ENUMERASI ISOMORFISME GRAF SEDERHANA DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA POLYA I & II

Transkripsi

1 ENUMERASI ISOMORFISME GRAF SEDERHANA DENGAN MENGGUNAAN TEOREMA POLYA I & II Dsusu utuk memeuh tugas Mata ulah Matematka Dskt Semeste I Peode 006/007 Dsusu oleh : Daag Aef Setaa PROGRAM STUDI TENI INFORMATIA SEOLAH TENI ELETRO DAN INFORMATIA INSTITUT TENOLOGI BANDUNG 006

2 . Pedahulua Teo Gaf adalah lmu ag bekembag sagat pesat bahka dalam pekembagaa dapat dsejajaka dega lmu Aljaba ag lebh dahulu bekembag. Ilmu Aljaba abstak ag meupaka baga da lmu Matematka pada dasaa bekembag pesat kaea da behubuga dega hmpua opeas da sfat stuktu-stuktu d dalama. euka Teo Gaf adalah kesedehaaa pokok bahasa ag dpelajaa kaea dapat dsajka sebaga ttk veteks da gas edge. Meskpu pokok bahasa da topk-topk Teo Gaf sagat sedehaa tetap s d dalama belumlah tetu sesedehaa tu. eumta dem keumta masalah- masalah selalu past ada da bahka sampa saat mash ada masalah ag belum tepecahka. Bebeapa masalah pokok dalam Teo Gaf adalah : Masalah Eksstes : masalah ag behubuga dega petaaa apakah ada suatu gaf ag? Apakah mugk dbuat atau dbagu suatu? Masalah ostuks : masalah ag behubuga dega pembetuka atau pegkostuksa atau pegadaa. Jka suatu gaf ada apakah mugk kta megkostuksa? Bagamaa kta dapat membagua? Masalah Eumeas : masalah ag behubuga dega peghtuga atau pecacaha. Beapa baak gaf sepet tu? Bagamaa caa kta meghtuga? Masalah Optmsas : masalah ag behubuga dega keputusa ag tebak tedekat tekecl atau palg. Jka ada baak kemugka bagamaa kta medapatka ag tebak? maa ag palg bak? Pada makalah peuls aka membahas salah satu sub-bahasa da masalah eumeas ag tedapat dalam teo gaf tesebut atu ag meagkut Gaf Sedehaa. Gaf sedehaa adalah gaf ag tdak megadug ss gada maupu gelag self loop. Masalah eumeas ag dmaksud adalah masalah eumeas ag behubuga dega baaka gaf sedehaa ag tdak somofs satu dega ag laa ag dapat dbetuk da suatu gaf dega jumlah ttk tetetu. Utuk melakuka eumeas tesebut kta aka megguaka salah satu teoema ag tedapat dalam bdag lmu Aljaba atu teoema ag dsebut Teoema Pola I da II megea masalah kombatoal dalam hal pemutas.. Bebeapa Defs ag Dguaka Pada baga bekut aka dbahas defs da stlah-stlah ag aka kta paka dalam tulsa. Defs Gaf Gaf G ddefska sebaga pasaga hmpua VE ag dalam hal : V hmpua tdak kosog da smpul-smpul veteks / odes E hmpua ss edges / acs ag meghubugka sepasag smpul

3 Defs Gaf Sedehaa Msalka tedapat gaf G. Gaf tesebut dsebut gaf sedehaa apabla tdak megadug ss-gada maupu gelag self loop. Defs Goup : Hmpua G Ø dega opeas o ag ddefska padaa dsebut Goup Go bla memeuh saat : G o G sfat tetutup tehadap opeas o e G o e e o G ada eleme dettas e G G sehgga o o e ada eleme ves 4 z G o o z o o z sfat asosatf Hmpua H hmpua baga da G dsebut goup baga G o jka H o adalah juga goup. Defs Goup Smet : Msalka X adalah hmpua behgga ag baak aggotaa. Goup Smet hmpua behgga S adalah kumpula semua pemutas da hmpua X. Defs Obt Pestabl da aakte Pemutas : Apabla G adalah goup baga da goup Smet S da utuk X maka : a G { g : g G} atu hmpua semua baaga eleme X oleh pemutas d G. G seg dsebut juga obt tehadap G. b G { g G : g } adalah hmpua semua pemutas d G ag megakbatka sebaga ttk tetap. Hmpua G dsebut sebaga pestabl dg. c F g { g G : g } atu F g adalah hmpua semua ttk-ttk tetap da pemutas g G. Hmpua F g dsebut sebaga kaakte pemutas g d hmpua X. Defs Gaf Behgga : Goup G dsebut goup behgga jka memlk sejumlah behgga aggota. Baaka aggota dalam goup G dsebut ode G da dsmbolka dega G. Defs Tpe Uta da Bobot : Dbeka peaja uta ccle da f pemutas suatu hmpua dega baak aggotaa ag memuat sebaak a uta dega pajag sebaak a uta dega pajag sebaak a uta dega pajag sebaak a uta dega pajag da 4.. maka : tpe uta f dsmbolka dega vekto [a a a a a a a... a ] da bobot f adalah blaga bulat postf W.... Cotoh : X { 8} f dalam hal a a a 4 da laa ol. Jad tpe uta f [00000] da bobot f 4. Defs Ideks Sklk :

