PENDEKATAN GENERALIZED ADDITIVE MIXED MODELS DALAM PENDUGAAN PARAMETER PADA SMALL AREA ESTIMATION

Transkripsi

1 J. Sans MIPA, Desember 007, Vol. 3, No. 3, Hal.: 45-5 ISSN PENDEKAAN GENERALIZED ADDIIVE MIXED MODELS DALAM PENDUGAAN PARAMEER PADA SMALL AREA ESIMAION ABSRAC Anang Kurna dan Kharl A. Notodputro, Departemen Statstka, Insttut Pertanan Bogor, Jl. Merant Wng Level 4 Kampus IPB Darmaga, Bogor Indonesa 6680 E-mal : anangk@pb.ac.d, kharln@bma.pb.ac.d Dterma 5 Oktober 007, dsetuju untuk dterbtkan Januar 008 Small Area Estmaton (SAE) s a statstcal technque to estmate parameters of sub-populaton contanng small sze of samples wth adequate precson. hs technque s very mportant to be developed due to the ncreasng needs of statstc for small domans, such as dstrcts or vllages. Some SAE technques have been developed n Canada, USA, and UE based on real data. We adapted ths technque to produce small area statstc n Indonesa based on natonal data collected by the Statstcs Indonesa (Badan Pusat Statstk). We found that the lnear model appled to auxlary data produced estmates wth low precson. In ths paper we propose a class of generalzed addtve mxed model to mprove the model of auxlary data n small area estmaton. Keywords: small area estmaton, generalzed addtve mxed models. PENDAHULUAN Berbaga metode pendugaan area kecl (small area estmaton) telah dkembangkan khususnya menyangkut metode yang berbass model (model-based area estmaton). Perhatan yang besar n terjad serng dengan menngkatnya kebutuhan pemerntah dan para pengguna statstk (termasuk duna bsns) terhadap nformas yang lebh rnc, cepat, dan handal, tdak saja untuk lngkup nasonal tetap pada lngkup yang lebh kecl sepert provns, kabupaten, bahkan kecamatan atau desa/kelurahan. Bag kta d Indonesa pentngnya statstk area kecl semakn drasakan serng dengan era otonom daerah dmana sstem ketatanegaraan bergeser dar sstem sentralsas ke sstem desentralsas. Pada sstem desentralsas pemerntah daerah memlk kewenangan yang lebh besar untuk mengatur drnya sendr. Kebutuhan statstk pada level kabupaten, dengan demkan, menjad kenscayaan sebaga dasar bag pemerntah daerah untuk menyusun sstem perencanaan, pemantauan dan penlaan pembangunan daerah atau kebjakan pentng lannya. Pendugaan area kecl merupakan konsep terpentng dalam pendugaan parameter secara tdak langsung d suatu area yang relatf kecl dalam percontohan surve (survey samplng). Dalam makalah n area yang dmaksud mungkn saja drepresentaskan oleh objek surve yang jumlahnya sangat kecl sehngga analss yang ddasarkan hanya pada objek-objek tersebut menjad sangat tdak dapat dandalkan sehngga pendugaan langsung (drect estmaton) pada subpopulas tdak memlk press yang memada karena keclnya jumlah contoh yang dgunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Alternatf metode lan adalah dengan cara menghubungkan area tersebut dengan area lan melalu model yang tepat. Dengan demkan dugaan tersebut merupakan dugaan tdak langsung (ndrect estmaton), dalam art bahwa dugaan tersebut mencakup data dar doman yang lan. Chand dan Alexander ) menyebutkan bahwa prosedur pendugaan area kecl pada dasarnya memanfaatkan kekuatan area sektarnya (neghbourng areas) dan sumber data dluar area yang statstknya ngn dperoleh. Metode n memlk sejarah yang panjang tetap baru mendapat perhatan dalam beberapa dekade terakhr untuk dgunakan sebaga pendekatan pada pendugaan parameter area kecl. Lebh lanjut pengembangan yang sudah dlakukan dapat dlhat pada Rao ). Dalam makalah