Aljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Aljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand"

Transkripsi

1 Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1

2 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2

3 Jumlah Langsung (Direct Sums) dan Hasilkali Langsung (Direct Product) Definisi Misalkan V 1, V 2,, V n ruang vektor atas lapangan yang sama. Jumlah langsung luar dari V 1, V 2,, V n ditulis dengan V = V 1 V 2 V n adalah ruang vektor V yang unsur-unsurnya adalah n tupple terurut, yaitu: V = v 1, v 2,, v n v i V i, i = 1,2,, n dengan operasi u 1, u 2,, u n + v 1, v 2,, v n = u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n dan r v 1, v 2,, v n = rv 1, rv 2,, rv n Contoh 1.4 Ruang vektor F n adalah hasil jumlah langsung luar sebanyak n dari F, yaitu F n = F F F 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 3

4 Definisi Misalkan F = V i i K keluarga ruang vektor atas lapangan F. Hasilkali langsung dari F adalah ruang vektor i K V i = f: K i K V i f(i) V i yang merupakan subruang dari ruang vektor dari semua fungsi dari K ke i K V i. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 4

5 Definisi Misalkan F = V i i K keluarga ruang vektor atas lapangan F. Support dari fungsi f: K i K V i adalah himpunan supp f = i K f(i) 0 Dengan demikian f mempunyai support berhingga jika f i = 0 untuk semua kecuali sejumlah berhingga i K. Hasilkali langsung luar dari keluarga F = V i i K adalah ruang vektor ext i K V i = f: K i K V i f i V i, f mempunyai support berhingga yang merupakan subruang dari ruang vektor dari semua fungsi dari K ke i K V i. Kasus khusus terjadi ketika V i = V untuk semua i K. Misalkan V K = f: K V V K 0 = f: K V f mempunyai support berhingga Maka i K V = V K dan ext i K V = V K 0 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 5

6 Definisi Misalkan V ruang vektor. Dikatakan V jumlah langsung (dalam) dari keluarga subruang F = S i i I dari ruang vektor V, disimbolkan dengan: V = F atau i I S i Jika memenuhi: 1. (Join of the family = Gabungan keluarga) V adalah jumlah (gabungan) keluarga F : V = i I S i. 2. (Independence of the family = ). Untuk setiap i I, S i j i S j = 0 Dalam hal ini, setiap S i disebut jumlah langsung dari V. Jika F = S 1, S 2,, S n berhingga, maka jumlah langsung ditulis: V = S 1 S 2 S n Jika V = S T, maka T disebut komplemen dari S dalam V. (S C adalah simbol untuk komplemen dari S). 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 6

7 Teorema 1.4 Sebarang subruang dari suatu ruang vektor mempunyai komplemen, yaitu jika S subruang dari V, maka terdapat subruang T sedemikian hingga V = S T. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 7

8 Teorema 1.5 Misalkan F = S i i I keluarga subruang yang berbeda di V. Maka pernyataan berikut ekivalen: 1. (Independence of the family) Untuk setiap i I, S i j i S j = (Uniqueness of ekpression for 0) Vektor 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah vector tak nol dari subruang yang berbeda dari F. 3. (Uniqueness of expression) Setiap vector tak nol v V mempunyai bentuk tunggal penyajian sebagai jumlah vector-vector tak nol dari subruang yang berbeda di F, yaitu v = s 1 + s s n. Oleh karena itu, jumlah V = i I S i adalah jumlah langsung jika dan hanya jika 1, 2, dan 3 dipenuhi. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 8

9 Bukti Teorema 1.5 1) 2) Diketahui (Independence of the family) Untuk setiap i I, S i j i S j = 0 ; Akan dibuktikan (Uniqueness of ekpression for 0) Vektor 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah vector tak nol dari subruang yang berbeda dari F. Andaikan 2) tidak dipenuhi, berarti 0 = s j1 + s j2 + + s jn ( ) di mana s ji adalah vector-vector tak nol dari subruang S ji yang berbeda. Dari persamaan ( ) diperoleh s j1 = s j2 + + s jn ( ) Dari persamaan ( ) ini berarti S j1 i=2 S ji 0. Artinya kondisi 2) yang tidak dipenuhi mengakibatkan kondisi 1) tidak benar. Oleh karena itu benarlah 1) mengakibatkan 2). 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 9

