Pemodelan Matematika dan Kontrol

Transkripsi

1 Bab 3 Pemodelan Matematika dan Kontrol 3.1 Identifikasi Sistem Metode untuk memodelkan sistem masukan-keluaran bervariasi dan disesuaikan informasi yang dimiliki. Informasi yang diperlukan untuk membangun sistem masukan-keluaran pada tugas akhir ini adalah selisih suku bunga deposito dalam US Dollar dan Rupiah serta kurs US Dollar terhadap Rupiah. Informasiinformasi tersebut berupa data deret waktu (time-series) dan selalu berubah-ubah. Oleh karena itu pemodelan dibangun berdasarkan data periode tertentu dan hasilnya hanya berlaku pada periode tersebut. Sebagai ilustrasi dalam membangun model, identifikasi sistem dilakukan berdasarkan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dan selisih bunga deposito dalam US Dollar dan dalam Rupiah selama periode Januari 2006-Januari Selisih bunga deposito dianggap sebagai masukan karena asumsi bahwa bunga deposito Rupiah dapat dikontrol. Sedangkan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dianggap sebagai keluaran sistem karena diharapkan mengontrol masukan, keluaran sistem dapat dikontrol. Data yang digunakan sebagai masukan dalam membangun sistem adalah data selisih suku bunga deposito dan keluarannya data kurs tengah US Dollar terhadap Rupiah. 24

2 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 25 Bulan Suku Bunga Suku Bunga Selisih Suku Deposito Rupiah Deposito USD Bunga Deposito Januari , 18 3, Februari , 7 3, 71 7, 99 Maret , 1 3, 75 8, 35 April , 2 3, 77 8, 43 Mei , 2 3, 82 8, 38 Juni , 09 3, 91 8, 18 Juli , 97 3, 92 8, 05 Agustus , 79 3, 98 7, 81 September , 52 4, 07 7, 45 Oktober , 26 3, 68 7, 58 November , 98 3, 73 7, 25 Desember , 7 4, 22 6, 48 Januari , 27 4, 15 6, 12 Tabel 3.1: Data Masukan

3 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 26 Bulan Kurs Tengah Rupiah Kurs Tengah US Dollar terhadap US Dollar terhadap Rupiah Januari , Februari , Maret , April , Mei , Juni , Juli , Agustus , September , Oktober , November , Desember , Januari , Tabel 3.2: Data Keluaran Berdasarkan data masukan dan keluaran di atas, menggunakan System Identification Toolbox pada MatLab 7.0 dibangun suatu sistem masukankeluaran musiman. Beberapa model masukan-keluaran yang diperoleh adalah: 1. Model ARX A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (3.1) A(q) = q q q q 4 B(q) = q q q q 4 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur keluaran hasil simulasi dari model sebesar %.

4 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL Model ARMAX A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) A(q) = q q 2 B(q) = q q 2 C(q) = q q 2 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur keluaran hasil simulasi dari model sebesar %. 3. Model Output-Error y(t) = B(q) u(t) + e(t) F (q) B(q) = q q 2 F (q) = q q 2 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur keluaran hasil simulasi dari model sebesar %. 4. Model Box-Jenkins y(t) = B(q) u(t) + F (q) C(q) e(t) D(q) B(q) = q q 2 C(q) = q q 2 D(q) = q q 2 F (q) = q q 2

5 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 28 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur keluaran hasil simulasi dari model sebesar %. 5. Model State-Space x(t + T s) = Ax(t) + Bu(t) + Ke(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t) A = B = C = D = 0 K = X(0) = Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur keluaran hasil simulasi dari model sebesar %. Berdasarkan tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur keluaran hasil simulasi dari model, model yang sesuai untuk model masukan-keluaran selama periode Januari 2006-Januari 2007 adalah model ARX. Di luar periode tersebut, model 3.1 tidak berlaku dan harus dibangun model yang berbeda. Tanpa mengurangi keumuman, variabel e(t) akan dihilangkan karena galat tidak bisa dimodelkan. Sehingga model ARX pada persamaan 3.1 dapat dituliskan sebagai persamaan beda linear:

6 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 29 y t y t y t y t y t 4 = u t u t u t u t 4 Persamaan di atas memiliki bentuk yang sesuai persamaan 2.12 pada bab 2.2 y(k)+a 1 y(k 1)+a 2 y(k 2)+ +a n y(k n) = b 0 u(k)+b 1 u(k 1)+ +b n u(k n) a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = b 0 = 0 b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = Sehingga dapat diubah ke bentuk kanonik keterkontrolan : x 1 (k + 1) x 1 (k) 0 x 2 (k + 1) x = 2 (k) 0 + u(k) x 3 (k + 1) x 3 (k) 0 x 4 (k + 1) x 4 (k) 1 x 1 (k) x y(k) = (k) x 3 (k) (3.2) x 4 (k) Persamaan 3.2 merupakan model masukan-keluaran yang akan digunakan untuk perhitungan selanjutnya.