n kta akan mendskuskan pendugaan area kecl berdasarkan metode tdak langsung atau berdasarkan pada model. Salah satu permasalahan yang dtemukan d dalam penggunaan prosedur n adalah ketepatan yang rendah jka model lner dgunakan untuk menyusun model. Penuls, dalam makalah n, mengusulkan untuk menggunakan pendekatan generalzed addtve mxed model (GAMM) untuk menngkatkan akuras pemodelan yang dlakukan. Pada bagan akhr dar makalah n juga dsajkan kasus pendugaan area kecl dengan menggunakan data pengangguran dar Susenas 005 dan Podes 005 pada Kota Bogor - Jawa Barat. 007 FMIPA Unverstas Lampung 45

2 Anang Kurna dan Kharl A. Notodputro... Pendekatan Generalzed Addtve Mxed Models.. Pendekatan GAMM dalam Pendugaan Area Kecl Rao ) menyajkan secara ntensf ulasan berbaga teknk dalam small area estmaton yang serng dgunakan oleh penelt maupun pemaka statstka, termasuk ddalamnya teknk atau pendekatan synthetc, composte estmator, emprcal best unbased lnear predctors, emprcal Bayes and herarchcal Bayes. Seluruh metode-metode tersebut menggunakan pendekatan parametrk. Dalam bab n, penuls mendeskrpskan suatu pendekatan nonparametrk, generalzed addtve mxed model (GAMM). Pendekatan GAMM memlk keuntungan yang lebh dbandngkan dengan pendekatan parametrk khususnya dalam memodelkan pola hubungan peubah respon dengan peubah penjelas (auxlary varable). Kelebhan tersebut yang selanjutkan dgunakan penuls untuk pemodelan yang dlakukan dalam pendugaan area kecl. Dengan berlandasakan pada model Fay-Herrot pada basc area level model. y = x β + υ + e, =,,..., k dengan β adalah koefsen regres, υ adalah pengaruh acak area, dan e adalah samplng error. Dalam model n juga dasumskan bahwa e ~ (0, D), υ ~ (0, A) dan keduanya bersfat salng bebas dengan D basanya dasumskan dketahu. Lebh lengkap pembahasan n bsa dlhat pada Rao ). Kta asumskan bahwa y dan x memlk suatu pola hubungan yang dapat ddekat oleh suatu fungs pemulus m(.). Untuk X sebaga peubah penjelas, maka y = m(x) + υ + e, =,,..., k dengan υ X ~ (0, υ(x)), e ~ (0, D), serta e dengan υ salng bebas. Fungs nla tengah area kecl dapat dtulskan sebaga berkut: θ(x) = m(x) + υ yang merupakan kombnas lnear dar nla tengah m(x) dan pengaruh acak υ. Kta dapat menggunakan suatu teknk pendugaan untuk mendapatkan fungs pemulus sepert menggunakan fungs pemulus lnear melput pemulus splne, regres splne, dan local polynomal regresson. Lebh jelas pembahasan secara tekns metode-metode tersebut dapat dlhat pada Haste dan bshran 3). Jka dgunakan fungs pemulus kernel untuk menduga m(x), penduga terbak (best predctor) bag nla tengah area kecl θ dapat dtulskan sebaga berkut E(θ y) = γ y + ( - γ) mˆ h (x) dmana γ = υ(x) / (υ(x) + D). Pendekatan pendugaan MSE bag penduga parameter tersebut dapat dlakukan dengan mengadops pendekatan yang dberkan Prasad dan Rao 4) dengan mensubsttus x β dalam model lnear campuran dengan mˆ (x), sehngga dperoleh h formulas sebaga berkut : Dσˆ u D + σˆ u -3 D σˆ u + D mse σ ˆ u mse( ) = ( ) ( ). MEODE PENELIIAN + ( -ˆ ) mse( mˆ ( x )).. Model Dasar Pendugaan Area Kecl γ h + Suatu penduga parameter ϒ dar suatu sub-populas W secara langsung dapat dperoleh berdasarkan anggota contoh pada sub-populas tersebut (drect/desgn-based estmator). Metode pendugaan tersebut menmbulkan dua permasalahan pentng. Pertama, penduga tersebut merupakan penduga tak bas tetap memlk ragam yang besar karena dperoleh dar ukuran contoh yang kecl 5). Kedua, apabla pada suatu sub-populas W tdak terwakl ddalam survey, maka tdak