10 2) 3) Diketahui (Uniqueness of ekpression for 0) Vektor 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah vector tak nol dari subruang yang berbeda dari F; Akan dibuktikan (Uniqueness of expression) Setiap vector tak nol v V mempunyai bentuk tunggal penyajian sebagai jumlah vector-vector tak nol dari subruang yang berbeda di F, yaitu v = s 1 + s s n. Jika 2) dipenuhi dan misalkan v dapat ditulis tidak dengan tunggal sebagai penyajian jumlah vector, yaitu v = s 1 + s s n dan v = t 1 + t t n Maka 0 = s 1 + s s n t 1 t 2 t n Dengan mengumpulkan suku-suku dari subruang yang sama, maka dapat ditulis 0 = s i1 t i1 + + s ik t ik + s ik s in t ik+1 t im Oleh karena Vektor 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah vector tak nol dari subruang yang berbeda dari F, maka n = m = k dan s iu = t iu untuk semua u = 1,, k. Jadi v = s 1 + s s n 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 10

11 3) 1) Diketahui (Uniqueness of expression) Setiap vector tak nol v V mempunyai bentuk tunggal penyajian sebagai jumlah vectorvector tak nol dari subruang yang berbeda di F, yaitu v = s 1 + s s n ; Akan dibuktikan (Independence of the family) Untuk setiap i I, S i j i S j = 0 ; Andaikan S i j i S j 0 berarti terdapat v 0 S i j i S j, artinya v S i dan v j i S j. v S i, berarti v = s i untuk suatu s i S i dan v j i S j, berarti v = s j1 + s j2 + + s jn dengan s jk 0 S jk Dengan demikian terdapat dua penyajian untuk v 0 V. Kontradiksi dengan 3). Jadi benarlah 3) mengakibatkan 1). 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 11

12 Himpunan Spans (pembangun) dan Bebas Linier Suatu himpunan span (pembangun) vektor adalah ruang vektor jika setiap vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari beberapa vektor dalam himpunan tersebut. Definisi Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Subruang yang dibangun oleh himpunan S di ruang vektor V adalah himpunan semua kombinasi linier vektor-vektor dari S. S = span S = r 1 v 1 + r 2 v r n v n r i F, v i V Jika S = v 1, v 2,, v n himpunan berhingga maka digunakan notasi v 1, v 2,, v n atau span v 1, v 2,, v n. Himpunan S V disebut span V atau membangun V jika V = span(s), yaitu jika setiap vektor v V dapat ditulis dalam bentuk v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n untuk suatu r 1, r 2, r n F dan v 1, v 2,, v n V. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 12

13 Bebas Linier dan Bergantung Linier Definisi Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Himpunan tak kosong S V adalah bebas linier jika untuk sebarang v 1, v 2,, v n V, diperoleh jika r 1 v 1 + r 2 v r n v n = 0 maka r 1 = r 2 = = r n = 0. Jika himpunan vektor-vektor ini tidak bebas linier, maka dikatakan bergantung linier. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 13

14 Kombinasi Linier Definisi Misalkan S = s 1, s 2,, s n himpunan bagian tak kosong di ruang vector V. Dikatakan bahwa vector tak nol v V sebagai kombinasi linier dari s 1, s 2,, s n jika v = r 1 s 1 + r 2 s r n s n dengan r i F. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 14

15 Teorema 1.6 Misalkan S {0} himpunan bagian tak kosong di V. Maka pernyataan berikut ekivalen: 1. S adalah bebas linier 2. Setiap vector tak nol v span(s) adalah kombinasi linier dari vector-vector di S. 3. Tidak ada vector di S yang merupakan kombinasi linier dari vector-vector lain di S 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 15

16 Teorema 1.7 Misalkan V ruang vektor atas lapangan F dan S himpunan vektorvektor di V. Pernyataan berikut adalah ekivalen: 1. S bebas linier dan S adalah span dari V. 2. Untuk setiap vektor v V, terdapat himpunan tunggal dari vektorvektor v 1, v 2,, v n S bersamaan dengan himpunan tunggal skalar-skalar r 1, r 2, r n F sehinggga v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n 3. Misalkan S = span(v), maka S himpunan pembangun minimal jika sebarang himpunan bagian dari S bukan span V. 4. Misalkan S = span(v), maka S himpunan bebas linier maksimal, kecuali sebarang himpunan super sejati dari S bergantung linier. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 16

