REPRESENTASI FUNGSIONAL-2 DI l p. Yosafat Eka Prasetya Pangalela Institut Teknologi Bandung

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor, Juni 202, hal REPRESENTASI FUNGSIONAL-2 DI l Yosafat Eka Prasetya Pangalela Institut Teknologi Bandung matrix_ye@yahoo.co.id Hendra Gunawan Institut Teknologi Bandung ABSTRACT. In this aer, the concet of 2-functionals will be introduced. The concet of bounded linear 2-functionals will be studied as an extension. We also discuss the 2-dual sace of l, which is the sace of bounded linear 2-functionals of l comleted by some norm. Keywords: 2-functionals, 2-dual sace, l saces. ABSTRAK. Di dalam makalah ini, konse mengenai fungsional-2 akan dierkenalkan. Lebih jauh, konse fungsional-2 linear terbatas akan dielajari sebagai erluasan. Kita juga akan mendiskusikan ruang dual-2 dari l, yakni ruang semua fungsional-2 linear terbatas ada l yang dilengkai dengan norm tertentu. Kata Kunci: Fungsional-2, ruang dual-2, ruang l.. PENDAHULUAN Di ruang norm, kita telah mengenal konse mengenai fungsional yang selanjutnya dikembangkan menjadi fungsional linear terbatas dan ruang dual. Berdasarkan hal tersebut, kita akan mendefinisikan fungsional-2 yang akan dikembangkan juga menjadi fungsional-2 linear terbatas dan ruang dual-2. Konse mengenai fungsional-2 linear terbatas sendiri sebenarnya telah dibahas oleh White (969), Gozali dkk (200) dan Gürdal dkk (rerint), tetai definisi fungsional-2 linear terbatas yang mereka gunakan mengharuskan domain ruang norm-2. Di sini, kita akan mengembangkan definisi fungsional-2 linear terbatas yang telah ada dan dilanjutkan dengan mendefinisikan ruang dual-2.

2 24 Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan Pertama-tama, akan diberikan definisi mengenai norm-2 terlebih dahulu:. Definisi.. Misal X adalah ruang vektor real berdimensi d 2. Fungsi bernilai real, ada X 2 yang memenuhi keemat sifat berikut: ) x, x 2 0 untuk setia x, x 2 X; x, x 2 = 0 jika dan hanya jika x, x 2 bebas linear; 2) x, x 2 = x 2, x untuk setia x, x 2 X; 3) αx, x 2 = α x, x 2 untuk setia α R dan x, x 2 X; 4) x + x, x 2 x, x 2 + x, x 2 untuk setia x, x, x 2 X, disebut norm-2 ada X, dan asangan (X,, ) disebut ruang norm-2. Sebagai contoh, X = R 2 dengan norm-2 berikut: x, x 2 = det ( x x 2 x 2 x 22 ) dimana x i = (x i, x i2 ), i {,2}, meruakan ruang norm-2. Konse norm-2 sendiri dikembangkan oleh Gӓhler (964) sebagai erluasan dari konse norm yang telah ada. Berbagai sifat mengenai norm-2 telah diteliti oleh White (969) dan Gürdal dkk (rerint). Selanjutnya, kita definisikan fungsional-2 yang kemudian akan dierluas menjadi fungsional-2 linear mauun fungsional-2 linear terbatas. Definisi.2. Misal X adalah ruang vektor real. Fungsi f dari X X ke R disebut fungsional-2. Selanjutnya, fungsional-2 f yang memenuhi sifat-sifat berikut: ) f(x + x 2, y + y 2 ) = f(x, y ) + f(x, y 2 ) + f(x 2, y ) + f(x 2, y 2 ) untuk semua x, x 2, y, y 2 X; 2) f(αx, βy) = αβf(x, y), untuk semua x, y X dan α, β R, disebut fungsional-2 linear. Definisi.3. Misal f adalah fungsional-2 ada ruang norm (X, ) (ruang norm-2 (X,, )). Jika terdaat konstanta K > 0 sedemikian sehingga f(x, y) K x y ( f(x, y) K x, y ) untuk setia x, y X, maka f dikatakan terbatas di (X, ) (terbatas di (X,, )).

3 Reresentasi Fungsional-2 di l 25 dengan Sebagai contoh, bila X = R 2 maka fungsi f ada X X yang didefinisikan f(x, x 2 ) = (x + x 2 ) (x 2 + x 22 ) dimana x i = (x i, x i2 ), i {,2}, meruakan fungsional-2 linear ada R 2. Lebih jauh, bila kita melengkai R 2 dengan norm yang didefinisikan dengan y y 2 + y 2 2 dimana y = (y, y 2 ), maka kita daat membuktikan bahwa f(x, x 2 ) 2 x x 2 untuk setia x, x 2 anggota R 2 dengan menggunakan ertidaksamaan Cauchy- Schwarz. Akibatnya, f adalah fungsional-2 linear terbatas di (R 2, ). Tetai f bukan fungsional-2 linear terbatas di (R 2,, ) dimana, adalah norm-2 ada R 2 yang diberikan sebagai contoh di atas. Kita daat melihat bahwa fungsional-2 linear terbatas di X yang didefinisikan oleh White (969), Gozali dkk (200) dan Gürdal dkk (rerint) sebenarnya adalah fungsional-2 linear terbatas di ruang norm-2 (X,, ). Di sini, kita tidak akan membahas lebih lanjut mengenai fungsional-2 linear terbatas di ruang norm-2 (X,, ), tetai kita akan membahas mengenai fungsional-2 linear terbatas di ruang norm (X, ). Diilhami oleh ruang dual di ruang norm, himunan dari fungsional- 2 linear terbatas ada ruang norm (X, ) akan membentuk ruang vektor, yang selanjutnya disebut ruang dual-2 dari (X, ). Ruang ini akan menjadi ruang norm dengan norm yang didefinisikan sebagai berikut: f = f(x, y) su x,y X x y. x, y 0 Kita telah mengetahui bahwa ruang dual dari l adalah l dan ruang dual l adalah l, dimana < < dan + = (Kreszig (978)). Berdasarkan itu, kita akan membahas mengenai ruang dual-2 dari (l, ).