memungknkan dlakukan pendekatan/pendugaan secara langsung. Fay dan Herrot 6) secara umum menggunakan model lnear campuran (lnear mxed model) dengan pengaruh acak yang hanya mengandung ntersep, dengan kata lan model hanya melput pengaruh acak area, untuk menduga rata-rata pendapatan sub-populas (<000) dengan menggunakan data sensus 970 d Amerka Serkat. Model Fay-Herrot tersebut merupakan model dasar bag pengembangan pemodelan area kecl yatu y = θ + e ; θ = x β + υ, dmana e dan υ salng bebas dengan E(e) = E(υ) = 0 serta Var(e) = D dan Var(υ) = A untuk =,, 3,..., k. Russo 7) menjabarkan lebh lanjut model area kecl dengan memperjelas pengaruh acak sub-populas d dalam model sebaga berkut :. x = (x, x,..., xp) adalah vektor data penyerta (auxlary varable). θ = x β + zυ untuk =,,..., k : merupakan parameter yang menjad perhatan dan dasumskan memlk hubungan dengan data penyerta pada () sedang υ pengaruh acak dengan nla tengah nol dan ragam A. 3. = θ + e : penduga langsung untuk sub-populas ke- dengan samplng error 4. = x β + zυ + e untuk =,,..., k : model tersebut terdr dar pengaruh acak dan pengaruh tetap sehngga merupakan bentuk model lnear campuran dengan struktur peragam yang dagonal. Model regres merupakan upaya untuk membentuk model umum dan memanfatkan kekuatan dan keakuratan pendugaan pada level populas, sedangkan devas sub-populas untuk menangkap kekhasan yang terjad pada setap sub-populas dan bersfat acak. Dengan demkan jka hanya memanfaatkan nformas umum maka θ = x β, dan jka pengaruh umum dan lokal kta adops, dperoleh θ = x β + υ. Secara FMIPA Unverstas Lampung

3 J. Sans MIPA, Desember 007, Vol. 3, No. 3 statstka model pada pont (4) datas melbatkan pengaruh acak akbat desan samplng (desgnednduced, e) dan pengaruh acak pemodelan subpopulas (model-based, υ) serta model tersebut merupakan bentuk khusus dar model lnear terampat (generazedl lnear mxed model). Ada dua jens model dasar pada pendugaan area kecl yang dkembangkan dan dapat dpelajar melalu beberapa lteratur. Jens pertama dsebut basc area level model. Jens n ddasarkan pada ketersedaan data penyerta yang hanya ada untuk level area tertentu, katakan x = (x, x,, xp) yang akan dgunakan untuk membangun model θ = x β + υ dengan υ ~ N(0, A). Suatu model yang menggabungkan model berdasarkan penarkan contoh yang bersesuaan = θ + e dmana adalah penduga langsung bag θ dan e θ ~ N(0, D) serta D yang dketahu dengan model θ = x β + υ untuk menghaslkan model gabungan = x β + υ + e yang tdak lan adalah suatu bentuk khusus dar model lnear campuran. Namum demkan, basc area level model memlk dua keterbatasan 8), yatu: () asums dketahunya samplng error σ e yang sangat membatas, dan () asums E(e θ) = 0 mungkn tdak dapat dpenuh jka ukuran contoh yang bersesuaan n kecl dan θ merupakan fungs nonlnear. Jens kedua dsebut basc unt level model, dmana data-data penyerta yang terseda bersesuaan secara ndvdu dengan data respon, katakan xj = (xj, xj,, xpj) sehngga bsa dbangun model regres tersarang yj = xj β + υ + e dengan υ ~ N(0, A) dan ej ~ N(0, D). Lebh lanjut pada makalah n dfokuskan terhadap nferens pada model basc area level. Ada tga metode yang basa dgunakan pada pendugaan area kecl yang berbass model, yatu (Emprcal Best Lnear Unbased Predctor), EB (Emprcal Bayes) dan HB (Herarchcal Bayes). Pendugaan ttk pada tdak membutuhkan asums sebaran, tetap kenormalan dar pengaruh acak basa dasumskan untuk menduga MSE (Mean Squared Error) dar pendugaan. Pendugaan dengan metode dan EB bersfat