI [] Bod,C. 22. A Meod for Fidi Real ad Comple Roo of Real Polyomial Wi Muliple Roo. [2] Bod,C. 23. A Robu Sraey for Fidi All Real ad Comple Roo of Real Polyomial. [3] Golub, G. H. & Va Loa, C. F Mari Compuaio, Balimore, Jo Hopki Uiveriy Pre. [4] Herici, P Eleme of umerical Aalyi, ew York:Jo Wiley. [5] Kalma, D A Mari Proof of ewo Ideiie. ISB ITS 2-45

5 Semiar aioal Pacaarjaa VI 26, Surabaya [6] Palioura, J.D Comple Variable For Sciei Ad Eieer. [7] Pa, V.Y O Approimai polyomial Zero: Modified Quadree (Weyl Corucio ad Improved ewo Ieraio. Reearc repor 2894, IRIA, Sopia-Aipoli, Frace. [8] Pa, V.Y Solvi A Polyomial Equaio: Some Hiory Ad Rece Prore. SIAM Rev.Vol.39. [9] Tura, P O A ew Meod of Aalyi ad I Applicaio, ew Jerey, Willey ad So ISB ITS

dokumen-dokumen yang mirip

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas dasar-dasar teori yang akan digunakan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas dasar-dasar teori yang akan digunakan BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibaa daar-daar teori yag aka diguaka dalam peulia kripi ii, yaitu megeai metode peakira maximum likeliood, metode peakira oit maximum likeliood da fier iformatio..1