PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN

Transkripsi

1 PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pelabelan Total Sisi- Ajaib pada Graf Petersen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 04 Ikhwan Al Amin NIM G540005

4 ABSTRAK IKHWAN AL AMIN. Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan TEDUH WULANDARI MAS OED. Suatu pelabelan total pada graf G dengan banyaknya simpul v dan banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan V(G) E(G) ke himpunan bilangan bulat positif {,,..., v + e}. Penjumlahan label sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi tersebut disebut sebagai bobot sisi. Jika graf G memiliki bobot sisi yang sama, maka pelabelan ini disebut pelabelan total sisiajaib. Karya ilmiah ini membuktikan dua buah teorema pelabelan total sisi-ajaib pada graf umum Petersen. Kata kunci: graf Petersen, pelabelan total, pelabelan total sisi-ajaib. ABSTRACT IKHWAN AL AMIN. Edge-Magic Total Labeling on Petersen Graph. Supervised by MUHAMMAD ILYAS and TEDUH WULANDARI MAS OED. A total labeling on a graph G with v vertices and e edges is a one-to-one function from V(G) E(G) onto the set of positive integers {,,..., v + e}. The sum of the label on an edge and the labels of its endpoints is called edge-weights. If graph G has constant edge-weights, then the labeling is called edge-magic total labeling. In this manuscript, two theorems of edge-magic total labeling on generalized Petersen graphs are discussed. Keywords: edge-magic total labeling, Petersen graph, total labeling.

5 PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04

6

7 Judul Skripsi : Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen Nama : Ikhwan Al Amin NIM : G Disetujui oleh Muhammad Ilyas, MSi MSc Pembimbing I Teduh Wulandari Mas oed, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas rahmat dan karunia-nya sehingga penelitian ini dapat diselesaikan. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhammad Ilyas dan Ibu Teduh Wulandari Mas oed atas segala bimbingannya hingga akhir penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada saudara Rahmat Chairulloh yang selalu memberikan semangat pada penulis juga atas masukan dan kritikannya pada karya ilmiah ini hingga akhirnya dapat selesai dengan cepat dan baik. Selain itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu memudahkan penulisan karya ilmiah ini, khususnya seluruh teman di Departemen Matematika Angkatan 47. Topik yang dipilih dalam penelitian ini adalah pelabelan graf dan karya ilmiah ini berjudul Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Petersen. Kendala yang dihadapi dalam membuat karya ilmiah ini adalah perlunya memahami lebih dahulu materi graf Petersen dan pelabelan graf ajaib secara umum sehingga mendapat gambaran tentang topik yang diambil. Juga dibutuhkan banyak percobaan dan ketelitian agar tidak salah dalam melabelkan graf yang sudah dibuat. Namun dengan kerja keras, akhirnya karya ilmiah ini dapat diselesaikan sebagaimana yang ada di hadapan Anda. Tak ada gading yang tak retak, begitu pula dengan karya ilmiah ini. Karena itu, kritik dan saran Anda akan sangat bermanfaat bagi penulis. Semoga karya ilmiah ini menambah kekayaan khasanah ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, September 04 Ikhwan Al Amin

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vii DAFTAR LAMPIRAN vii PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan LANDASAN TEORI Teori Graf Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 7 Teorema 7 Teorema 4 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA RIWAYAT HIDUP 33

10 DAFTAR GAMBAR Graf G (V, E) Cycle dengan 3 simpul 3 3 Graf teratur berderajat Graf Petersen P(3, ) 4 5 Pelabelan pada graf Petersen P(3, ) 6 6 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf petersen P(3, ) 7 7 Graf Petersen P(5, ) 8 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k 9 9 Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k Graf Petersen P(7, ) 3 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k 40 4 Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k 54 0 DAFTAR LAMPIRAN Pola graf Petersen P(5, ) pada Teorema 3 Pola graf Petersen P(7, ) pada Teorema 5 3 Pola graf Petersen P(5, ) pada Teorema 8 4 Pola graf Petersen P(7, ) pada Teorema 30

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 736 memperkenalkan salah satu cabang ilmu matematika yang disebut Teori Graf. Ketika itu Euler memperkenalkan teori tersebut untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg yang merupakan salah satu masalah transportasi yang terjadi di kota Kaliningrad, Rusia. Ia memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari simpul dan sisi. Contoh graf yang sangat populer saat ini adalah graf Petersen. Salah satu penerapan graf Petersen di antaranya dalam masalah pewarnaan gambar peta, dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan dibuat berlainan sehingga mudah untuk dibedakan. Mengikuti perkembangan zaman, teori graf terus dikembangkan dan memiliki banyak terapan, di antaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer, penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam teori graf adalah bagaimana menandai suatu simpul dan sisi, sedemikian sehingga setiap simpul dan sisi yang saling terhubung memiliki tanda yang berbeda. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menandai suatu simpul/sisi, salah satunya adalah metode pelabelan. Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap unsur himpunan simpul dan setiap unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang disebut label (Gallian 009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan simpul dan sisi. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah dikembangkan, di antaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Pelabelan ajaib pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya adalah suatu bilangan konstan atau disebut konstanta ajaib. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan teorema-teorema untuk memperoleh pelabelan ajaib pada graf Petersen. Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul On Magic and Antimagic Total Labeling of Generalized Petersen Graph yang ditulis Anak Agung Gede Ngurah dan Edy Tri Baskoro pada tahun 003. Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teoremateorema untuk memperoleh pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, ) dengan n bilangan ganjil.

