Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 4

Transkripsi

1 Pengantar Teori Bilangan Kuliah 4

2 Materi Kuliah Bilangan Prima dan Distribusinya Teorema Fundamental Aritmatika Saringan Eratosthenes 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2

3 Bilangan Prima dan Komposit Definisi Suatu bilangan bulat p > 1 disebut bilangan prima, jika p hanya mempunyai pembagi positif 1 dan p. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang bukan prima disebut komposit. Contoh Bilangan prima di antara 1 dan 10 adalah 2,3,5,7, dan 4,6,8,9,10 adalah bilangan komposit. 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 3

4 Sifat Teorema 3.1 Jika p prima dan p ab, maka p a atau p b. Bukti: Diketahui p prima dan p ab. Akan dibuktikan p a atau p b p prima berarti pembaginya hanya 1 dan p. p ab artinya ab = cp untuk suatu c Z. Jika p a maka pembuktian selesai. Jika p a maka harus dibuktikan p b. Oleh karena p prima maka ppb a, p = 1 dan diperoleh 1 = ax + py. Kemudian kalikan 1 = ax + py dengan b, diperoleh b = bax + bpy. Diketahui ab = cp dan substistusi nilai ini pada b = bax + bpy, diperoleh b = cpx + bpy atau b = p(cx + by). Dengan kata lain, terbukti p b. Yanita, FMIPA Matematika Unand 22/2/2014 4

5 Akibat Akibat 1 Jika p adalah prima dan p a 1 a 2 a n maka p a k untuk suatu k, dimana 1 k n. Akibat 2 Jika p, q 1, q 2,, q n adalah semuanya prima dan p q 1 q 2 q n maka p = q k untuk suatu k, dimana 1 k n. 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 5

6 Teorema Fundamental Aritmatika Setiap bilangan positif n > 1 dapat ditulis dalam bentuk hasilkali sejumlah bilangan prima, dan penulisan ini tunggal. Contoh 1. 4 = = = = dll 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 6

7 Akibat Setiap bilangan bulat n > 1 dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk kanonik: n = p 1 k 1 p 2 k 2 p 3 k 3 p r k r Dimana setiap k i, i = 1,2,3,, r adalah bilangan bulat positif dan setiap p i adalah prima, dengan p 1 < p 2 < p 3 < < p r. Contoh = = = = dll 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 7

8 Teorema Pythagoras Bilangan 2 adalah irrasional. Bukti: Bukti dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan 2 bukan bilangan irrasional, berarti 2 adalah bilangan rasional. Berdasarkan definisi bilangan rasional Q = a a, b Z, b 0, jika dimisalkan 2 adalah bilangan rasional, berarti b 2 = a 1 untuk suatu a,b Z, b 0 dan ppb a, b = 1 (? ) b Jika persamaan (1) dikuadratkan, maka diperoleh 2 = a2 atau b 2 a2 = 2b 2 (2) Dari sini diperoleh bahwa b a 2. Jika b > 1, maka Teorema Fundamental Aritmatika menjamin bahwa ada bilangan prima p sedemikian sehingga p b. (berarti b = sp untuk suatu s Z). Jika disubtitusi nilai ini pada persamaan (2), maka diperoleh p a 2, dan berdasarkan Teorema 3.1, diperoleh p a. Oleh karena itu ppb(a, b) p. Jika b = 1, maka a 2 = 2. Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada bilangan bulat a yang memenuhi a 2 = 2. Jadi, pengandaian 2 adalah bilangan rasional adalah tidak benar. Jadi benarlah 2 adalah bilangan irrasional. 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 8

9 Saringan Erastosthenes Dalam matematika, saringan Eratosthenes adalah algoritma kuno yang sederhana untuk menemukan semua bilangan prima sampai batas tertentu. Ia melakukannya dengan iteratif menandai sebagai komposit ( yaitu tidak prima ) kelipatan dari setiap prima, dimulai dengan kelipatan 2. Saringan Eratosthenes adalah salah satu cara yang paling efisien untuk menemukan semua bilangan prima yang lebih kecil (di bawah 10 juta atau lebih ) 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 9

10 Langkah-langkah mencari bilangan prima dengan saringan Eratosthenes 1. Hapus 1 karena bukan bilangan prima 2. Lingkari 2 karena 2 bilangan prima dan silang semua kelipatan Lingkari 3 karena 3 bilangan prima dan silang semua kelipatan 3 4. Lingkari 5 karena 5 bilangan prima dan silang semua kelipatan 5 5. Lingkari 7 karena 7 bilangan prima dan silang semua kelipatan 7 6. Silang semua kelipatan 9 7. Lingkari 11 karena 11 bilangan prima dan silang semua kelipatan Dst. Bilangan prima adalah yang dilingkari dan yang tanpa tanda silang. Yanita, FMIPA Matematika Unand 22/2/

11 Sifat-sifat Teorema Euclid Terdapat sejumlah takhingga bilangan prima. Teorema Jika p n adalah bilangan prima ke-n, maka p n 2 2n 1. Akibat Untuk n 1, terdapat sekurang-kurangnya p n+1, p bilangan prima yang kurang dari 2 2n (p n+1 < 2 2n ) 22/2/2014 Selesai 23 Februari