4 Dbeka G adalah goup pemutas dega ode m da suatu hmpua ag baak aggotaa da g G betpe uta [a a a... a ]. Ideks sklk g a a a a ddefska sebaga : Z g; da deks sklk goup G ddefska sebaga : Z G; Z g; m g G Defs Peaaa : Fugs f da hmpua behgga X ke hmpua behgga Y dsebut peaaa X. Hmpua behgga Y dsebut aa sedagka hmpua semua peaaa X tehadap aa Y dsebut hmpua C. Dua peaaa f g C dsebut tak dapat dbedaka tehadap goup G ag beaks pada X jka π G sehgga f gπ utuk X. Jelas baha elas tak dapat dbedaka meupaka elas ekuvales pada hmpua. Defs Pola : elas-kelas kogues dalam hmpua C dega elas tak dapat dbedaka dsebut pola-pola d C tehadap goup G. Defs Pesedaa Pola : Fugs bobot ω memetaka Y ke hmpua { }. Pesedaa pola C tehadap goup G adalah : PP G; [ ] [ ] [ ]... adalah koefse ag meataka baaka peaaa baak pola ag dapat dbedaka sehgga aa besesuaa dega aggota besesuaa dega aggota... da besesuaa dega aggota.. Teoema-Teoema Pedukug Teoema-teoema ag dpaka utuk medukug pembukta Teoema Pola I & II seta pegaplkasaa dalam Eumeas Gaf Sedehaa. Teoema. : Jka H adalah goup baga da goup G da H k maka setap koset k kaa H memlk kadaltas k. Teoema. Lagage : Ode goup behgga dapat dbag oleh ode sembaag goup bagaa. Teoema. : Apabla hmpua behgga X memlk k obt tehadap goup G ag beda maka belaku : a X G. G G Teoema Obt-Pestabl b G k G X

5 c X G F g g G Utuk membuktka Teoema. a-c dapat dguaka defs da teoema sebeluma. Teoema.4 Busde-Fobeus : F g k G g G Teoema.5 : Dbeka C { f f : X Y } da XY adalah hmpua behgga; juga dketahu baha G adalah goup pemutas ag beaks pada X. Utuk tap π G ddefska pemetaa π' da C ke C dega sfat : π'f fπ utuk X da f C maka belakulah baha : a π ' adalah pemutas d C. G' π ' : π G adalah goup. b { } Teoema.6 : Jka Y memuat palg sedkt aggota maka pemetaa da G ke ddefska dega ϕ : π π ' adalah somofsma goup. G ' ag Teoema.7 : Msalka G adalah goup pemutas ag beaks pada hmpua X {... } da C adalah hmpua semua fugs da X ke Y {... }. Jka adalah fugs bobot pada Y da ddefska ω f C dega betuk : ϖ f [ f ][ f ] [ f ] maka : Jka f φ C mempua sfat tak dapat dbedaka tehadap G maka ω f ω φ. Jka pola-pola ag bebeda d C dataka dega C C C...C k ; ω C...k adalah la kosta atas C maka pola pesedaa C dapat dataka sebaga: PP G; ù C k Teoema.8 Busde-Fobeus dega bobot : Jka X X X...X k adalah obt ag bebeda dalam hmpua X{... } tehadap pemutas G { g g g...g m } kemuda pada X ddefska fugs bobot ω ag meupaka smbol abstak dega sfat bla da s beada pada obt ag sama maka ω ω s da tedapatlah fugs bobot pada G atu W g ù. F g 4