12 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori Graf Definisi (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G (V, E). Elemen V disebut simpul sedangkan elemen E disebut sisi. Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G) (Foulds 99). Graf yang dimaksud definisi di atas disebut graf tak berarah. Contoh graf dapat dilihat pada Gambar berikut ini c e a a d b f Gambar. Graf G (V, E) g Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar adalah V(G) {a, b, c, d, e, f, g} E(G) {{ab}, {bc}, {bd}, {cd}, {ce}, {de}, {df}, {ef}, {eg}, {fg}}. Definisi (Order dan Size) Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan V(G) dan size dari graf G dinotasikan dengan E(G) (Chartrand & Oellermann 993). Pada Gambar, V(G) 7 dan E(G) 0. Definisi 3 (Incident dan Adjacent) Misalkan diberikan graf G. Jika e {uv} E(G) dengan u, v V(G) maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v (Chartrand & Oellermann 993). Pada Gambar, misalkan e {ab} E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan a dan b.

13 3 Definisi 4 (Derajat) Derajat dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v) (Chartrand & Oellermann 993). Pada Gambar, derajat setiap simpulnya ialah deg(a), deg(b) 3, deg(c) 3, deg(d) 4, deg(e) 3, deg( f ) 3, dan deg(g). Definisi 5 (Walk) Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G dengan bentuk {v, {v v }, v, {v v 3 }, v 3,, {v n- v n }, v n } dan dapat dituliskan sebagai {v, v,, v n } atau v, v,, v n. Suatu walk yang menghubungkan v dengan v n dikatakan tertutup jika v v n. Jika v v n maka walk tersebut dikatakan terbuka (Foulds 99). Pada Gambar, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, {ab}, b} dan walk tertutup yaitu {b, {bc}, c, {ce}, e, {eg}, g, {gf}, f, {fd}, d, {db}, b}. Definisi 6 (Cycle) Cycle pada suatu graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul berbeda (Foulds 99). Pada Gambar sebelumnya, terdapat cycle pada graf G yang terdiri atas tiga simpul, yaitu e f g Gambar. Cycle dengan 3 simpul Definisi 7 (Graf Teratur) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut Graf Teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai Graf Teratur Berderajat r (Chartrand dan Oellermann 993). Pada Gambar 3, terdapat graf teratur dengan derajat setiap simpul adalah 3 atau disebut graf teratur berderajat 3. q s p r Gambar 3. Graf teratur berderajat 3

14 4 Definisi 8 (Graf Petersen) Graf G disebut graf Petersen, dinotasikan P(n, m), n 3, m < n, jika graf G tersebut merupakan graf teratur berderajat 3 (3-regular graphs) dengan n simpul dan 3n sisi serta himpunan simpul dan sisi adalah V(G) {u, u,, u n, v, v,, v n }, E(G) {{u i u i+ }, {v i v i+m }, {u i v i }}, i {,,, n} dan ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari n maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan n (Ngurah dan Baskoro 003). Contoh graf Petersen dapat dilihat pada gambar di bawah ini. u v v v 3 u u 3 Gambar 4. Graf Petersen P(3, ) Himpunan simpul dan himpunan sisi graf Petersen P(3, ) pada Gambar 4 adalah V(G) {u, u, u 3, v, v, v 3 } E(G) {{u u },{u u 3 }, {u 3 u }, {v v }, {v v 3 }, {v 3 v }, {u v }, {u v }, {u 3 v 3 }}. Berikut dijelaskan bagaimana cara membuat graf Petersen P(3, ) di atas berdasarkan definisi graf Petersen. Berdasarkan definisi, graf Petersen P(3, ) memiliki nilai n 3 dan m. Pada bagian simpul terdapat 6 simpul dengan 3 simpul pertama pada bagian luar yaitu u, u, dan u 3 serta 3 simpul kedua pada bagian dalam yaitu v, v, dan v 3 sehingga diperoleh himpunan simpul dari graf Petersen P(3, ) sebagai berikut, V [P(3, )] { u, u, u 3, v, v, v 3 }. Kemudian pada bagian sisi dari graf Petersen P(3,) terdapat 9 sisi. Tiga sisi pertama pada bagian luar menghubungkan setiap simpul u dari graf Petersen P(3, ) dengan himpunan sisi E [P(3, )] { u u i+ } untuk setiap i {,, 3}. Berikut penjelasan tiga himpunan sisi pertama E [P(3,)] dari graf Petersen P(3, ). Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+ bernilai, sehingga diperoleh sisi yaitu { u u }. Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+ bernilai 3, sehingga diperoleh sisi yaitu { u u 3 }.

15 5 Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 3, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+ bernilai 4. Karena indeks i+ > 3, maka nilai i+ dimodulo-kan 3, yaitu 4 mod 3. Sehingga indeks i+ setelah di-modulokan bernilai. Akibatnya diperoleh sisi yaitu { u 3 u } bukan { u 3 u 4 }. Himpunan sisi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut, E [P(3, )] {{ u u }, { u u 3 }, { u 3 u }}. Dengan cara yang sama dapat kita peroleh tiga sisi kedua pada bagian dalam sebagai berikut, E [P(3, )] {{ v v }, { v v 3 }, { v 3 v }}. Dan terakhir, tiga sisi ketiga yang menghubungkan setiap simpul u pada bagian luar tepat satu dengan simpul v pada bagian dalam dari graf Petersen P(3, ) dengan himpunan sisi sebagai berikut, E [P(3, )] {{ u v }, { u v }, { u 3 v 3 }}. Akibatnya diperoleh himpunan sisi secara keseluruhan dari graf Petersen P(3, ) sebagai berikut, E [P(3, )] {{ u u }, { u u 3 }, { u 3 u }, { v v }, { v v 3 }, { v 3 v }, { u v }, { u v }, { u 3 v 3 }}. Pelabelan Graf Definisi 9 (Pelabelan Total) Suatu pelabelan pada graf G(V, E) dengan banyaknya simpul v dan banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan V (G) E(G) ke himpunan bilangan bulat positif {,,..., v + e}. Pelabelan ini disebut pelabelan total (Ngurah dan Baskoro 003). Definisi 0 (Pelabelan Ajaib) Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E serta penjumlahan label sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut sebagai bobot sisi. Graf G disebut pelabelan ajaib jika memiliki bobot sisi yang sama untuk setiap sisi di G sedangkan graf G disebut anti-ajaib jika memiliki bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi di G (Rahman et al. 03). Definisi (Pelabelan Total Sisi-Ajaib) Misalkan G graf dengan ǀV(G)ǀ v dan ǀE(G)ǀ e. Maka pelabelan total sisi-ajaib pada graf G adalah suatu fungsi bijektif λ: V G E G {,,3,, v + e} sedemikian hingga untuk suatu konstanta k berlaku λ x + λ xy + λ y k

