ANTRIAN BERTIPE M/G/1/N DENGAN SERVER YANG MEMILIKI WAKTU PELAYANAN DAN WAKTU LIBUR. Oleh : Siti Hawariyyah G

Transkripsi

1 ANTRIAN BERTIPE M/G//N DENGAN SERVER YANG MEMILIKI WAKTU PELAYANAN DAN WAKTU LIBUR Oleh : Siti Hawariyyah G PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

2 ABSTRAK SITI HAWARIYYAH. Atria Bertipe M/G// N dega Server yag Memiliki Waktu Pelayaa da Waktu Libur. Dibimbig oleh PRAPTO TRI SUPRIYO da MUHAMMAD NUR AIDI. Masalah yag diamati adalah sebuah atria bertipe M/G//N dega server yag memiliki waktu libur da waktu pelayaa. Masalah ii bayak teradi terutama pada sistem produksi, sistem komputer da komuikasi dimaa server memiliki waktu libur sebagai akibat harus mealaka perawata (pada mesi produksi), atau harus melayai kosume sekuder maupu harus megeraka pekeraa yag lai. Fokus dari permasalaha adalah igi megevaluasi kiera server sehigga dapat dilakuka efisiesi. Dega memperoleh sebara paag atria maka diharapka dapat dilakuka peilaia terhadap kiera server. Melalui beberapa lagkah matematis, dapat disimpulka bahwa peluag ada costumer di sistem bergatug pada : (i)peluag pada steady-state bahwa ada costumer di sistem setelah kepergia seorag costumer akibat selesai dilayai ; (ii)peluag bahwa ada costumer yag datag selama waktu libur server ; (iii)lau kedataga costumer ; (iv)nilai harapa waktu libur da waktu pelayaa; (v)peluag tidak ada costumer di sistem setelah kepergia seorag costumer.

3 ANTRIAN BERTIPE M/G//N DENGAN SERVER YANG MEMILIKI WAKTU PELAYANAN DAN WAKTU LIBUR Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Saraa Sais Pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : Siti Hawariyyah G PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

4 Judul Nama NRP : Atria Bertipe M/G//N dega Server yag memiliki Waktu Pelayaa da Waktu Libur : Siti Hawariyyah : G Meyetuui : Pembimbig I, Pembimbig II, Drs. Prapto Tri Supriyo, M. Kom Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS. NIP NIP Megetahui : Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. Ir. Yoy Koesmaryoo, M. S. NIP Taggal Lulus :

5 Skripsi ii kupersembahka utuk kedua orag tuaku Zaimul Am da Siti Hamilah Utuk segala pegorbaa yag tak berpamrih Semoga Allah membalasya dega yag lebih baik I Love You So

6 PRAKATA Segala pui bagi Allah atas segala rahmat da hidayah serta curaha kasih sayag yag tak terhigga, sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii. Judul yag dipilih dalam skripsi ii adalah Atria Bertipe M/G// N dega Server yag Memiliki Waktu Pelayaa da Waktu Libur. Skripsi ii tak mugki terselesaika tapa batua, dukuga da pera serta dari berbagai pihak. Oleh karea itu peulis megucapka terima kasih yag setiggi-tiggiya kepada berbagai pihak yag telah membatu dalam peyusua skripsi ii, atara lai : Ayahada da Ibuda, Zaimul Am da Siti Hamilah, utuk semua dukuga, baik moril maupu materil serta kasih sayag yag tulus kepada peulis. Pak Prapto da Pak Nur Aidi sebagai dose pembimbig I da dose pembimbig II utuk waktu yag dicurahka dalam memberika bimbiga da pegaraha dalam peyusua skripsi ii. Pak Siswadi selaku moderator semiar da dose pegui. Pak Amril, yag telah memberika baha tugas akhir da memiamka ural-ural yag peulis perluka. Bu Ida, yag telah berkea memberika izi utuk memiam ural-ural, moho maaf ika terlambat megembalika. Semua dose Matematika IPB, utuk semua ilmu yag tak terilai. Sagat bermafaat utuk peulis. Semoga peulis bisa megamalkaya. Adik-adik peulis (Amir, Dhiah, Dhica, Mada), utuk hari-hari yag ceria. Feidy, Sai, Eva, Nia, Naik, Lida, Edah, Sey, Devi da semua aak 38, utuk kebersamaa da perhatia yag tulus. Ika, Evi, Liah, Ati, Yaa, Lilis, utuk persaudaraa dalam auga Islam, semoga tetap istiqomah. Kalia sagat istimewa da aka selalu. Lutfi 39, yag selalu membuka pitu kostya lebar-lebar utuk peulis da memberika tumpaga gratis setiap kali peulis perlu pegiapa. Opie, yag telah sagat membatu dalam pembuata Power Poit da memiamka komputer di saat-saat medesak, telah sagat meolog. Terima kasih pu tak cukup. Nigrum,Adri, Azhari, yag telah bersedia meadi pembahas. Terima kasih sekali. Semua aak 38, kalia tak terlupaka. Rizka, Ilma, Mba Luah, Kiki, Mba Tika, Mba Ari, Neeg, Ria, Yayu, Mba Yaa, Mba W ildi, Mba Gii, semua Cempaka kru atas semua dukuga moril utuk meyemagati peulis agar segera meyelesaika kuliah. Semua aak 39, kalia baik sekali. Adik-adikku agkata 40 yag selalu peuh semagat. Mudah-mudaha bisa ditularka ke semua agkata. Maruki, utuk piama bukuya selama tugas akhir. Litar, Elida, Robi, Dewi, Mega, Edi, Elag, Budi, utuk hari-hari peuh sukacita. Guru-guru da staf NF, utuk meadi peyemagat yag kosiste bagi peulis dalam meyelesaika skripsi. Semua orag yag perah berbuat baik kepada peulis walau sekecil apapu. Haya Allah yag bisa membalas. Mas Dey, Mba Lolo, yag sudah rela datag pagi-pagi, terima kasih. Staf Tata Usaha Jurusa Matematika: Bu Susi, Bu Marisi, Bu Ade, Mas Boo da Mas Yoo. Semua orag, tak ada yag bisa dilakuka tapa kalia. Semoga skripsi ii bermafaat. Bogor, Jauari 2006

