Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1

Transkripsi

1 Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1

2 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2

3 Multiset Definisi Misalkan S himpunan tak kosong. Suatu multiset M pada himpunan S adalah himpunan pasangan terurut M = s i, n i s i S, n i Z +, s i s j untuk i j Bilangan n i dissebut sebagai multiplisitas dari unsur s i di M. Jika pada himpunan dari suatu multiset adalah berhingga, dikatakan bahwa multiset adalah berhingga. Ukuran dari multiset M adalah jumlah dari multiplisitas dari semua unsur-unsurnya. Contoh Misalkan M = a, 2, b, 3, c, 1 adalah multiset pada himpunan S = a, b, c. Unsur a mempunyai multiplisitas 2, b mempunyai multiplisitas 3, dan c mempunyai multiplisitas 1. Himpunan M dapat juga ditulis dalam bentuk M = a, a, b, b, b, c 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 3

4 Matriks Himpunan matriks m n dengan entri-entri dalam lapangan F, disimbolkan dengan M m,n (F), yaitu: M m,n F = A = a ij i = 1,, m; j = 1, n; a ij F Catatan: M m,n F dapat ditulis M m,n atau M Jika m = n maka ditulis M n,n F atau M n F atau M n Matriks identitas berukuran n n disimbolkan dengan I n 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 4

5 Definisi : Misalkan A M m,n (F). Transpos dari matriks A, ditulis dengan A T adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan dengan A T = a ij T = aji. Jika A = A T maka matriks A dikatakan simetri. Jika A T = A maka matriks A dikatakan skew-simetri. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 5

6 Teorema 0.1 (Sifat-sifat Transpos) Misalkan A, B M m,n (F), maka: 1. A T T = A 2. A + B T = A T + B T 3. ra T = ra T untuk semua r F 4. AB T = B T A T ( AB perkalian matriks, ingat definisinya!) 5. det A T = det(a) 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 6

7 Partisi dan Perkalian Matriks Misalkan M matriks berukuran m n. Jika B 1,2,, m dan C 1,2,, n maka submatriks M B, C adalah matriks yang diperoleh dari M dengan baris-baris tetap dalam indeks di B dan kolom-kolom dengan indeks di C. Dengan demikian, baris dan kolom untuk M B, C mempunyai ukuran B C Catatan: Perkalian matriks dapat dilakukan dengan menggunakan partisi dari suatu matriks (dengan asumsi ukuran partisi matriks dapat dilakukan perkalian matriks) 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 7

8 Blok Matriks Misalkan M matriks. Jika B i,j adalah matriks dengan ukuran tertentu, maka blok matriks dari M B 1,1 B 1,2 B 1,n M = B m,1 B m,2 B m,n blok Adalah matriks yang mempunyai submatriks kiri bawah adalah B 1,1 dan seterusnya. B i,j adalah submatriks dari M dan bukan entri. Matriks bujursangkar berbentuk B M = B n blok Di mana setiap B i adalah bujur sangkar dan 0 adalah submatriks nol, dan dikatakan blok matriks diagonal. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 8

9 Operasi Baris Elementer 1. Baris ke-i ditukar dengan baris ke-j 2. Baris ke-i dikalikan dengan suatu scalar yang tidak nol. 3. Baris ke-i ditukar dengan mengalikan dirinya dengan suatu scalar dan ditambah dengan k kali baris ke-j. Catatan: Matriks Elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas yang dilakukan operasi baris elementer yang tunggal. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 9

10 Definisi Suatu matriks R dikatakan bentuk eselon baris tereduksi jika: 1. Unsur pertama tak nol di setiap baris adalah 1 (yang disebut leading/utama) 2. Untuk sebarang dua baris yang berurutan, unsur utama untuk baris yang di bawahnya terletak di sebelah kanan. 3. Baris nol di R - jika ada adalah baris terakhir. 4. Sebarang kolom yang memuat unsur utama mempunyai unsur 0 di posisi lainnya. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 10

11 Teorema 0.2 Misalkan A, B M m,n (F). Matriks A dikatakan ekivalen baris dengan matriks B jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan operasioperasi baris elementer. Ditulis A~B. 1. Reduksi baris adalah relasi ekivalensi, yaitu a. A~A b. Jika A~B, maka B~A c. Jika A~B dan B~C, maka A~C 2. Sebarang matriks ekivalen ke hanya satu matriks R, yaitu dalam bentuk eselon baris tereduksi. Matriks R disebut bentuk eselon tereduksi dari matriks A. Selanjutnya diperoleh A = E 1 E 2 E k R di mana matriks E i, i = 1,2,, k matriks yang mereduksi A ke bentuk eselon baris tereduksi. 3. Matriks A invertibel jika dan hanya jika R matriks identitas. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 11

12 Matriks segitiga Definisi Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks segitiga atas jika semua entri di bawah diagonal utama adalah 0. Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks segitiga bawah jika semua entri di atas diagonal utama adalah 0. Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks diagonal jika semua entri selain entri di diagonal utama adalah 0. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 12

