SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

Transkripsi

1 1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar 3. Menentukan persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata 4. Menentukan persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata. Sebelumnya kita sudah mempelajari bentuk normal bidang rata dan persamaan normal bidang rata. Sekarang kita akan membahas sudut antara dua bidang rata, dan kedudukan dua bidang rata, jarak sebuah titik ke bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata dan persamaan berkas bidang rata serta jaringan bidang rata. Untuk memahami materi tersebut perhatikan dan lakukanlah kegiatankegiatan di bawah ini. Kegiatan 6.1. Sudut antara dua bidang rata Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. Misalkan bidang-bidang =0 dan =0, maka vektor normalnya adalah =,, dan =,,. Sudut antara =. = (15)

2 2 Masalah 6.1 Tentukan sudut antara bidang =0 dan + 2+5=0. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan vektor normal bidang rata. Misalkan =0 maka =2,2,2 dan +++5=0 maka =1,1,1. Sudut antara dua bidang tersebut adalah. cos= = ,2,21,1,1 cos= = cos= 1 = 0 Jadi, dapat disimpulkan bahwa sudut antara dua buah bidang tersebut adalah 0. Pada sub pokok bahasan ini, juga membahas mengenai Kedudukan Dua Buah Bidang Rata. Misalkan =0 dan =0, maka vektor normalnya adalah =,, dan =,,. 1) Bila sejajar dengan maka vektor normal sama (atau kelipatan) dengan vektor normal. Berarati = maka,, =,, dimana 0 (16) Atau dapat juga di tulis: = = =, =, Masalah 6.2 = Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik (1, 2,3) dan sejajar dengan bidang rata 3+2=0.

3 3 Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat menggunakan persamaan (6) yaitu ( )+( )+( )=0. Kita misalkan bidang rata ( )+( )+( )=0..(1) Maka vektor normal bidang rata tersebut adalah =,,. Dan 3+2=0 maka vektor normal = 1, 3,2. Subsitusikan titik (1, 2,3) kepersamaan (1) sehingga diperoleh, ( 1)+(+2)+( 3)=0 Karena // maka,,=,,, berarti,,=1, 3,2 Sehingga diperoleh suatu persamaan bidang rata dengan mensubtitusikan nilai parameter bidang rata yaitu =1,= 3 dan =2 yaitu ( 1) 3(+2)+2( 3)= = =0 Dapat disimpulkan, persamaan bidang rata yang melalui titik (1, 2,3) dan sejajar dengan bidang rata 3+2=0 adalah =0. Selain cara di atas Anda juga bisa mencoba mencari persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan bidang rata yang lain yaitu ++ +=0, dengan cara mensubtitusikan titik tersebut kedalam persamaan bidang rata tersebut sehingga diperoleh nilai. 2) Apabila berlaku =, =, = dan = maka bidang rata = berimpit. 3) Bila tegak lurus dengan maka vektor normalnya akan saling tegak lurus. Berarti atau. = sehingga diperoleh suatu persamaan + + = (17) Masalah 6.3 Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik (2,1,2) dan (0,0,0) serta tegak lurus terhadap bidang 2 ++2=0. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita misalkan persamaan bidang rata +++=0.. (1) dengan vektor normalnya =,, dan 2 ++2=0 dengan vektor normalnya =2, 1,1. Langkah berikutnya kita subtitusikan kedua titik yang melalui

4 4 bidang rata tersebut ke dalam persamaan bidang rata +++=0 sehingga diperoleh suatu persamaan: 2++2+=0..(2) =0..(3) Karena =0 maka persamaan (2) menjadi 2++2 =0..(4) Pada permasalahan di atas, menyatakan bahwa bidang rata tegak lurus dengan bidang rata, berarti vektor normal sehingga. =0.,,. 2, 1,1=0 2 +=0.. (5) Langkah selanjutnya, kita eliminasi persamaan (4) dan (5) di peroleh nilai = dan = 2. Setelah itu, subtitusikan nilai =, = 2 dan =0 ke persamaan (1) diperoleh suatu persamaan bidang rata + 2= 0. Jadi, persamaan bidang rata 3+2 4=0. Kegiatan 6.2. Jarak Sebuah Titik T dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Bagaimana menemukan persamaan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata? Serta jarak antara dua bidang sejajar? Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang rata tersebut, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Misalkan persamaan bidang rata cos+cos+cos=0, dengan adalah jarak titik (0,0,0) ke bidang rata =0. Ambil sebarang titik (,, ), dimana =0. 2. Untuk menentukan jarak titik (,, ) ke bidang =0 dengan cara membuat bidang rata =0 melalui titik (,, ) yang sejajar dengan =0. Berarti vektor normal dan sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 6.1 di bawah ini.