7 Siti Hawariyyah RIWAYAT HIDUP Peulis adalah aak pertama dari lima bersaudara, dari pasaga Zaimul Am da Siti Hamilah yag dilahirka di Tagerag pada taggal 30 September 983. Peulis meyelesaika pedidika sekolah dasar di SD Negeri Podok Jagug II pada tahu 995, sekolah meegah pertama di SLTPN 4 Tagerag pada tahu 998 da sekolah meegah umum di SMUN 2 Tagerag pada tahu 200, da di tahu yag sama lolos seleksi masuk IPB melalui alur USMI di Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Seak sekolah di SLTP peulis memulai kegiata orgaisasi, yaki megikuti Palag Merah Remaa. Di SMU aktif dalam ekstrakurikuler Juralistik da Kelompok Ilmiah Remaa. Kemudia ketika kuliah peulis megikuti kegiata-kegiata yag diadaka oleh Kesatua Aksi Mahasiswa Muslim Idoesia pada tahu , peulis uga perah aktif dalam kegiata yag dilakuka oleh Dewa Kekeluargaa Mesid Al-Ghiffari di tahu , serta turut aktif dalam himpua profesi Gumatika dalam sie. Juralistik di tahu Peulis uga meadi asiste mahasiswa TPB utuk mata kuliah Matematika Dasar pada tahu Peulis memulai pekeraa sambila sebagai guru privat utuk mata pelaara Matematika, Fisika, Kimia da Bahasa Iggris seak kuliah di tigkat I, tepatya di awal Kemudia megaar di kelompok belaar SMU, da pada awal tigkat IV peulis diterima meadi salah satu staf pegaar Matematika di Bimbiga da Kosultas i Belaar Nurul Fikri tepatya di akhir 2004, da masih berlagsug higga saat ii.

8 DAFTAR ISI PENDAHULUAN Latar Belakag Tuua LANDASAN TEORI Proses Atria Sistem Atria Karakteristik Atria Pola Kedataga Pola Pelayaa Kapasitas Sistem Disipli Atria Pemodela Atria Peubah Acak Fugsi Sebara Proses Stokastik Sebara Ekspoesial Sebara Poisso Proses Pecacaha Proses Poisso Sifat PASTA Steady-state Teorema Little Teorema Burke MODEL PEMBAHASAN Distribusi Paag Atria pada Saat Peyelesaia Pelayaa Seorag Costumer..7 Distribusi Paag Atria pada Waktu Sembarag dalam Steady-state 7 SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

