PELABELAN GRACEFUL DAN FELICITOUS PADA GRAF LINTASASN P n, UNTUK n BILANGAN ASLI SKRIPSI. Oleh: RIZAL ABADI NIM

Transkripsi

1 PELABELAN GRACEFUL DAN FELICITOUS PADA GRAF LINTASASN P n, UNTUK n BILANGAN ASLI SKRIPSI Oleh: RIZAL ABADI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

2 PELABELAN GRACEFUL DAN FELICITOUS PADA GRAF LINTASASN P n, UNTUK n BILANGAN ASLI SKRIPSI Dajukan Kepada : Unverstas Islam Neger Malang untuk Memenuh Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sans (S.S) Oleh : RIZAL ABADI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

3 PELABELAN GRACEFUL DAN FELICITOUS PADA GRAF LINTASAN P n, UNTUK n BILANGAN ASLI SKRIPSI Oleh: RIZAL ABADI NIM Telah Dperksa dan Dsetuju untuk Duj Malang, 04 Agsutus 008 Pembmbng Abdussakr, M.Pd NIP Mengetahu, Ketua Jurusan Matematka Sr Harn, M. S NIP

4 PELABELAN GRACEFUL DAN FELICITOUS PADA GRAF LINTASAN P n, UNTUK n BILANGAN ASLI SKRIPSI Oleh: RIZAL ABADI NIM Telah Dpertahankan d Depan Dewan Penguj Skrps dan Dnyatakan Dterma Sebaga Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sans (S.S) Malang, 06 Jul 008 Susunan Dewan Penguj Tanda Tangan. Penguj Utama Wahyu H. Irawan, M.Pd ( ) NIP Ketua Usman Pagalay, M.S ( ) NIP Anggota Abdussakr, M.Pd ( ) NIP Mengetahu dan Mengesahkan Ketua Jurusan Matematka Sr Harn, M.S NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Yang bertanda tangan d bawah n: Nama : RIZAL ABADI NIM : Jurusan : Matematka Fakultas : Sans dan Teknolog Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skrps yang saya tuls n benarbenar merupakan hasl karya saya sendr dan bukan merupakan pengamblalhan data, tulsan, dan pkran orang lan yang saya aku sebaga hasl tulsan atau pkran saya sendr. Apabla d kemudan har terbukt atau dapat dbuktkan bahwa skrps n hasl jplakan, maka saya berseda menerma sanks atas perbuatan tersebut. Malang, 04 Agustus 008 Rzal Abad NIM

6 M O T T O 3 ΝÍκÅ à Ρr'Î/ Ÿ$Β#ρ É tóムب قو مB Lym ($tβç É tóムöω!$#χî) 3 Sesungguhnya Allah tdak merubah keadaan suatu kaum sehngga mereka merubah keadaan yang ada pada dr mereka sendr (QS. Ar-Ra d: ) Saya Tdak Dapat Memastkan Bahwa Perubahan Akan Memperbak Sesuatu, Tetap Saya Dapat Memastkan Bahwa Untuk Menjad Lebh Bak Sesuatu Harus Berubah (Jose George C. Lctnbeg)

7 PERSEMBAHAN Dengan segala kelapangan dada kupersembahkan karya n untuk orang-orang yang selalu menyayang dan mendo akan serta orang-orang yang ada dalam harku Kupersembahan karya n kepada: kedua orang tua (alm. M. Eksan dan bunda Achyan) yang senantasa selalu mendo akan dalam setap naas dan langkah dalam mengarung hdup dan kehdupan, kakakq Ruspand dan adkq Annayan denganmu saya banyak belajar dan mengert tentang art persaudaraan dan pengorbanan, serta paman dan bbq yang slalu member mtvas dalam menjalan kehdupan.

8 Specal Thanks To:. Allah SWT yang senantasa member hdayah dan rdhoserta kesehatan dalam setap melangkahkan kak tuk mengarung kehdupan serta puj syukur yang tak hentnya saya panjtakan kehadrat-mu waha raja d raja yang menguasa alam jagat raya atas segala anugerah yang engkau berkan... Nab Muhammad SAW sebaga revolusoner duna yang mampu merubah zaman jahlyah menuju zaman yang penuh dengan rahmat dan hdayah yang selalu dlndung oleh allah Para Dosen dan guru yang dengan tabah dan sabar dem perkembangan lmu pengetahuan dan kehdupan yang akan datang.

9 KATA PENGANTAR Alhamdulllah Robbl Alamn, segala puj syukur bag Allah SWT yang Maha Pengash dan Maha Penyayang. Dengan zn-mu, penuls dapat menyelesakan tugas akhr perkulahan (Skrps) n yang berjudul Pelabelan Graceul dan Felctous pada Gra Lntasan P n, untuk n Blangan Asl. Sholawat serta salam semoga tetap tercurahkan lmpahkan kepada revolusoner duna yatu junjungan kta Nab Muhammad SAW, yang telah mengantarkan umat manusa dar zaman jahlyah menuju zaman yang terang benderang yang kaya akan lmu pengetahuan dan hdayah lah. Dalam penulsan skrps n, banyak phak yang telah berjasa dan senantasa memberkan dukungan, bmbngan, arahan serta motvas sehngga skrps n dapat terselesakan. Oleh karena tu penuls memberkan ucapan tarma kash yang dalam kepada:. Pro. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Unverstas Islam Neger (UIN) Malang. Pro. Dr. Sutman Bambang Sumtro Selaku Dekan Fakultas Sans dan Teknolog UIN Malang 3. Sr Harn, M.S selaku Ketua Jurusan Matematka Fakultas Sans dan Teknolog UIN Malang 4. Abdussakr, M.Pd selaku pembmbng yang telah rela meluangkan waktunya dengan tanpa pamrh dem memberkan arahan, motvas, bmbngan, dan masukan sehngga penulsan skrps n dapat tersesakan.