17 Bukti Teorema 1.7 (1 2) Diketahui S bebas linier dan = span(v). S bebas linier artinya jika untuk sebarang v 1, v 2,, v n V, diperoleh jika r 1 v 1 + r 2 v r n v n = 0 maka r 1 = r 2 = = r n = 0. S = span(v) artinya jika setiap vektor v V dapat ditulis dalam bentuk v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n untuk suatu r 1, r 2, r n F dan v 1, v 2,, v n S Akan ditunjukkan untuk setiap vektor v V, terdapat himpunan tunggal dari vektor-vektor v 1, v 2,, v n S bersamaan dengan himpunan tunggal skalar-skalar r 1, r 2, r n F sehinggga v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n Andaikan v dapat ditulis dalam kombinasi linier yang lain dari vektor-vektor v 1, v 2,, v n S, misalkan v = s 1 v 1 + s 2 v s n v n untuk suatu s 1, s 2, s n F. Artinya r 1 v 1 + r 2 v r n v n = s 1 v 1 + s 2 v s n v n Atau (s 1 r 1 )v 1 + s 2 r 2 v (s n r n )v n = 0 (*) Oleh karena S bebas linier maka persamaan (*) hanya dipenuhi untuk s i r i = 0 untuk i = 1,2,, n. Artinya s i = r i untuk i = 1,2,, n. Dengan kata lain penulisan v sebagai kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n S adalah tunggal. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 17

18 (1 3) Diketahui S bebas linier dan = span(v). Berarti S adalah himpunan pembangun V, yang artinya setiap vektor di V merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di S. Akan ditunjukkan S himpunan pembangun minimal dan untuk setiap A S, maka A bukan span V. Jika terdapat sub himpunan lain dari S misalkan S yang juga merupakan himpunan pembangun V, maka sebarang vektor di S S merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di S. Misalkan v S S. Oleh karena S juga himpunan pembangun, maka v S S merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di S, yaitu v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n untuk suatu r 1, r 2, r n F dan v 1, v 2,, v n S. Perhatikan bahwa untuk v S S berarti juga v V. Diketahui bahwa S bebas linier dan S = span(v). Ini artinya v juga merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor v 1, v 2,, v n S. Sebelumnya telah dipunyai v merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di S. Berarti diperoleh v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n dan v = r 1 v 1 + r 2 v r n v n Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa S adalah bebas linier dan S = span(v). Maka haruslah tidak terdapat subhimpunan lain di S yang merupakan himpunan pembangun minimal. Jadi S adalah himpunan pembangun minimal untuk V atau S = span(v). 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 18

19 (3 1 Diketahui S = span(v), maka S himpunan pembangun minimal jika sebarang himpunan bagian dari S bukan span V. Akan ditunjukkan S bebas linier dan S adalah span dari V. Jika S tidak bebas linier berarti untuk suatu s S merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di S, sehingga S s akan menjadi subhimpunan pembangun sejati dari S. Kontradiksi dengan kenyataan bahwa S = span(v), dan S himpunan pembangun minimal. Jadi haruslah S bebas linier. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 19

20 (1 4) Diketahui S bebas linier dan S adalah span dari V. Akan ditunjukkan S = span(v), maka S himpunan bebas linier maksimal, kecuali sebarang himpunan super sejati dari S bergantung linier. Andaikan S bukan himpunan bebas linier maksimal, maka terdapat vektor v V S sedemikian hingga himpunan S v adalah bebas linier. Tetapi kemudian diperoleh v tidak berada di span S, hal ini kontradiksi dengan S span dari V. Jadi haruslah S himpunan bebas linier maksimal. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 20

21 (4 1) Diketahui S = span(v), maka S himpunan bebas linier maksimal, kecuali sebarang himpunan super sejati dari S bergantung linier. Akan ditunjukkan S bebas linier dan S adalah span dari V. Andaikan S bukan span dari V, maka akan dapat ditemukan vektor v V S yang bukan kombinasi linier dari vektor-vektor di S. Oleh karena itu, S v akan menjadi super himpunan sejati yang bebas linier. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa sebarang himpunan super sejati dari S bergantung linier. Jadi haruslah S bebas linier dan span dari V. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 21

22 Teorema 1.8 Himpunan berhingga S = v 1, v 2,, v n hanya jika V = v 1 v 2 v n di V adalah basis untuk V jika dan Definisi Himpunan vektor-vektor di V yang bebas linier dan span V (membangun V) disebut basis untuk V. Dengan demikian himpunan vektor-vektor di V disebut basis untuk V jika dan hanya jika memenuhi sebarang kondisi yang terdapat dalam Teorema 1.7. Contoh 1.6 Himpunan e 1, e 2,, e n adalah basis standart untuk F n. 1,0,, 0, e 1 = 0,1,0,, 0,,e n = 0,0,, 1. Di mana e 1 = 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 22