6 4. Teoema Pola I da pembuktaa Bebeapa defs da teoema ag telah dbahas pada baga sebeluma dapat dguaka utuk pesapa pembukta Teoema Pola I.. Bukt da Teoema Pola I telah dsampaka oleh Balaksha sepet d baah. TEOREMA POLYA I : Dbeka C { f f : X Y} dega X da Y. Jka G meupaka goup pemutas ag beaks pada X dega deks sklk ZG;.. maka baaka pola d C tehadap G adalah ZG;... Bukt : Pola-pola d C tehadap goup G ag beaks pada hmpua X adalah obt ag bebeda d C tehadap G dtuuka da somofsma goup Teoema.6 aka meghaslka obt-obt d C tehadap G goup pemutas pada C. Sedagka baaka pola-pola ag tejad d C tehadap C ' dbeka oleh Teoema.4 Teoema Busde- Fobeus atu : k F π '... * G' π ' G ' dega F π ' { f C : π ' f f } aea π ' f f jka da haa jka f π f utuk X da kaea G G sebaga akbat teoema.6 maka betuk * ag memuat hmpua C da goup G dapat dbaa kepada betuk hmpua X da goup G ag beaks padaa atu : k f C : f π f utuk X...** G G Jka fπ f da jka 4... j adalah satu uta suatu pemutas π G maka f f f f j. Dega kata la f mempua la kosta utuk tap uta π. ebalkaa jka f mempua la kosta utuk setap uta π da jka t adalah uta ag memuat sembaag X maka fπ f t f. Jad jumlah ss kaa da pesamaa ** haalah baaka caa peaaa X dega aa sehgga eleme-eleme dalam uta ag sama da pemutas π aka dbe aa ag sama. Jka π betpe [ a a a a 4 a ] maka baaka caa a a a a peaaaa adalah :. Sehgga * mejad : a a a a a a a a k G G π G π G k Z π ; Z G; G π G 5

7 5. Teoema Pola II da pembuktaa Teoema Pola II seg juga dsebut sebaga Teoema Pola ag dpeluas. Bukt teoema juga sudah dbeka oleh Balaksha sebaga bekut. TEOREMA POLYA II : Pesedaa Pola aa PP G; adalah meupaka deks sklk da ZG... pada dega 4. [ ] [ ] [ ] [ ] Bukt : Peuua umus utuk Teoema Pola II megguaka Teoema Busde- Fobeus juga da hamp sama dega Teoema Pola I. Pada ta fugs bobot ω f memlk sfat kosta ag dpeluka oleh Teoema.4 Busde-Fobeus utuk obt-obt C tehadap pemutas da goup G '. k PP G; ù C W π G' ' G ' dmaa W π ' ùf...a f F' Jka betuk C da G ' dkembalka ke betuk X da G maka : PP [ f ][ f ][ f ] [ f ]...b G G f C ; f π f Jumlaha pada pesamaa b dapat dambl atas seluuh fugs f ag kosta atas tap uta π. Msalka π betpe [ a a a a 4 a ] da ddefska multomal sebaga bekut : 6

8 7 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ω Ekspas Ω memuat a a a a betuk ag jumlaha juga meupaka fugs f ag kosta atas tap uta π. Sekaag dapat dtujukka baha betuk-betuk dvdu dalam ekspas tesebut sama dega bobot ω da fugs dvdu f. Adaka baha uta dalam peaja π mempua koespodes satu-satu dega fakto-fakto da Ω dega caa ag basa : uta dega pajag bekoespodes satu-satu dega a fakto petama uta dega pajag dega a fakto kedua da seteusa. Jka f memetaka uta dega pajag j ag dketahu sebut saja hmpua T d dalam v maka T f j v. Betuk ekspas seluuha dbeka dega pekala semua uta ag aka sama dega U T f dmaa U adalah semua uta π. Tap uta-uta mempua pegauh pada pats d X sehgga ekspasa haa ù f f T. Akha telah dbuktka baha seluuh jumlaha pada pesamaa b mempua la ag sama dega Ω tap jelas telhat baha : [ ] [ ] [ ] [ ] Z 4 utuk dega ; Ω π 6. Eumeas Isomofsme Gaf Sedehaa dega Teoema Pola I & II Apabla ttk pada gaf G dkea pemutas maka -/ pasaga ttk tak beuut ata j j da hmpua ttk tesebut juga megalam pemutas. Dalam

