VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE. Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK

Transkripsi

1 VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK Labeling graph merupakan salah satu bidang dalam graph yang berkembang pesat saat ini. Salah satu dari labeling graph adalah vertex antimagic total labeling. Misalkan G adalah graph dengan p vertex dan q edge. Suatu pemetaan bijektif f : V G EG 1,,..., p q disebut (a, d) vertex antimagic total labeling dari (p, q)-graph G jika bobot dari vertex W w u uv a, ad, a d,..., a p 1 d. Dalam hal ini sifat vertex f antimagic total labeling dimiliki oleh graph cycle ganjil C p dengan p > 3. Dalam penelitian ini akan dikembangkan gabungan beberapa graph cycle yang sama dan akan diteliti sejauh mana multicycle mc p dan graph multicomplete bipartite skp1,p memenuhi (a, d) vertex antimagic total labeling. Hasil dari penelitian ini diharapkan akan diperoleh batasan dan pola mcp dan skp1,p agar memenuhi (a, d) vertex antimagic total labeling. Kata Kunci : antimagic, cycle, multicycle, multicomplete bipartite, vertex antimagic total labeling. 1. Pendahuluan Graph merupakan salah satu cabang matematika yang saat ini sangat berkembang pesat. Salah satu bagiannya adalah graph labeling. Dalam hal ini, graph yang dipakai adalah terbatas, sederhana dan tidak berarah. Suatu pelabelan graph membawa himpunan dari vertex atau edge atau keduanya ke himpunan bilangan bulat (biasanya positif atau non negatif). Jenis dari labeling biasanya tergantung pada domainnya, yaitu vertex, edge atau keduanya yang biasa disebut vertex labeling, edge labeling atau total labeling. Dalam penelitian ini domain yang dipakai adalah vertex dan edge, sehingga disebut total labeling. Beberapa penulis memperkenalkan labeling dengan menggeneralisasi ide dari persegi ajaib. Penelitian ini pertama kali dilakukan oleh Kotzig dan Rosa (1970). Vertex magic total labeling pertama kali dikenalkan oleh MacDougal, dkk (00). Vertex magic total labeling didefinisikan sebagai pemetaan bijektif f : V G E G 1,,..., p q dengan konstanta h sedemikian hingga untuk V memenuhi setiap vertex u f u f uv h dengan v semua vertex yang adjacent dengan u dan v V. Konsep tentang antimagic graph diperkenalkan oleh Hartsfield dan Ringel (1990). Mereka menuliskan bahwa suatu antimagic labeling merupakan edge labeling dari suatu graph dengan bilangan bulat 1,,,qsedemikian hingga bobot setiap vertexnya berbeda. Selanjutnya Bodendiek dan Walther (1993) mendefinisikan konsep (a, d) antimagic labeling sebagai suatu edge labeling dengan bobot vertex-vertexnya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d. Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/60

2 Sebagai contoh diberikan ilustrasi pada gambar berikut, yaitu (a, d) vertex antimagic total labeling pada cycle (a) (b) Gambar 1.1 (7, ) vertex antimagic total labeling (a) dan (11, ) vertex antimagic total labeling (b) Dalam makalah ini akan dirumuskan graph yang dibangun dari beberapa graph yang sama sedemikian hingga memenuhi (a, d) VATL. Graph tersebut adalah multicycle (mc p ) dan multicomplete bipartite (sk p1,p ) dan akan diteliti sejauh mana memenuhi (a, d) VATL dari graph tersebut.. Labeling Graph Labeling graph adalah pemetaan bijektif yang memetakan semua elemen dari graph tersebut ke suatu himpunan bilangan yang biasanya bilangan bulat positif. Ada beberapa macam labeling, yaitu labeling yang domainnya himpunan vertex dan biasa disebut vertex labeling, labeling yang domainnya himpunan edge dan biasa disebut edge labeling serta labeling yang domainnya keduanya dan biasa disebut total labeling. Pada penelitian ini akan digunakan total labeling dalam pengkajian masalah. Berikut diberikan beberapa definisi tentang labeling. Definisi.1 Vertex magic total labeling dari (p, q)-graph, G, adalah pemetaan bijektif f : V G E G 1,,..., p q u V G sedemikian hingga untuk setiap berlaku f u f uv h untuk semua v V G yang adjacent dengan u. Bilangan h disebut magic constant. Graph yang memenuhi vertex magic total labeling disebut vertex magic total graph. Jika label dari vertex pada vertex magic total graph adalah bilangan integer yang terkecil yaitu 1,,..., p q maka labelingnya disebut super vertex magic total labeling dan graphnya disebut super vertex magic total graph. Definisi. Super vertex magic total labeling dari (p, q)-graph, G, adalah pemetaan f : V G E G 1,,..., p q sedemikian hingga untuk setiap bijektif u V G berlaku f V G 1,,..., pdan vv G f u f uv h untuk semua yang adjacent dengan u. Bilangan h disebut magic constant. Graph Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/61