9 I. PENDAHULUAN Latar Belakag Sebuah atria terbetuk ketika permitaa pelayaa datag ke sebuah fasilitas pelayaa da terpaksa harus meuggu selama server sedag sibuk megeraka pekeraa yag lai. Atria bayak teradi saat ii, sehigga bayak ahli termotivasi utuk meyelidikiya. Atria teradi karea adaya keterbatasa fasilitas pelayaa. Atria bayak teradi di fasilitas umum seperti bak, supermarket, loket, da lai-lai. Namu seirig perkembaga zama, atria uga teradi pada sistem telekomuikasi, sistem komputer, sistem produksi, da bayak lagi, yag membutuhka pemodela matematika yag lebih spesifik sesuai dega karakteristik masig-masig sistem atria. Meskipu keadia atria bayak ditemuka dalam kehidupa sehari-hari, motivasi utuk mempelaari feomea atria datag dari evaluasi kiera sistem komuikasi da sistem komputer. Serigkali teradi situasi dimaa server tidak dapat melayai costumer selama periode tertetu. Hal ii bayak ditemuka pada sistem produksi, sistem komputer da sistem komuikasi. Server yag tidak dapat melayai ii mugki sedag dalam proses perbaika, ataupu sedag melayai costumer sekuder. Periode ketika server tidak dapat memberika pelayaa diamaka periode libur server. Sedagka periode ketika server memberika pelayaa ke costumer diamaka periode pelayaa server. Sistem atria dapat dikelompokka dalam tiga kompoe dasar : sumber permitaa pelayaa, atria (barisa yag meuggu), da sebuah server (atau beberapa server ). Dalam tulisa ii aka dibahas suatu sistem atria M/G//N dega M berarti kedataga costumer ke sistem megikuti sebara Poisso, G berarti Geeral, yaki waktu pelayaa server memiliki sebara tertetu da bersifat umum, artiya umlah server sebayak da N artiya kapasitas di sistem sebayak N, dega server yag memiliki waktu libur da waktu pelayaa. Costumer yag ada di sistem aka dilayai oleh server secara kotiu da ika umlah costumer di sistem sudah peuh, yaki sebayak N maka costumer yag datag ke sistem berikutya aka ditolak kecuali ika sistem telah megalami peguraga costumer akibat dari selesaiya pelayaa costumer sebelumya. Server aka megambil libur ika sudah tidak ada costumer di sistem. Kemudia ketika liburya berakhir server aka kembali ke sistem utuk melihat atria. Jika sudah ada yag megatri maka server aka me layai kembali tetapi ika belum ada yag megatri server aka megambil libur lagi dega sebara yag sama da salig bebas dega libur yag terdahulu. Jika sekembaliya server dari libur sudah ada costumer yag megatri maka server melayai secara terus meerus higga tidak ada lagi costumer yag memerluka pelayaa. Kemudia server megambil libur kembali, begitu seterusya. Diasumsika bahwa costumer datag ke sistem megikuti sebara Poisso (λ ) da lamaya waktu pelayaa megikuti sebara umum, misalka S(x). Dega kata lai distribusi lamaya waktu pelayaa berlaku umum. Sedagka lamaya waktu libur memiliki distribusi V(x), yaki uga bersifat umum. Dega megetahui sebara paag atria aka dapat diilai kiera server sehigga dapat dilakuka peigkatapeigkata dalam hal-hal yag diaggap perlu, misalka ika server memiliki kiera yag sagat buruk, dapat dilakuka meggati server dega yag baru sehigga dapat memiimalka kerugiakerugia yag diakibatka burukya kiera server. Tuua Tuua tulisa ii adalah membahas system atria M/G//N dega server yag memiliki waktu pelayaa da waktu libur. Iformasi yag igi diperoleh adalah sebara paag atria.