9 hal pasaga ttk tak beuut pada suatu hmpua dapat dpadag sebaga gas ag ujug-ujuga adalah pasaga ttk tesebut. Sebaga cotoh kogkt dbeka hmpua ttk X { 4} ag meupaka hmpua ttk suatu gaf dega 4 buah. Seluuh kemugka gas tak beaah ag ada pada 4 ttk tesebut adalah 4/ 6 buah. Suatu pemutas ß 4 pada hmpua ttk tesebut aka membagktka pemutas 6 eleme tak beuut sebaga bekut : Jka hmpua pemutas pada ttk-ttk suatu gaf membetuk goup smet peuh sebut saja S maka pemutas da pasaga ttk tu gas tu juga membetuk goup Smet sebut R. Jad goup S pemutas ttk pada gaf aka membagktka goup R pemutas gas pada gaf. Seluuh betuk goup S 4 ada 4 atu : g 4 g 7 4 g 4 g 9 4 g 4 g 8 4 g 4 4 g 0 4 g 4 g 9 4 g 5 4 g 4 g 4 4 g 0 4 g 6 4 g 4 g 5 4 g 4 g 7 4 g 4 g 6 4 g 4 g 8 4 g 4 4 Tpe uta da S4 ada 5 atu : 4 betuk [4000] ada buah da deks sklka : betuk [00] ada 6 buah da deks sklka : betuk [00] ada 8 buah da deks sklka : betuk [000] ada buah da deks sklka : betuk [0006] ada 6 buah da deks sklka : 4 Sepet pada Gamba 4 deks sklk 4 pada goup S 4 aka membagktka deks sklk 4 pada goup R 4. Maka deks sklk pada S4 aka membagktka deks sklk.cotoh kogkta peubahaa adalah sebaga bekut : 8

10 eseluuha peubaha deks sklk da goup S 4 mejad deks sklk R adalah sebaga bekut : ; ; ; ; 4 4 sedagka baaka tap jes tdak megalam peubaha. Da Defs Ideks Sklk dpeoleh : Z G; Z g; m g G 6 Z R4; 4 [ ]...*** 4 Aplkas Teoema Pola I : Ada keadaa utuk hmpua Y atu adaa gas pada pasaga ttk da tdak adaa gas pada pasaga ttk sehgga. Da pesamaa *** kta ambl 4 maka kta aka medapatka : 6 Z R4 ; [ ] ata utuk gaf 4 ag mempua 4 ttk vete/ode maka aka tedapat gaf ag salg tdak somofs. Aplkas Teoema Pola II : Ambl bobot pada hmpua Y atu tak ada gas T da ada gas A. emuda substtuska T A T A T A da 4 T 4 A 4 pada pesamaa *** sehgga dpeoleh : 6 Z R4; 4 [ T A 6 T A T A 8 T A T A T A 6 T A T A ] Lakuka pekala pada tap suku d uas kaa kemuda sedehaaka. Maka aka ddapat : Z R ; T T A T A T A T A TA A 4 4 Ata baha utuk gaf ag ted atas 4 ttk vete aka tedapat gaf-gaf somofs ag memeuh ca : gaf tapa gas edge gaf dega 4 gas edge gaf dega gas edge gaf dega 5 gas edge gaf dega gas edge gaf dega 6 gas edge gaf dega gas edge Utuk lebh jelasa pehatka gamba ca d baah : 9

11 7. esmpula Da ulasa d atas kta bsa meak kesmpula sebaga bekut :. Teoema Pola I dapat kta guaka utuk meghtug baaka gaf sedehaa ag ted da buah ttk ag tdak somofs satu sama la.. Teoema Pola II dapat kta guaka utuk meghtug baaka gaf sedehaa ag ted da buah ttk da k buah gas seta tdak somofs satu sama la. 8. Dafta Pustaka Balaksha V.. Schaum s Outle of Theo ad Poblems of Combatocs McGa Hll Ic Destel Rehat Gaph Theo : Electoc Edto 005 Spge-Velag Hedelbag 005. INTEGRAL Vol. 8 No. Apl 00 Aplkas Teoema Pola pada Eumeas Gaf Sedehaa oleh R.Guaa Satosa od/pdf 0