5 5 Gambar 6.1. Bidang Rata = sejajar dengan = 3. Misalkan adalah jarak bidang rata =0 dengan titik (,, ) maka jarak (0,0,0) ke =0 adalah artinya (a) jika (,, ) di antara (0,0,0) di =0 maka jarak (0,0,0) ke =0 adalah, dan (b) jika (,, ) tidak di antara (0,0,0) dan =0 maka jarak (0,0,0) ke =0 adalah Akibat dari pernyataan no. 3 di peroleh suatu persamaan bidang rata cos+cos+cos=. Karena titik (,, ) pada =0 berarti terpebuhi persamaan cos+ cos+ cos= Atau = cos+ cos+ cos Jadi, jarak sebuah titik (,, ) ke bidang rata cos+cos+ cos=0 adalah = + + (18) 5. Jika +++=0, maka jarak titik (,, ) ke =0 adalah Masalah 6.4 = Hitunglah jarak antara bidang rata =0 dengan titik (7,3,4). Untuk menyelesaikan persoalan di atas, dengan menggunakan persamaan (15) yaitu: (19)

6 6 = Subtitusikan nilai,, dan titik ke dalam persamaan tersebut sehingga diperoleh, = ( 3) +2 = = 28 7 =4 Jadi, jarak titik (7,3,4) ke bidang rata =0 adalah 4. Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, maka perhatikan langkah-langkah berikut. 1. Misalkan =0 dan =0 2. Jika bidang rata sejajar dengan bidang rata maka jarak antara =0 dan =0 dapat dihitung dengan cara mencari sebuah titik pada =0, misalkan titiknya adalah (0,0,). Kemudian kita dapat menghitung jarak titik (0,0,) ke bidang rata =0. 3. Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada =0 misalkan titiknya adalah (,0,0). Kemudian kita dapat menghitung jarak titik (,0,0) ke bidang rata =0. 4. Perlu diingat bahwa, jarak titik (0,0,) ke bidang rata =0 dan jarak titik (,0,0) ke bidang rata =0, akan memiliki jarak yang sama, karena kedua bidang rata tersebut sejajar. Masalah 6.5 Hitung jarak antara bidang rata ++=4 dan bidang rata ++=10. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita buktikan apakah kedua bidang rata tersebut sejajar atau tidak? 1. Syarat dari bidang rata // adalah memiliki vektor normal yang sama atau =. Perhatikan vektor normal kedua bidang rata yaitu = 1,1,1 dan =1,1,1, karena = berarti //.

7 7 2. Ambil sebarang titik pada bidang rata yaitu (0,,0). Subtitusikan titik tersebut ke bidang rata sehingga di peroleh nilai =10. Jadi, titik (0,10,0) 3. Kemudian carilah jarak titik (0,10,0) ke bidang rata ++=4 dengan menggunakan persamaan (19) yaitu: = Subtitusikan nilai =1,=1, =1,= 4, =0, =10 dan =0 ke dalam persamaan yaitu: = = 6 3 =2 3 Jadi, jarak antara bidang rata ++=4 dan bidang rata ++ =10 adalah 2 3. Kegiatan 6.3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Sebelumnya Anda sudah mempelajari kegiatan 3 mengenai persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum. Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan dua buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Bagaimana cara mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum, perhatikan uraian kegiatan 6.4 di bawah ini. 1. Kita misalkan garis lurus adalah perpotongan dua buah bidang rata =0 dan =0 seperti yang terlihat pada Gambar 6.4 di bawah ini. Gambar 6.4. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

8 8 Berdasarkan Gambar 6.4 di atas, maka bentuk persamaan garis lurus dapat di tulis menjadi: = = 2. Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, perhatikan Gambar 6.5 berikut: Gambar 6.5. Vektor Normal Bidang Rata 3. Dari Gambar 6.5 di atas, terlihat vektor normal bidang rata adalah =,, dan =,,. Jelas bahwa = merupakan vektor arah dari garis adalah: =,,= = (20) Untuk mempermudah kita menginggat persamaan di atas, dapat di tulis menjadi: 4. Untuk mengubah bentuk persamaan =0= menjadi bentuk persamaan umum garis lurus yaitu: = = Dan menentukan koordinat titik (,, ). (21)