16 6 untuk setiap sisi xy E(G) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu x, y V(G). Jika pelabelan dapat dikenakan pada G, maka k disebut konstanta ajaib dari f dan G disebut graf total sisi-ajaib atau dikatakan mempunyai pelabelan total sisi-ajaib (Ngurah dan Baskoro 003). Berikut ini diberikan contoh pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf. Misalkan diberikan graf Petersen P(3, ) seperti pada Gambar 5. Banyaknya simpul ialah 6 dan banyaknya sisi ialah 9, dengan λ(v E) {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5}. u e 4 e e 7 v e 9 e 3 v v e 3 5 e 6 e 8 u e u 3 Gambar 5. Pelabelan pada graf Petersen P(3, ) Misalkan simpul-simpul pada graf Petersen P(3, ) diberi pelabelan λ(u ) 6 λ(v ) λ(u ) 4 λ(v ) λ(u 3 ) 5 λ(v 3 ) 3. Kemudian diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf Petersen P(3, ), misalnya λ(u u ) λ(e ) 8 λ(u v ) λ(e 4 ) λ(v v ) λ(e 7 ) 5 λ(u u 3 ) λ(e ) 9 λ(u v ) λ(e 5 ) λ(v v 3 ) λ(e 8 ) 3 λ(u 3 u ) λ(e 3 ) 7 λ(u 3 v 3 ) λ(e 6 ) 0 λ(v 3 v ) λ(e 9 ) 4. maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya : λ(u ) + λ(e ) + λ(u ) λ(u ) + λ(e ) + λ(u 3 ) λ(u 3 ) + λ(e 3 ) + λ(u ) λ(u ) + λ(e 4 ) + λ(v ) λ(u ) + λ(e 5 ) + λ(v ) λ(u 3 ) + λ(e 6 ) + λ(v 3 ) λ(v ) + λ(e 7 ) + λ(v ) λ(v ) + λ(e 8 ) + λ(v 3 ) λ(v 3 ) + λ(e 9 ) + λ(v )

17 7 Dari semua penjumlahan label di atas terlihat bahwa pelabelan tersebut menghasilkan satu nilai saja atau disebut konstanta ajaib yaitu k 8. Pelabelan tersebut digambarkan seperti pada Gambar Gambar 6. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf petersen P(3, ) Definisi (Pelabelan Dual) Diberikan sebuah pelabelan total sisi-ajaib λ untuk graf G dengan ǀV(G)ǀ v dan ǀE(G)ǀ e. Untuk setiap pelabelan ajaib λ terdapat pelabelan ajaib λ atau disebut pelabelan dual didefinisikan sebagai berikut. dan λ x v + e + λ(x), untuk setiap simpul x V(G) λ xy v + e + λ(xy), untuk setiap sisi xy E(G). Pelabelan dual λ memiliki konstanta ajaib k 3 v + e + k, dengan k adalah konstanta ajaib dari λ (Wallis et al. 000). PEMBAHASAN Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana mencari pola pelabelan ajaib sehingga diperoleh definisi formula (rumus) khusus untuk memperoleh konstanta ajaib k sehingga diperoleh pola pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, ). Kajian pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, ) akan disajikan dalam bentuk teorema berikut beserta contoh gambar pola pelabelannya. Teorema Jika n ganjil, n 3, maka graf umum Petersen P(n, ) memiliki sebuah pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k (n + 3).

18 8 Bukti : Misalkan P(n, ) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib karena V [P(n, )] n dan E [P(n, )] 3n sehingga λ : V [P(n, )] E [P(n, )] {,,, 5n}, maka v + e 5n. Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n, ) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, dengan λ didefinisikan sebagai pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n, ). Berikut diberikan definisi formula pelabelan λ. λ u i λ v i n 4n i +, i ganjil 3n i +, i genap n i, i ganjil, i n, i n n i, i genap λ u i u i+ n + i + n +, i n, i n λ v i v i+ 4n +, i n 4n +, i n 4n + + i, lainnya λ u i v i 3n + i + 3n +, i n, i n. Berdasarkan definisi pelabelan total sisi-ajaib, akan ada k yang memenuhi λ x + λ xy + λ y k untuk setiap sisi xy E(G) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu x, y V(G). Atau dapat ditulis λ u i + λ u i u i+ + λ u i+ λ v i + λ v i v i+ + λ v i+ λ u i + λ u i v i + λ v i k.

19 9 Dari formula λ akan didapatkan konstanta ajaib k dari tiga kasus berikut. ) Kasus Misalkan konstanta ajaib adalah k sehingga akan memenuhi k λ u i + λ u i u i+ + λ u i+ k 4n i + + n + i + + 3n i, i ganjil, i n 3n + + n + + 4n, i n 3n i + + n + i + + 4n i, i genap (n + 3), i ganjil, i n (n + 3), i n n + 3, i genap. ) Kasus Misalkan konstanta ajaib adalah k sehingga akan memenuhi k λ v i + λ v i v i+ + λ v i+ k n i + 4n + + i + n i, i ganjil, i n n + 4n + + n, i n n n + + 4n + + n, i n n i + 4n + + i + (n + 3), i ganjil, i n n + 3, i n (n + 3), i n n + 3, i genap, i n. n i, i genap, i n 3) Kasus 3 Misalkan konstanta ajaib adalah k 3 sehingga akan memenuhi k 3 λ u i + λ u i v i + λ v i k 3 4n i + + 3n + i + + n i, i ganjil, i n 3n + + 3n + + n, i n 3n i + + 3n + i + + n i, i genap