10 5. Ibunda tercnta yang dengan tabah dan sabar membesarkan, membmbng serta khlas dalam membaya dan member motvas serta do a mula dar kecl hngga penulsan skrps n selesa. 6. Seluruh Dosen Matematka Fakultas Sans dan Teknolog UIN Malang 7. Teman-teman Mahasswa Jurusan Matematka angkatan 00/003 UIN Malang Khususnya Ton, Sgt, Layla, H5, Al, Fatma, kok, Hkm, Ucup, Rohman, Fu, dan Krtng yang telah banyak memberkan dukungan dalam peneltan dan penyusunan skrps n 8. Sahabat-sahabat yang selalu member motvas, gagasan dan pemkran serta moral. 9. Semua phak yang secara langsung maupun tdak langsung telah membantu dalam menyelesakan skrps n. Akhrnya, penuls berharap mudah-mudahan skrps n bsa bermanaat dan menambah khazanah dalam pengembangan lmu pengetahuan. Amn. Malang, 04 Agustus 008 Penuls

11 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR...v ABSTRAK...v BAB I : PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Rumusan Masalah Tujuan Peneltan Manaat Peneltan Sstematka Penulsan...5 BAB II : KAJIAN TEORI. Gra Dens Gra Dens Adjacent dan Incdent Dens Derajat...7. Gra terhubung (Connected) Walk Dens Tral Dens Jalan (path) Dens Srkut Dens Gra Terhubung Dens Skel (Cycle) Gra Lntasan Dens Gra Lntasan....4 Pelabelan pada Gra Pelabelan Graceul pelabelan Felctous...

12 BAB III: PEMBAHASAN 3. Pelabelan Graceul pada Gra Lntasan P n, n Blangan Asl Pelabelan Felctous pada Gra Lntasan P n, n Blangan Asl Pelabelan Felctous pada Gra Lntasan P n, n Blangan Asl Ganjl Pelabelan Felctous pada Gra Lntasan P n, n blangan asl Genap...40 BAB IV: PENUTUP 4. Kesmpulan Saran...5 DAFTAR PUSTAKA v

13 DAFTAR GAMBAR No. Gambar Halaman. Gra dan Multgra...7. Gra dengan Derajat Ttk Walk, Tral, dan Path Gra Tergubung Gra Lntasan....6 Gra Graceul....7 Gra Felctous Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Graceul pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P Pelabelan Felctous pada Gra P v

14 ABSTRAK Abad, Rzal Pelabelan Graceul dan Felctous pada Gra Lntasan P n, untuk n Blangan Asl. Skrps, Jurusan Matematka Fakultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger (UIN) Malang. Pembmbng: Abdussakr, M.Pd. Kata Kunc: Pelabelan, Graceul, Felctous, dan Gra Lntasan Pelabelan pada gra G adalah pemberan nla pada setap ttk atau ss atau ttk dan ss pada suatu gra G. Pelabelan graceul adalah ungs njekt yang memetakan V(G) ke {0,,, 3,...q} sehngga seandanya ss xy dber label x y maka label ssnya berbeda. Pelabelan elctous adalah ungs ( ) ( ) njekt memetakan V(G) ke {0,,, 3,...q} sehngga seandnya ss xy dber label ( x) + ( y)( mod q) maka label ssnya berbeda. Dalam skrps n penuls menjelaskan pelabelan graceul dan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl, dengan melabel ttk grap lntasan sehngga menjad pelabelan graceul dan mencar pola pelabelannya sekalgus merumuskan pola pelabelan dan pembuktan secara umum. Berdasarkan hasl pembahasan ddapat pola secara umum sebagamaan berkut:. Untuk pelabelan graceul pada gra lntasan P n, n blangan asl adalah ungs yang memetakan V(G) ke {0,,, 3,... q} dengan rumus sebaga berkut :, ganjl ( v ) n, genap. Untuk pelabelan elctous pada gra lntasan P n, n blagan asl adalah ungs yang memetakan V(G) ke {0,,, 3,... q} dengan rumus sebaga berkut a). Untuk n ganjl adalah, ganjl ( v ) n + +, genap b). Untuk n genap adalah, ganjl ( v ) n, genap Peneltan selanjutnya dapat mengembangkan pelabelan pada gra lannya, msal pelabelan pada gra bunga, gra gear, dan gra roda. v

15 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Matematka lahr, setua dan serng peradaban manusa. Perkembangan awal Matematka ddorong oleh desakan alam kepada manusa untuk bertahan hdup dan upaya mengorgansr kehdupannya. Seseorang gembala prmtve menanda satu ternak yang keluar dar kandang pada pag har dengan satu batu, sampa semua ternaknya keluar semua. Pada sore har tap ternak yang masuk kembal lag dtanda dengan batu yang tad pag, sampa semua ternaknya masuk semua, kalau batu dtangannya ada yang terssa berart ada ternaknya yang hlang. Contoh lan adalah cabang matematka yang terkenal : berhtung. Pada awal perkembangannya cabang Matematka n ddorong okeh cobaan Sunga Nl yang selalu meluap. Manusa Mesr Kuno membuat bendungan dengan mengandalkan perhtungan tentang tngg dan ketebalan bendungan yang bak. (Iswand dan Lskurnat: ). Matematka merupakan salah satu cabang lmu yang mendasar berbaga macam lmu yang lan dan selalu menghadap berbaga macam enomena yang semakn kompleks. Hal n dsebabkan oleh kemajuan lmu pengetahuan dan teknolog, serta matematka merupakan bahasa proses, teor dan aplkas lmu yang memberkan suatu bentuk dan kemanaatan. Perhtungan matematka menjad dasar bag desan lmu teknk, ska, kma maupun dspln lmu yang lannya. Para ahl dar berbaga dspln lmu, menggunakan matematka untuk