4 26 Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan 2. RUANG DUAL-2 DARI (l, ). Untuk mengidentifikasi ruang dual-2 tersebut, kami akan memberikan definisi sebuah ruang barisan ganda terlebih dahulu. Definisi 2.. Misal < dan dikatakan berada di Y N N jika su [ a k x kj ] a = + =. Barisan ganda real x = (x kj) < dimana adalah norm di l berdasarkan Kreszig (978). Selanjutnya, x YN N = su [ a k x kj ]. a = Untuk =, barisan ganda real x = (x kj ) dikatakan berada di Y N N jika su a = su j N a k x kj <. Selanjutnya, x YN N = su a = su j N a k x kj. Sekarang kita akan masuk ke inti embahasan, yaitu hubungan antara ruang dual-2 dari (l, ) dengan ruang Y N N. Teorema 2.2. Bila < < dan + =, maka ruang dual-2 dari (l, ) adalah Y N N. Bukti. Ambil θ = (θ kj ) Y N N. Ambil a, b l dimana a =, selanjutnya tulis a = i= a i e i dan b = i= b i e i, kita definisikan

5 Reresentasi Fungsional-2 di l 27 f(a, b) = a k b j θ kj. Jelas bahwa f adalah fungsional-2 linear ada (l, ) jadi cuku ditunjukkan keterbatasan dari f. Perhatikan bahwa Akibatnya, f(a, b) = a k b j θ kj = [b j a k θ kj ] [ b j ] f(a, b) [ a a b k θ kj ] [ a k θ kj ] = b [ a k θ kj ]. su [ a k θ kj ]. a = Jadi f adalah fungsional-2 linear terbatas ada (l, ) dengan f su [ a k θ kj ]. () a = Misal g adalah fungsional-2 linear terbatas ada (l, ), akan dibuktikan (g(e k, e j )) Y N N. Definisikan fungsional g a ada (l, ) dimana a = dengan g a (b) = g(a, b) untuk setia b l.

6 28 Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan Jelas bahwa g a adalah fungsional linear ada (l, ), dan keterbatasan dari g a didaat berdasarkan g a (b) b = g(a, b) a b g. Karena g a adalah fungsional linear terbatas (l, ) maka Jadi [ g(a, e j ) ] su [ a k g(e k, e j ) ] a = = g a g. g. (2) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa norm ada f adalah norm ada ruang Y N N. Perhatikan bahwa f juga memenuhi ersamaan (2), jadi kita memiliki Dari ini dan ersamaan (), maka su [ a k f(e k, e j ) ] a = f. f = su [ a k f(e k, e j ) ] a = Jadi emetaan linear bijektif dari ruang dual-2 dari (l, ) ke Y N N. yang didefinisikan dengan f (f(e k, e j )) adalah sebuah isomorfisma. 3. KESIMPULAN Kita telah melihat bahwa bila < < maka ruang dual-2 dari (l, ) adalah Y N N dengan + =. Kita juga daat memeriksa ruang dual-2 dari (l,

7 Reresentasi Fungsional-2 di l 29 ) adalah Y N N. Jika kita berbicara ruang dual dari l, maka kita memiliki ruang dual dari l adalah l dan ruang dual l adalah l dimana < < dan + =. Dari sini kita daat melihat semacam keterkaitan antara ruang dual dari l dengan ruang dual-2 dari (l, ). Lebih jauh, aabila kita memandang anggota dari Y N N sebagai sebuah matriks maka kita daat melihat bahwa barisan yang dibentuk oleh elemen-elemen Y N N kolomnya adalah anggota dari l. dengan cara menetakan sebuah baris dan menggerakkan UCAPAN TERIMAKASIH Terima kasih keada semua ihak yang telah memberikan kontribusi ada enelitian dan enulisan naskah artikel. DAFTAR PUSTAKA Gӓhler, S. (964) Lineare 2-normierte Roume, Mathematische Nachrichten 28 (964), -43. Gozali, S. M; Gunawan, H; dan Neswan, O. (200) On n-norms and bounded n- linear functionals in a Hilbert sace, Annals of Functional Analysis, Gürdal, M; Sahiner, A; dan Açik. n-banach Saces and Bounded Linear n-functional (rerint). Kresyzig, E. (978) Introductory Functional Analysis with Alications, John Wiley & Sons, Inc. White, A. G. (969) 2-Banach Saces, Mathematische Nachrichten 42 (969),