10 II. LANDASAN TEORI Proses Atria Proses atria dimulai saat costumer datag ke sistem pada saat server sedag dalam periode melayai. Setelah kapasitas costumer di sistem peuh, yaki sebayak N maka costumer yag datag ke sistem berikutya aka ditolak kecuali ika sistem telah megalami peguraga costumer akibat dari selesaiya pelayaa costumer sebelumya. Sistem Atria Sistem atria dapat dipadag sebagai suatu proses kelahira da kematia dega populasiya adalah costumer, yag berada pada atria atau sedag dalam pelayaa. Proses kelahira teradi pada saat costumer datag ke pusat pelayaa, proses kematia teradi pada saat costumer meiggalka pusat pelayaa. Misalka pada waktu t terdapat costumer di sistem. Itesitas (lau) kedataga costumer da itesitas (lau) costumer keluar dari sistem berturut-turut adalah λ da µ. Dega demikia proses kelahira da kematia utuk sistem atria secara umum diberika oleh persamaa diferesial berikut dp() t = ( λ + µ ) p() t + µ p+ () t + λp () t dt utuk =,2, Dega p adalah peluag terdapat costumer pada waktu t. Persamaa diferesial diatas diperoleh dega cara sebagai berikut : Dikataka bahwa sistem berada pada state E pada waktu t ika N(t)=. peluag bersyarat bahwa selama waktu (t,t+h) trasisi E E + (dega =0,,2, ) teradi adalah λ h + o( h) dega h 0, da peluag bersyarat teradiya trasisi E E (dega =0,,2, ) adalah µ h+ o( h) dega h 0. Peluag selama (t,t+h) ideks berubah lebih dari satu uit adalah o(h) dega h 0. Dega meerapka teorema peluag total, dapat dituliska : P { N( t + h) = } = P{ N( t + h) = N( t) = i} P{ N ( t) = i} i=0 sehigga utuk h 0 P { N t = N t) = i} ( h) λ µ h + o( h) + ( = + h + o( h) o( h) karea P N( t + h) k = 0 { = k N( t) i} = = maka utuk h 0 P { N ( t + h) = N( t) = } = ( λ + µ ) h o( h) + sehigga ika kita meuliska P{N(t)=) = p ( t) maka teorema peluag total dapat ditulis sebagai p t h) = λ hp t + µ hp t ( + ( ) + + ( ) + [ ( λ + µ ) h] p( t ) + o( h) [ h 0; = 0,,2,... ; λ = λ, ; µ = µ, ] ika kedua ruas disusu ke mbali da dibagi dega h, persamaa aka meadi : ( t + h) p p o( h) = λp ( t) + µ p+ ( λ+ µ ) p ( t) + h h sehigga terpeuhi dp() t = ( λ + µ ) p() t + µ p+ () t + λp () t dt (Cooper, 98) Karakteristik Atria Sistem atria dicirika oleh lima kompoe utama yaitu : pola kedataga costumer, pola pelayaa costumer, bayakya server, kapasitas sistem da disipli atria. (Medhi, 99) Pola Kedataga Pola kedataga costumer dapat dicirika oleh waktu atar kedataga (iterarrival time) yaitu waktu atara

11 kedataga costumer yag satu dega costumer berikutya. Pola ii dapat bersifat determiistik da peluag (peubah acak yag megikuti sebara peluag tertetu). Pola ii uga dapat bergatug pada bayakya costumer yag ada di sistem (state depedet) atau tidak bergatug pada bayakya costumer di sistem (state idepedet). (Rii, 2003) Pada tulisa ii diasumsika kedataga costumer bersifat peluag dega sebara berupa sebara Poisso da pola kedataga costumer ii tidak bergatug pada bayakya costumer yag ada di sistem (state idepedet). Pola Pelayaa Pola pelayaa biasaya dicirika sebagai waktu pelayaa (service time) yaitu waktu yag diguaka oleh satu server utuk melayai satu costumer. Pola pelayaa uga dapat bersifat determiistik atau peluag, state-idepedet atau statedepedet. Selai itu dalam suatu sistem pelayaa, costumer dapat dilayai oleh satu atau lebih dari satu server. (Rii, 2003) Dalam tulisa ii diasumsika costumer haya dilayai oleh satu server da pola pelayaa bersifat peluag. Kapasitas Sistem Kapasitas sistem adalah bayakya costumer di sistem, baik costumer yag sedag dilayai maupu costumer yag terdapat dalam atria. Suatu sistem atria yag memiliki kapasitas tertetu, pada saat fasilitas pelayaa peuh, costumer yag datag aka ditolak utuk masuk ke dalam sistem. Dega demikia costumer tersebut dipaksa utuk pergi dari sistem tapa meerima pelayaa. Sistem yag tidak mempuyai batasa terhadap umlah costumer yag diiika utuk masuk ke dalam fasilitas pelayaa disebut kapasitas tak terbatas sedagka proses sebalikya disebut kapasitas terbatas. (Rii, 2003) Dalam tulisa ii diasumsika sistem mempuyai batasa terhadap umlah costumer (kapasitas terbatas), yaki sebayak N. Disipli Atria Disipli atria secara umum adalah cara utuk meetuka costumer maa yag aka dilayai lebih dahulu oleh server. Disipli atria memiliki beberapa kemugkia diataraya costumer yag pertama datag terlebih dahulu dilayai (FIFO, yaki First I First Out), costumer yag terakhir datag terlebih dahulu dilayai (LIFO, yaki Last I First Out ), model acak atau model prioritas. (Rii, 2003) Dalam tulisa ii diasumsika sistem megguaka mekaisme FIFO. Pemodela Atria Betuk atria secara umum diotasika oleh Kedall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f), dega a adalah sebara proses kedataga, b adalah sebara waktu pelayaa, c adalah bayakya server, d adalah disipli atria, e adalah kapasitas sistem, f adalah ukura populasi costumer. Tetapi otasi yag lebih serig diguaka saat ii yaitu otasi yag lebih rigkas a/b/c. Dega a adalah sebara proses kedataga, b meyataka waktu pelayaa, da c meyataka umlah server. Adapu cotoh otasi yag serig diguaka utuk meyataka sebara peluag dari proses kedataga da waktu pelayaa adalah sebagai berikut : M : Proses kedataga meyebar Poisso D : Waktu atar kedataga meyebar determiistik G : Sebara yag bersifat umum Dalam hal ii diasumsika atria bertipe M/G// N yaki proses kedataga meyebar Poisso, sebara waktu pelayaa sebaraya bebas, haya ada satu server da kapasitas atria sebayak N. (Cooper, 98) Peubah Acak Peubah acak X adalah fugsi berilai real yag mempuyai domai pada ruag