16 berbaga keperluan yang berkatan dengan kelmuan mereka. Msalnya para ahl ska menggunakan matematka untuk mengukur kuat arus lstrk, merancang pesawat ruang angkasa, menganalss gerak, mengukur kecepatan, dan lan-lan. (Nurhayat, 007:4). Teor Gra adalah lmu yang berkembang sangat pesat saat n, bahkan dalam perkembangannya dapat dsejajarkan dengan lmu Aljabar yang lebh dahulu berkembang. Keunkan Teor Gra adalah kesederhanaan pokok bahasan yang dpelajarnya, karena dapat dsajkan sebaga ttk (verteks) dan gars (edge). Meskpun pokok bahasan dar topk-topk. Teor Gra sangat sederhana tetap s d dalamnya belumlah tentu sesederhana tu. Kerumtan dem kerumtan masalah - masalah selalu past ada dan bahkan sampa saat n mash ada masalah yang belum terpecahkan. Gra G ( V, E) adalah pasangan yang terdr dar hmpunan tak kosong dan berhngga V yang anggotanya dsebut ttk, dan hmpunan pasangan tak berurut E (boleh kosong) dar unsure-unsur yang berbeda d V yang anggotanya dsebut ss. Pelabelan dar gra G adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur gra ke blangan (umumnya blangan bulat post) yang dsebut label. Pada umumnya doman dar pemetaan n adalah hmpunan ttk (pelabelan ttk), hmpunan ss saja (pelabelan ss), atau hmpunan ttk dan hmpunan ss (sehngga pelabelan n dsebut Pelabelan total). Msal G gra dengan q ss. Pelabelan graceul pada G adalah ungs njekt, yang memetakan V ( G) ke {,,,3,,q} 0 L sehngga, seandanya ss xy dber label

17 3 ( x) ( y) maka label semua ss berbeda. Msal G gra dengan q ss. Pelabelan ellctous pada G adalah ungs njekt yang memetakan V ( G) ke {,,,3,,q} dber label maka label semua ss berbeda. 0 L sehngga, seandanya ss xy ( x) ( y)( Mod q) + Beberapa kajan terdahulu tentang pelabelan graceul telah dbahas pada skrps yang lan sepert pelabelan graceul pada gra super star. Penuls tertark untuk melanjutkan menelt tentang pelabelan graceul dan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asll. Oleh karena tu penuls merumuskan judul skrps n yatu Pelabelan Graceul dan Felctous pada Gra Lntasan P n, untuk n Blangan Asl.. Rumusan Masalah Dar uraan datas punuls merumuskan masalah dadalam skrps n adalah. Bagamana pelabelan graceul pada gra P n, dengan n blangan asl?. Bagamana pelabelan Felctous pada gra P n, dengan n blangan asl?.3 Tujuan Peneltan Berdasarkan rumusan masalah datas, maka tujuan penulsan skrps adalah:

18 4. Menjelaskan cara merumuskan pelabelan graceul pada gra P n, untuk n blangan asl.. Menjelaskan cara merumuskan pelabelan Felctous pada gra P n, untuk n blangan asl..4 Manaat Peneltan Adapun peneltan skrps n bermanaat untuk: Jurusan Matematka Dar hasl pembahasan n dapat dgunakan sebaga tembahan bahan dalam pengembangan lmu pengetahuan pada umumnya dan pada khususnya matematka d kalangan mahasswa jurusan matematka. Penelt Melalu peneltan n dapat menambah penguasaan mater, sebaga pengalaman dalam melakukan peneltan dan menyusun karya lmah dalam bentuk skrps, serta meda untuk mengaplkaskan lmu matematka yang telah banyak dterma dalam lmu pengetahuan. 3 Pengembangan lmu pengetahuan Menambah khasanah dan mempertegas kelmuan matematka dalam peranannya terhadap perkembangan teknolog dan dspln lmu lan..5 Sstematka Peneltan Supaya dalam penulsan n lebh mengarah, mudah dtelaah dan dpaham, maka dgunakan sstematka penulsan yang bak dan benar. Dan pada bab I

19 5 penuls mengkaj tentang pandahuluan yang terdr dar latar belakang, rumusan masalah, tujuan peneltn dan sstematka penulsan Pada bab II membahas mengena tnjauan pustaka yang mengkaj tentang konsep-konsep (teor-teor) yang mendukung bagan dar pembahasan. Konsepkonsep n antara lan membahas tentang gra, gra terhubung dan tak terhubung, dan gra lntasan. Dalam bab III penuls mengkaj tentang pembahasan yang terdr dar bagamana menentukan pola dar pelabelan graceul dan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl dengan menyajkan beberapa contoh sebelumnya, serta teorema dan pembuktannya. Dan untuk bab terakhr yatu bab IV yang membahas mengena kesmpulan dan saran-saran yang dperoleh penuls dalam melakukan karya lmah.

20 6 BAB II KAJIAN TEORI. Gra Dens. Gra G adalah pasangan hmpunan ( V, E) dengan V adalah hmpunan tdak kosong dan berhngga dar obyek-obyek yang dsebut sebaga ttk dan E adalah hmpunan (mungkn kosong) pasangan tak berurutan dar ttk-ttk berbeda d G yang dsebut sebaga ss. Hmpunan ttk d G dnotaskan dengan ( G) V dan hmpunan ss dnotaskan dengan E G. Sedangkan banyaknya unsur d V dsebut order dar G dan dlambangkan ( ) dengan p( G) dan banyaknya unsur d E dsebut ukuran dar G dan dlambangkan dengan q ( G). Jka gra yang dbcarakan hanya gra G, maka order dan ukuran dar G tersebut cukup dtuls dengan p dan q (Chartrand dan Lesnak., 986: 4). Dar uraan d atas, maka suatu gra tdak boleh mempunya ss rangkap dan loop. Ss rangkap dar suatu gra adalah jka dua ttk yang dhubungkan oleh lebh dar satu ss. Sedangkan yang dsebut dengan loop adalah suatu ss yang menghubungkan suatu ttk dengan drnya sendr (Suryanto dalam Ftra, 007: 6). Gra yang mempunya ss rangkap dan loop dsebut multgra.