dentk berdasarkan kenormalan dan demkan halnya dengan pendugaan dengan HB, hanya saja pengukuran keragaman dar penduganya dapat berbeda 8)... Metode Emprcal Best Lnear Unbased Predctor () Best Lnear Unbased Predctor () awalnya dkembangkan dengan mengasumskan bahwa komponen keragaman telah dketahu. Dalam prakteknya, komponen keragaman sangat sult untuk dketahu. Untuk tu dperlukan pendugaan terhadap komponen keragaman n melalu data contoh. Metode Emprcal Best Lnear Unbased Predctor () menggantkan komponen keragaman yang tdak dketahu n dengan menduganya terlebh dahulu 9). Henderson 0) memperlhatkan bahwa menggantkan komponen keragaman d dalam dengan penduganya dapat menmbulkan bas. etap Kackar dan Harvlle ) memperlhatkan bahwa pendekatan (pertama, menduga komponen keragaman kemudan menggunakannya untuk menduga dan mempredks parameter-parameter tetap dan komponen-komponen acak) dapat menghaslkan penduga yang tdak berbas 9). Fay dan Herrot 6) mengembangkan model y = x β + v + e sebaga dasar dalam pengembangan pendugaan area kecl. Selanjutnya dasumskan bahwa β dan A tdak dketahu, tetap D ( =,,..., k) dketahu. Penduga terbak (best predcton) bag θ = x β + v adalah ˆ θ ˆ = θ ( y β, D ) jka β dan A dketahu = x β + ( B )( y x β ) dengan B = D / (A + D) untuk =,,..., k sedangkan MSE( ) = Var(θ y, β, A) = ( B) D = g(a). Dalam prakteknya, bak β maupun A basanya tdak dketahu sehngga untuk kasus A dketahu, β dapat dduga dengan metode kemungknan maksmum atau metode momen β* = ˆ β ( A) =(X`V - X) - X`V - Y dengan V = Dag(A + D, A + D,..., A + Dk). Kemudan dengan mensubttus β dengan β* pada, maka dperoleh ˆ θ = ˆ θ ( y A) = x β * + ( B )( y x β*) Menurut Ghosh dan Rao ) MSE( ) = g(a) + g(a), dengan g(a) = (D) /(A + D) [X`(X`V - X) - X]. Jka terlebh dahulu A dduga oleh  bak menggunakan metode ML, REML ataupun momen sehngga dengan mensubttus β oleh βˆ dan A oleh  terhadap penduga ( dperoleh suatu penduga baru ˆ θ ˆ = θ ( y Aˆ) = x ˆ β + ( Bˆ )( y Jka ddefnskan MSE dar MSE( ) = E( ), maka akan x ˆ) β adalah - θ) 007 FMIPA Unverstas Lampung 47

4 Anang Kurna dan Kharl A. Notodputro... Pendekatan Generalzed Addtve Mxed Models = Var( )+(Bas persamaan tersebut dapat durakan menjad MSE( ) = MSE( ) = H(A) + H(A) dengan H(A) = MSE( H(A) = E( - ) = g(a) + g(a) ) ) ) + E( Prasad dan Rao 4) menggunakan ekspans deret aylor untuk menduga MSE( ) dan dperoleh MSE( )PR = g( Â ) + g( Â ) + g3( Â ) dengan D m ( Aˆ + D ) m j= ( Aˆ + D ).3. Metode Emprcal Bayes (EB). g3( Â ) = Pada metode emprcal Bayes, sebaran posteror untuk parameter yang damat dar data dnotaskan f ( θ y,β, A) adalah hal pertama yang ngn ddapatkan, dengan asums parameter model β dan A dketahu. Parameter model dduga oleh sebaran margnal dar data (y), dan kesmpulan yang dperoleh ddasarkan pada dugaan sebaran posteror dar θ, f ( θ y,βˆ,â ). Model Fay - Herrot untuk model basc area level adalah sebaga berkut : y = x β + v + e dengan v ~N(0, A) dan e ~N(0, D ), e dan υ salng bebas. A dan β dasumskan tdak dketahu, tetap D ( =,,, k) dketahu. Best Predctor () θ = x β + v jka dar A dan β dketahu, berdasarkan penduga composte pada model Fay- Herrot, yatu : = wy ˆ + (- w )Y ˆ = x β + w ( y - x β) = x β + ( B)( y - x β) dengan B = D / (A + D) untuk =,,, k. B Msal merupakan penduga Bayes untuk θ dengan mengkut model Bayes : y θ ~ N(θ, D) θ ~ N(x β, A) adalah sebaran pror untuk θ, =,,, k. - Model Bayes djelaskan oleh: f ( y θ ) = exp ( ) y θ dan πd D ( θ x ) π ( θ ) = exp β πa A f ( y, θ β, A) = = k πd exp