13 Teorema 0.3 Misalkan A M n (F). Maka determinan dari A (det(a)) adalah unsur dari F. 1. Untuk sebarang A, B M n F, det AB = det A det(b) 2. Matriks A nonsingular (invertibel) jika dan hanya jika det(a) Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur di diagonal utamanya. 4. Misalkan A(i, j) adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Adjoint dari A (adj(a)) didefinisikan sebagai berikut: adj(a) ij = 1 i+j det(a i, j ) 5. Jika A invertibel, maka A 1 = 1 det A adj(a) 6. Jika M matriks bujur sangkarnyang mempunyai bentuk blok diagonal B Maka det M = det(b i ) M = B n blok 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 13

14 Polinomial Jika F adalah lapangan, maka F x adalah himpunan semua polinomial dalam varibabel x, dengan koefisien-koefisien berada dalam F. F x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n a i F Jika p x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n adalah polinomial dengan a n 0, maka a n disebut koefisien utama dari p(x) dan derajat p(x) (ditulis deg(p x ) adalah n. Jika koefisien utama dari p x adalah 1, maka polinomial p(x) disebut monik. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 14

15 Fungsi Definisi Misalkan f fungsi dari himpunan S ke himpunan T, ditulis f: S T, maka: 1. Domain dari f adalah S 2. Image atau range dari f, ditulis Im(f) adalah himpunan Im f = f(s) s S 3. Fungsi f dikatakan injektif (satu-satu), jika x y, maka f(x) f(y). 4. Fungsi f dikatakan surjektif (onto atau pada), Im f = T. 5. Fungsi f dikatakan bijektif (korespondensi satu-satu) jika f injektif dan surjektif. 6. Asumsikan bahwa 0 T, support dari f adalah supp f = s S f(s) 0 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 15

16 Relasi Ekivalensi Definisi Misalkan S himpunan tak kosong. Relasi biner ~ pada S disebut relasi ekivalensi pada S jika memenuhi: 1. Refleksif; a~a untuk semua a S. 2. Simetri; jika a~b maka b~a untuk semua a, b S. 3. Transitif; jika a~b dan b~c maka a~c untuk semua a, b, c S. Definisi Misalkan ~ relasi ekivalensi pada S. Untuk a S, himpunan a = b S b~a Disebut kelas ekivalensi dari a. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 16

17 Teorema 0.8 Misalkan ~ relasi ekivalensi pada S. Maka: 1. b a jika dan hanya jika a a jika dan hanya jika a = b. 2. Untuk sebarang a, b S, diperoleh a = b atau a b. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 17

18 Definisi Misalkan S himpunan tak kosong. Suatu partisi dari S adalah koleksi himpunan bagian tak kosong A 1, A 2,, A n dari S, yang disebut blok-blok, di mana: 1. A i A j = untuk semua i j. n 2. S = i=1 A i 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 18

19 Teorema Misalkan ~ relasi ekivalensi pada S. Maka himpunan kelaskelas ekivalensi yang berbeda yang terkait dengan ~ adalah blok-blok partisi dari S. 2. Sebaliknya, jika P suatu partisi dari S, relasi biner ~ yang didefinisikan oleh a~b jika dan hanya jika a dan b berada diblok yang sama dari P adalahrelasi ekivalensi pada S, yang kelas-kelas ekivalensinya adalah blok-blok dari P. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 19

20 Definisi Misalkan ~ relasi ekivalensi pada S. Fungsi f: S T, dimana T sebarang himpunan, disebut invariant dari ~ jika a~b maka f a = f b. Fungsi f: S T disebut invariant komplit jika a~b jika dan hanya jika f a = f b. Koleksi f 1, f 2,, f k yang invariant disebut sistem komplit invariant dari invariant-invariant jika a~b jika dan hanya jika f i a = f i (b) untuk semua i = 1,2,, n. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 20

21 Definisi Misalkan ~ relasi ekivalensi pada S. Suatu himpunan bagian C S dikatakan himpunan bentuk kanonik ( atau bentuk kanonik) untuk ~ jika untuk setiap s S, terdapat tepat satu c C sehingga c~s. Dengan kata lain, setiap kelas ekivalensi pada ~ memuat tepat satu anggota dari C. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 21

22 Himpunan Terurut Parsial Definisi Himpunan terurut parsial (Partially Orderet Set = Poset) adalah himpunan tak kosong P, bersama dengan suatu urutan parsial pada P. Urutan parsial adalah relasi biner yang disimbolkan dengan dan dibaca dengan kurang dari atau sama dengan, dengan sifat-sifat sebagai berikut: 1. Untuk semua a P, a a (Refleksif). 2. Untuk semua a, b P, jika a b dan b a maka a = b (Antisimetris). 3. Untuk semua a, b, c P, jika a b dan b c maka a c. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 22

23 Definisi Jika P himpunan terurut parsial dan Jika m P mempunyai sifat m p mengakibatkan m = p, maka m disebut unsur maksimal di P. Jika n P mempunyai sifat bahwa tidak terdapat unsur lebih kecil di P, yaitu p P, p n maka p = n, disebut n unsur minimal 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 23

