A suatu fungsi vektor yang mempunyai derivatif kontinu, maka

Transkripsi

1 TEOEM DIVEGENI Teorema divergensi Gauss pabila V suatu ruang dibatasi dengan luasan tertutup, dan suatu fungsi vektor ang mempunai derivatif kontinu, maka V. dv.n d. d dengan n positif normal dari pada. elanjutna dibahas : Teorema Green pada Bidang. Teorema tokes NLII VEKTO ilahkan KLIK KII Hal dari 6

2 Teorema Green pada Bidang. Bidang datar dengan boundar kurve sederhana tertutup, dengan kekhususan setiap garis sejajar sumbu koordinat memotong kurve paling banak pada dua titik. d P 3 f 2 (x) P 4 P 2 c P 0 a f b (x) x NLII VEKTO Hal 2 dari 6

3 Diberikan fungsi M(x,), N(x,) terdefinisi kontinu dan masing-masing mempunai derivative kontinu pada region dan pada boundar. Didefinjisikan I N ( x, ) dx d x dan I 2 M(x, ) dx d Ditinjau I N ( x, ) dx d x Integral I pada region adalah equvalen dengan pengintegralan dari sub-curve : P P 4 P 3 sampai dengan sub-curve : P P 2 P 3 diperoleh sehingga I N x, ) dx d x ( d x g2( ) c x g ( ) N ( x, ) dx d x NLII VEKTO Hal 3 dari 6

4 d c N ( g ( ), ) d 2 d c N ( g ( ), ) d d c N ( g ( ), ) d 2 c d N ( g ( ), ) d d N c d N c ( g 2( ), ) d merupakan bentuk integral fungsi N(x,) untuk x = g 2 (), ang berarti merupakan bentuk integral garis fungsi N(x,) sepanjang sub-curve : x = g 2 () dari titik P ke P 3 (melalui P 2 ). ( g( ), ) d merupakan bentuk integral fungsi N(x,) untuk x = g (), ang berarti merupakan bentuk integral garis fungsi N(x,) sepanjang sub-curve : x = g () dari titik P 3 ke P (melalui P 4 ). NLII VEKTO Hal 4 dari 6

5 Dengan demikian diperoleh N ( x, ) dx d x N ( x, ) d elanjutna ditinjau I 2 M ( x, ) dx d M ( x, ) d dx Integral I 2 pada region adalah equivalen dengan pengintegralan dari subcurve : P 4 P P 2 sampai dengan sub-curve : P 2 P 3 P 4 sehingga diperoleh I 2 M x, ) dx d ( x b f 2( ) x a f ( ) M ( x, ) d dx NLII VEKTO Hal 5 dari 6

6 Dengan cara ang sama akan diperoleh M ( x, ) dx d x M ( x, ) dx atau M ( x, ) dx d M x dx x (, ) pabila kedua ruas persamaan dan persamaan N ( x, ) dx d x M ( x, ) dx d M x dx x (, ) N ( x, ) d dijumlahkan akan diperoleh N ( x, ) dx d x M ( x, ) dx d x M ( x, ) dx N ( x, ) d NLII VEKTO Hal 6 dari 6

7 tau dapat disajikan sebagai N ( x, ) M ( x, ) dx d x x M ( x, ) dx N ( x, ) d ang dikenal sebagi Teorema Green pada Bidang. Teorema Green pada Bidang. pabila suatu luasan tertutup pada bidang x0, dengan boundar curva sederhana tertutup, dan apabila M(x,) dan N(x,) fungsi kontinu dengan derivative kontinu pada, maka M dx Nd N M dx d x dengan arah putar positif. NLII VEKTO Hal 7 dari 6

8 Teorema tokes Misalkan suatu luasan ang proeksina pada bidang x0, 0, x0 masing-masing merupakan region bounded dengan kurva sederhana tertutup. pabila luasan mempunai representasi sebagai = f(x,), atau x = g(,), atau = h(x,) dengan f, g ataupun h masing-masing merupakan fungsi berharga tunggal, kontinu dan mempunai derivative kontinu. pabila diberikan vektor fungsi = i + 2 j + 3 k, dan n adalah vektor satuan normal pada luasan, maka diperoleh buhungan : i j k x i j k NLII VEKTO 0 0 Hal 8 dari 6

9 Dengan demikian diperoleh i.n n. j n. k elanjutna apabila luasan disajikan dengan = f(x,), dengan demikian suatu titik pada luasan disajikan dengan vektor r = x i + j + k = x i + j + f(x,) k dan diperoleh r f ( x, j k j ) k Karena r merupakan vektor tangent pada luasan, berarti vektor r dan n saling tegak lurus, sehingga r n. n. j n.k 0 atau n. j n. k NLII VEKTO Hal 9 dari 6

10 Mengingat k n. j n..n i maka diperoleh n.k n.k n.k.n i elanjutna untuk vektor, = i + 2 j + 3 k, pada luasan dengan = (x,,) = (x,,f(x,)) = F(x,) sehingga diperoleh x F ), ( dan Hal 0 dari 6 NLII VEKTO

11 x x F x F ), ( ), ( n.k n.k.n i elanjutna diperoleh d dx x F d ), (.n i dengan merupakan proeksi pada bidang xo. Hal dari 6 NLII VEKTO

12 Misalkan kurva sederhana tertutup merupakan boundar, maka berdasarkan Teorema Green pada bidang diperoleh hubungan F ( x, ) dx d F ( x, ) dx ( x,, ) dx sehingga diperoleh i. d x,, ) dx n Dengan cara ang sama diperoleh j. d x,, ) d 2 n k. d x,, ) d 3 n ( 2( 3( NLII VEKTO Hal 2 dari 6

13 Dengan demikian diperoleh hubungan i.n d j.n d k 2 3. n d atau dapat disajikan sebagai ingat r = x i + j + k. ( x,, ) dx 2( x,, ) d 3( x,, ) d.n d. dr Formula di atas dikenal sebagai Teorema tokes. NLII VEKTO Hal 3 dari 6

14 Teorema tokes pabila suatu luasan terbuka, dua sisina dibatasi oleh kurva sederhana tertutup, dan suatu fungsi vektor ang mempunai derivatif kontinu, maka. dr.n d. d dengan arah putar positif. NLII VEKTO Hal 4 dari 6

15 Diketahui bahwa M dx + N d = (Mi + Nj). (dxi + dj) =. dr, dengan = Mi + Nj dan r = dxi + dj. elanjutna apabila = Mi + Nj maka k j i k j i M x N M N N M x 0 Dengan demikian diperoleh hubungan M x N k. Hal 5 dari 6 NLII VEKTO

16 elanjutna diketahui teorema Green pada bidang M dx Nd N x M dx d dapat disajikan sebagai dengan d = dx d. dr. k d Dengan demikian terbukti bahwa Teorema Green pada bidang merupakan suatu kejadian khusus dari Teorema toke. NLII VEKTO Hal 6 dari 6