23 Teorema 1.9 Sebarang ruang vektor, kecuali ruang nol 0, mempunyai basis. Bukti: Ambil sebarang ruang vektor tak nol, misalkan V dan misalkan juga A adalah koleksi semua himpunan bagian yang bebas linier dari V. Jelas A tidak kosong, karena sebarang vektor tak nol membentuk himpunan tak bebas linier. Selanjutnya, jika I 1 I 2 adalah rangkaian himpunan bagian yang bebas linier di V, maka U = juga himpunan yang bebas linier. Oleh karena itu, setiap rangkaian di A mempunyai batas atas di A, dan menurut Lemma Zorn, A pasti memuat unsur maksimal, yaitu V mempunyai himpunan bebas linier maksimal, yang merupakan basis untuk V berdasarkan Teorema 1.7. I i 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 23

24 Teorema 1. Sebarang himpunan vektor-vektor yang bebas linier di V termuat di dalam basis untuk V. Yaitu, sebarang himpunan yang bebas linier dapat diperluas menjadi basis untuk V. 2. Sebarang himpunan pembangun untuk V memuat basis untuk V. Yaitu, sebarang himpunan pembangun dapat direduksi menjadi basis untuk V. Bukti untuk teorema ini menggunakan Teorema 1.7. Dengan Teorema 1.10 ini dapat ditunjukkan bahwa sebarang subruang dari ruang vektor mempunyai komplemen. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 24

seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama

seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama DIRECT SUMS seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama EXTERNAL DIRECT SUMS Definisi: Misalkan V 1,, V n adalah ruang

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah

Lebih terperinci

Aljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2

Aljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2 30/8/2014 1 Aljabar Linier Kuliah 2 30/8/2014 2 Bab 1 Subpokok Bahasan Ruang Vektor Subruang Subruang Lattice Jumlah Langsung Himpunan Pembangun dan Bebas Linier Dimensi Ruang Vektor Basis Terurut dan

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:

Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan: Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema

Lebih terperinci

Aljabar Linier. Kuliah

Aljabar Linier. Kuliah Aljabar Linier Kuliah 10 11 12 Materi Kuliah Transformasi Linier Kernel dan Image dari Transformasi Linier isomorfisma Teorema Rank plus Nullity 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2 Transformasi Linier

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26 Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 27

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 27 Aljabar Linier Elementer Kuliah 27 Materi Kuliah Transformasi Linier Invers Matriks Transformasi Linier Umum //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Satu ke satu dan Sifat-sifatnya Definisi

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan

Pengantar Teori Bilangan Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian

Lebih terperinci

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,

Lebih terperinci

0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:

0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: f g) f g C atau ( f g). Diperoleh bahwa: f g) ( f g) dg f ( f dg g) g dg f g Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: Ambil. f ) f C, R. Ditunjukkan bahwa. f C atau (. f ).. f ). diketahui

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor

Lebih terperinci

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1 Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Lebih terperinci

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR 7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

Aljabar Linier. Kuliah

Aljabar Linier. Kuliah Aljabar Linier Kuliah 13 14 15 Materi Kuliah Transformasi Linier dari F n ke F m Perubahan Matriks Basis Matriks dari Transformasi Linier Perubahan Basis untuk Transformasi Linier Matriks-matriks Ekivalen

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam Ruang Hasil Kali Dalam (Gram Schmidt) Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13 Misalkan S subhimpunan di V, kita

Lebih terperinci

BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang

Lebih terperinci

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M. HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1 Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

Lebih terperinci

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 10

Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 10 Pengantar Teori Bilangan Kuliah 10 Materi Kuliah Chinese Remainder Theorem (Teorema Sisa Cina) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Pengantar Chinese Remainder Theorem (Teorema sisa Cina) adalah hasil

Lebih terperinci

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real 5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert

Lebih terperinci

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi

Lebih terperinci

Kode, GSR, dan Operasi Pada

Kode, GSR, dan Operasi Pada BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

SUBRUANG MARKED. Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang. Abstrak

SUBRUANG MARKED. Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang. Abstrak SUBRUANG MARKED Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang Abstrak Misalkan V suatu ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan kompleks C, T operator linier nilpoten pada V dan W subruang T-invariant

Lebih terperinci

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Lebih terperinci

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 4

Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 4 Pengantar Teori Bilangan Kuliah 4 Materi Kuliah Bilangan Prima dan Distribusinya Teorema Fundamental Aritmatika Saringan Eratosthenes 22/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Bilangan Prima dan Komposit

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.