20 0 (n + 3), i ganjil, i n (n + 3), i n n + 3, i genap. Dari perhitungan di atas didapatkan k k k k 3 n + 3. Atau dapat ditulis λ u i + λ u i u i+ + λ u i+ λ v i + λ v i v i+ + λ v i+ λ u i + λ u i v i + λ v i n + 3. Terbukti Menurut pelabelan dual, untuk setiap pelabelan ajaib λ terdapat pelabelan ajaib λ didefinisikan sebagai berikut. dan λ x v + e + λ(x), untuk setiap simpul x V(G) λ xy v + e + λ(xy), untuk setiap sisi xy E(G). Pelabelan dual λ memiliki konstanta ajaib k 3 v + e + k, dimana k adalah konstanta ajaib dari λ. Graf Petersen P(n, ) memiliki n simpul dan 3n sisi atau dapat ditulis V [P(n, )] n dan E [P(n, )] 3n, maka v + e 5n. Sehingga dari definisi formula pelabelan λ, akan kita peroleh λ u i 5n + λ(u i ) 5n + 5n + 4n i +, i ganjil 3n i +, i genap 6n + i +, i ganjil 7n + i +, i genap λ v i 5n + λ(v i ) 5n + n i, i ganjil, i n 5n + n, i n 5n + n i, i genap

21 λ u i u i+ 9n + i +, i ganjil, i n 4n +, i n 8n + i +, i genap 5n + λ u i u i+ 5n + (n + i + ) 5n + (n + ), i n, i n 3n i 3n, i n, i n λ v i v i+ 5n + λ v i v i+ 5n + (4n + ), i n 5n + (4n + ), i n 5n + (4n + + i), lainnya n, i n n, i n n i, lainnya λ u i v i 5n + λ u i v i 5n + (3n + i + ) 5n + (3n + ), i n, i n n i n, i n, i n. Diketahui λ memiliki konstanta ajaib k, maka λ memiliki konstanta ajaib k 3 5n + n + 3 5n + 3 n + 3 9n + 3. Selanjutnya akan diberikan dua contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, ) berdasarkan Teorema dengan nilai n 5 dan n 7 berikut dengan pelabelan dualnya. Graf Petersen P(5, ) Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, ) pada graf P(5, ) dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

22 u e e 6 e 5 v u e 7 v e e 5 v 5 e 0 u 5 e e e 4 e 3 v 3 v 4 e 8 e 9 3 e 4 e 3 u 3 u 4 Gambar 7. Graf Petersen P(5, ) Dari cara pelabelan λ pada Lampiran diperoleh sebuah konstanta ajaib k 9, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 8. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k 9 Dari cara pelabelan λ pada Lampiran diperoleh sebuah konstanta ajaib k 49, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut.

23 Graf Petersen P(7, ) 7 0 Gambar 9. Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k 49 Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, ) pada graf P(7, ) dapat dilihat pada gambar di bawah ini. u 3 u e e 3 e 9 e 0 v 3 e v e 6 e 8 e 5 u v e 7 e8 e 9 e 7 v 4 v 5 e 4 e v 7 e 0 e 3 v 6 e e e 5 u 7 e 6 u 6 u 4 u 5 Dari cara pelabelan λ pada Lampiran diperoleh konstanta ajaib k 40 dari graf Petersen P(7, ), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut. e 4 Gambar 0. Graf Petersen P(7, )

24 4 Gambar. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k 40 Dari cara pelabelan λ pada Lampiran diperoleh konstanta ajaib k 68 dari graf Petersen P(7, ), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut Gambar. Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k 68 Teorema Jika n ganjil, n 3, maka graf umum Petersen P(n, ) memiliki sebuah pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k (5n + 3). Bukti : Misalkan P(n, ) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib karena V [P(n, )] n dan E [P(n, )] 3n sehingga λ : V [P(n, )] E [P(n, )] {,,, 5n}, maka v + e 5n.

25 5 Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n, ) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, dengan λ didefinisikan sebagai pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n, ). Berikut diberikan definisi formula pelabelan λ. λ u i n + i +, i ganjil 3n + i +, i genap λ v i 7n + i +, i ganjil, i n 3n +, i n 6n + i +, i genap λ u i u i+ 5n i 5n, i n, i n λ v i v i+ n, i n n, i n n i, lainnya λ u i v i 3n i 3n, i n, i n. Berdasarkan definisi pelabelan total sisi-ajaib, akan ada k yang memenuhi λ x + λ xy + λ y k untuk setiap sisi xy E(G) yang incident dengan dua simpul ujungnya yaitu x, y V(G). Atau dapat ditulis λ u i + λ u i u i+ + λ u i+ λ v i + λ v i v i+ + λ v i+ λ u i + λ u i v i + λ v i k. Dari formula λ didapatkan konstanta ajaib k dari tiga kasus berikut. ) Kasus Misalkan konstanta ajaib adalah k sehingga akan memenuhi k λ u i + λ u i u i+ + λ u i+

26 6 n + i + + 5n i + 3n + i +, i ganjil, i n 3n + + 5n + n +, i n 3n + i + + 5n i + n + i +, i genap (5n + 3), i ganjil, i n (5n + 3), i n 5n + 3, i genap. ) Kasus Misalkan konstanta ajaib adalah k sehingga akan memenuhi k λ v i + λ v i v i+ + λ v i+ 7n + i + + n i + 6n + i + 3, i ganjil, i n 3n + + n + 7n + 3, i n 7n + + n + 3n +, i n 6n + i + + n i + (5n + 3), i ganjil, i n 5n + 3, i n (5n + 3), i n 5n + 3, i genap, i n. 7n + i + 3, i genap, i n 3) Kasus 3 Misalkan konstanta ajaib adalah k 3 sehingga akan memenuhi k 3 λ u i + λ u i v i + λ v i n + i + + 3n i + 7n + i +, i ganjil, i n 3n + + 3n + 3n +, i n 3n + i + + 3n i + (5n + 3), i ganjil, i n (5n + 3), i n 5n + 3, i genap. 6n + i +, i genap

