SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 TUNING PARAMETER MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) FOR MAX PLUS LINEAR (MPL) SYSTEMS

Transkripsi

1 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia TUNING PRMETER MODEL PREDITIVE ONTROL (MP) FOR MX PLUS LINER (MPL) SYSTEMS Nurwan 1 and Subiono 1 Magister Student of Mathematics Deartment Lecturer of Mathematics Deartment FMIP- I T S, Surabaya 1 nur_1@matematia.its.ac.id subiono008@matematia.its.ac.id bstra Model Predictive ontrol (MP) is one ind of design controller that can be alied to industries area and designed base on mathematical models. The Model Predictive ontrol has been extended to a class of discrete event systems that can be described by a model one is a linear in the max-lus algebra notion. In this aer we will discusse influence of tuning arameters, N, N ) as a model redictive ( c control for max lus linear systems. Keywords: Model Predictive ontrol, Max-Plus lgebra, Max-Plus Linear System. 1. PENDHULUN Suatu abri beroerasi membutuhan berbagai macam sumber daya. Diantara sumber daya tersebut erlu sebuah ontrol untu mengontrol sistem agar hasil yang dieroleh bisa masimal. Model redictive control meruaan salah satu desain ontrol yang sering digunaan dalam dunia industri (amacho E.F., ordons. (1999)). Model Predictive ontrol (MP) memilii beberaa euntungan diantaranya: model roses aan meliuti interasi dinamis dan statis antara variabel inut, outut dan gangguan; batasan ada inut dan outut dierlauan dengan sistematis. Model redisi yang aurat mamu memberian eringatan awal ada otensi masalah (amacho E.F., ordons., 1999). Model redictive control telah diembangan dalam sistem event disrit yang didesain berdasaran model matemtia. MP uga telah diembangan untu sistem max lus linear. labar max lus daat digunaan untu memodelan berbagai macan event (art De Schutter (00)), seerti sistem manufatur, aringan teleomoniasi dan sistem transortasi dan lain sebagainya.

2 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia Model redictive control memilii tiga arameter yaitu N, Nc, yang daat memengaruhi outut dari sebuah sistem. Dalam tulisan ini aan dibahas etiga arameter dari model redictive control tersebut dan simulasinya menggunaan scilab.. MODEL PREDITIVE ONTROL (MP) Model redictive control yang diembangan untu asus deterministi yaitu tana error (art De Schutter (00),Tyagunov,. (004)). Model yang digunaan dalam mendesain suatu engendali adalah model ruang eadaan: x ( x( ( y ( x( () Vetor x meruaan variabel eadaan, u sebagai inut dan y sebagai ouut, dan,, meruaan matris sistem dengan uuran yang sesuai. Sistem diatas daat diembangan dalam bentu labar Max Plus linear yang disebut Plus Time Linear (PTL). Perilau Indes (J) dari MP didefenisian oleh: J J out J in N N yˆ ( ). (3) 1 1 Dalam notasi matris daat ditulis sebagai beriut : y ˆ( Hu~ ( g( dengan: ~ y ( dan yˆ( 1, ~ r (, u~ ( yˆ( N N N H 0 N 1 N 0 0, g( x(. N 1

3 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia Pada bagian beriut ini diberian secara ringas mengenai labar Max Plus beserta beberaa notasi terait yang digunaan ada embahasan beriutnya. 3. LJR MX PLUS Elemen dari labar Max Plus adalah bilangan real dan. Oerasi dasar dari labar Max Plus adalah maximum (dinotasian dengan ) dan tambah (dinotasian dengan ) dengan demiian didaat x y max( x, y) dan x y x y. Defenisi Strutur alabar R mas bisa didaat (F. accelli d (199)). Simbol R mas menyataan himunan R dengan dua oerasi biner yaitu masimum yang dinotsaian oleh sedangan enumlahan oleh. Untu setia a, b Rmas didefenisian oerasi dan sebagai a b def mas ( a, b) dan a b def a b. Sehingga untu setia a Rmas didaat a a a dan a a. Himunan R mas dengan oerasi dan disebut Max Plus dan dinyataan dengan R ( Rmas,,, e), dengan. Oerasi dan daat dierluas dalam bentu matris. Didefenisian n def 1,,3...n. Misalan a i, dan b i, adalah matris m n atas Rmax adalah matris m n dengan elemen e-(i, ) diberian oleh : ) a b max( a, b ), i n, m ( i, i, i, i, i, ila adalah sebagai beriut : maa c Rmax, maa c adalah matris m n dengan elemen e-(i, ) c ai, c ai,. Selanutnya bila dan masing-masing adalah matris beruuran m dan n, maa adalah matris m n dengan elemen e-(i, ) adalah sebagai beriut : 13