12 cotoh Ω. Dega kata lai peubah acak X adalah fugsi yag memetaka keadia pada ruag cotoh Ω ke ilai real sehigga ivers dari setiap ilai real merupaka keadia pada ruag cotoh. (Rii, 2003) Fugsi Sebara Fugsi sebara peluag kumulatif dari peubah acak X adalah F: R [0,] yag didefiisika oleh Fx( x) = P( X x) (Rii, 2003) Proses Stokastik Proses stokastik X={X(t),t T) adalah suatu himpua dari peubah acak yag memetaka suatu ruag cotoh Ω ke ruag state S. Ruag state S mugki berupa: gugus bilaga bulat (Z) atau gugus bilaga real (R). T adalah iterval bilaga yata tak egatif, yaitu [0, ). (Ross, 996) Sebara Ekspoesial Peubah acak kotiu X dikataka memiliki sebara ekspoesial dega parameter λ, λ > 0, ika memiliki fugsi kepekata peluag sebagai berikut λx λe, x 0 f ( x) = 0, x < 0 dega fugsi sebara kumulatif λx e, x 0 Fx ( ) = 0, x < 0 (Ross, 996) Sebara Poisso Sebara Poisso dega parameter λ> 0 mempuyai fugsi kerapata peluag λ x e λ f ( x) =, x = 0,,2,... x! 0, selaiya Sebara Poisso mempuyai rataa da ragam yag sama besar yaitu λ. (Hogg ad Craig, 995) Proses Pecacaha Suatu proses stokastik Nt (), t 0 disebut proses pecacaha ika { } N(t) meyataka bayakya keadia yag teradi sampai waktu t. (Ross, 996) Proses Poisso Suatu proses pecacaha { Nt (), t 0}, disebut proses Poisso dega lau λ, λ 0, ika dipeuhi tiga syarat berikut i. N(0)=0 ii. Proses tersebut memiliki ikreme bebas. Jadi bayakya keadia yag (telah) teradi sampai waktu t, yaitu N(t), adalah bebas terhadap bayakya keadia yag teradi pada selag waktu (t,t+s], yaitu N(t+s)-N(t) utuk sembarag bilaga yata s>0. iii. Bayakya keadia pada sembarag iterval waktu dega paag t, memiliki sebara Poisso dega rataa λ t. Jadi, utuk semua t,s>0, e PNt ( ( + s) Nt () = k) = utuk k=0,,. λ t k λ ( t) k! Dari syarat (iii) bisa kita ketahui bahwa proses Poisso memiliki ikreme yag stasioer. Dari syarat ii uga kita peroleh bahwa E( N ( t)) = λt, yag uga meelaska keapa λdisebut lau dari proses tersebut. Salah satu alasa megapa kedataga diasumsika memiliki sebara Poisso adalah karea sebara Poisso bersifat acak terhadap waktu. Poisso uga memiliki memoryless property yaitu pegetahua state saat ii adalah cukup utuk memprediksi perilaku state berikutya. Jadi tidak diperluka pegetahua state-state sebelumya. (Ross, 996) Sifat PASTA (Poisso Arrivals See Time Averages) Misalka N(t) adalah umlah costumer di sistem pada waktu t. Peluag bahwa pada