exp πa A D dan ( y θ ) ( θ x β ) untuk y = (y, y,, yk), θ = (θ, θ,, θk). Dengan penurunan aljabar, kta peroleh bahwa : Ay + + ( θ y,β, A) D x β, ~N A + D D A A ~N x β + ( y x β), A + D A + D AD Berdasarkan sebaran tersebut dan dengan pendekatan the squared error loss (pendugaan Bayes menggunakan konsep nla harapan), ddapatkan bahwa B θ y,β, A = x β + ( B)( y - x β) Jka β dan A dduga, maka penduga tersebut menjad penduga emprcal Bayes (EB), yatu = E ( ) = E ( y,βˆ, Â) EB θ = x βˆ ( B )( y x βˆ ) dmana, EB MSE( Penduga + ) =Var ( y,βˆ, Â) dan θ = ( B)D EB dentk untuk kasus normal. Jka A dketahu, β dapat dduga dengan menggunakan metode maxmum lkelhood log L(β, V)=-½log V - ½(Y -Xβ) V - (Y -Xβ) dengan V = Dag(A + D, A + D,, A + Dk). urunan dar log L(β, V) terhadap β adalah d log L(β, V) = X V - (Y -Xβ) dβ = X V - Y (X V - X)β (=0) (X V - X)β = X V - Y β = (X V - X) - X V - Y Dalam praktknya, bak β maupun A basanya tdak dketahu. A bsa dduga dengan menggunakan maxmum lkelhood (ML), restrcted/resdual maxmum lkelhood (REML), atau metode momen. Pendugaan A menggunakan REML konssten meskpun terdapat pelanggaran asums kenormalan 3). Karena β maupun A dduga, maka akan ada keragaman pada pendugaan yang dperoleh, sehngga MSE yang ddapatkan juga akan menngkat. Untuk mengetahu seberapa besar FMIPA Unverstas Lampung

5 J. Sans MIPA, Desember 007, Vol. 3, No. 3 penngkatan MSE akbat adanya pendugaan pada β dan A dapat dhtung menggunakan metode bootstrap 4) maupun metode Jackknfe 5). Lebh lanjut, perbandngan berbaga teknk pendugaan MSE dbahas dalam Rao 6)..4. Generalzed Addtve (Mxed) Model Analss regres merupakan suatu teknk statstk yang palng luas pemakaannya. eknk n memlk sfat pendugaan yang sangat bak (powerful tool) jka asumsasums yang melandasnya terpenuh, termasuk ddalamnya adalah hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas dapat dgambarkan dengan suatu fungs tertentu yang terdefns sepert pola gars lurus, berbentuk polnomal, atau berpola eksponensal. Ddalam banyak aplkas, bagamanapun, untuk memperoleh fungs-fungs tersebut secara tepat sangat sult bahkan banyak gejala menunjukkan bahwa datadata yang dperoleh tdak menunjukkan suatu pola hubungan yang mudah untuk dgambarkan. Untuk mengatas kesultan-kesultan d atas, Stone 7) mengajukan penggunaan model adtf. Model n menduga pendekatan secara adtf dar fungs regres multvarate. Keuntungan penggunaan pendekatan n palng tdak ada dua hal. Pertama, karena setap suku adtf dduga secara ndvdu menggunakan pemulus unvarate, maka tdak terjad masalah curse of dmensonalty. Yang kedua, pendugaan setap suku secara ndvdual dapat menjelaskan bagamana perubahan varabel respon terhadap perubahan varabel penjelas. Untuk memperluas penggunaan model adtf dalam berbaga keluarga sebaran, Haste dan bshran 3) mengusulkan model adtf terampat (generalzed addtve model, GAM). Model n menghubungkan nla harapan peubah respon dengan predktor adtf melalu fungs hubung yang tak lnear. Model n memungknkan sebaran dar peubah respon berasal dar keluarga sebaran eksponensal. Banyak model statstk yang termasuk dalam kelas n, antara lan model adtf untuk data Gaussan, model logstk non-parametrk untuk data bner, dan model log-lnear non-parametrk untuk data Posson. Msalkan Y adalah peubah acak respon dan X, X,..., Xp adalah gugus peubah penjelas. Prosedur regres dapat menduga nla harapan (expected value) dar Y untuk nl X, X,..., Xp yang telah dketahu. Model regres lnear standar mengasumskan bentuk lnear dar nla harapan