4 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia ) a b max( a, b ) untu semua i,, i n, m. ( i, i,, i,, 4. SISTEM MX PLUS LINER dan MP System event disrit daat dimodelan melalui alabar max lus (accelli, F. d(199)) : x ( x( (4) y ( x( (5) Dengan R nxn max, R, dan R dimana m adalah banyanya nxm max lxn max omonen inut dan l adalah banyanya omonen outut. erdasaran ersamaan (5) dan (6), daat dibuat suatu sistem untu setia inut u,..., N : ( yˆ( ) x( 1 i 0 1 dalam notasi matris daat ditulis : ~ y ( H u~ ( g( ) (7) dengan : H N 1 N i) (6) g( N x( Masalah MP untu labar max Plus didefenisian sebagai beriut : min J min J J (8) ~ u ( ) u~ ( ) out, 1 in, ~ y ( H u~ ( g( ) E ( u ~ ( F( ~ h( 14

5 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia u ( ) 0 untu,... N 1 0 u ( ) 0 untu N c,... N 1 dengan: u ( u ( ) ontoh Sistem Peraitan Sederhana Dalam tulisan ini mengambil contoh eneraan ada sistem eraitan sederhana (Subiono, (00) dengan tiga unit emroses (gambar. Gambar 1 : sistem eraitan sederhana Dari gambar ( dieroleh sistem sebagai beriut: x 1( 5 x1 ( x ( 6 x ( x 3( 6 x1 ( 6 x ( 3 x3( y ( 3 x3( Selanutnya ditulis dalam bentu matris sebagai beriut : 5 x ( 6 x( 0 (9) y ( 3 x( dengan, notasi menyataan tranose. Matris diberian oleh 15

6 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia 5 6, 0 dan Selanutnya dengan eadaan awal dan inut awal, didaat evolusi system (9) 1 x Fungsi obyetif dari model redictive control diberian oleh : J( J ( J ~ y ( ~ r ( u~ ( out in dengan 0 adalah bobot dan adalah referensi signal. Dalam hal ini indes erilau diberian oleh min J( min (, ) ( ) min (,, ( ), ) min ( ( ),,,. Dalam tulisan ini ditentuan nilai 1, N 6, N 3 dan referensi c signal ' r ( Selanutnya hasil simulasi menggunaan scilab berdasaran dieroleh : H

7 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia g ( x( Untu x (0) 1 ', didaat g (0) ' 41 Y (0) ' 5. KESIMPULN Model Predictive control untu sistem max lus linear meruaan endeatan dengan desain inut yang otimal. labar max lus daat digunaan untu memodelan sebuah sistem dalam bentu sistem max lus linear. Untu menentuan nilai awal atau ondisi awal dari matri hasil evolusi sistem daat digunaan toolbox scilab Max Plus. Pengaturan awal dari arameter N, Nc, dan barisan daat memengaruhi outut dari sebuah sistem yang ada. Horison redisi (N ) daat mengontrol eminimalan terhada selisih antara eluaran roses dan lintasan referensi, Horison ontrol (N c ) engontrol terhada erubahan erubahan harga untu emudian memilii harga yang teta. Sedangan emilihan arameter seminimal mungin untu menstabilan ermasalahan yang ada. 17

8 MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK 010 Kelomo Matematia DFTR PUSTK art De Schutter and T.J.J van den oom (00), Model Predictive ontrol for Max Plus Linear Discrete Event Systems, utomatica, Vol.37, No amacho E.F. and ordons. (1999). Model Predictive ontrol. London: Sringer- Verlag. F. accelli, G. ohen, G.J. olsder, and J.-P. Quadrat (199), Synchronization and linearity: an algebra for discrete event systems, Wiley. Tyagunov,. (004), High-Performance Model Predictive ontrol for Process Industry,Technische Universiteit Eindhoven Subiono, (00, alabar max-lus ada roses rodusi eraitan, Seminar Nasional Matematia, UGM, Yogyaarta 18