21 7 Contoh. v u e 3 : G w x G : v v e 3 4 e e v 4 e 5 v e 6 a. Gra b. Multgra Gambar. Gra dan Multgra Dens (Adjacent dan Incdent) Ss e (u,v) dkatakan menghubungkan ttk u ke v. jka e (u,v) adalah ss d G, maka u dan v dsebut terhubung langsung (adjacent), u dan e serta v dan e dsebut terkat langsung (nsdent). Untuk selanjutkan, ss e (u,v) akan dtuls e uv (Chartrand dan Lesnak, 984:4) Dar Gambar. pada G, ttk dan ss e, e, dan e 5 adalah ncdent dengan ttk v, sedangkan ttk v dan v 4 adalah adjacent tetap v dan v 4 tdak adjacent. Dens 3 (Derajat) Derajat suatu ttk v pada sebuah gra G, dtuls dengan Deg G (v) adalah jumlah ss yang terkat langsung (nsdent) pada v. dengan kata lan, jumlah ss yang memuat v sebaga ttk ujung. Ttk v dkatakan genap atau ganjl tergantung dar jumlah deg G (v) genap atau ganjl (Chantrand dan Lesnak, 986:7)

22 8 Contoh. v v 3 v v 5 v 6 v v4 v v3 v4 Gambar. Gra dengan derajat ttk Teorema Jka G dengan (p, q) adalah sebuah gra, dmana V(G) {v, v, v n } p ( ) maka deg v q (Chartrand dan Lesnak, 986:7-8) G Bukt: Setap ss adalah terkat langsung dengan ttk, jka setap derajat ttk djumlahkan, maka setap ss dhtung dua kal. Teorema Pada sebarang gra, jumlah derajat ttk ganjl adalah genap. Bukt: Mssal gra G dengan ukuran q, maka ambl W yang memuat hmpunan ttk ganjl pada gra G serta U yang memuat hmpunan ttk genap d G. Dar teorema maka dperoleh : v v deg Gv deg Gv + deg Gv q ( G ) v W v U Dengan demkan karena v U deg v genap, maka deg v juga genap. G v W G Sehngga W adalah genap.

23 9. Gra Terhubung (Connected Gra) Dens 4 Sebuah jalan (walk) u v d gra G adalah barsan berhngga (tak kosong). W : u u 0, e, u, e,..., un, e, u n v yang berselang selng antara ttk dan ss, yang dmula dar ttk u dan dakhr dengan ttk v, dengan e untuk,, 3,,n adalah ss d G. u dsebut ttk awal, u u 0 Dens 5 Dens 6 Contoh.3 un dkatakan ttk akhr, u,,, u n u dsebut tttk nterval, dan n menyatakan panjang dar W (Chartrand dan Lesnak, 986:6). Jalan u v yang semua ssnya berbeda dsebut tral u v (Chartrand dan Lesnak, 986: 6). Jalan u v yang semua ttk dan ssnya berbeda dsebut lntasan (path) u v. Dengan demkan, semua lntasan adalah tral (Chartrand dan Lesnak, 986: 6). v e 6 v 5 e e 5 e 4 v e v3 e3 v4 Gambar.3. Walk, Tral, dan Path

24 0 Dar Gambar.3 datas :,,,,, v merupakan jalan (walk) - tetap bukan jalan kecl (tral), :,,, v merupakan jalan kecl (tral) - tetap bukan lntasan (path), dan :,,, v merupakan lntasan (path) - v. W v v v5 v v3 4 v v4 W v v v3 4 v v4 W3 v v v3 4 v 4 Dens 7 Sebuah jalan kecl tertutup (closed tral) pada Gra G dsebut Srkut G (Chartrand dan Lesnak., 986: 8). Dens 8 Msalkan u dan v ttk berbeda pada gra G. Maka ttk u dan v dapat dkatakan terhubung (connected), jka terdapat lntasan u v d G. Sedangkan suatu gra G dapat dkatakan terhubung, jka untuk setap ttk berbeda u dan v d G terhubung (Chartrand dan Lesnak, 986:8) Dens 9 Srkut v, v, v3,, vn, v L ( 3) n memlk ttk dengan v adalah ttk-ttk berbeda untuk n dsebut Skel (cycle) (Chartrand dan Lesnak, Contoh.4: 986: 8). v 4 v v Gambar.4 Gra Terhubung (connected)

25 .3 Gra Lntasan Dens 0 Gra lntasan adalah gra yang terdr dar satu lntasan. Gra lntasan yang terdr dar n ttk dnotaskan sebaga P n. Contoh.5 e e e e 3 4 v v4 v v 3 v 5 Gambar.5. Gra Lntasan.4 Pelabelan Pada Gra.4.. Pelabelan Graceul Dens Msal G gra dengan p ttk dan q ss, pelabelan graceul pada G adalah ungs njekt yang memetakan V ( G) ke {,,,3,, q} dber label maka label semua ssnya berbeda. Contoh.6 0 L sehngga, seandanya ss xy ( x) ( y) Gambar.6. Gra Graceul