27 7 Dari perhitungan di atas didapatkan k k k k 3 5n + 3. Atau dapat ditulis λ u i + λ u i u i+ + λ u i+ λ v i + λ v i v i+ + λ v i+ λ u i + λ u i v i + λ v i 5n + 3. Terbukti Menurut pelabelan dual, untuk setiap pelabelan ajaib λ terdapat pelabelan ajaib λ didefinisikan sebagai berikut. dan λ x v + e + λ(x), untuk setiap simpul x V(G) λ xy v + e + λ(xy), untuk setiap sisi xy E(G). Pelabelan dual λ memiliki konstanta ajaib k 3 v + e + k, dimana k adalah konstanta ajaib dari λ. Graf Petersen P(n, ) memiliki n simpul dan 3n sisi atau dapat ditulis V [P(n, )] n dan E [P(n, )] 3n, maka v + e 5n. Sehingga dari definisi formula pelabelan λ, akan kita peroleh λ u i 5n + λ(u i ) 5n + 5n + n + i +, i ganjil 3n + i +, i genap 8n i +, i ganjil 7n i +, i genap λ v i 5n + λ(v i ) 5n + 7n + i +, i ganjil, i n 5n + (3n + ), i n 5n + 6n + i +, i genap n 3n i, i ganjil, i n, i n 4n i, i genap

28 8 λ u i u i+ 5n + λ u i u i+ 5n + (5n i) 5n + (5n) + i, i n, i n, i n, i n λ v i v i+ 5n + λ v i v i+ 5n + (n ), i n 5n + n, i n 5n + (n i), lainnya 4n +, i n 4n +, i n 4n + i, lainnya λ u i v i 5n + λ u i v i 5n + (3n i) 5n + 3n, i n, i n n + + i n +, i n, i n. Diketahui λ memiliki konstanta ajaib k, maka λ memiliki konstanta ajaib k 3 v + e + k 3 5n + 5n + 3 5n + 3. Karena k k, akibatnya Teorema hanya memiliki self-dual atau pelabelan dual terhadap diri sendiri. Selanjutnya akan diberikan dua contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(n, ) berdasarkan Teorema dengan nilai n 5 dan n 7 berikut dengan pelabelan dualnya. Graf Petersen P(5, ) Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, ) dengan definisi dan konstanta ajaib yang berbeda dengan Teorema pada graf P(5, ) terdapat pada Gambar 3.

29 9 Dari cara pelabelan λ pada Lampiran 3 diperoleh sebuah konstanta ajaib k 39, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 3. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k 39 Dari cara pelabelan λ pada Lampiran 3 diperoleh sebuah konstanta ajaib k 39, sehingga pelabelan graf Petersen P(5, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 4. Pelabelan dual pada graf Petersen P(5, ) dengan konstanta ajaib k 39

30 0 Graf Petersen P(7, ) Contoh pelabelan total sisi-ajaib dari graf Petersen P(n, ) dengan definisi dan konstanta ajaib yang berbeda dengan Teorema pada graf P(7, ) terdapat pada gambar 5. Dari cara pelabelan λ pada Lampiran 4 diperoleh konstanta ajaib k 54 dari graf Petersen P(7, ), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 5. Pelabelan total sisi-ajaib pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k 54 Dari cara pelabelan λ pada Lampiran 4 diperoleh konstanta ajaib k 54 dari graf Petersen P(7, ), sehingga pelabelan graf Petersen P(7, ) dari pelabelan λ dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 6. Pelabelan dual pada graf Petersen P(7, ) dengan konstanta ajaib k 54

31 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Karya ilmiah ini telah membuktikan bahwa graf Petersen P(n, m) dengan n ganjil dan n 3 dengan nilai m memiliki pelabelan total sisi-ajaib dengan konstanta ajaib k n + 3 atau k 5n + 3. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan definisi pelabelan simpul dan sisi, yaitu λ dan λ sehingga dapat diperoleh himpunan bobot sisi yang sama bernilai k. Selain itu juga dilakukan pembuktian dengan pelabelan dual λ dengan konstanta ajaib k sehingga diperoleh komplementer dari pelabelan sebelumnya dengan k (9n + 3). Kemudian dilakukan pelabelan dual dari λ yang merupakan self-dual atau pelabelan dual terhadap diri sendiri karena konstanta ajaib dari λ yaitu k k. Saran Sebagian besar karya ilmiah sudah banyak membahas graf ajaib, sedangkan peminat untuk graf anti-ajaib sedikit kurang. Masih banyak topik yang bisa digali berkaitan dengan graf anti-ajaib. Selain itu, untuk pelabelan ajaib, dapat dikembangkan pula beberapa variasi nilai n dan m pada graf Petersen, misalkan nilai n genap atau m.

32 DAFTAR PUSTAKA Chartrand G, Oellermann OR Applied and Algorithmic Graph Theory. New York (US): McGraw-Hill. Foulds LR. 99. Graph Theory Applications. New York (US): Spinger-Verlag. Gallian JA A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal Combinatorics. 6: Kovar P Magic labeling of regular graphs. AKCE J Graphs Combin. 4:6-75. Ngurah AAG, Baskoro ET On magic and antimagic total labeling of generalized petersen graph. Utilitas Math. 63: Rahman A, Narwen, Baqi AI. 0. Pelabelan Total (a, d)-sisi Anti Ajaib pada Graf Petersen P(n, ), untuk n Ganjil, n 3. Padang (ID): Universitas Andalas Limau Manis. Wallis WD, Baskoro ET, Miller M, dan Slamin Edge magic total labelings. Austral J Combin. :