3 yang memenuhi super vertex magic total labeling disebut super vertex magic total graph. Jika pada vertex magic total labeling menghasilkan bobot setiap vertex yang tidak sama untuk setiap vertex u dan vertex v merupakan vertex yang adjacent dengan vertex u maka labelingnya disebut vertex antimagic total labeling. Definisi.3 f : V G E G 1,,..., p q disebut vertex Suatu pemetaan bijektif antimagic total labeling dari (p, q)-graph G jika bobot dari vertex f, untuk setiap u V G w u f u f uv dan vv G yang adjacent dengan u semuanya berbeda. Jika bobot-bobot vertex pada vertex antimagic total labeling membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d maka labelingnya disebut (a, d) vertex antimagic total labeling. Definisi.4 f : V G E G 1,,..., pq disebut (a, d) Suatu pemetaan bijektif vertex antimagic total labeling dari (p, q)-graph G jika bobot dari vertexvertexnya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d W w u uv a, ad, a d,..., a p 1 d. f Definisi.5 Jika terdapat pemetaan bijektif f : E Z mempunyai bobot disebut magic labeling pada G. Definisi.6 sedemikian hingga semua vertex w v yang sama maka graph G disebut magic dan pemetaan f Jika terdapat pemetaan bijektif f : E 1,,..., E sedemikian hingga vertex mempunyai bobot w v yang sama maka graph G disebut supermagic dan pemetaan f disebut supermagic labeling pada G. 3. Vertex Antimagic Total Labeling pada Multicycle Graph (mc p Pada bagian ini dibahas mengenai vertex antimagic total labeling pada multicycle graph (mcp. Pertama, akan dibahas mengenai basic counting untuk menentukan batasan suku pertama a dan beda d dari vertex antimagic total labeling pada multicycle graph (mc p. Kedua, akan dibahas mengenai multicycle graph (mc p yang memenuhi vertex antimagic total labeling. v 1,5 v,5 v m,5 v 1,6 v 1,4 v,6 v,4 Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/6 v m,6 v m,4 v 1,p v 1,3 v,3 v,p v m,p v m,3

4 graph ke-1 graph ke- graph ke-m Gambar 3.1 Multicycle Graph (mc p Pada multicycle graph (mc p, setiap cycle memiliki p buah vertex dan p buah edge sehingga multicycle graph memiliki mp buah vertex dan mp buah edge. Jumlah total dari vertex dan edge adalah mp. V mp, E mp, V E mp. Sw adalah jumlah semua bobot vertex, Sv adalah jumlah semua label vertex, dan Se adalah jumlah semua label edge. Bobot vertex pada multicycle graph adalah jumlahan dari label vertex dan dua edge yang insident dengan vertex tersebut. Sv Se Sw SvSe Sea ad a d... a mp1 d mpmp 1 mp mp 1 Se mpa d (3.1) Berikut ini diberikan teorema tentang batas nilai a dan d agar multicycle graph memenuhi (a, d) vertex antimagic total labeling untuk semua m 1 dan p 3. Teorema 3.1 Setiap multicycle graph (mcp) mempunyai (a, d) vertex antimagic total labeling dengan a 6 dan d 6 untuk semua m 1 dan p 3. Bukti : Karena pelabelan dimulai dari angka 1 maka bobot vertex terkecil adalah 6, yaitu jumlahan label satu vertex dan dua edge yang insident dengan vertex tersebut ambil label-labelnya 1,, dan 3 atau a Bobot vertex yang paling besar adalah a mp 1 d mp mp 1 mp. Untuk a = 6 diperoleh 6 mp 1 d 6mp 3 mp 1 d 6 mp 9 6mp 9 d 6 mp 1 Jadi untuk sebarang m 1 dan p 3 diperoleh a 6 dan d 6. Selanjutnya diberikan teorema yang menunjukkan bahwa multicycle graph memenuhi VATL. Teorema 3. Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/63