bersyarat sebaga berkut E(Y X Xp) = β0 + β X + + βp Xp Dengan data contoh, penduga bag β0, β,, βp umumnya dperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecl (least squares method). Model adtf men-general-kan model lnear dengan memodelkan nla harapan bersyarat sebaga E(Y X Xp) = β0 + s(x) + + sp(xp) dengan s(x), =,,..., p adalah fungs pemulusan. Dpaham bahwa model lnear dan adtf tradsonal dapat dgunakan pada sebagan besar analss data statstk, namun ada beberapa kasus dmana modelmodel tersebut tdak sesua untuk dgunakan, msalnya sebaran normal tdak cukup bak untuk memodelkan peubah dskret sepert data pencacahan atau respon yang memlk batas, sepert propors. GAM mengatas kesultan tersebut, dengan memperluas penggunaannya ke sebaran lan selan normal. Dengan demkan, GAM bsa daplkaskan untuk masalah analss data yang lebh luas. Sejalan dengan perkembangan teknolog komputas, Generalzed Addtve Mxed Models (GAMM) juga berkembang untuk melengkap teknk-teknk pemodelan khususnya model adtf dengan menyertakan pengaruh acak ke dalam model. Hal n merupakan perluasan secara adtf dar bentuk Generalzed Lnear Mxed Models (GLMM) berdasarkan konsep yang dkembangkan oleh Haste dan bshran 3). 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Kajan emprk menggunakan dua gugus data. Data pertama menggunakan data bangktan yang terdr dar 3 area kecl dengan υ dan e masng-masng dbangktkan dar sebaran normal dengan rataan 0 dan ragam. Peubah yang menjad perhatan Y, ddefnskan sebaga fungs dar X dan X dmana X adalah peubah penyerta. Pendekatan GAMM menunjukkan pendugaan yang lebh bak dbandngkan dengan teknk. Nla mean absolute relatve estmaton (MARE) dar pendekatan GAMM adalah sedangkan pendekatan adalah 0.0. Lebh lanjut, nla relatve root mean square error (RRMSE) dar pendekatan GAMM adalah sedangkan pendekatan adalah Gugus data kedua, dgunakan data yang dkumpulkan oleh S khususnya data PODES 005 sebaga sumber peubah penyerta dan data SUSENAS 005 sebaga data survey, khususnya untuk Kota Bogor. Peubah yang menjad perhatan adalah tngkat pengangguran yang drepresentaskan dengan persentase tenaga kerja yang tdak sedang bekerja atau tdak memlk pekerjaan tetap untuk setap kelurahan d Kota Bogor. Persentas banyaknya penduduk lak-lak (X), persentas rumah tdak permanen (X5), persentas surat mskn yang dkeluarkan kelurahan (X7), dan persentas keluarga pra sejahtera dan sejahtera (X8) dgunakan sebaga peubah penyerta dalam kajan n. 007 FMIPA Unverstas Lampung 49

6 Anang Kurna dan Kharl A. Notodputro... Pendekatan Generalzed Addtve Mxed Models able. Pendugaan ngkat Pengangguran d Kota Bogor Desa Drect GAMM Desa Drect GAMM 00 Pamoyanan Sempur Kertamaya Kebonkelapa Rancamaya Pasrkuda Muarasar Pasrjaya Batutuls Gunungbatu Empang Menteng Ckaret Clendek Barat Sndangrasa Sndangbarang Sukasar Stugede Bantarjat Curugmekar egalgundl Kedungwarngn Cmahpar Kebonpedes Cbuluh anahsareal Kedunghalang Kedungbadak Cparg Sukadama Gudang Kayumans egallega Kencana Gambar. Scater plot peubah penyerta abel menyajkan hasl pendugaan untuk setap metode yang dgunakan pada gugus data kedua. Nla RRMSE untuk pendugaan langsung (drect estmator), pendekatan GAMM dan masng-masng adalah 0.036, and Seluruh metode pendugaan mengarah ke hasl yang dperoleh oleh teknk pendugaan langsung. Kemungknan faktor yang menyebabkan hal tersebut yang utama adalah pengaruh dar konds dmana keragaman antar area kecl yang damat jauh lebh besar dbandngkan dengan keragaman akbat samplng error d dalam setap area kecl. Walapun demkan, pendekatan GAMM mampu untuk mereduks pengaruh peubah penyerta yang tdak memlk pola hubungan lnear FMIPA Unverstas Lampung