13 atria terdapat k costumer disimbolka oleh P(N(t)=k ). Misalka P k adalah peluag pada steady-state di atria terdapat k costumer, maka P = lim P( N ( t) k) k = t Misalka Ak adalah peluag bahwa kamera pematau melihat k costumer di atria tepat sebelum kedataga seorag costumer, maka : A k = lim P( N ( t) = k ked ataga te rlihat pada t t P( N( t) = k,seorag costumer dtg pada t = lim t + P(seorag costumer dtg pada t ) + dega t adalah waktu sesaat setelah t yaitu t+ät dega Ät 0 lim P( N( t) = k,seoragcostumerdtgdlm( t, t + t )) = lim t t 0 P (seorag costumer dtgdlm( t, t + t )) lim P( N( t) = k) P(seoragcostumerdtgdlm( t, t+ tn( t) = k) = lim t t 0 P (seorag costumer dtgdlm( t, t + t ) lim P( N( t) = k) P(seorag costumer dtgdlm( t, t + t)) = lim t t 0 P (seorag costumer dtgdlm( t, t + t ) = lim P( N( t) = k) = t P k ( chig/hadout -pasta.pdf) Steady-state Suatu keadaa pada atria dikataka steady-state ika ilai peluagya tidak lagi bergatug pada ilai peluag awal. Dega kata lai, setelah periode waktu yag cukup lama peluag state tidak lagi bergatug pada kodisi awal. (Cooper, 98) Teorema Little Perhatika sebuah sistem pada keadaa equilibrium dimaa costumer datag, tetap di sistem utuk beberapa waktu (disebut + + ) ) waktu tuggu) da kemudia pergi. Misal λ adalah lau umlah costumer yag datag, W rata-rata waktu tuggu da L rataa umlah costumer yag ada, maka ika ilai-ilai rata-rata λ,w da L ada, ketigaya memeuhi persamaa L= λw (Cooper,98) Bukti diberika pada Lampira. Teorema Burke Misalka N(t) adalah proses stokastik dega fugsi cotoh berupa fugsi tagga. Misalka titik-titik keaika setelah beberapa waktu dari t=0 disimbolka dega T α, da misalka titik-titik peurua disimbolka dega T α dega α =,2,... Misalka N ( T α ) diotasika dega A α da N ( T α + ) diotasika dega D α (sehigga ika lompata ke atas berkorespodesi dega kedataga customer da lompata ke bawah berkorespodesi dega kepergia costumer, maka A adalah state sistem tepat α sebelum waktu kedataga ke á da D α adalah state sistem tepat setelah waktu kepergia ke á). Maka ika lim P( A k) maupu lim P( D k) ada maka ilaiya sama. (sehigga N(t) memiliki sebara limit yag sama di titik tepat sebelum titik-titik keaika dega di titik tepat setelah titiktitik peurua, ika sebara limitya ada). Atau dega kata lai ika didefiisika π da π = lim P( N( T ) = ) ( = 0,,2,...) * maka = lim P( N( T + ) = ) * π = π ( = 0,,2,...) (Cooper, 98) Bukti diberika pada Lampira.

14 III. MODEL Masalah yag diamati adalah sebuah atria dega tipe M/G// N dimaa proses iputya adalah Poisso dega rataa λ. Tuua yag igi dicapai adalah meetuka sebara paag atria. Asumsi-asumsi yag diguaka dalam model atara lai : Waktu pelayaa membetuk sebuah barisa dari peubah acak yag sebaraya idetik da salig bebas dega fugsi sebara S(x). N sama dega umlah tempat tuggu dalam atria termasuk costumer yag tegah dilayai dimaa costumer aka diterima oleh sistem apabila umlah costumer di sistem kurag dari N. Costumer yag diterima oleh sistem dilayai oleh server tuggal berturut-turut, yaki server melayai atria secara kotiu higga atri a kosog. Jika atria telah kosog server memulai libur dega fugsi sebara V(x). Jika atria masih kosog sekembaliya server dari liburya maka server kembali memulai liburya dega sebara yag sama da salig bebas dega libur sebelumya. Disipli pelayaa bersifat o preemptive, yaki tidak ada pemesaa terlebih dahulu melaika harus lagsug megatri. Disipli pelayaaya memiliki orde pelayaa FIFO (First I First Out) yaki costumer yag datag lebih dulu aka dilayai lebih dulu. Baga berikut meampilka secara umum proses atria yag telah dipaparka : Costumer datag dega sebara Poisso ( λ ) Ya Jumlah atria < N? Tidak Server melayai costumer dega sebara S(x) Costumer ditolak oleh sistem Atria kosog? Tidak Ya Server libur dega sebara V(x) Server kembali ke sistem