26 . Pelabelan Felctous Dens Msal G gra dengan p ttk dan q ss, pelabelan graceul pada G adalah ungs njekt yang memetakan V ( G) ke {,,,3,, q} dber label maka label semua ssnya berbeda Contoh.7 0 L sehngga, seandanya ss xy ( x) + ( y)( mod q) Gambar.7. Gra Felctous

27 3 BAB III PEMBAHASAN gra lntasan Pada bab n akan dbahas tentang pelabelan graceul dan elctous pada, untuk setap n blangan asl: P n 3. Pelabelan Graceul pada Gra Lntasan P n, n Blangan Asl Adapun langkah langkah dalam pelabelan graceul untuk gra lntasan, untuk n blangana asl adalah sebaga berkut:. Melabel ttk pada beberapa gra lntasan sehngga menjad gra graceul dan mencar pola pelabelannya.. Merumuskan pola pelabelan sekalgus pembuktannya secara umum. Berkut n beberapa pelabelan graceul pada gra lntasan P n, n,,...7. a. Gra Pn, untuk n 0 P n v Gambar 3. Pelabelan Graceul pada Gra P Untuk P belum bsa dambl polanya karena hanya memlk satu ttk. Dan untuk selanjutnya label dpertahankan 0. b. Gra Pn, untuk n Pelabelan graceul pada Gra v P dapat dlhat pada gambar berkut:

28 4 v v Gambar 3. Pelabelan Graceul pada Gra P Dengan member label pada dengan label 0 dan v dengan label, dan v karena ssnya hanya satu belum bsa dambl polanya. c. Gra Pn, untuk n 3 Pelabelan graceul pada gra P 3 dapat dlhat pada gambar berkut: v v v3 Gambar 3.3 Pelabelan Graceul pada Gra P3 Berdasarkan pada pelabelan d atas, maka jka adalah ungs njekt yang memetakan V ( G) ke { 0,, }, dperoleh ( v ) 0 ( v ) ( v 3 ) Berdasarkan akta d atas dengan melhat ndeks ttk, maka dperoleh 0 3

29 5 Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v v v untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 3 dperoleh dan untuk ndeks ttk genap pada gra P 3 adalah 3 d. Gra Pn, untuk n 4 Pelabelan graceul pada gra P 4 dapat dlhat pada gambar berkut: v v v3 v4 Gambar 3.4 Pelabelan Graceul pada Gra P4 Berdasarkan pada pelabelan d atas, maka jka yang memetakan V ( G) ke { 0,,,3 }, dperoleh ( v ) 0 ( v ) 3 ( v 3 ) ( v 4 ) adalah ungs njekt

30 6 Berdasarkan akta d atas dengan melhat ndeks ttk, maka dperoleh Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v 0 v v3 v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 4 dperoleh Untuk ndeks ttk genap pada gra P 4 dperoleh 4 e. Gra Pn, untuk n 5 Pelabelan graceul pada gra P 5 dapat dlhat pada gambar berkut:

31 7 v v v3 v4 v5 Gambar 3.5 Pelabelan Graceul pada Gra P5 Berdasarkan pada pelabelan d atas, maka jka adalah ungs njekt yang memetakan V ( G) ke { 0,,,3,4 }, dperoleh ( v ) 0 ( v ) 4 ( v 3 ) ( v 4 ) 3 ( v 5 ) Berdasarkan akta d atas dengan melhat ndeks ttk, maka dperoleh Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v 0 v 5 5

32 8 v3 v 4 v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 5 dperoleh dan untuk ndeks ttk genap pada gra P 5 dperoleh 5. Gra Pn, untuk n 6 Pelabelan graceul pada gra P 6 dapat dlhat pada gambar berkut: v v v3 v4 v5 v6 Gambar 3.6 Pelabelan Graceul pada Gra P6 Berdasarkan pada pelabelan d atas, maka jka adalah ungs njekt yang memetakan V ( G) ke { 0,,, L,5}, dperoleh ( v ) 0 ( v ) 5 ( v 3 ) ( v 4 ) 4

33 9 ( v 5 ) ( v 6 ) 3 Berdasarkan contoh d atas dengan melhat ndeks ttk, maka dperoleh Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v 0 v v3 v 4 v5 v Untuk ndeks ttk ganjl gra P 6 dperoleh

34 0 Untuk ndeks ttk genap gra P 6 dperoleh 6 g. Gra Pn, untuk n 7 Pelabelan graceul pada gra P 7 dapat dlhat pada gamabar berkut: v v v3 v4 v5 v6 v7 Gambar 3.7 Pelabelan Graceul pada Gra P 7 Berdasarkan pada pelabelan d atas, maka jka adalah ungs ungs njekt yang memetakan V ( G) ke {,,,,6} ( v ) 0 ( v ) 6 ( v 3 ) ( v 4 ) 5 ( v5) ( v 6 ) 4 ( v 7 ) 3 0 L, dperoleh Berdasarkan akta d atas dengan melhat ndeks ttk, maka dperoleh v 0 v 6

35 v3 v 4 5 v5 v 6 v Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v 0 v v3 v 4 v5 v 6 v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 7 dperoleh Untuk ndeks ttk genap pada gra P 7 dperoleh 7

36 lntasan Dengan demkan dapat dsmpulkan bahwa pelabelan graceul pada gra, untuk n blangan asl memlk pola secara umum sebaga berkut: P n a. Untuk ndeks ttk ganjl adalah b. Untuk ndeks ttk genap adalah n Berdasarkan beberapa contoh pelabelan graceul d atas, maka dapat dbuat rumusan pola sebaga berkut: Rumusan Pola: Bukt: Msal: Gra lntasan P dengan n blangan asl adalah graceul n P n v v v3 4 v v n vn V ( P n ) { v v, v, v, v,, v n }, L E ( P n ) { v v v, v v, v v, L v v n n} v, , Jad p n dan q n Buat ungs dar V ( P n ) ke { 0,,,3,4, L, n } dengan aturan sebaga berkut:

37 3 ( v ), ganjl n, genap. Akan dbuktkan bahwa njekt yatu ( v ) ( ) Ambl v dan v j dengan ( v ) ( ) v j a. Jka, j adalah genap, maka ( v ) ( ) n v j maka v v j n j v j j j Jad jka ( v ) ( ) v v j v j maka v v j b. Jka, j adalah ganjl, maka ( v ) ( ) untuk dan j genap. v j j j j Jad jka ( v ) ( ) v j v v j maka v v j, untuk dan j ganjl. c. Jka genap dan j ganjl Berart j atau v v j

38 4 Jka genap dan j ganjl Akan dbuktkan ( v ) ( ) Andakan ( v ) ( ) v j v j n j n j n j + Dketahu n dan j n Maka j + n < n + + j < n + n > j + Jad n > j + Terjad kontradks antara n j + dan n > j + Maka ( v ) ( ) v j Jad jka j maka ( v ) ( ), untuk genap dan j ganjl v j Dar a, b, dan c bahwa adalah ungs njekt.. Akan dtunjukkan bahwa 0 ( v ) q ; atau 0 ( v ) n a. genap, maka ( v ) n, dengan 0 n karena n n

39 5 0 n Jad 0 ( ) v Karena genap, maka n n Jad ( v ) n Jad untuk genap maka 0 ( v ) n b. Dan untuk ganjl, maka ( v ) n, dengan 0 n n n n ( v ) n Karena ganjl, maka 0

40 6 0 ( ) v Jad untuk ganjl maka 0 ( v ) n 3. Akan dbuktkan bahwa untuk {,,3,4 L, n } maka ( v ) ( v ) berbeda + a. Jka genap, maka + ganjl ( v ) ( v ) + n ( + ) n n + n Nla n akan selalu berbeda tergantung pada nla. Jad ( v ) ( v ) akan berbeda untuk setap + {,,3,4, } L n b. Jka ganjl maka + genap + ( v ) ( v+) n n n n +

41 7 Jad untuk j, maka n j n Dengan demkan, terbukt bahwa gra lntasan P n, untuk n blangan asl adalah graceul

42 8 3. Pelabelan Felctous Pada Gra P n, untuk n Blangan Asl Pelabelan elctous pada gra lntasan P, untuk n blangan asl. Dlakukan langkah-langkah sebaga berkut:. Melabel ttk pada beberapa gra lntasan sehngga menjad pelabelan graceul dan mencar pola pelabelannya.. Merumuskan pola pelabelan sekalgus pembuktannya secara umum. Pelabelan elctous nantnya akan d bag menjad dua bagan yatu: a. Pelabelan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl ganjl. b. Pelabelan elctous pada gra lntasan, untuk n blangan asl genap. a) Pelabelan elctous pada gra lntasan P n, n ganjl Berkut n beberapa pelabelan elctous pada gra lntasan P n, n,3,, 7 a. Gra Pn, Untuk n n P n Pelabelan elctous pada gra 0 P dapat dlhat pada gambar berkut v Gamabr 3.8 Pelabelan Felctous pada Gra P Dengan member label 0 pada ttk v dan karena hanya ada satu ttk dan tdak memlk ss, maka gra P belum bsa dambl polanya. Untuk selanjutnya label dpertahankan adalah 0. b. Gra Pn, Untuk n 3 v Pelabelan elctous pada gra P 3 dapat dlhat pada gambar berkut

43 9 v v v3 Gamabr 3.9 Pelabelan Felctous pada Gra P3 Berdasarkan pelabelan tersebut, maka jka memetakan V ( G) ke { 0,, }, maka dperoleh: adalah ungs yang ( ) v ( ) v ( ) v 3 0 Berdasar akta d atas dengan melhat ndeks ttk, maka dperoleh 3 Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v v v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra dperoleh P 3

44 30 Untuk ndeks ttk genap pada gra P 3 dperoleh c. Gra Pn, Untuk n 5 Pelabelan elctous pada gra P 5 dapat dlhat pada gambar berkut v v v3 v4 v5 Gamabr 3.0 Pelabelan Felctous pada Gra P5 Berdasarkan pelabelan tersebut, maka jka adalah ungs yang memetakan V ( G) ke { 0,,, L 4}, maka dperoleh: ( v ) 0 ( v ) 3 ( v 3 ) ( v 4 ) 4 ( v 5 ) Berdasar akta tersebut dengan melhat ndeks ttk, dperoleh

45 3 5 0 Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v v v 3 v 4 v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 5 dperoleh Dan untuk ndeks ttk genap pada gra d. Gra Pn, Untuk n 7 dperoleh P 5 Pelabelan elctous pada gra P 7 dapat dlhat pada gambar berkut v v v3 v4 5 v v 6 v7 Gamabr 3. Pelabelan Felctous pada Gra P 7 Berdasarkan pelabelan d atas yang akan dcar rumusnya adalah: ( ) v 0

46 3 ( ) v ( ) v 3 ( ) v 4 ( ) v ( v 6 ) 6 ( v 7 ) 3 Berdasar akta tersebut, dengan melhat ndeks ttk, dperoleh Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v v 4 v3 3

47 33 v v5 v 6 v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 7 dperoleh untuk ndeks ttk genap pada gra dperoleh P 7 Dar beberapa contoh pelabelan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl ganjl tersebut ddapat pola sebaga berkut: a. Untuk ndeks ttk ganjl dperoleh: Atau ( v ) b. Untuk ndeks ttk genap dperoleh: Atau n + +