33 3 Lampiran Pola graf Petersen P(5, ) pada Teorema Banyaknya simpul ialah 0 dan banyaknya sisi ialah 5, dengan λ VUE {,, 3,, 4, 5} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P 5, ] {u, u,, u 5, v, v,, v 5 } E[P 5, ] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,, 3, 4, 5} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(5, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) 0 λ (v ) λ (u ) 7 λ (v ) 4 λ (u 3 ) 9 λ (v 3 ) λ (u 4 ) 6 λ (v 4 ) 3 λ (u 5 ) 8 λ (v 5 ) 5 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) λ (u v ) λ (e 6 ) 7 λ (v v ) λ (e ) 3 λ (u u 3 ) λ (e ) 3 λ (u v ) λ (e 7 ) 8 λ (v v 3 ) λ (e ) 4 λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) 4 λ (u 3 v 3 ) λ (e 8 ) 9 λ (v 3 v 4 ) λ (e 3 ) 5 λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) 5 λ (u 4 v 4 ) λ (e 9 ) 0 λ (v 4 v 5 ) λ (e 4 ) λ (u 5 u ) λ (e 5 ) λ (u 5 v 5 ) λ (e 0 ) 6 λ (v 5 v 6 ) λ (e 5 ) sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya sebagai berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e 6 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 7 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 8 ) + λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e 9 ) + λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e 0 ) + λ (v 5 ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 3 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 4 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 5 ) + λ (v )

34 4 Kemudian dengan menggunakan pelabelan λ akan diperoleh pelabelan dual λ dari graf P(5, ) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 0 dan banyaknya sisi ialah 5, dengan λ VUE {,, 3,, 4, 5} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P 5, ] {u, u,, u 5, v, v,, v 5 } E[P 5, ] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,, 3, 4, 5} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(5, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) 6 λ (v ) 4 λ (u ) 9 λ (v ) λ (u 3 ) 7 λ (v 3 ) 5 λ (u 4 ) 0 λ (v 4 ) 3 λ (u 5 ) 8 λ (v 5 ) Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) 4 λ (u v ) λ (e 6 ) 9 λ (v v ) λ (e ) 3 λ (u u 3 ) λ (e ) 3 λ (u v ) λ (e 7 ) 8 λ (v v 3 ) λ (e ) λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) λ (u 3 v 3 ) λ (e 8 ) 7 λ (v 3 v 4 ) λ (e 3 ) λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) λ (u 4 v 4 ) λ (e 9 ) 6 λ (v 4 v 5 ) λ (e 4 ) 5 λ (u 5 u ) λ (e 5 ) 5 λ (u 5 v 5 ) λ (e 0 ) 0 λ (v 5 v 6 ) λ (e 5 ) 4 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya sebagai berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e 6 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 7 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 8 ) + λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e 9 ) + λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e 0 ) + λ (v 5 ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 3 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 4 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 5 ) + λ (v )

35 5 Lampiran Pola graf Petersen P(7, ) pada Teorema Banyaknya simpul ialah 4 dan banyaknya sisi ialah, dengan λ(v E) {,, 3,, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V [P(7, )] {u, u,, u 7, v, v,, v 7 } E [P(7, )] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,,, 7} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(7, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) 4 λ (v ) 3 λ (u ) λ (v ) 7 λ (u 3 ) 8 λ (v 3 ) 4 λ (u 4 ) λ (v 4 ) λ (u 5 ) 9 λ (v 5 ) 5 λ (u 6 ) 3 λ (v 6 ) λ (u 7 ) 0 λ (v 7 ) 6 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) 5 λ (u v ) λ (e 8 ) 3 λ (v v ) λ (e 5 ) 30 λ (u u 3 ) λ (e ) λ (u v ) λ (e 9 ) λ (v v 3 ) λ (e 6 ) 9 λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) 0 λ (u 3 v 3 ) λ (e 0 ) 8 λ (v 3 v 4 ) λ (e 7 ) 35 λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) 9 λ (u 4 v 4 ) λ (e ) 7 λ (v 4 v 5 ) λ (e 8 ) 34 λ (u 5 u 6 ) λ (e 5 ) 8 λ (u 5 v 5 ) λ (e ) 6 λ (v 5 v 6 ) λ (e 9 ) 33 λ (u 6 u 7 ) λ (e 6 ) 7 λ (u 6 v 7 ) λ (e 3 ) 5 λ (v 6 v 7 ) λ (e 0 ) 3 λ (u 7 u ) λ (e 7 ) 6 λ (u 7 v ) λ (e 4 ) 4 λ (v 7 v ) λ (e ) 3 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya seperti berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u 6 ) λ (u 6 ) + λ (e 6 ) + λ (u 7 ) λ (u 7 ) + λ (e 7 ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e 8 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 9 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 0 )+ λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e )+ λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e )+ λ (v 5 ) λ (u 6 ) + λ (e 3 )+ λ (v 6 ) λ (u 7 ) + λ (e 4 )+ λ (v 7 )

36 6 λ (v ) + λ (e 5 ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e 6 ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 7 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 8 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 9 ) + λ (v 6 ) λ (v 6 ) + λ (e 0 ) + λ (v 7 ) λ (v 7 ) + λ (e ) + λ (v ) Kemudian dengan menggunakan pelabelan λ akan diperoleh pelabelan dual λ dari graf P(7, ) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 4 dan banyaknya sisi ialah, dengan λ(v E) {,, 3,, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V [P(7, )] {u, u,, u 7, v, v,, v 7 } E [P(7, )] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }}, i {,,, 7} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(7, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) λ (v ) 33 λ (u ) 5 λ (v ) 9 λ (u 3 ) 8 λ (v 3 ) 3 λ (u 4 ) 4 λ (v 4 ) 35 λ (u 5 ) 7 λ (v 5 ) 3 λ (u 6 ) 3 λ (v 6 ) 34 λ (u 7 ) 6 λ (v 7 ) 30 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) λ (u v ) λ (e 8 ) 3 λ (v v ) λ (e 5 ) 6 λ (u u 3 ) λ (e ) 5 λ (u v ) λ (e 9 ) 4 λ (v v 3 ) λ (e 6 ) 7 λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) 6 λ (u 3 v 3 ) λ (e 0 ) 8 λ (v 3 v 4 ) λ (e 7 ) λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) 7 λ (u 4 v 4 ) λ (e ) 9 λ (v 4 v 5 ) λ (e 8 ) λ (u 5 u 6 ) λ (e 5 ) 8 λ (u 5 v 5 ) λ (e ) 0 λ (v 5 v 6 ) λ (e 9 ) 3 λ (u 6 u 7 ) λ (e 6 ) 9 λ (u 6 v 7 ) λ (e 3 ) λ (v 6 v 7 ) λ (e 0 ) 4 λ (u 7 u ) λ (e 7 ) 0 λ (u 7 v ) λ (e 4 ) λ (v 7 v ) λ (e ) 5 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya seperti berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u 6 ) λ (u 6 ) + λ (e 6 ) + λ (u 7 ) λ (u 7 ) + λ (e 7 ) + λ (u )