15 Peluag ada costumer yag datag selama waktu pelayaa S da selama waktu libur V berturut turut adalah : ( λx) λx g = e ds( x) 0! ( λx) λx h = e dv ( x)! 0 Peluag bahwa costumer tiba da diterima selama periode idle (server sedag libur) diotasika oleh ϕ adalah : dimaa h c N ϕ ϕ N = h = N l ( h0 ) h l = 0 h0 c l c h N ( h0 ) h N l= 0 h0 = = = = h IV. PEMBAHASAN Distribusi Paag Atria pada Saat Peyelesaia Pelayaa Seorag Costumer Jika π, dega =0,,2,...,N-, adalah peluag pada steady-state bahwa ada costumer di sistem pada saat kepergia seorag costumer akibat selesai dilayai, da ika t 0, t,... adalah waktu kepergia costumer da L t adalah umlah costumer yag ada di sistem pada waktu t, ma ka : π = lim PL ( = ), dega = 0,,..,N- t m m Kodisi cukup bagi eksistesi sebuah sebara steady-state adalah bahwa ratai Markov irreducible (yaitu semua state dapat diagkau dari semua state laiya), aperiodik (yaitu utuk setiap state, pe luag kembali ke state awal adalah positif) da recurret o-ull (masig-masig state dikuugi kembali suatu waktu dega peluag, da waktu rataa utuk kembali ke masig-masig state terbatas). Jika kodisi-kodisi ii dipeuhi, sebuah sebara steady-state ada, da diberika sebagai solusi uik sebagai berikut : π = π i i=0 p i sedagka peluag trasisi state adalah : p + ϕi g i= g i 0 i+ i = + utuk 0 i - utuk utuk i = 0, 0 i, 0 < i - sehigga ika peluag trasisi state disubstitusika ke persamaa steady-state aka meghasilka persamaa berikut : π = π + + ϕ g + π g 0 i i= i+ ika didefiisika : g c maka : = g i= i i i= i+ π aka memeuhi persamaa berikut π = π + + ϕ g + π g 0 i i= i+ dega =0,,,N-2 i i= i+ N N c c N = 0 ign + ign i= i= N π π ϕ π dega kodisi ormalisasi : π = = 0 Distribusi Paag Atria pada Waktu Sembarag dalam Steady-state peluag Pada bagia ii aka dituruka π, yaki peluag ada costumer

16 di sistem pada waktu tertetu dalam steadystate (dega =0,,.,N) Misalka ρ adalah peluag server dalam keadaa sibuk, maka Lemma berikut terpeuhi : Lemma 4. dimaa π N ρ = λ( π ) ES ( )..() N adalah peluag ada N costumer di sistem, da E(S) adalah ilai harapa waktu pelayaa. Bukti Kita batasi pegamata haya pada fasilitas pelayaa (tidak termasuk ruag tuggu). Dega meerapka sifat PASTA, terlihat bahwa π N adalah uga peluag ada N costumer di sistem tepat sebelum waktu kedataga seorag costumer. Sehigga λ( πn ) adalah rata-rata kedataga costumer yag diterima oleh sistem da umlah rata-rata costumer yag ada di fasilitas pelayaa adalah sama dega ρ. Dega meerapka hukum Little, diperoleh persamaa (). Teorema berikut aka meghubugka πn dega 0 π yaki peluag tidak ada costumer di sistem pada saat kepergia seorag costumer. Teorema 4. Peluag server dalam keadaa sibuk (tidak sedag libur) diberika oleh : ES ( )( h0) ρ = EV ( ) π + ES ( )( h ) 0 0 (2) dimaa E(V) adalah ilai harapa waktu libur. Bukti Perhatika proses di dua batas. Batas yag pertama dibetuk oleh waktu permulaa periode sibuk, da yag kedua dibetuk oleh waktu akhir periode sibuk. Dega λ be da λ ed meotasika keduaya (yaki ilai harapa batas -batas pada iterval uit waktu). Dimaa da λ λ be ed ( ρ )( h0) = (3) EV ( ) ρπ 0 = (4) ES ( ) Pada persamaa (3), ( ρ ) / E( V) adalah rataa dari batas yag dibetuk oleh waktu tertetu ketika server kembali dari liburya da memulai keraya, da - 0 adalah peluag sistem sudah tidak kosog lagi, yag berarti periode sibuk dimulai. Pada persamaa (4), ρ / ES ( ) adalah rataa dari batas yag dibetuk oleh waktu kepergia costumer (yaki waktu peyelesaia pelayaa). Sedagka 0 adalah peluag tidak ada costumer yag tersisa di sistem, yag berarti periode sibuk berakhir. Karea λ be = λ ed diperoleh persamaa (2). Dega megguaka Lemma 4. da teorema 4. dapat diperoleh - πn h π yaki peluag seorag costumer diterima oleh sistem, sebagai berikut : ( h0 ) λ πn = (5) EV ( ) π + ES ( )( h ) 0 0 Berdasarka sifat PASTA, π adalah uga peluag ada costumer di sistem tepat sebelum kedataga seorag costumer. Sehigga, dega meerapka teorema Burke versi umum, diperoleh : π π =, =0,,...,N- (6) π N Dega mesubstitusika persamaa (5) ke persamaa (6) diperoleh teorema berikut : Teorema 4.2 Sebara paag atria { ; 0,,..., N} π = pada waktu tertetu dalam steady-state diperoleh sebagai berikut :