48 34 n + + ( v ) Berdasarkan beberapa contoh pelabelan ttk d atas, maka dapat dbuat rumusan pola sebaga berkut: Rumusan Pola: Bukt: Gra lntasan P dengan n blangan asl ganjl adalah elctous n P n v v v3 4 v v n vn ( G) { v v v, v, },, 3 4 L V, V(P n ) v n ( G) { v v v v, v v, L } E, 3 3 4, v n v n Jad p n dan q n Buat ungs yang memetakan dar ( G) V ke {,,3, 4, L, n } dengan aturan sebaga berkut: ( v ) n, ganjl + +, genap ( ) ( ). Akan dbuktkan bahwa njekt yatu jka v maka v v Ambl v dan dengan j v ( v ) ( ) j v j a). Jka, j adalah genap, maka ( v ) ( ) v j n + + n + j + v j

49 35 n + + n + j + n + n + j j Jad jka ( v ) ( ) v v j v j maka v j v untuk dan b). Jka, j adalah ganjl maka ( v ) ( ) v j j genap j j j v v j Jad Jka ( v ) ( ), maka v untuk dan v j v j j genap c). jka genap dan j ganjl karena ganjl dan j genap artnya akan dbuktkan ( v ) ( ) Andakan ( v ) ( ) v j v j j atau v v j n + + j n + + j n + j

50 36 n + j n j Dketahu bahwa n dan j n Jad j n Terjad kontradks antara Maka ( v ) ( ) v j n j dan j n Jad j maka ( x) ( y), untuk genap dan j ganjl Dar a, b, dan c dsmpulkan bahwa ungs njekt.. Akan dtunjukkan bahwa 0 ( v ) q ; atau 0 ( v ) n a). ( v ) genap, maka n + +, dengan 0 n karena n + n + n + + n + n + + n + n + + n 0 n + + n n + + n 0

51 37 Jad 0 ( ) v Karena genap, maka n + n + n n + n n Jad ( v ) n + n Jad untuk genap dperoleh 0 ( v ) n b). ganjl, maka ( v ), dengan 0 n n n n n n Jad ( v ) n n Karena ganjl, maka

52 ( ) v Jad untuk ganjl dperoleh 0 ( v ) n 3. Akan dbuktkan bahwa setap ss maka v + berbeda a. Jka genap, maka + ganjl n ( v ) + ( v+ ) + n v ( v ) ( v )( q ( ) ( mod q) n ( mod q) ( mod q) + mod ) + n + ( mod q) ( n ) ( mod ) + n karena q n n Nla + ( modn ) akan berbeda sesua dengan nla. b. Jka ganjl maka + genap ( v ) ( v +) + ( modq) + n + + +

53 39 n ( modq) + n ( mod q) n karena q n + ( mod n ) n Nla + ( mod n ) akan berbeda sesua dengan nla. Jad untuk setap v maka ( v ) + ( v )( mod q) berbeda untuk v + + setap,, 3,..., n. Dengan demkan, terbukt bahwa gra lntasan P n, untuk setap n blangan asl ganjl adalah elctous.

54 Pelabelan Felctous pada Gra Lntasan P n, n genap Berkut n beberapa contoh pelabelan elctous pada gra lntasan P n, untuk n {, 4,6}, a. Gra Pn, untuk n Pelabelan elctous pada gra P dapat dlhat pada gambar berkut v v Gambar 3. Pelabelan Felctous pada Gra P Denggan member label pada dengan 0 dan v dengan, maka jka adalah ungs yang memetakan ( G) ( v ) 0 ( v ) v V ke {,} 0, dperoleh Berdasar akta tersebut dengan melhat ndeks ttk, dperoleh Jad untuk ndeks ttk dperoleh pola sebaga berkut v v + untuk ndeks ttk ganjl pada gra P dperoleh pola

55 4 untuk ndeks ttk genap pada gra + b. Gra Gra Pn, untuk n 4 P dperoleh pola Pelabelan elctous pada gra P 4 dapat dlhat pada gambar berkut v v v3 v4 Gambar 3.3 Pelabelan elctous pada gra P4 Berdasarkan pelabelan tersebut, maka jka memetakan V ( G) ke { 0,,3, 4}, dperoleh ( v ) 0 ( v ) ( v 3 ) ( v 4 ) 3 adalah ungs yang Berdasar akta tersebut, dengan melhat ndeks ttk, dperoleh 3 4

56 4 Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v v v3 v Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 4 dperoleh Untuk ndeks ttk genap pada gra 4 + c. Gra Pn, untuk n 6 P 4 dperoleh Pelabelan elctous pada gra P 6 dapat dlhat pada gambar berkut v v v 3 v v4 5 5 v 6 Gambar 3.4 Pelabelan elctous pada gra P6 Berdasarkan pelabelan tersebut, maka jka adalah ungs yang memetakan memetakan ( v ) 0 ( v ) 3 ( v 3 ) V ( G) ke {,,3,,5} 0 L, dperoleh

57 43 ( v 4 ) 4 ( v 5 ) ( v 6 ) 5 Berdasar akta tersebut, dengan melhat ndeks ttk, dperoleh Jad untuk ttk dperoleh pola sebaga berkut v v v 3 v 4 v v6

58 44 Untuk ndeks ttk ganjl pada gra P 6 dperoleh Untuk ndeks ttk genap pada gra 6 + dperoleh P 6 Dar beberapa contoh pelabelan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl genap tersebut ddapat pola sebaga berkut:. Untuk ndeks ttk ganjl polanya dengan: Atau ( v ). Untuk ndeks ttk genap polanya dengan: Atau n + n + ( v ) Berdasarkan beberapa contoh pelabelan d atas, maka dapat dbuat rumusan pola sebaga berkut: Rumusan Pola: Gra lntasan P n dengan n blangan asl genap adalah elctous