37 7 λ (u ) + λ (e 8 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 9 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 0 )+ λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e )+ λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e )+ λ (v 5 ) λ (u 6 ) + λ (e 3 )+ λ (v 6 ) λ (u 7 ) + λ (e 4 )+ λ (v 7 ) λ (v ) + λ (e 5 ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e 6 ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 7 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 8 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 9 ) + λ (v 6 ) λ (v 6 ) + λ (e 0 ) + λ (v 7 ) λ (v 7 ) + λ (e ) + λ (v )

38 8 Lampiran 3 Pola graf Petersen P(5, ) pada Teorema Banyaknya simpul ialah 0 dan banyaknya sisi ialah 5, dengan λ VUE {,, 3,, 4, 5} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P 5, ] {u, u,, u 5, v, v,, v 5 } E[P 5, ] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,, 3, 4, 5} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(5, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) 6 λ (v ) 9 λ (u ) 9 λ (v ) 7 λ (u 3 ) 7 λ (v 3 ) 0 λ (u 4 ) 0 λ (v 4 ) 8 λ (u 5 ) 8 λ (v 5 ) 6 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) 4 λ (u v ) λ (e 6 ) 4 λ (v v ) λ (e ) 3 λ (u u 3 ) λ (e ) 3 λ (u v ) λ (e 7 ) 3 λ (v v 3 ) λ (e ) λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) λ (u 3 v 3 ) λ (e 8 ) λ (v 3 v 4 ) λ (e 3 ) λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) λ (u 4 v 4 ) λ (e 9 ) λ (v 4 v 5 ) λ (e 4 ) 5 λ (u 5 u ) λ (e 5 ) 5 λ (u 5 v 5 ) λ (e 0 ) 5 λ (v 5 v 6 ) λ (e 5 ) 4 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya sebagai berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e 6 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 7 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 8 ) + λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e 9 ) + λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e 0 ) + λ (v 5 ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 3 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 4 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 5 ) + λ (v )

39 9 Kemudian dengan menggunakan pelabelan λ akan diperoleh pelabelan dual λ dari graf P(5, ) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 0 dan banyaknya sisi ialah 5, dengan λ VUE {,, 3,, 4, 5} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P 5, ] {u, u,, u 5, v, v,, v 5 } E[P 5, ] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,, 3, 4, 5} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 5. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(5, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) 0 λ (v ) 7 λ (u ) 7 λ (v ) 9 λ (u 3 ) 9 λ (v 3 ) 6 λ (u 4 ) 6 λ (v 4 ) 8 λ (u 5 ) 8 λ (v 5 ) 0 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) λ (u v ) λ (e 6 ) λ (v v ) λ (e ) 3 λ (u u 3 ) λ (e ) 3 λ (u v ) λ (e 7 ) 3 λ (v v 3 ) λ (e ) 4 λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) 4 λ (u 3 v 3 ) λ (e 8 ) 4 λ (v 3 v 4 ) λ (e 3 ) 5 λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) 5 λ (u 4 v 4 ) λ (e 9 ) 5 λ (v 4 v 5 ) λ (e 4 ) λ (u 5 u ) λ (e 5 ) λ (u 5 v 5 ) λ (e 0 ) λ (v 5 v 6 ) λ (e 5 ) sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya sebagai berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e 6 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 7 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 8 ) + λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e 9 ) + λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e 0 ) + λ (v 5 ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 3 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 4 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 5 ) + λ (v )

40 30 Lampiran 4 Pola graf Petersen P(7, ) pada Teorema Banyaknya simpul ialah 4 dan banyaknya sisi ialah, dengan λ(v E) {,, 3,, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V [P(7, )] {u, u,, u 7, v, v,, v 7 } E [P(7, )] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,,, 7} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7. Dengan menggunakan definisi formula pelabelan λ, maka untuk graf Petersen P(7, ) diperoleh label simpul sebagai berikut. λ (u ) 8 λ (v ) 6 λ (u ) λ (v ) λ (u 3 ) 4 λ (v 3 ) 5 λ (u 4 ) 0 λ (v 4 ) 8 λ (u 5 ) 3 λ (v 5 ) 4 λ (u 6 ) 9 λ (v 6 ) 7 λ (u 7 ) λ (v 7 ) 3 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) 35 λ (u v ) λ (e 8 ) 0 λ (v v ) λ (e 5 ) 6 λ (u u 3 ) λ (e ) 9 λ (u v ) λ (e 9 ) λ (v v 3 ) λ (e 6 ) 7 λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) 30 λ (u 3 v 3 ) λ (e 0 ) 5 λ (v 3 v 4 ) λ (e 7 ) λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) 3 λ (u 4 v 4 ) λ (e ) 6 λ (v 4 v 5 ) λ (e 8 ) λ (u 5 u 6 ) λ (e 5 ) 3 λ (u 5 v 5 ) λ (e ) 7 λ (v 5 v 6 ) λ (e 9 ) 3 λ (u 6 u 7 ) λ (e 6 ) 33 λ (u 6 v 7 ) λ (e 3 ) 8 λ (v 6 v 7 ) λ (e 0 ) 4 λ (u 7 u ) λ (e 7 ) 34 λ (u 7 v ) λ (e 4 ) 9 λ (v 7 v ) λ (e ) 5 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya seperti berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u 6 ) λ (u 6 ) + λ (e 6 ) + λ (u 7 ) λ (u 7 ) + λ (e 7 ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e 8 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 9 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 0 )+ λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e )+ λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e )+ λ (v 5 ) λ (u 6 ) + λ (e 3 )+ λ (v 6 ) λ (u 7 ) + λ (e 4 )+ λ (v 7 )