Lebih terperinci

Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014

Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014 Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor 2 Oktober 2014 Pertemuan-2 Pertemuan ke-2 memuat 1. Ruang vektor operasi linier field definisi Contoh Kombinasi linier 1 2. Subruang definisi penentuan subruang

Lebih terperinci

Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal

Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

Syarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler 1

Syarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler 1 Syarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler Karyati Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoocom Abstrak Pada kajian

Lebih terperinci

PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT. Skripsi

PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT. Skripsi PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT Skripsi Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memenuhi Gelar Sarjana

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A

Lebih terperinci

RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR

RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 122 128 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR SRI NOVITA SARI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

untuk setiap x sehingga f g

untuk setiap x sehingga f g Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

Matematika Diskrit 1

Matematika Diskrit 1 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai

Lebih terperinci

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat

Lebih terperinci

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal

Lebih terperinci

STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA A -ALJABAR

STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA A -ALJABAR Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 63 67 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA A -ALJABAR ROZA ARDILLA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan

Lebih terperinci

MODUL ATAS RING MATRIKS ( ) Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman

MODUL ATAS RING MATRIKS ( ) Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-issn : 2550-0384; e-issn : 2550-0392 MODUL ATAS RING MATRIKS Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman arindiadwikurnia@gmail.com Ari

Lebih terperinci

Analisis Real. Johan Matheus Tuwankotta 1. December 3,

Analisis Real. Johan Matheus Tuwankotta 1. December 3, Analisis Real Johan Matheus Tuwankotta December 3, 200 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 0, Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id 2 Daftar Isi Sistem

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

DUAL PADA MATROID ABSTRAK KAJIAN TEORI I. PENDAHULUAN. Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si. 2,

DUAL PADA MATROID ABSTRAK KAJIAN TEORI I. PENDAHULUAN. Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si. 2, DUAL PADA MATROID Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, SSi, MSi 2, 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60321 2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

Program Studi Teknik Mesin S1

Program Studi Teknik Mesin S1 SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK 2 KODE/SKS : IT042227 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU 1 Pendahuluan Mahasiswa mengerti tentang mata kuliah Matematika Teknik 2 : bahan ajar,

Lebih terperinci

1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak

1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang

Lebih terperinci

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III

ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)

Lebih terperinci

Syarat Perlu Dan Cukup Subaljabar Merupakan Ideal di Dalam Aljabar BCI

Syarat Perlu Dan Cukup Subaljabar Merupakan Ideal di Dalam Aljabar BCI Syarat Perlu Dan Cukup Subaljabar Merupakan Ideal di Dalam Aljabar BCI 1, 2 Yeni Susanti1, Sri Wahyuni 2 Jurusan Matematika FMIPA UGM Abstrak : Di dalam tulisan ini dibahas syarat perlu dan syarat cukup

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang

Lebih terperinci

Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian

Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,

Lebih terperinci

TRANSFORMASI WAVELET DISKRIT PADA SINTETIK PEMBANGKIT SINYAL ELEKTROKARDIOGRAM

TRANSFORMASI WAVELET DISKRIT PADA SINTETIK PEMBANGKIT SINYAL ELEKTROKARDIOGRAM Saintia Matematika ISSN: 2337-9197 Vol. 02, No. 01 (2014), pp. 95 104. TRANSFORMASI WAVELET DISKRIT PADA SINTETIK PEMBANGKIT SINYAL ELEKTROKARDIOGRAM Yedidia Panca, Tulus, Esther Nababan Abstrak. Transformasi

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi

Lebih terperinci

Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

DIMENSI PARTISI DARI GRAF ULAT

DIMENSI PARTISI DARI GRAF ULAT Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DIMENSI PARTISI DARI GRAF ULAT FADHILA TURRAHMAH, BUDI RUDIANTO Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum

4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum BAB 4 ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM Diberikan sebarang barisan hingga vektor di ruang Hilbert berdimensi hingga. Pada bab ini akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval pada

Lebih terperinci

BASIS DAN DIMENSI. dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan

BASIS DAN DIMENSI. dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan BASIS DAN DIMENSI Representasi Basis Jika S={v 1,v,...,v n ) adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka tiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v= c 1 v 1 + c v +... c n v n dengan cepat satu

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta BASIS DAN DIMENSI Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Basis dan Dimensi Ruang vektor V dikatakan mempunyai dimensi terhingga n (ditulis dim V = n) jika ada vektor-vektor e, e,,

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.

Lebih terperinci

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika

Lebih terperinci

BAB III PERLUASAN INTEGRAL

BAB III PERLUASAN INTEGRAL BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan

Lebih terperinci

vektor u 1, u 2,, u n.

vektor u 1, u 2,, u n. KOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Kombinasi Linear (linear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor

Lebih terperinci