59 45 Bukt: P n v v v3 4 v v n vn V(P n ) {v, v, v 3, v 4,..., v n } E(P n ) {v v, v v 3,v 3 v 4, v 4 v 5,...,v n- v n } Jad p n dan q n Buat ungs yang memetakan dar V ( P n ) ke { 0,,,3, L, n } dengan aturan sebaga berkut: ( v ), ganjl n +, genap ( ) ( ). Akan dbuktkan bahwa njekt yatu jka v maka v v j Ambl v dan dengan v ( v ) ( ) j v j a. Jka, j adalah genap, maka ( v ) ( ), v j n + n + j n + n + j v j n + n + j j jka ( v ) ( ) v j maka v j v v j v untuk dan b. Jka, j adalah ganjl, maka ( v ) ( ) v j j genap

60 46 j j Jad jka ( v ) ( ) c. genap dan j ganjl v j maka v v j v v j, untuk dan j ganjl karena genap dan j ganjl artnya akan dbuktkan ( v ) ( ) Anda ( v ) ( ) v j v j j atau v v j n + j n + j n + j n j Dketahu bahwa n j < n maka j < n Terjad kontradks antara n j dan j < n karena ( n j ) ( j < n ) Maka ( v ) ( ) v j

61 47 jad j atau ( v ) ( ) v j Dar a, b, dan c dapat dsmpulkan bahwa ungs njekt.. Akan dtunjukkan bahwa 0 ( v ) q ; atau 0 ( v ) n a. genap, maka ( v ) Jad 0 ( ) v Jad ( v ) n n +, dengan 0 n n + n + n + 0 n n + n n + n n + n Jad untuk genap dperoleh 0 ( v ) n b. Untuk ganjl, maka ( v ), dengan n n n

62 48 n n n ( v ) n 0 n ( ) v Jad untuk ganjl dperoleh 0 ( v ) n 3. Akan dbuktkan bahwa setap ss v ) maka ( v ) ( v )( mod q) + berbeda + a. Jka genap, maka + ganjl n + ( v ) + ( v+ ) + n + + ( + ) ( modq) n + ( modq) n + ( modq) ( modq) (, v +

63 49 n karena q n - + ( modn ) n Nla + ( mod n ) akan berbeda sesua dengan nla. b. Jka ganjl maka + genap ( v ) ( v +) + ( modq) + n + + n ( modq) n + ( modq) n karena q n - + ( modn ) n Nla + ( modn ) akan berbeda sesua dengan nla. Dengan demkan, terbukt bahwa gra lntasan P n adalah elctous untuk semua n blangan asl genap.

64 BAB IV PENUTUP 4. Kesmpulan Dalam skrps n penuls menjelaskan pelabelan graceul dan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl, sekalgus pembuktannya. Berdasarkan hasl pembahasan ddapat rumus umum sebagamaan berkut:. Untuk pelabelan graceul pada gra lntasan P n, n blangan asl adalah ungs yang memetakan v(g) ke {0,,, 3,... q} dengan rumus sebaga berkut : ( v ), ganjl n, genap. Untuk pelabelan elctous pada gra lntasan Pn, n blagan asl adalah ungs yang memetakan V(G) ke {0,,, 3,... q} dengan rumus sebaga berkut a). Untuk n ganjl adalah ( v ) n, ganjl + +, genap b). Untuk n genap adalah ( v ), ganjl n, genap 49

65 4. Saran Dalam pembahasan skrps n, penuls hanya membahas tentang pelabelan graceul dan elctous pada gra lntasan P n, untuk n blangan asl. Dan untuk pembaca dan penelt yang ngn mengembangkan pengetahuan tentang gra dapat mengembangkan peneltan selanjutnya dengan gra lan yang mash berkatan dengan pelabelan, msalnya pelabelan pada gra bunga (Flower), pelabelan pada gra gear dan pelabelan pada gra roda. 50

66 DAFTAR PUSTAKA Chartrand, G. dan Lesnak, L Graph and Dgraph nd Edton. Calorna: Pasc Gove. Ftra, Lala Pelabelan Super Ss Ajab (Super Edge Magc Labelng) pada Graph star K,n (n blangan asl). UIN Malang: Skrps, tdak dterbtkan. Iswad, Hazrul dan Lskurnat. 996 Aspek Kendahan Dalam Matematka Warta Ubaya No 5. Kampus Tenggls Ubaya. Galan, Joseph A. 3 Januar 007. A Dynamc Survey O Graph Labelng. Duluth Mnnesota. Departement o Mathematcs and Statstcs. ( d akses pada tanggal Januar 008. Purwanto, 998. Matematka Dskrt. Malang: IKIP Malang. Wlson, Robn J. dan Watkns, John J. 99. Graph Pengantar. Terjemahan Dra. Theresa M.H. Trta Surabaya: Unversty Press IKIP.

67 DEPARTEMEN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 50 Dnoyo Malang (034)55345 Fax. (034)57533 BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nama : Rzal Abad Nm : Fakultas/ jurusan : Sans Dan Teknolog/ Matematka Judul skrps : Pelabelan Graceul dan Felctous pada Gra Lntasan P n, Untuk n blangan Asl. Pembmbng : Abdussakr, M.Pd No Tanggal HAL Tanda Tangan. 8 Pebruar 008 Proposal.. 4 Maret 008 Persetujuan Proposal Maret 008 BAB I dan II Aprl 008 Revs BAB I dan II Aprl 008 BAB III Aprl 008 Revs III Aprl 008 Revs BAB III Jun 008 BAB IV dan Abstrak Jun 008 Revs BAB IV dan Abstrak Jul 008 Revs Keseluruhan.. 30 Jul 008 Acc Keseluruhan 3 Malang, 04 Agsutus 008 Mengetahu, Ketua Jurusan Matematka Sr Harn, M.S NIP