7 J. Sans MIPA, Desember 007, Vol. 3, No. 3 Gambar menyajkan scater plot dar peubah penyerta, dan peubah X serta X7 jelas tdak memlk hubungan yang lnear. Kedua peubah tersebut dengan menggunakan pendekatan GAMM daproksmas sesua dengan gambaran yang dsajkan pada Gambar tersebut. 4. KESIMPULAN Berdasarkan kajan yang dlakukan, mampu dtunjukkan keunggulan generalzed addtve mxed model dbandngkan dengan generalzed lnear mxed model d dalam pendekatan, setdaknya dapat dtemukan dalam dua aspek. Pertama, generalzed addtve mxed model bersfat bebas dar asums kelnearan hubungan dantara peubah penyerta dan peubah respon sehngga mampu untuk mereduks masalah jka terjad ketdaktepatan (msspecfcaton) pemodelan ddalam. Aspek yang kedua, dengan kemampuannya untuk mengelaboras pengaruh nonlnear dalam model, generalzed addtve mxed model mampu untuk mengcover pola-pola yang tersembuny dar peubah penyerta dan pada akhrnya akan menngkatkan akuras dar pendugaan yang dlakukan. UCAPAN ERIMA KASIH Peneltan n merupakan bagan dar peneltan Hbah Pasca yang dbaya oleh Drektorat Jenderal Penddkan ngg Departemen Penddkan Nasonal dengan judul Hbah Pengembangan Pendugaan Area Kecl dan Penerapannya pada Data S. Oleh karenanya terma kash kam ucapkan kepada phak Dkt dan LPPM-IPB. DAFAR PUSAKA. Chand, N. and Alexander, C.H Usng Admnstratve Records for Small Area Estmaton n the Amercan Communty Survey. US Bureau of the census.. Rao, J.N.K Small Area Estmaton, New York : John Wley and Sons. 3. Haste,. and bshran, R Generalzed Addtve Models. London: Chapman and Hall. 4. Prasad, N.G.N. and Rao, J.N.K he Estmaton of Mean Squared Errors of Small Area Estmators. Journal of Amercan Statstcal Assocaton 85 : Ramsn, B., Sucu, G., Woodard, S.H., Ellott, M., dan Doss, H. 00. Unnsured Estmates by County: A Revew of Optons and Issues. < ofhsrfq7.pdf>, [5 Me 005] 6. Fay, R.E. and Herrot, R.A Estmates of ncome for small places: an applcaton of James- Sten procedures to Census data. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton,. 74 : Russo, C., M. Sabbatn dan R. Salvatore General lnear models n small area estmaton : an assessment n agrcultural surveys. Paper presented n he Mexsa Conference.< bajos/t44.pdf [9 Aprl 005] 8. Rao, J.N.K Some Recent Advances n Model-Based Small Area Estmaton. Survey Methodology 5 () : Sae, A. and Chambers, R Small area estmaton: A Revew of Methods Based on the Applcaton of Mxed Models. S3RI Methodology Workng Paper M03/6. 0. Henderson, C.R Best lnear unbased estmaton and predcton under selecton model. Bometrcs 3 : Kackar, R.N. and Harvlle, D.A. 98. Unbased of two-stage estmaton and predcton procedure for mxed lnear models. Communcatons n Statstcs heory and Methods A 0 : Ghosh, M. and Rao, J.N.K Small area estmaton : An apprasal. Statstcal Scence 9() : Jang, J REML estmaton: Asymptotc behavor and related topcs. Annals of Statstcs 4 : Butar, F.B. and Lahr, P On Measure of Uncertanty of Emprcal Bayes Small Area Estmator. Journal of Statstcal Plannng and Inference : Jang, J., Lahr, P. and Wan, S.M. 00. A Unfed Jackknfe heory for Emprcal Best Predcton wth M-Estmaton. Annals of Statstcs 30 : Rao, J.N.K Inferental Issues In Small Area Estmaton: Some New Developments. Statstcs In ranston 7 (3) : Stone, C.J Addtve Regresson and Other Nonparametrc Models. Annals of Statstcs 3 : FMIPA Unverstas Lampung 5