24 Definisi Misalkan P himpunan terurut parsial dan misalkan a, b P. 1. Jika terdapat u P dengan sifat: a u dan b u Jika a x dan b x, maka u x Maka dikatakan u batas atas terkecil dari a dan b, dan ditulis u = lub a, b. 2. Jika terdapat l P dengan sifat: l a dan l b Jika x a dan x b, maka x l Maka dikatakan l batas bawah terbesar dari a dan b, dan ditulis l = glb a, b 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 24

25 Catatan: 1. Dalam himpunan terurut parsial mungkin saja tidak semua unsur dapat dibandingkan. Dengan kata lain, mungkin diperoleh x, y P dengan sifat x y dan y x. 2. Dalam suatu himpunan terurut parsial dimana semua pasangan unsur-unsurnya dapat dibandingkan disebut himpunan terurut total atau himpunan terurut linier. 3. Sebarang himpunan bagian dari himpunan terurut total P disebut rantai di P. 4. Misalkan S himpunan bagian dari himpunan terurut parsial P. Dikatakan unsur u P batas atas untuk S jika s u untuk semua s S. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 25

26 Teorema 0.10 (Lemma Zorn) Misalkan P himpunan terurut parsial dimana setiap rantainya mempunyai batas atas. Maka P mempunyai unsur maksimal. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 26

27 Kardinalitas Dua himpunan S dan T dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama dan ditulis S = T jika terdapat fungsi bijektif antara himpunan S dan T. Jika S berkorespondensi satu-satu dengan suatu himpunan bagian dari T, ditulis S T. Jika S berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bagian sejati dari T, dan jika S T, ditulis S < T. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 27

28 Catatan: Kardinalitas himpunan. dalam hal ini adalah merepresentasikan ukuran dari suatu Lebih mudah membicarakan dua himpunan yang memiliki sama atau berbeda ukuran (kardinalitas)-nya daripada menentukan secara ekplisit ukuran (kardinalitas) dari himpunan yang diberikan. Jadi, dikaitkan setiap himpunan S suatu bilangan cardinal, ditulis dengan S atau card(s), yang dimaksudkan untuk mengukur ukuran dari suatu himpunan. Suatu himpunan S disebut berhingga jika dapat dibuat korespondensi satu-satu dengan himpunan yang berbentuk Z n = 0,1,, n 1 untuk suatu bilangan bulat positif n. Bilangan kardinal (kardinalitas) dari himpunan berhingga adalah jumlah unsurunsur dalam himpunan tersebut. Bilangan cardinal dari himpunan bilangan asli N adalah ℵ 0 (dibaca aleph nought). Oleh karena itu N = Z = Q = ℵ 0. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 28

29 Catatan Sebarang himpunan berhingga terhitung. dengan kardinalitas ℵ 0 disebut himpunan tak Sebarang himpunan berhingga atau terhitung disebut himpunan terhitung. Jika S dant himpunan berhingga, maka jika S T dan T S maka S = T Ingat himpunan kuasa P(S) dari himpunan S adalah himpunan semua himpunan bagian dari S. Jika S berhingga, maka himpunan kuasa dari S selalu lebih besar dari dirinya sendiri, yaitu: Jika S = n maka P(S) = 2 n 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 29

30 Teorema 0.11 (Well-ordering principle) Setiap himpunan tak kosong mempunyai suatu pengurutan yang baik. Teorema 0.11 (Teorema Schr oder-berntein) Untuk sebarang himpunan S dan T, jika S = T. S T dan T S maka (Teorema Cantor s) Jika P(S) P(S). adalah himpunan kuasa dari himpunan S, maka S < Jika P 0 (S) adalah himpunan semua himpunan bagian dari S, dan S himpunan tak berhingga, maka S = P 0 (S). 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 30

31 Definisi Misalkan κ dan λ bilangan cardinal. Jumlah κ + λ adalah bilangan kardinal dari S T, di mana S dan T adalah himpunan yang saling asing, dengan S = κ dan T = λ. Hasil kali κλ adalah bilangan kardinal dari S T, dimana S dan T sebarang himpunan dengan S = κ dan T = λ, dan S T (produk kartesian) adalah himpunan pasangan-pasangan terurut S T = s, t s S, t T κ λ adalah bilangan cardinal dari S T, di mana S dan T adalah sebarang himpunan, dengan S = κ dan T = λ, dan S T adalah himpunan semua fungsi dari T ke S. 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 31

32 Teorema 0.13 Misalkan κ, λ dan μ bilangan cardinal, maka berlaku sifat-sifat berikut ini: 1. Assosiatif: κ + λ + μ = κ + λ + μ dan κ λ μ = (κλ)μ. 2. Komutatif: κ + λ = λ + κ dan κλ = λκ. 3. Distributif: κ λ + μ = κλ + κμ 4. Sifat eksponen: κ λ+μ = κ λ κ μ κ λ μ = κ λμ κλ μ = κ μ λ μ 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 32