17 π ( h0) λ π =, =0,,...,N- EV ( ) π + ES ( )( h ) 0 0 π N (7) ( h0) λ = EV ( ) π + ES ( )( h ) 0 0 (8) V. SIMPULAN Dalam tulisa ii dibahas suatu sistem atria M/G//N dega M artiya kedataga costumer meyebar Poisso, G berarti Geeral yaki waktu pelayaa da waktu libur memiliki sebara yag umum, umlah server da kapasitas atria sebayak N, dega server yag memiliki waktu pelayaa da waktu libur. Diperlihatka bahwa sistem dega karakteristik seperti tersebut di atas memiliki sebara paag atria sebagai berikut : π π ( h0) λ =, =0,,..,N- EV ( ) π + ES ( )( h ) dega 0 0 * π π : Peluag ada costumer di sistem pada waktu sembarag dalam steady-state : Peluag pada steady -sate bahwa ada costumer yag tersisa di sistem pada saat kepergia seorag costumer h 0 : Peluag bahwa sistem tidak lagi kosog, yag artiya periode sibuk dimulai λ : Lau kedataga costumer E(V) : Nilai harapa waktu libur π : Peluag tidak ada lagi costumer di 0 E(S) sistem yag artiya periode sibuk berakhir : Nilai harapa waktu pelayaa VI. DAFTAR PUSTAKA Adreas Frey, Takahashi Y A ote o a M/G// N queue with vacatio time ad exhaustive service disciplie. Operatio Research Letters 2(997) Chua H. Foh, M. Zukerma Poisso Arrivals See Time Averages. teachig/hadout-pasta.pdf Cooper, RB. 98. Itroductio to Queueig Theory. New York: North- Hollad Hogg, R.V, Craig A.T Itroductio to Mathematical Statistics. Fifth Ed. New Jersey : Pretice Hall Lee, T.T M/G// N queue with vacatio time ad exhaustive service disciplie. Operatio Research 32(984) Medhi, J. 99. Stochastic Models i Queueig Theory. Califoria : Academic Press, ic. Rii T.F.S Kotrol Optimal Sistem Atria M/Ek/ dega pusat pelayaa yag dapat dikotrol [Skripsi]. Bogor: Istitut Pertaia Bogor. Ross, S. M Stochastic Processes. Secod Ed. New York : Joh Wiley & Sos. Takagi, Hideaki. 99. Queueig Aalysis, A Foudatio of PerformaceEvaluatio, vol : Vacatio ad Priority Systems. Amsterdam : Elsavier

18 LAMPIRAN

19 Bukti Teorema Burke Misalka N(0)=i. Pertama-tama aka dituukka bahwa D+ i k A+ k+ k. Aggap D + i = k. Maka ada (+) T α yag medahului T + i. Sehigga A + +. Karea k- kedataga setelah T + + state meadi k- atau lebih, maka k A + k +. Kemudia aka dituukka koversya yaki A+ k+ k D+ i k. Aggap A k + = k Maka ada +i+k- T α yag medahului T +k +. Sehigga, T + i+ k adalah T α terakhir yag medahului T +k+. Kareaya, D+ i+ k da D+ i k. +. Oleh karea itu, P{ D+ i k} = P{ A + k + k}, da kedua ruas memiliki limit yag sama. Sehigga utuk sembarag k, lim P{ D k} = lim P{ A k} akibatya adi legkaplah pembuktia. + i + k + lim P{ D k} = lim P{ A k} Bukti Teorema Little Misalka A(T) = total umlah kedataga selama periode T. B(T) = total waktu tuggu (dalam sistem) dari semua costumer yag tiba selama T. Maka λ(t) = rata-rata lau kedataga selama T A ( T ) =. T W(T) = rata-rata waktu tuggu di sistem selama T B( T ) =. A( T ) L(T) = rata-rata umlah costumer di sistem selama T B ( T ) =. T Sehigga B( T) B( T ) A( T ) L( T) = = = W( T ) λ( T ). T A( T ) T Aggap utuk T limitya ada da diberika sebagai lim λ ( T) =λ da T lim W( T) = W. T Maka sebuah limit L(T) utuk T uga ada da diberika sebagai L= lim L( T) T da ketiga limit memeuhi

20 L=λW.