BAB 3 : INVERS MATRIKS

Transkripsi

1 BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan nilainya x1/2aa -1. Dalam aljabar matriks, matriks satuan (identity) I beroperasi sebagai besaran 1 dalam aljabar biasa. Bila [A] dan [I] keduanya matriks bujursangkar dan ordenya sama maka [I][A][A][I][A]. Apabila sekarang terdapat suatu matriks bujursangkar [X] yang berorde sama sehingga [A][X][I] maka dikatakan bahwa [X] kebalikan atau invers matriks dari [A] dan dituliskan [X][A] -1. Carilah invers matriks dari A Menurut definisi invers [A][X][I]. Misalkan matriks X x 1 x 2 Maka [A][X][I] menjadi 1 0 x 3 x x 1 x 2 x 3 x 4 3/2-1/2 Didapat X A -1-2\x 1 + x x 2 + x 4 4x 1 + x 3 4 x 2 +3 x Ternyata bahwa matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriksmatriks yang Non Singular yaitu matriks yang determinanya 0. invers bila ada hanya satu (tunggal). Berlaku sifat : 1. (A -1 ) -1 A 2. (AB) -1 B -1 A -1 MATRIKS ADJOIN Pandang matriks Cc ij berikut C c 11 c 21 c n1 c 12...c n1 c c n2 c n2 c nn Adalah matriks kofaktor dari suatu matriks (misalkan matriks A), maka transpose dari matriks kofaktor disebut MATRIKS ADJOIN Anxn. Dalam mencari matriks adjoin, maka kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk semua elemen. Tidak seperti dalam mencari determinan dimana hanya satu baris atau kolom saja yang

2 diekspansi. Misal ada matriks bujursangkar berorde 3, maka akan ada 9 elemen yang harus dicari kofaktornya. Akan dicari matriks adjoin dari A c 11 c 12 c 13 Maka kofaktornya C A c 21 c 22 c C 11 + C 21 - C C 12 - C 22 + C c 31 c 32 c C 13 + C 23 - C Maka C A dan Adj A C A T MENCARI INVERS MATRIKS Mencari invers matriks dapat dilakukan antara lain dengan : a. Adjoin matriks, yaitu menggunakan rumus Adj A A -1, dengan syarat det (A) 0 Det (A) b. Transformasi elementer, invers matriks A dapat dicari dengan [ A I ] ~ [ I X ] [A] -1 [X] Setelah melalui transformasi elementer. Catatan : 1. Yang dapat dicari matriksnya adalah matriks-matriks bujursangkar. 2. Merupakan matriks non singular ( A 0). 3. Untuk pencarian invers dengan adjoin maka bila matriksnya berorde 2x2 bisa langsung dicari inversnya dengan menggunakan rumus 1 d -b A -1 a.d-b.c -c a

3 INVERS MATRIKS DENGAN ADJOIN Hitung A -1 jika diketahui A Terlebih dahulu kita cari kofaktor-kofaktor matriks A diatas. 4 6 C 11 + C 21 - C C 12 - C 22 + C C 13 + C 23 - C Maka C A dan Adj A C A T A A -1 Adj A A INVERS MATRIKS DENGAN TRANSFORMASI ELEMENTER Hitung A -1 jika diketahui A Terlebih dahulu dibentuk matriks [ A I ] ~ [ I X ] dengan transformasi elementer! [ A I ] ~ [ I X ] ~ x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 32 Mengubah elemen a 11 1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a 21 dan a 31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. basis b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+10 1(-2)+20 3(-1)+41 3(-2)+5-1 2(-1)+64 2(-2)+73 1(-1)+0-1 1(-2)+0-2 0(-1)+11 0(-2)+00 0(-1)+00 0(-2)+11

4 Menjadi Mengubah a 2 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a 32 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 1 dan 3 dikenai transformasi elementer Menjadi basis b( )+b3 b( )+b1 1(1)+(-1)0 1(-3)+30 4(1)+37 4(-3) (1)+(-2)-3-1(-3)+14 1(1)+01 1(-3)+0-3 0(1)+11 0(-3)+00 Mengubah a 33 7 menjadi 1 (dikalikan 1/7) dan mengubah a 13 dan a 23 menjadi 0. Baris 3 menjadi basis, baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer Menjadi /7 3/7-4/7-5/7 1 0 Basis (kali 1/7) menjadi Basis b( )+b2 b( )+b1 1(-4)+40 1(10)+(-10)0-3/7(-4)+(-1)5/7-3/7(10)+4-2/7 1/7(-4)+13/7 1/7(10)+(-3)3/7 1/7(-4)+0-4/7 1/7(10)+0-4/7 ~ [ I X ] maka A -1 x -2/7 3/7-4/7-5/7 1 0 SOAL LATIHAN Carilah matriks adjoin dari A dan B Carilah x dan y dari susunan persamaan linier berikut dengan menggunakan invers dari matriks koefisien x+y1 dan 2x+y1.

5 3. Diketahui matriks A Carilah Adj A dan A Carilah invers dari A 5. Diketahui matriks A Carilah Adj A dan selidikilah bahwa Adj(Adj A)a c d 6. Carilah invers dari matriks A berikut dengan transformasi elementer atau Adjoin. A a b Carilah harga x, y, z, dan w yang memenuhi susunan persamaan linier berikut. 2x+4y+3z+2w1 3x+6y+5z+2w1 2x+5y+2z-3w0 4x+5y+14z+14w0 8. Carilah invers dari matriks-matriks berikut (bila ada). a. 5 6 b. c. d. 2 2 e Carilah adjoin dari A dan invers dari A bila a. A b. A c. A Dengan menggunakan matriks-matriks invers pada soal no.9 diatas, carilah x, y, dan z dari susunan persamaan berikut. a. x+y 3 b. x+2y+2z0 c. 4x+5z9 x+y+z0 3x+y 0 y-6z-14 2y+z 2 x+y+z 1 6x+8z14 11.Carilah invers matriks A dan B berikut jika A dan B Carilah invers matriks berikut dengan menggunakan transformasi elementer. 3 a. b