7 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL Keterkontrolan dan Keterobservasian Sistem Untuk memeriksa keterkontrolan sistem 3.2, cukup ditunjukkan bahwa rank matriks keterkontrolannya sebesar 4. Berdasarkan persamaan 2.18 pada bagian 2.3: rank H GH G 2 H G 3 H = 4 dan G = Diperoleh matriks keterkontrolan: H = yang memiliki rank = 4 sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem 3.2 terkontrol. Untuk memeriksa keterobservasian sistem 3.2, cukup ditunjukkan bahwa matriks keterobservasian sistem 3.2 mempunyai rank 4 berdasarkan persamaan 2.23, yaitu: C CG rank CG 2 = 4 CG 3

8 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 31 dan G = C = Diperoleh matriks keterobservasian: yang memiliki rank = 4 sehingga dapat disimpulkan sistem 3.2 terobservasi. Karena sistem 3.2 terkontrol dan terobservasi, secara teoritis pengendalian kurs US Dollar dapat dilakukan. 3.3 Penempatan Kutub Penempatan kutub pada sistem 3.2 diperlukan agar sistem mempunyai kontrol yang lebih baik. Dengan kutub, pengontrol dapat memperbaiki kontrol melihat keluaran pada periode sebelumnya. Sedangkan tanpa kutub, sistem langsung menerima pengontrol namun tidak melihat perilaku sistem yang ditambahkan kutub. Misalkan pada sistem 3.2 dipilih sinyal kontrol u(k) = Kx(k) K state feedback gain matrix berukuran 1 4. Untuk sistem diskret, K dapat dipilih sebarang, real maupun imajiner, namun harus termuat dalam jari-jari

9 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 32 lingkaran satuan.apabila diinginkan sinyal kontrol di atas memiliki closed-loop poles pada p = matriks K dicari berdasarkan informasi closed-loop poles yang diinginkan. Dengan komputasi, diperoleh state feedback gain matrix K = (3.3) Matriks K digunakan dalam analisa kestabilan sistem metode Lyapunov. 3.4 Analisa Kestabilan Lyapunov Sistem yang telah ditambahkan kutub memiliki perilaku yang berbeda. Analisis kestabilan Lyapunov metode kedua diterapkan pada sistem untuk melihat kestabilan sistem kutub. Sehingga diperoleh gambaran yang lebih jelas tentang sistemnya. Pada penurunan syarat kestabilan Lyapunov (bagian 2.6), sistem 2.27 tidak mengandung vektor masukan u(k). Akibatnya syarat kestabilan untuk sistem 3.2 berbeda sistem Berikut adalah penurunan syarat kestabilan Lyapunov untuk sistem vektor masukan berupa sinyal kontrol u(k) = Kx(k) Misalkan suatu sistem diskret didefinisikan sebagai berikut: x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) (3.4) u(k) = Kx(k) x adalah vektor keadaan berukuran n dan G adalah n n matriks konstan dan nonsingular.h(k) matriks masukan yang berukuran n r. K state feedback gain

10 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 33 matrix berukuran 1 n. Sistem 3.4 dapat diubah menjadi: x(k + 1) = (G-HK)x(k) (3.5) Kestabilan dari sistem di atas akan diselidiki metode Lyapunov yang kedua. Matriks K dipilih sedemikian hingga nilai eigen G-HK adalah closed-loop poles yang diinginkan µ 1, µ 2,..., µ n Pilih suatu fungsi Lyapunov yaitu V (x(k)) = x (k)px(k) P adalah matriks Hermitian definit positif atau matriks definit positif yang real dan simetris. Kemudian: V (x(k)) = V (x(k + 1)T ) V x(kt ) = x*(k + 1)Px(k + 1) x*(k)px(k) = (G-HK)x(k) P (G-HK)x(k) x*(k)px(k) = x*(k)(g-hk)*p(g-hk)x(k) x*(k)px(k) = x*(k)(g-hk)*p(g-hk)-px(k) V (x(k)) harus definit positif karena V (x(k)) mengambil ide dari fungsi energi, sedangkan fungsi energi tanpa gaya dari luar bernilai positif. Karena V (x(k)) positif agar V (x(k)) fungsi yang monoton turun V (x(k)) harus negatif. Sehingga V (x(k)) = x*(k)qx(k) Q = (G-HK)*P(G-HK)-P (3.6) definit positif. Sehingga untuk syarat kestabilan sistem 3.5 cukup memenuhi Q definit positif. Q dipilih berupa matriks identitas berukuran 4 4

11 BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL 34 Dengan mensubstitusi nilai G,H pada persamaan 3.2 dan matriks K dari persamaan 3.3, akan dicari matriks Lyapunov P yang memenuhi 3.6. Diperoleh matriks Lyapunov: yang memenuhi syarat 3.6. Dengan dipenuhinya syarat kestabilan Lyapunov, berarti state feedback gain matrix K pada persamaan 3.3 dapat membuat sistem stabil. Sehingga sistem masukan-keluaran musiman yang akan digunakan selanjutnya adalah: x 1 (k + 1) x 1 (k) x 2 (k + 1) x = 2 (k) x 3 (k + 1) x 3 (k) x 4 (k + 1) x 4 (k) x 1 (k) x y(k) = (k) x 3 (k) (3.7) x 4 (k)