5 Pada multicycle (mcp) terdapat (mp +, 1) VATL untuk m 1 dan p 3. Bukti : Konstruksi multicycle graph (mc p ) dengan label vertex ke-j dari graph ke-i (xi,j) dengan i 1,,..., m dan j 1,,..., p sebagai berikut : i, j f x p mi j Sedangkan label dari edgenya adalah f xi, jx i, j 1 ip j 1 ; j 1,,..., p 1 dan f x i,1 x i, p p i 1 1 Dari konstruksi pelabelan di atas, berakibat label-label vertexnya semua kecil dan label-label edgenya semua besar. Karena label edge kecil semua, diperoleh Se 1... mp mp mp 1 Untuk d = 1 maka Persamaan (3.1) menjadi mp mp 1 mpmp 1 mp mp 1 mpa 4mp mp 1 a mp 1 a mp Jadi terbukti multicycle graph memnuhi (mp +, 1) VATL untuk m 1 dan p 3. Sebagai ilustrasi dari Teorema 3. diberikan contoh pelabelan untuk beberapa multicycle. Pada Gambar 3. merupakan contoh pelabelan multicycle (0, 1)VATL untuk 3C Gambar 3. (0, 1) VATL untuk 3C 3 4. Vertex Antimagic Total Labeling pada Multicomplete Bipartite Graph sk p 1, p Multicomplete bipartite graph s K p 1, p yang dimaksud dalam hal ini adalah unconnected union dari s buah complete bipartite graph identik. Pembahasan vertex antimagic total labeling pada multicomplete bipartite graph sk p p hanya untuk p 1 p p. 1, Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/64

6 Teorema 4.1 Pada sk p,p mempunyai 3 p s p s p,1 VATL untuk p 3 dengan p genap atau p dan s keduanya ganjil. Bukti : Shiu, dkk (000) telah membuktikan bahwa skp,p mempunyai supermagic labeling dengan p 3 dengan p genap atau p dan s keduanya ganjil. Sedangkan Baca, dkk (003) membuktikan bahwa setiap graph yang mempunyai supermagic labeling maka graph tersebut mempunyai (a, 1) VATL. Akibatnya terbukti bahwa pada skp,p mempunyai 3 p s p s p,1 VATL untuk p 3 dengan p genap atau p dan s keduanya ganjil. Karena skp,p mempunyai supermagic labeling maka label dari semua edgenya kecil semua dan label vertexnya besar semua, sehingga Se 1... p s p sp s 1 dan Sv p s1 p s... s pp 3 4 p s 4 p s ps Untuk d = 1 diperoleh Sv Se V a 1... V 1 d 1 1 psa p s p s ps p s p s ps ps psa p s p s p s ps 3 p s p s p a 3 p s p s p Jadi terbukti bahwa sk p,p mempunyai,1 VATL untuk p 3 dengan p genap atau p dan s keduanya ganjil. 5. Daftar Pustaka Baca, M., dkk, 003, Vertex Antimagic Total Labeling of Graph, Discuss. Math. Graph Theory, 3, Bodendiek, R. dan Walther, G., 1993, Arithmetisch Antimagische Graphen, dalam Wagner, K. dan Bodendiek, R., Graphentheorie III, BI Wiss. Verl., Mannheim. Hartsfield, N. dan Ringel, G., 1990, Pearls in Graph Theory, Academic Press, Boston San Diego New York London. Kotzig, A. dan Rosa, A., 1970, Magic Valuations of Finite Graphs, Canad. Math Bull, 13, Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/65

7 MacDougall, J.A., dkk, 00, Vertex Magic Total Labelings of Graphs, Util. Math, 61, 3 1. Shiu, W.C., dkk, 000, Supermagic Labeling of an s-duplicate of K n,n, Congr. Numer., 146, Wallis, W.D., 001, Magic Graph, Birkhauser. Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 008/66