41 3 λ (v ) + λ (e 5 ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e 6 ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 7 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 8 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 9 ) + λ (v 6 ) λ (v 6 ) + λ (e 0 ) + λ (v 7 ) λ (v 7 ) + λ (e ) + λ (v ) Kemudian dengan menggunakan pelabelan λ akan diperoleh pelabelan dual λ dari graf P(7, ) sebagai berikut. Banyaknya simpul ialah 4 dan banyaknya sisi ialah, dengan λ(v E) {,, 3,, 35} dan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V [P(7, )] {u, u,, u 7, v, v,, v 7 } E [P(7, )] {{u i u i+ }, {u i v i }, {v i v i+m }} i {,,, 7} ketika nilai indeks i+ pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari 7 maka nilai indeks tersebut di-modulo-kan dengan 7. λ (u ) 8 λ (v ) 0 λ (u ) 5 λ (v ) 4 λ (u 3 ) λ (v 3 ) λ (u 4 ) 6 λ (v 4 ) 8 λ (u 5 ) 3 λ (v 5 ) λ (u 6 ) 7 λ (v 6 ) 9 λ (u 7 ) 4 λ (v 7 ) 3 Kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut, λ (u u ) λ (e ) λ (u v ) λ (e 8 ) 6 λ (v v )λ (e 5 ) 30 λ (u u 3 ) λ (e ) 7 λ (u v ) λ (e 9 ) 5 λ (v v 3 )λ (e 6 ) 9 λ (u 3 u 4 ) λ (e 3 ) 6 λ (u 3 v 3 ) λ (e 0 ) λ (v 3 v 4 )λ (e 7 ) 35 λ (u 4 u 5 ) λ (e 4 ) 5 λ (u 4 v 4 ) λ (e ) 0 λ (v 4 v 5 )λ (e 8 ) 34 λ (u 5 u 6 ) λ (e 5 ) 4 λ (u 5 v 5 ) λ (e ) 9 λ (v 5 v 6 )λ (e 9 ) 33 λ (u 6 u 7 ) λ (e 6 ) 3 λ (u 6 v 7 ) λ (e 3 ) 8 λ (v 6 v 7 )λ (e 0 ) 3 λ (u 7 u ) λ (e 7 ) λ (u 7 v ) λ (e 4 ) 7 λ (v 7 v )λ (e ) 3 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap simpul ujungnya seperti berikut. λ (u ) + λ (e ) + λ (u ) λ (u ) + λ (e ) + λ (u 3 ) λ (u 3 ) + λ (e 3 ) + λ (u 4 ) λ (u 4 ) + λ (e 4 ) + λ (u 5 ) λ (u 5 ) + λ (e 5 ) + λ (u 6 ) λ (u 6 ) + λ (e 6 ) + λ (u 7 ) λ (u 7 ) + λ (e 7 ) + λ (u )

42 3 λ (u ) + λ (e 8 ) + λ (v ) λ (u ) + λ (e 9 ) + λ (v ) λ (u 3 ) + λ (e 0 )+ λ (v 3 ) λ (u 4 ) + λ (e )+ λ (v 4 ) λ (u 5 ) + λ (e )+ λ (v 5 ) λ (u 6 ) + λ (e 3 )+ λ (v 6 ) λ (u 7 ) + λ (e 4 )+ λ (v 7 ) λ (v ) + λ (e 5 ) + λ (v ) λ (v ) + λ (e 6 ) + λ (v 3 ) λ (v 3 ) + λ (e 7 ) + λ (v 4 ) λ (v 4 ) + λ (e 8 ) + λ (v 5 ) λ (v 5 ) + λ (e 9 ) + λ (v 6 ) λ (v 6 ) + λ (e 0 ) + λ (v 7 ) λ (v 7 ) + λ (e ) + λ (v )

43 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal Oktober 99 dari pasangan Bapak Nurokhim dan Ibu Yayan Maryani. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Tahun 00 penulis lulus dari SMA Negeri Leuwiliang dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif di berbagai organisasi kemahasiswaan baik intra maupun ekstra kampus. Di antaranya sebagai Ketua Dewan Mushala Asrama C TPB IPB, Ketua Bidang Kaderisasi KAMMI Komisariat IPB, Ketua Community Development Program Pemberdayaan Sumber Daya Manusia Strategis (PPSDMS) Nurul Fikri Regional V Bogor, dan Ketua Angkatan FMIPA IPB 00. Selain itu, penulis aktif dalam berbagai kepanitiaan, di antaranya Ketua Panitia Bakti Sosial Forum Silaturahim Dewan Mushala Asrama TPB IPB, Ketua Panitia Angkatan Spektakuler FMIPA IPB, Ketua Divisi Sponsorship Festival Ilmuwan Muslim Nasional 0, dan Wakil Ketua Musyawarah Tahunan dan Latihan Kepemimpinan Mahasiswa Matematika (MUSTA dan LKMM) Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III. Penulis juga aktif sebagai MC dan moderator serta pengisi pelatihan kepemimpinan di berbagai kegiatan di dalam maupun di luar kampus, serta pernah menjadi staf pengajar matematika di beberapa lembaga bimbingan belajar.