9 9 5. Untuk menentukan koordinat titik (,, ), ambil sebarang titik pada garis lurus. Biasanya titik yang diambil adalah titik potong dengan bidang berkoordinat, misalnya pada bidang maka =0, diperoleh persamaan: + + =0 + + =0 6. Untuk mencari nilai dan dari persamaan di atas, dapat diselesaikan dengan menggunakan determinan atau dengan cara eliminasi dan subtitusi. Jika persamaan di atas diselesaikan dengan cara determinan dapat dilakukan dengan cara: = dan Jadi, diperoleh titik (,,0). = Masalah 6.6 Persamaan 2+=1 dan 3 +5=8 adalah persamaan-persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang 2+=1 dan 3 +5=8. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita cari vektor arah dari persamaan 2+=1 dan 3 +5=8 adalah: Dimana = 2 1 = = =2 = =5 Jadi, vektor arah garis lurus adalah 9,2,5 Sekarang kita cari titik (,, ) dengan cara determinan. Ambil =0 maka diperoleh suatu persamaan 2=1 dan 3 = = 1 2 = =3

10 = = =1 Jadi, titik yang melalui garis lurus tersebut merupakan perpotongan ke dua buah bidang rata dan adalah (3,1,0). Sehingga diperoleh persamaan garis lurus adalah,,=3,1,0+ 9,2,5. Kegiatan 6.4. Berkas Bidang Rata Dan Jaringan Bidang Rata Bagaimana menemukan persamaan berkas bidang rata? Serta persamaan jaringan bidang rata? Untuk memperoleh persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Misalkan ada 2 buah bidang rata =0 berpotongan dengan =0, maka perpotongannya berbentuk garis lurus seperti yang terlihat pada Gambar 6.6 di bawah ini. Gambar Perpotongan Dua Buah Bidang Rata 2. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan + =0, dimana dan adalah parameter. Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong dan bila 0, sehingga dapat kita tulis menjadi: + =0 + =0 Jadi, persamaan berkas bidang melalui garis potong antara bidang rata =0 dan =0 adalah + = (22)

11 11 Jika bidang rata =0 sejajar dengan bidang rata =0 maka persamaan berkas bidang rata dapat di tulis menjadi: (23) + + = atau + + = Masalah 6.7 Carilah persamaan bidang yang melalui titik (0,0,1) dan melalui garis potong bidang-bidang +=1 dan +2 =0. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita tentukan persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan (22) yaitu: + =0 (+ 1)+(+2 )=0.(1) Dari persamaan (1) kita kelompokkan berdasarkan variabelnya (variabel yana sama) seperti (1+)+(1+2)+ ( 1 )=0. Karena bidang rata melalui titik (0,0,1) maka kita substitusikan titik tersebut ke persamaan +(1+2)+ ( 1 )=0 sehingga diperoleh nilai = 1. Setelah di peroleh nilai = 1, kita subsitusikan ke persamaan (1) diperoleh persamaan + 1=0. Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah +1=0. Sedangkan untuk memperoleh persamaan jaringan bidang rata perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Pandang bidang-bidang =0, =0 dan =0 yang tidak melalui satu garis lurus yang sama (bukan dalam satu berkas). Seperti yang terlihat pada Gambar 6.7. Gambar 6.7. Perpotongan 3 buah Bidang Rata

12 12 2. Bentuk + + =0 yang menyatakan kumpulan bidang-bidang yang melalui titik potong ke 3 bidang tersebut. Pada Gambar 6.7 titik potong ke 3 bidang tersebut adalah titik. Dan kumpulan bidang-bidang tersebut disebut dengan jaringan bidang. Masalah 6.8 Tentukan persamaan bidang rata yang sejajar dengan bidang ++ =1 dan melalui titik potong bidang-bidang =3, =4 dan =0. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan memisalkan persamaan bidang rata + + =0 subsitusikan ketiga bidang rata tersebut kepersamaan + + =0 sehingga diperoleh suatu persamaan, 3+( 4)+( 0)= =0..(1) Karena bidang rata sejajar dengan bidang rata ++=1 maka vektor normal bidang rata sama dengan vektor normal bidang rata yaitu 1,,=1,1,1. Sehingga diperoleh nilai =1 dan =1. Nilai =1 dan =1 tersebut kita substitusikan ke persamaan (1) menjadi =0. Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah ++ 7= 0. Rangkuman 1. Sudut antara dua buah bidang rata adalah =. = Jarak titik (,, ) ke bidang rata +++=0 adalah = Jika sejajar dengan maka vektor normal = sehingga diperoleh suatu persamaan,, =,, dimana 0

13 13 4. Jika tegak lurus dengan maka vektor normal. =0 sehingga diperoleh suatu persamaan,,,.,, = atau + + = 5. Persamaan berkas bidang rata adalah + = 6. Persamaan jaringan bidang rata adalah + + =